Técnicas de identificación no paramétricas

Transcripción

1 Tema Técnicas de idenificación no paraméricas. Inrodcción Como se ha comenado en la inrodcción, la idenificación es n méodo de consrcción de modelos basado en experimenos. El caso pariclar de n sisema lineal invariane en el iempo pede ser descrio por s fnción de ransferencia modelos paramèricos o por s correspondiene respesa implso o frecencial modelos no paraméricos. Se consideran modelos no paraméricos a aqellos en qe no es posible definir n vecor de parámeros finio para represenarlo. Esas écnicas, la maoría de ellas más fáciles o direcas de aplicar o ilizar en n proceso real, aporan información m úil para afronar las decisiones qe debe omar el sario ane n problema de idenificación de n proceso, véase la figra.. Como ser expondrá en ese ema, ilizando previamene algnas de dichas écnicas, será posible: considerar nos daos válidos o no, diseñar adecadamene el experimeno, ambién, conocer algnas de las caracerísicas de la esrcra del modelo. Son res las écnicas de indenificación no paraméricas presenadas, concreamene se evalúan las écnicas de análisis de la respesa ransioria, el análisis de correlación enre señales las écnicas frecenciales. Previamene a la descripción de dichas écnicas aparado., se realiza na inrodcción de caracerísicas, propiedades ipos de señales. Como aparado final, se describen herramienas para el diseño adecado del experimeno. Comenar finalmene qe ha méodos en la lierara [Shoens9] qe permien paramerizar n modelo a parir de los reslados obenidos con écnicas no paraméricas. Algnas de ellas se expondrán en le ema 3.. Inrodcción a las señales.. Caracerísicas generales de las señales. Definiciones Previo a describir los ipos de señales de exciación, es necesario definir algnas caracerísicas generales propiedades de las señales. Se define como media, µ,. covarianza,, de na señal esacionaria deerminisa,, a: µ lim lim donde es el número de daos es n enero enre. [ + µ ][ µ ] T. 9

2 Al valor de la covarianza en se la denomina varianza, σ, se caraceriza por ser na fnción par: La energía oal o S de na señal se calcla a parir de la ecación.. S Se define la ransformada de Forier discrea DFT,U ω, de esa señal, como: U ω e para valores de ωπ/,,...,. U ω se caraceriza por ser na fnción de periodo π, por lo ano: U ω+πu ω si es real U -ωconju ω conj eqivale al conjgado complejo. La señal se pede represenar por la inversa de DFT: jω U π e jπ / El valor de U π/ nos informa sobre el 'peso' qe origina la descomposición de la señal a la frecencia π/ por los disinos valores de. S valor absolo cadráico U π/ es na medida de la conribción energéica de esa frecencia en la señal. La relación de Parseval: U π / reafirma la inerpreación qe la energía de na señal pede descomponerse en la conribción energéica de las diferenes frecencias. La densidad especral, Sω, de na señal se define como la ransformada de Forier de la fnción covarianza: iω S ω e π.6 por ser la covarianza na fnción par: S ω π cos ω.7 Se pede esablecer na relación enre el especro la ransformada de Forier discrea de na señal; esa viene dada per la ecación.8. S ω U ω.8 π En general, para realizar na bena idenificación de parámeros es necesario aplicar na señal de enrada frecencialmene rica. Para garanizar qe los algorimos de esimación converjan a na solción única, es necesario imponer nos reqerimienos mínimos en las

3 señales de es. Eso se denomina condiciones persisenemene exciadas persisen exciaion. Se dice qe na variable discrea es persisenemene exciada de orden n si exise el límie: la mariz: lim.9 A n n L L O n. es definida posiiva [Åsröm7] en consecencia inverible. De aqí se dedce qe la condición necesaria para realizar na esimación consisene de n modelo lineal de orden n es qe la señal de es sea persisenemene exciada de orden n. Ora definición de señal persisenemene exciada se encenra en [Södersröm89]. Una señal es persisenemene exciada p.e. de orden n si s densidad especral no es nla en n valores. Si es n escalón de amplid σ: σ para odo la mariz de n es no singlar para n, por lo ano es na fnción p.e. de orden Si es n implso: para odo la mariz de n, no es p.e... Propiedades de las señales periódicas Las señales de exciación peden ser periódicas o no periódicas, las caracerísicas de las primeras se describen a coninación. Si se considera qe es na señal deerminisa periódica con n periodo, - para odo, el valor medio µ la fnción de covarianza, definidos en., iene por expresión: µ lim. T T lim [ + µ ][ µ ] [ + µ ][ µ ] para na señal periódica la fnción de covarianza vale: +. La aniransformada de Forier discrea de na señal periódica pede ser escria, de acerdo con la ecación.4, como: jπ / A e.3 siendo:

4 A j π / e Si es na señal periódica coniene mesras, con κ donde κ es el nmero de periodos, se dedce qe la conribción energéica a les disinas frecencias vale: U ω π κ A, si ω,, ± κ, ± κ, ± L, ± π ω, ± κ, ± κ, ±, ±, si, L.4 La fnción especral de señales periódicas discreas se pede evalar como n conjno de implsos Dirac de cada na de las frecencias presenes en la señal [Södersröm89]: S ω Cδω π.5 donde C es la mariz de coeficienes a deerminar en cada caso peden ser calclados a parir de: γ π C α r γ con α e j..3 Descripción de algnas de las señales de exciación γ Ha disinos ipos de señales de enrada, por ejemplo la fnción implso, fnción escalón, rido blanco o coloreado, señales sinsoidales, rido binario psedo-random PBS, ec. En ese aparado se van a comenar algnas de las caracerísicas propiedades de dichas señales...3. ido blanco coloreado El rido blanco es na secencia de variables random niformemene disribidas de media cero na varianza deerminada. Dado na señal e, e E{ e } e.6 var{ e } e [ e e ] λ Se caraceriza porqe: / e e + cando La mariz.9 nλ I n I n mariz idenidad de orden n, es por ano na mariz definida posiiva para odo n, indicando qe el rido blanco es na señal persisenemene exciada. El ancho de banda de n rido blanco es hipoéicamene infinio, cando se raa de na señal discrea el ancho de banda esa acoado por el nmero de mesras el periodo de mesreo de dicha señal.3.

