MMII_c5_L1: Formulación Débil de EDP_1o_cl: ondas de choque y de expansión

Transcripción

1 MMII_c5_L: Formlación ébil de EP_o_cl: ondas de choqe de epansión Para resolver esas zonas donde la solción no esá definida porqe no pasa ningna crva caracerísica o pasan varias por el mismo pno, se inrodcirá la Formlación ébil de esos problemas, ligada a la ecación de conservación. Esa formlación nos permiirá caracerizar la solción en las zonas donde la solción deja de ser conina (ondas de choqe) o donde s derivada no lo sea (ondas de epansión. Para esdiar esa lección se recomienda el libro de Ecaciones en erivadas Parciales de R. Haberman. Prenice Hall 3 los apnes de Méodos Maemáicos, En el libro ambién pede enconrarse el modelo del ráfico, qe nos ilsra la aplicación de esas écnicas en n coneo diferene al de la ingeniería aeroespacial. Ejercicio propeso: (,) f ( ), Esas noas son solo na ada, qe ni preender ni peden ssiir a la asisencia a clase, donde se desarrollan los concepos, se aclararán las ddas se sbsanaran posibles erraas, a la consla de la bibliografía recomendada.

2 Ecación de conservación: La ecación de conservación del fljo enre dos secciones, relaciona la variación emporal de la fnción con las enradas salidas de fljo: F( (, )) en, F( (, )) F( (, )) Si se considera, nos qeda: ( ) (, ) F Pede observarse qe la ecación coniene como casos pariclares:. c() c : F c : c, caso lineal de coeficienes consanes.. c()=: F :, caso casi lineal. 3. c( ), es el caso general. Formlación débil de la ecación de conservación: La F de la ecación de conservación anerior se obiene al savizarla mliplicándola por ( ), es decir, por fnciones básicas o de preba, ( ), qe se definen como fnciones infiniamene diferenciables en el dominio, qe se anlan fera de el:. verifica:. Inegrando la ecación en s dominio de definición: ( F( ) ) ( ) Aplicando el eorema de la divergencia, F( ) ( F( ), ) N, ( ) omo el segndo érmino es cero, nos qeda la F de la ecación de conservación: F( ), ( ) Se compreba qe el nivel de reglaridad eigible a la solción es considerablemene inferior, solo se reqiere la inegrabilidad de de F(). Formlación ébil para dominios con disconinidades finias esá en Nos vamos a ineresar por dominios en los qe eisen sperficies (crvas si se ) qe lo dividen, de forma qe las solciones son diferenes a los dos lados del dominio, los dominios, disinas; es decir, es n dominio en el qe la solción o siendo igales, las derivadas son a lo largo de la crva.

3 Aplicando F a por separado. Sean las crvas por las qe se recorren por s fronera. Sean + - las crvas qe recorren en senido opeso en cada no de los dos dominios en qe se ha dividido el dominio. inegrando se obiene qe: F ( ) ( F ) ((, ) ) ( ) F N e igal para. Para ambos se verifica: (( F, ) N) (( F, ) N ) (( F, ) N ) (( F, ) N) (( F, ) N) (( F, ) N ) a qe φ= en. omo en el inerior de se verifica la ecación de la FF, smando las dos inegrales de línea en + -, resla (([ F( )][ ]) N) ; F F( ) F( ) Por na eensión del Lema Fndamenal del álclo de Variaciones (ca demosración se esdiará en la Lección ) se iene qe ( F ) N,,, por lo qe la geomería de la crva donde se prodce la disconinidad iene qe cmplir, F N N (, ) omo en : N d N d, resla: [ F ] N d [ ] N d Esa ecación nos da la pendiene de la crva de disconinidad, qe se denomina onda de choqe (OH). Los valores de la solción a ambos lados son diferenes. Veamos algnos casos pariclares de inerés:. Si F d (OH) d. Si es conina, pero coincide con la pendiene de la P. d d la pendiene de la OH Ej_c5: Volviendo al ejemplo.

4 (,) f ( ) represenando la disconinidad inicial de f para ver s evolción, la solción de ese f () s s problema, en aqellas pares donde se peda aplicar FF, a vimos qe es: f ( ) Represenando las P: zona 3 zona zona Ya vimos qe en la zona, las P son s, la solción. En la zona, las P son s, la solción. En la zona 3 la solción no es única. d d En el cono de inersección de las dos zonas, la F inrodce na OH dada por o o o OH:. Las solciones de las zonas se prolongan hasa la OH., qe como pasan por el pno OH Zona Zona Proecando la solción en el plano,, para = : o se observa qe el escalón inicial se desplaza a la izqierda con la misma forma velocidad /.

5 U Ej_c5: Si sponemos el PH: 4, (,) 3, El gráfico de la solción será: Figre.6., Onda de hoqe Ondas de Epansión (OE): Tomaremos como ejemplo: Sea la ecación:, R, con la condición inicial: (,), represenando las P > zona zona enre las dos zonas donde esá definida la solción, ha na ercera donde la solción no lo esá, esa zona pede resolverse bajo el pno de visa de la F (la solción iene senido solamene bajo s pno de visa) inrodciendo ondas de epansión, OE, represenadas con líneas disconinas. La zona se reselve inrodciendo na pendiene conina enre los valores de ss eremos para cada no de los perfiles qe definimos de la solción en el plano, a lo largo de n valor de consane: = =

6 Es evidene qe la solción propesa no verifica la FF, para comprobar qe la solción d cmple la F, basa con comprobar qe se verifica: en los lgares donde d no se verifica aqella. La sperficie inegral reslane es de la forma:, (, ),, 3, Ej_c6: Si el PH es 3, (,) 4, Figre.6.5, Onda epansion

7 Ejercicio 3 (,) f ( ), la solción es f ( s) s P f ( ) f < = s f s f s s= s= la solción se divide en res zonas zona zona 3 zona en la inersección enre las zonas aparecerá na O.h, a cada lado de la misma será la correspondiene a la zona o 3 respecivamene; mienras qe enre las zonas 3, al no haber definida na solción, aparecerán O.E. (zona 4) para adapar la solción del valor de la zona al valor de la zona 3. álclo de la O.h enre las zonas d c, como d pasa por el pno (,) c O.. ecación También aparece ora O.h. por la inersección de las zonas 4: O.h, ca será d d 4 ( ) c, como pasa por el pno (-,) inersección de la reca s (con s ) con la O..,c=, para qe la derivada de O.h coincida con la pendiene de O.h en el pno qe se nen Oh zona = (-,) =- O.E. zona =- Oh = zona 3 = Fig. 3 > = <

8 Lo único qe fala por calclar es valor de a ravés de las O.E..Para ello, represenamos la solción a lo largo del valor de < qe se represeno en la fig. - - = =- = La perrbación en, al aravesar la zona, donde =-, hacia la zona 3, donde =, lo hará mediane na reca qe conserve la coninidad del valor de, pero enga na disconinidad en la derivada, al aravesar la zona de O.E.; la ecación de la reca es, el valor de, se obiene de la inersección de con la reca s / s, primera reca de la zona desde la zona. Represenando para =: =- = =- represenando para 3 >: =- 3 = =- Recordar qe odo lo viso sólo es válido para ecaciones de la forma F, (,) f ( )