5 El rido blanco filrado se caraceriza por ener n ancho de banda finio. Se obiene filrando adecadamene el rido blanco. o siendo: + c c m -m e + d e d m e-m.7 Cq - Dq - e Cq - + c q c m q - Dq - + d q d m q - Definimos q - como el operador reardo, por lo ano q - -. A ese ipo de filro se le llama Ao- egresivo de edia óvil AA: si C i A media móvil si D i A ao- regresivo Los pasos a segir para diseñar n filro son:. definir el orden de los polinomios Cq - Dq - ;. fijar el valor de los parámeros; 3. generar na secencia de variables andom; D q 4. calclar: e C q Para garanizar la esabilidad, las raíces del polinomio Cq - debe esar denro del círclo nidad. El ancho de banda de dicho señal será fnción del filro diseñado...3. Secencia binaria psedo-random PBS Es na secencia de plsos recanglares, modlados en amplid, qe se caraceriza por ener dos valores, correspondienes a los niveles lógicos, asignados generalmene a +V V. Es na señal qe en s conenido frecencial, se aproxima a n rido blanco discreo. Se denomina psedo random por el hecho de qe la longid del plso es na variable random. Pede ser generada direcamene a parir de n rido blanco, por ejemplo: es persisenemene exciada en oda s longid. signrandn5,..3.3 Secencia binaria de longid máxima, LBS. Es la señal binaria mas ampliamene ilizada. Se pede generar fácilmene ilizando el desplazamieno de regisros mediane na realimenación apropiada, en la abla. se mesra como generar n LBS según el número de regisros. Un ejemplo de la generación de ese ipo de señales se mesre en la figra., [Södersröm89]. La LBS es na señal periódica de longid: m siendo m el número de regisros a desplazar, de período: T LBS.8.9 3

6 donde es el periodo del reloj qe desplaza los regisros. Tabla.. Generación de la PBS [Landa9] úmero de regisros Longid de la secencia Bis smados,,3 3,4 3,5 5,6 4,7,8 5,9 7, CLK salida, LBS xor Ver qe como mínimo no de los regisros debe ser disino a cero. La fnción de covarianza de esa señal, cando el periodo de mesreo es de T s, considerando el caso en qe T s <, vale [Goodfre8]: Ts V V Figra.. Generación de na señal LBS de 4 regisros T s <, ±, ±, L para los alros valores. La densidad especral calclada a parir de la ecación.6 iene por expresión V V sin ω + ω + sin π π + V S ω V cos ω d + cos ω d para,,3, L. la densidad especral discrea [Södersröm89], calclada con la fórmla.8 vale: donde son los armónicos. S V ω δ ω + + δ ω π. 4

7 La frecencia de los armónicos qeda deerminada por i : f.3 la poencia media del ancho de banda se da aproximadamene.443/ Hz [Evans9]. Por lo ano es posible, ajsando el valor de, cbrir apropiadamene el rango de frecencias del sisema. El especro de esa señal decrece con la frecencia. El diseño de esa señal pede realizarse de la sigiene manera: - se selecciona n valor de qe origine la máxima frecencia de inerés en el pno -3dB - con fijado, se ajsa eniendo en cena dos aspecos, m - f min calclada a parir de la ecación.3 para debe de esar siada en el rango de inerés 3- finalmene se selecciona el número de daos a adqirir en cada cambio de regisros, la frecencia de reconsrcción o de mesreo de la señal será de: número de daos por regisro/. Esa forma de diseño, origina señales con nas caracerísicas m cerradas: - conjnos.443/bw, donde BW represena el valor de la frecencia del proceso a -3dB - > Ts, el iempo de esabilización del proceso. En [Södersröm89] se demesra qe ese señal es persisenemene exciado de orden Señales mlisinsoidales Esa consise en na sma arbiraria de cosenos de armónicos conexos [Evans9] F πf φ A cos + i i i i.4 siendo A i la amplid de cada armónico, F el número de armónicos, φ el vecor de fases f la frecencia, el vecor i pede ser calqier secencia de valores eneros. Esa señal iene na gran venaja respeco a las señales binarias es qe s poencia esá concenrada en n inervalo definido de frecencia. Son señales con n ancho de banda limiada. La hisoria emporal de na señal, pede medirse caniaivamene a parir del facor de cresa, CF, definido en.5 [ees9]. Cando enemos procesos con rido, es necesario qe las señales engan n facor de cresa bajo, de esa forma se consige qe la señal de exciación enga la máxima energía con na amplid acoada. max CF rms.5 A escala comparaiva, diremos qe na señal sinsoidal pro iene n facor de cresa igal a.44, mienras qe en el caso de na señal binaria psedo aleaoria PBS, CF. especo a las señales mlisinsoidals, el valor del facor de cresa depende de la fase de los armónicos. En el caso de considerar fases nlas, el facor de cresa de la señal es alo, CF >. 5

8 Per minimizar el CF de esos ipos de señales, de debe seleccionar cidadosamene la fase de cada no de los armónicos [ees93]. Dos posibles méodos para el diseño de la fase son: A- El méodo propeso por Schroeder. La fase de cada armónico se deermina ilizando la formla: π φ i.6 F donde φ i es la fase del armónico i de la señal, es el nombre del componene, F es el número oal de componenes del especro; los valores de i peden ser disinos si se excle algno de los armónicos de la señal mlisinsoidal. B- El méodo propeso por Gillame, L8. Consise en minimizar el del CF, definido en ese caso por la expresión: l CF.7 l donde l es la norma de Chebshev de la norma l es el valor de S. Se iliza el méodo de Gass-ewon para minimizar el valor de la norma l. Ese méodo iene el inconveniene qe s cálclo es m largo. En el diseño de las señales mlisinsoidales se deben considerar dos aspecos. El primero es qe la señal diseñada debe concenrar oda la poencia en el ancho de banda del proceso esdiado. Y el segndo, es qe debe ener el sficiene número de armónicos para consegir minimizar el CF, cbrir el especro necesario permiir la deección de errores en la modelización. Por oro lado, el hecho de incorporar mchos armónicos es perjdicial ja qe redce la energía de cada es de frecencia, en consecencia, dismine la precisión de la respesa frecencial. La fnción de aocovarianza de na sma de sinsoides,, es na fnción coseno.8, donde el valor de los pesos C i depende del valor de ω i πf i de A, al como se demesra en [Södersröm89]. con: C C i r F Ci i i cos ω Ai si ωi π, π, 3π, L A sin φ si ω π, π, 3π, L i i i i.8 La densidad especral discrea para ω S i π, iene por expresión [Södersröm89]: F Ci ω δ ω ω + δ ω + ω i i i.9 6

9 A parir de la ecación.9 en el inervalo de valores [ π, π ] se dedce [Södersröm89] qe ese ipos de señales son persisenemene exciados de orden: F si < ω, ωf < π F si ω o ωf π F si ω i ωf π.3.3 Análisis de la respesa ransioria Las señales es no periódicas ilizadas para evalar la respesa ransioria son: implsos de diferene amplid de cora dración, fnción escalón fnción rampa. Para seleccionar la señal es adecada, debe enerse en consideración: las propiedades de la señal, la posibilidad de la señal de ser generada aplicada el ipo de información qe se persige del proceso..3. Análisis de la respesa implso La meodología de idenificación denominada análisis de la respesa implso consise en aplicar como enrada al proceso na señal implso. La ecación general ilizada en la represenación de la fnción de ransferencia implso de n sisema es: G q + v g + v en donde Gq - represena la fnción de ransferencia g la respesa implso..3 Cando ese sisema esá sjeo a na enrada implso definida por: α,.33, la salida es: α g + v.34 El valor esimado de los coeficienes de la respesa implso se deermina a parir de: g.35 α con n error de esimación de: v α. Los problemas qe se planean en el análisis de la respesa implso son: qeda resringido al esdio de sisemas esables, dificlades de generar na señal implso, problemas de sincronización enre la enrada el mesreo, dificlades con la amplid de la señal, problemas cando ha saraciones no linealidades, dificlades con las colas del implso debido a s larga dración bajas amplides, gran sensibilidad al rido. 7

10 .3. Análisis de la respesa escalón Un complemeno de la respesa a n implso es la m conocida respesa a n escalón, qe ienen como venaja qe es más fácil de generar. La señal de es se describe como: α, >.36, Aplicada esa al sisema descrio en.3 se obiene qe la salida pede deerminarse mediane: α g + v.37 Pariendo de ella se pede esimar la respesa implso como: g.38 α siendo el error de esimación: [ v v ] α. En mchas aplicaciones prácicas la ilización de la ecación.38 da errores elevados. a mendo es ineresane observar simplemene la respesa a n escalón. El modelo obenido se sa por ejemplo para el diseño de conroladores. Ese méodo permie de forma simple hacer na esimación de n modelo paramérico. Los méodos para la evalación de la respesa escalón se basan en n peqeño nombre de caracerísicas de la fnción respesa. Uno de los méodos más anigos m conocidos es el inrodcido por Küpfmüller, el cal dado n sisema de primer orden con reardo expresado por la ecación diferencial: d T + K.39 d o en forma de fnción de ransferencia: K s G s e.4 + st calcla el valor de los parámeros K, T analizando la respesa escalón de la forma indicada en la figra.. αk T iempo Figra.. Evalación de la respesa a n escalón según Küpfmüller 8

11 Oro méodo, desarrollado por Srejc, realiza la esimación de los valores de los parámeros de n modelo de orden n con la misma consane de iempo reardo: K e s G s.4 n + st i T T g iempo T i T m Figra.3. Evalación de la respesa a n escalón según Srejc Las caracerísicas de la respesa escalón se mesran en la abla. la consane de iempo se calcla mediane: T n. Un méodo más complejo es el propeso por Schwarze el cal permie evalar las respesas escalón rampa para diferenes esrcras de modelos. ás información al respeco se encenra en [ae8]. Tabla.. Valores caracerísicos de la respesa escalón n T g T T T T T g T i T i T m T T T m g

12 .4 Análisis de correlación El análisis de correlación es n méodo basado en n análisis esadísico iene como objeivo esimar la respesa implsional del proceso. Esa, se deermina a parir del análisis de correlación enre la señal de enrada la señal de salida. Las señales es más ilizadas en ese ensao son las secencias de rido blanco o, en la prácica, las PBS..4. Definiciones previas La fnción de convariaza crzada enre dos variables, x se deermina: Cov x con,±,±,... { x, } E{ x x } E { x x + } x x +.4 La fnción de ao correlación se deermina: {, } ρ,.43 σ a qe: σ Var{ } La fnción de correlación crzada se calcla: { x, } ρ x x x x, σ σ.44 Definición: Se dice qe dos señales x no esán correlacionados son independienes con n 95% de confianza sí:.96 P ρx x P x.95 x x.4. Análisis de correlación. Descripción El modelo ilizado en el análisis de correlación es la respesa implso o fnción de pesos definida en.3 o la fnción conina eqivalene. Si la enrada es na secencia casi esacionaria de media nla con: E{ + }.46 asmiendo qe se raa de n proceso esocásico esacionario, la relación eqivalene enre la fnción de covarianza crzada de la enrada con la salida la fnción de ao covarianza de la enrada es:

13 { } { } { } + v E E g E.47 A esa ecación de la denomina ecación de Wiener-Hopf. En el caso en qe la señal de enrada las perrbaciones sean independienes: { } g E g.48 En la prácica, a qe las señales de enrada salida no son infinias, las fnciones de covarianza se esiman a parir de los daos de la sigiene forma: +,, max min,, ±, ±, En esas condiciones, el valor esimado de los pesos de la fnción g pede ser deerminado solcionando la ecación.5 qe consise en n sisema lineal de dimensión finia. g.5 El problema qeda m simplificado en el caso en qe se ilicen señales de es especiales con fnciones de ao covarianza sencillas. Cando se iliza, por ejemplo, n rido blanco como señal de es, sabiendo qe para >, la ecación.5 qeda redcida a: g.5 siendo fácilmene calclable a parir de los daos experimenales. En el caso en qe la señal de exciación no sea n rido blanco, el cálclo de la ecación.5 no es rivial. A coninación se proponen dos méodos para resolverla:. Fnción de pesos rncada o respesa implsional finia FI. En ese caso se considera qe la fnción implso es de orden finio: g para. Para ser ilizado, es necesario qe sea maor qe la consane dominane del sisema. En ese caso na bena aproximación para solcionar la ecación.5 es: g.5 Escribiendo esa ecación de forma desarrollada para,,..., -, se obienen el sigiene conjno de ecaciones lineales: 3 3 g g g g L O L L L.53

14 Las ecaciones aneriores peden ser aplicadas a más de valores de dando lgar a n sisema de ecaciones lineales sobre deerminado.. Aplicando filros. Un segndo méodo propeso seria el de aplicar n filro para blanqear la señal de enrada. Cando ambas señales, enrada salida, son filradas con el mismo filro Lq - F L q.54 F L q las señales filradas presenan la misma relación qe en la ecación.3 g + v.55 F El filro L debe ser seleccionado de al manera qe la señal de enrada F sea lo más parecida posible a n rido blanco. Pede calclarse considerando qe L es n filro A ao regresivo: Aq - e, donde el polinomio AqLq pede calclarse ilizando el méodo de mínimos cadrados expeso en el capílo 3. El orden del polinomio A, na, sele esar comprendido enre 4 8. Se deermina la fnción implsional aplicando la ecación.5 de la forma: g F FF ás dealles sobre el mismo se exponen en [Ljng94]. F F.56 Las propiedades básicas del análisis de correlación son: Al igal qe en el análisis de la respesa ransioria, el análisis de correlación da na rápida información sobre la consane de iempo dominane del sisema del reardo pro. o es necesario ningna enrada en especial. Dan como reslado na abla de daos o na gráfica qe no peden ser ilizados direcamene en simlación. Los reslados obenidos paren del hecho de qe la enrada es independiene de las perrbaciones /o rido, eso limia el so de ese méodo a sisemas sin realimenación anillo abiero..5 Técnicas frecenciales Los sisemas lineales peden ambién definirse a parir de la respesa frecencial Gjω. ienras qe las respesas ransiorias el análisis de correlación ienen por objeivo esimar la respesa implsional, las écnicas frecenciales ienen por objeivo la esimación direca de la respesa frecencial, el cómo a parir de ella se esiman los parámeros de la fnción de ransferencia se abordará en el ema 3. Las écnicas qe se presenan en ese aparadp son el análisis de Forier el análisis especral.

15 .5. Análisis de la respesa frecencial El análisis de la respesa frecencial es n méodo simple para obener información acerca de n sisema lineal. Consise simplemene en describir como se compora el sisema cando esa someido a na enrada senoidal. Al aplicar na señal de enrada definida por: α sinω la respesa del sisema pede describirse como: donde φ ω arg G jω ω + φ + v ransiorio G jω α sin ω Asmiendo qe se pede ignorar el ransiorio considerar solo la respesa esacionaria, la salida del sisema pede ilizarse direcamene para deerminar Gjω. Observando simplemene la señal de enrada de salida, se pede calclar la ganancia el desfase enre ambas señales. La figra.4 mesra como evalar la respesa a na enrada senoidal., T φ φ U Y Figra.4. Evalación de la respesa sinsoidal. La ganancia la fase se obienen: G jω Y Y φ ω π φ T φ Cando el experimeno se repie con disinas frecencias perenecienes al ancho de banda del sisema, el reslado pede dibjarse en forma de diagrama de Bode. Las venajas de ese méodo son: Es fácil de ilizar no se reqiere n procesado difícil de los daos. 3

16 o es necesario hacer ningna sposición sobre la esrcra del modelo, solo considerar qe se raa de n modelo lineal. Es fácil concenrar el esdio del proceso en n rango de frecencias deerminado. Los inconvenienes qe presena ese méodo son: Dan como reslado na abla de daos o n gráfico qe no pede ser ilizado direcamene en simlación. Son necesario largos periodos de prebas si se qiere evalar el valor de Gjω para n gran número de frecencias. Es m sensible al rido presene en el sisema no da ningún valor medio esadísico. En la mojaría de las veces resla difícil deerminar el valor de desfase enre las señales. Para eviar el problema de las perrbaciones, se pede ilizar el denominado méodo de correlación para el análisis de la respesa frecencial. Tal como se mesra en la figra.5, consise en mliplicar la salida del sisema por na señal seno na señal coseno de la misma frecencia qe la enrada del sisema a coninación inegrar las señales obenidas considerando n inervalo específico de medida T m : ω s ω c Tm Tm G jω sinω d T cosω d T La esimación de la amplid de la fase se calcla mediane: αt s ω + c m φ ω arcan c s m m ω + π ω G jω α cosφ ω G jω α sin φ ω ω α sin ω Proceso v Generador de señales sin ω cos ω Figra.5. Análisis de la respesa frecencial con écnicas de correlación S C Para minimizar el efeco de las perrbaciones, la dración de las medidas T m debe ser siempre n múliplo del periodo de la señal de es. En el mercado ha eqipos qe ilizan ese méodo para realizar el análisis frecencial. El principal inconveniene de ese méodo radica en el hecho de qe en la maoría de procesos indsriales no es posible aplicar na señal senos como enrada en operación normal, al igal qe el méodo anerior, reqiere 4

17 repeir los experimenos para mchas frecencias, hecho qe en mchos casos lo hace inviable..5. Análisis de Forier Se dice qe na señal,, es de energía finia sí: d < o T T <.63 Si la enrada iene energía finia, es posible deerminar la fnción de ransferencia frecencial ilizando la ransformada de Forier de las señales de enrada salida: Y ω Y ω G iω U ω Giω.64 U ω En el caso de ener acceso a daos en n inervalo de iempo finio <<S, la ransformada de Forier de las señales se deermina mediane: Y S S jω jω S ω e d, US ω e d.65 por lo ano, la esimación de la fnción de ransferencia empírica ETFE se deermina con la ecación: Y G S jω U S S ω ω.66 En el caso en qe se disponga de daos mesreados: T, T para,...,, se pede ilizar para el cálclo de la ransformada de Forier discrea: Y S jω T jωt ω T T e U S ω T T e.67 siendo T el periodo de mesreo S/T. Cando la frecencia iende por valor ωr π/, para r,...,-, se ajsa a na poencia de dos, es posible ilizar la FFT para esimar los valores de Y S ω U S ω. El sigiene eorema nos permie evalar las propiedades de la ETFE. Teorema.: Considerando qe n sisema iene por expresión g d + v.68 asmiendo qe: c g d cg se dedce qe [Ljng94] 5

18 c. cg VS ω G jω G jω + S.69 U S ω U S ω Para inerprear el reslado se deben hacer sposiciones respeco a la señal de enrada. Caso. Enrada periódica S es n múliplo del período: - ETFE esá definida per n número fijo de frecencias. - A esas frecencias la ETFE converge al valor real s varianza decrece en fnción de /. Caso. La enrada es na señal no periódica: - La ETFE converge asinoicamene a la fnción de ransferencia cando se incremena el número de daos, a maor S maor número de frecencias evaladas. - La variancia de ETFE no decrece al incremenar S, esa se maniene consane e igal a la relación señal/rido para cada frecencia. Enre las venajas e inconvenienes del análisis de Forier desacan: Es n méodo fácil e eficiene, especialmene cando se aplica la FFT. Permie na bena esimación de Gjω cando la enrada es na señal periódica. Para señales no periódicas la fnción obenida es m flcane..5.3 Análisis especral El especro de na señal o periodograma, Φ ω, se pede inerprear como na media de s conenido frecencial se define como: Las propiedades de los periodogramas son: Φ ω / Uω.7. Una señal pramene senoidal presena picos en ese diagrama.. Con oros ipos de señales el reslado obenido es m flcane. 3. Savizando visalmene los reslados obenidos pede obenerse, a parir de ese análisis, na idea del conenido frecencial de la señal. Dado na señal obenida de n proceso esocásico con na densidad especral Φ ω, el valor esimado de Φ será: Φ ω Φ ω +.7 siendo el ermino residal, responsable de las flcaciones. Ese érmino se caraceriza por ener n valor medio nlo na variancia qe depende del ipo de señal pede ender a cero a medida qe se amena. Como reslado de aplicar la ransformada de Forier al modelo represenado por: se obiene: Gq+v.7 YωGjωUω+Vω.73 6

19 Considerando qe las señales v son independienes, al mliplicar la ecación.73 por el érmino Uω se obiene la ecación.74 con la cal es posible esimar la fnción frecencial.75. Y, al mismo iempo, como reslado de elevar al cadrado la ecación.73 se obiene la ecación.76 qe hace posible esimar el especro de la perrbación.77. Φ ω G iω Φ ω La esimación de la fnción especral se realiza mediane:.74 Φ G iω Φ ω ω.75 El análisis del especro de las perrbaciones se obiene: Φ ω G iω Φ v ω Φ Φ Φ ω + Φ Φ ω Φ ω L L ω v ω Φ ω ω Para aplicar la ecación.75, debe deerminarse en primer lgar el especro de la señal de enrada el especro crzado enre las señales. Se ha viso en.7 qe el especro iene asociado n érmino residal, por lo ano para realizar na bena esimación de la fnción de ransferencia del sisema será necesario redcir ese érmino. En la bibliografía ha disinos méodos para redcir la variación o érmino resido del especro de na señal, aqí se describen dos de ellos por ser los ilizados en el programa ATLAB.. éodo de Welch pwelch de ATLAB Consise en descomponer la señal en L segmenos de longid siendo na poencia de dos con n ano por cieno de solapamieno, deerminar el especro de cada no de esos segmenos hacer n promedio enre los reslados obenidos. Con ello se redce el facor a cosa de redcir la resolción especral.. èode de Blacman-Te.78 Ese méodo consise en redcir las flcaciones haciendo n promedio enre n nombre deerminado de frecencias vecinas. π Φ ω Wγ ω ξ Φ ξ dξ donde: W γ ω es na fnción venana cenrada /γ describe la longid de la venana. π.79 Ora forma disina a la ecación.7 para calclar el especro de na señal consise en ilizar la fnción varianza: 7

20 Φ Φ ω T T e γ γ iωt Por lo ano la ecación.8 pede ser expresada ambién como: ω T W T e γ iω T.8.8 Las eapas qe proponen Blacman-Te para esimar el especro de na fnción son: a Definir el ipo de venana. En general para el análisis especral se sele ilizar la venana Hamming: ω γ ½ +cosπ/γ < γ ω γ γ b Deerminar la longid de la venana. Ese valor es n compromiso enre la resolción especral maor γ menor resolción la variancia a maor γ maor varianza. Cando se desean deerminar picos de resonancia son necesarios valores grandes de γ, comporando n ameno de la varianza. Cando se desea evalar n especro llano se ilizan valores peqeños de longid de venana. c Calclar para,..., γ d Deerminar Φ $ ω a parir de la ecación.8. El especro crzado enre las señales de enrada salida se deerminan a parir de: γ Φ ω l W l e lγ γ i lω.8.6 Diseño de los experimenos Para ilizar debidamene los méodos de idenificación es necesario, siempre qe sea posible, diseñar adecadamene el experimeno. Para ello es necesario disponer de nos conocimienos básicos sobre el comporamieno del proceso, seleccionar las señales de enrada,... enre oras. Esa información pede obenerse realizando na serie de experimenos básicos sencillos conocidos con el nombre de experimenos preliminares..6. Experimenos preliminares Los experimenos preliminares permien obener información básica del comporamieno del sisema. Se conocen con ese nombre los sigienes ipos de ensaos: a Los experimenos de fncionamieno libre free rn experimens consisen en analizar los daos correspondienes al fncionamieno normal del proceso. Por lo ano, no se reqiere ningna acivación específica de las enrada. Ese ipo de experimenos permie deerminar las caracerísicas de las perrbaciones qe afecan a la salida del proceso el rido inherene en las señales capradas. b El experimeno en escalón saircase experimen es úil para observar el grado de linealidad del proceso esdiado. Consise en aplicar, a na de las enradas seleccionadas, n es con escalones scesivos, el inervalo de iempo de cada no de los cambios del escalón debe ser sficiene para esabilizar el sisema. El es de linealidad, en esado 8

21 esacionario, consise en: seleccionar de los daos de enrada salida los pnos de eqilibrio, ajsar a los mismos n polinomio de segndo o ercer orden 3 observar el valor de los érminos de maor orden del polinomio ajsado; en el caso de qe esos érminos sean m significaivos implica qe el proceso iene n gran componene de no linealidad. Para eliminar dicha no linealidad, pede precompensarse los daos del proceso ilizando el modelo inverso del polinomio. En el caso de qe no sea posible aplicar na señal escalonada al proceso écnica no paramérica expesa en el aparado.3., por moivos écnicos o económicos, si qe se acepa habialmene la ilización de n escalón simple, en ese caso solo será posible esimar la consane de iempo más relevane del proceso esdiado. c Los experimenos con rido blanco whie noise experimen peden ser úiles para deerminar el ancho de banda los reardos del proceso. Ese ipo de experimeno se caracerizan por exciar el proceso mediane n rido blanco. Con los daos reslanes de dicho experimeno pede realizarse el esdio especral /o el análisis de correlación [Zh93], écnica ambién no paramérica descrias aneriormene. Oros ipos de señales a ilizar en la realización de dicho experimeno son señales con el ancho de banda limiado como la PBS psedo random binar seqence o senoides múliples esas señales se describen en el próximo aparado. d Finalmene, se menciona la écnica de la respesa frecencial del proceso realimenado con n relé con hiséresis [Åsröm88]. Ese méodo consise en conecar el proceso de la forma indicada en la figra.6. Dando lgar, en la maoría de los procesos, a na onda cadrada a la salida del relé na onda aproximadamene sinsoidal a la salida del proceso. Esa écnica es m úil para deerminar las caracerísicas fndamenales del sisema en el caso en qe, por los moivos qe sea, no peda operarse en lazo abiero. sp e Gs Figra.6. Diagrama de bloqes de n proceso realimenado con relé Como reslado de descomponer en serie de Forier la señal de salida del relé considerando solo el primer armónico, se obiene qe la ecación descripiva del relé con hiséresis es [Coo86]: - 4A h A A j πa A h.83 siendo, A la amplid del relé; A la amplid de oscilación de la salida; h la hiséresis del relé. Dado n proceso qe iene por fnción de Gs, las condiciones de oscilación se dan cando: A G iω.84 9

22 qe corresponde al caso en qe la fnción de ransferencia avalada en el campo frecencial, Gωj, inercepa con -/A, figra.7. La ecación.84 se obiene a parir del reqerimieno qe na onda sinsoidal de frecencia ω se propaga a ravés del anillo realimenado con la misma amplid fase. Imaginario - eal -/A - Gωj Conocido el valor de A, pede esimarse n pno de la respesa frecencial, qe coincida con la plsación de oscilación ω h. El módlo la fase de ese pno se deerminan a parir de la ransformada de Forier de las señales: G iω h Figra.7. Diagrama de qis. ωh ω Y K U h G i aan Y ωh arg ωh φh U ωh La información sobre la consane de iempo del proceso esdiado se obendrá considerando qe ss caracerísicas se ajsa a na deerminada fnción de ransferencia. La fnción de ransferencia ilizada por la maoría de los aores es: h.85 G s Ts + e Ls.86 siendo la ganancia, T la consane de iempo del proceso L el reardo pro. Igalando las ecaciones.85 con el módlo la fase de la fnción de ransferencia.86 se obienen dos ecaciones con res incógnias: T, L. Kh T ω +.87 φ aan Tω Lω h h h h La solción se alcanza realizando n segndo experimeno con n valor h, hiséresis del relé, disino. Procesando adecadamene las ecaciones aneriores, se obiene qe la 3

23 consane de iempo la ganancia del sisema peden calclarse a parir de la ecación.88. T K K h h ω ω h h.6. Diseño selección de las señales de enrada Las variables de salida del proceso selen qedar definidas al formlarse el problema de modelación, por ejemplo la variable a conrolar o a predecir simlar. o scede lo mismo con la variable de enrada, en general sele haber varias variables de enrada por lo ano se planea el problema de seleccionar cal/es de ellas son las adecadas para consegir los objeivos propesos. Además del problema de la selección, ha oro aspeco a ener en cena consise en deerminar la amplid de la señal de exciación..6.. Selección de las señales de enrada A la hora de seleccionar cal o cales son las variables de enrada para el conrol o la predicción, ha algnas consideraciones qe deben enerse en cena: La selección de la enrada esa m inflenciada por la amplid por como incide en el rango de la salida. En el caso de ener como objeivo el conrol, la variable de enrada debe ser maniplable. 3 La fnción de ransferencia salida/enrada debe ser lineal o linealizable las no linealidades peden ser compensadas por ejemplo sando n lazo cerrado sencillo. 4 Las enradas medidas pero no maniplables peden ilizarse como señales de enrada en el proceso de idenificación eso implica qe el número de enradas a ilizar en la idenificación podrá ser maor qe en el conrol. 5 La ilización de la experiencia de los operadores de proceso el conocimieno qe se enga sobre el mismo son esenciales para la elección de la enrada. Uno de los objeivos de los experimenos preliminares será el de adar a la selección de la señal/es de enrada..6.. Diseño de las señales de enrada El diseño de las señales de enrada involcra dos aspecos: la deerminación de la amplid la selección de la forma. En el caso de la deerminación de la amplid de la señal de es se debe ener en cena: K K h h.88 Debe esar resringida por el rango de variación permiido. Por razones de segridad económicas, no es posible inrodcir grandes flcaciones en el proceso. En la prácica mchos procesos son no lineales los modelos lineales son solo na aproximación. Una linealización de na dinámica no lineal será válida solo en na ciera región. Para esimar los parámeros de n modelo lineal, na amplid m grande en la señal de enrada no será úil. Pero, por oro lado, con na amplid maor en la enrada se obiene na mejora en la precisión del modelo esimado, por ejemplo la precisión de n parámero en érminos esadísicos es inversamene proporcional a la energía de la enrada. Eso es lógico a qe al amenar la relación señal/rido incremena por lo ano las perrbaciones o 3

24 ridos ienen na inflencia menor. Un crierio sencillo para conocer cal debe ser la amplid mínima será el de bscar qe el efeco de la enrada respeco a la salida sea percepible visalmene. Oro aspeco qe no debemos despreciar, es qe la amplid de la señal de enrada esa m inflenciada por la frecencia de dicha señal, por lo ano la medida del facor de cresa, max max, min / rms es ambién imporane. Para na amplid dada, la energía de la enrada inp power es proporcional a /facor de cresa. El rango de frecencias conenido en la señal exciación es ambién n elemeno imporane a ener en cena. En fnción de las caracerísicas del proceso, como pede ser la consane de iempo, el rango de frecencias más adecadas pede deerminarse mediane:. f min πt.89 5 < f max πt πt.6.3 Selección del período de mesreo la dración del experimeno Para la idenificación de modelos en iempo discreo el periodo de mesreo deber ser seleccionado correcamene anes de empezar el experimeno, a qe na vez almacenados los daos ese no pede ser modificado. Al operar con daos mesreados, es ineviable qe se pierda información sobre el proceso, por ello es necesario seleccionar la frecencia de mesreo para qe dichas pérdidas sean insignificanes. En la maoría de los casos las mesras se adqieren a insanes eqidisanes de iempo. Para seleccionar el periodo se deben ener en cena las sigienes consideraciones: En mchos casos el periodo de mesreo viene definido por la aplicación final. Por ejemplo el insrmeno de conrol a ilizar, los insrmenos de medida, el ipo de algorimo de conrol,..., limian en mchos casos el periodo de mesreo. La pérdida de información debida al periodo se explica mejor en el dominio frecencial. Es bien conocido qe na señal sinsoidal con na frecencia maor qe la miad de la frecencia de mesreo denominado frecencia de qis no pede, al ser mesreda, disingirse de ora por debajo de ese periodo. Consecenemene, la pare del especro de la señal qe corresponde a alas frecencias será inerpreada como na conribción a bajas frecencias, denominado fenómeno alias. Eso ambién significa qe el especro de na señal mesreada será la sperposición de diferenes pares del especro inicial. La información acerca de las frecencias speriores a la frecencia de qis se pierde en el mesreo. La disorsión prodcida por el efeco alias, pede ser redcida ilizando n filro anialias. El ancho de banda del filro deberá ser mcho menor qe la miad de la frecencia de mesreo. El diseño del filro depende del orden de la frecencia de core. Una manera de deerminar la frecencia de core es aplicando la fórmla: f core f max + f s / - f max /. 3

25 Es prácico aplicar el mismo filro en las señales de salida enrada. Al disminir el efeco alias, se incremena la relación señal/rido. Asmiendo qe la dración del experimeno es fija, pede ser úil aplicar n periodo de mesreo lo más alo posible, de esa manera se dispone de mas daos. Si el nmero oal de daos a adqirir qe es fijo, el periodo de mesreo no debe ser m grande ni m peqeño. El primer caso hace qe los daos conengan m poca información acerca de las dinámicas a ala frecencia el segndo caso hace qe el rido endrá mcha inflencia. Una regla a aplicar pede ser enre 5 o m frecenemene alrededor de el iempo de esabilización del proceso. Es mchas veces peor seleccionar n periodo de mesreo demasiado grande qe demasiado peqeño. Conocida la f max del sisema, en [Ogaa87] se propone como fórmla para deerminar el periodo de mesreo: 8 f max f s f max. Tiempos de mesreo m peqeños peden provocar problemas prácicos: odos los polos esarán siados alrededor de en el plano z el modelo deerminado pasará a ser nméricamene m sensible. En mchos casos el modelo reslane de n mesreo rápido, será de fase no mínima a pesar de qe el proceso conino sea de fase mínima, en el caso de n proceso con reardo, ese, debe ser modelado con mchos daos de reardo casando dificlades, por ejemplo, en el diseño de conroladores. La dración del experimeno afeca ano en la precisión de los parámeros, el cal es inversamene proporcional a la dración del experimeno, como a la resolción especral. Una regla a ener en cena es qe la dración del experimeno debe ser maor a 5 veces la maor consane de iempo del sisema qe se desea idenificar. Oro aspeco a ener en cena es el rango de frecencias analizado, ese debería ser de dos o res décadas. Finalmene, la dración del experimeno debe ener en cena el cose de la realización del experimeno. Un aspeco imporane a considerar, cando se san señales periódicas, es qe la dración del experimeno debe cbrir n número compleo de periodos o secencias..6.4 Preraamieno de los daos Una vez se dispone de los daos es necesario realizar n raamieno previo de los mismos, anes de ser ilizados en los algorimos de idenificación. Ha disinas deficiencias en los daos adqiridos qe deben ser corregidos: Perrbaciones de alas frecencias en los daos; Ocasionales daos esprios /o olvidados, Derivas, offse perrbaciones a bajas frecencias, Los valores nméricos de las disinas señales no ienen el mismo orden de magnid, Presencia de iempos de ranspore o reardo imporanes. 33

26 Despés de adqirir los daos, lo qe debe hacerse es visalizarlos con el objeivo de inspeccionar analizar si ha algún ipo de deficiencias en ellos. Segidamene con el objeivo de solcionar el problema, peden aplicarse algno de los raamienos comenados a coninación.. Perrbaciones a alas frecencias. Las perrbaciones a alas frecencias de los daos adqiridos indican qe el periodo de mesreo /o el filro previo al mesreo no han sido convenienemene seleccionados. Si el periodo de mesreo es innecesariamene peqeño, los daos peden volverse a mesrear omando na mesra de cada x mesras de los daos iniciales. En ese caso, anes del nevo mesreo, debe aplicarse n filro anialias.. Daos esprios olvidos. Los daos esprios olvidos ienen na gran inflencia en el reslado de la esimación. Es por lo ano necesario eliminar los daos incorrecos e inserar daos en los iempos en qe ha habido errores de adqisición. Las eapas a segir para deerminar esos problemas son: Fijar, ilizando el conocimieno previo, n valor de la amplid de la señal qe no sea propia del sisema real; Calclar la desviación esándar de la señal; Inerpolar odas las mesras de la señal original qe engan na amplid sperior o inferior al rango fijado definido por los valores no posibles o como múliplo de la desviación esándar. Ha algorimos qe permien deecar los fallos en la adqisición de daos. De odas formas, se debe ser m prdene para no falsificar los daos originales. 3. Perrbaciones lenas offse, endencias, derivas. Ese ipo de perrbación es m frecene en los daos. Ellas selen ser debidas a casas exernas en la maoría de los casos se prefiere no inclirlas en el modelo. Ha, básicamene, dos formas de eliminar el problema: Eliminando las perrbaciones mediane n raamieno de los daos; Definiendo adecadamene el rido del modelo eniendo en cena las perrbaciones La primera aproximación implica ssraer direcamene las endencias offse. En la prácica las écnicas qe se aplican para ello son: a Linealizando el modelo alrededor de n pno de eqilibrio, :.9, siendo n pno de eqilibrio físico, las señales medidas. b Parecido al caso anerior pero ssraendo el valor medio de las variables medidas.. c El offse pede ser esimado de forma explícia exendiendo el modelo ilizando las variables originales A q B q + α + v.9 donde α indica el offse. 34

27 En el caso de endencias o derivas na alernaiva a la ecación.9, es sbsiir el valor medio de las señales por na reca de pendiene definida por la endencia de las señales o na crva en el caso en qe la deriva no sea consane en el iempo. Una segnda aproximación es considerar α como pare del rido del modelo. En el caso más sencillo eso corresponde a diferenciar los daos.9 lego ilizarlos en la idenificación, pero el modelo reslane de la ilización de esos nevos daos amplifica las alas frecencias, por ello no pede ser ilizado en mchas aplicaciones Escalado de las variables. En los procesos indsriales no odas las variables de enrada salida son de la misma magnid. Ese problema es imporane cando se evalúa la fnción de sisemas mlivariables. El problema pede ser eliminado corrigiendo adecadamene el offse el escalado. 5. Tiempos de reardo. En mchos procesos indsriales, los iempos de reardo no son despreciables es m imporane describir correcamene el reardo del proceso en el modelo. En los méodos de esimación de parámeros, el reardo es raado como n desplazamieno emporal de las enradas respeco a las salidas. Una de las señales es ilizada como referencia la ora es desplazada en el iempo para compensar el reardo. Usalmene, es la enrada la señal desplazada, por ejemplo en el caso de n reardo d: d q d.93 Uilizando la variable desplazada, el modelo pede ser esimado mediane los méodos esándar. Bibliografía adicional sobre el ema Bibliografía adicional sobre el ema [Åsröm7] K.J. Åsröm and P. Ehoff. Ssem Idenificaion A Srve. Aomaica, Vol. 7 pp Pergamon Press, 97. Grea Briain. [Evans9] D.C. Evans, D. ees, D.L. Jones. Design of es signals for idenificaion of linear ssems wih nonlinear disorion. IEEE Trans. on Insrmenaion and easremen, 6, 6, p , 99. [Fasol8] K.H. Fasol, H.P. Jorgl. Principles of models bilding and idenificaion, Aomaica, 6, p.5-58, 98 [Godfre8] K.. Godfre. Correlaion mehods. Aomaic, 6, p , 98 35

28 [Iserman8]. Iserman. Pracical aspecs of process idenificaion, Aomaica, 6, p , 98 [Johansson93]. Johansson. Ssem modeling and idenificaion. Prenice Hall, 993 [Landa9] I.D. Landa. Ssem idenificaion and conrol design, Prenice Hall, 99. [Ljng87] L.Ljng. Ssem idenificaion Theor for he ser, Prenice Hall, 987. [Ljng94] L.Ljng and T.Glad. odelling of dnamic ssem, Prenice Hall, 994. [Ogaa87]. K. Ogaa. Discree-ime Conrol Ssems. Prenice-Hall Inernaional Ediions, Unied Saes. [Södersröm89] T. Södersröm, P. Soica. Ssem idenificaion, Prenice Hall, 989. [ae8] H.ae. Sep response and freqenc response mehods, Academic Press, 994. [Zh93] Y. Zh, T. Bacx. Idenificaion of mlivariable indsrial processes for simlaion, diagnosis and conrol, Springer-Verlag,