VISCOSIDAD. Respuesta. Ejercicio 1 PROBLEMAS VISCOSIDAD / M2 / FISICA

Transcripción

1 VISCOSIDAD Ejercicio 1 Por el dispositivo que se esquematiza fluye un líquido ideal. Sabiendo que el diámetro del tubo 1 es dos veces el diámetro del tubo 2, indique: a) Cuál será la relación entre energías cinéticas en el punto A y en el punto B? b) Cuál será la relación entre las presiones en el punto A y el punto B? c) Obtendría los mismos resultados si el líquido fuera viscoso? En caso de una respuesta negativa, cómo serían dichas relaciones con respecto a las obtenidas para el fluido ideal? A B 15 cm 7.5 cm Respuesta a) Como sabemos por la ecuación de Continuidad, el caudal en el punto A es igual al caudal en el punto B, por lo cual podemos plantear: Como la sección del tubo es y Por lo tanto Remplazando en la ec. de continuidad Vemos entonces, que como el caudal se conserva, si el radio de la sección B es la mitad del radio de la sección A, la velocidad en B será 4 veces mayor que la velocidad en A. Cátedra de Física-FFYB-UBA [1]

2 Como Energía cinética es y Remplazando v B por 4 v A, nos queda: b) El teorema de Bernoulli establece que, para fluidos ideales, la energía total de un fluido por unidad de volumen, se conserva en todos los puntos del fluido. Por lo tanto, dado que en el fluido existen 3 tipos de energía (presión, E cinética y E gravitatoria), si una de ellas aumenta, alguna de las otras tendrá que disminuir para que la sumatoria permanezca constante y de esta manera cumplir con lo establecido por el teorema de Bernoulli. En este caso la energía gravitatoria no se modifica porque los puntos están a igual altura, por lo tanto al aumentar la velocidad en el tubo B, la presión en ese tubo deberá disminuir para compensar ese incremento de energía cinética. Planteamos entonces la ecuación Bernoulli en ambos puntos: El término h x ρ representa la energía gravitatoria en cada punto, y como ambos puntos están a la misma altura dichos términos son iguales y pueden simplificarse. Si además reordenamos la ecuación de manera tal que queden las presiones en un miembro y las Ec en el otro no queda: Como vemos la diferencia de presión entre los puntos A y B será numéricamente igual a la diferencia de energía cinética entre esos puntos. No podemos hallar la relación entre la presión en A y la presión en B con los datos que tenemos, solo podemos decir que la presión en B será menor que en A y que la disminución de la presión será igual al incremento de la energía cinética entre esos puntos. c) La relación entre las Energías cinéticas será la misma, porque la ecuación de continuidad se cumple tanto para fluidos reales como ideales. El planteo para fluidos reales viscosos sería exactamente el mismo que el realizado en el ítem a). Los valores absolutos de la E ca y de la E c B serán menores cuando circula un fluido real comparada con las E c cuando circula un fluido ideal, pero la relación entre ambas será Cátedra de Física-FFYB-UBA [2]

3 En cambio, para la presiones el planteo es ligeramente diferente. Acá también se cumple que si el líquido aumenta de velocidad como consecuencia de la disminución de la sección del tubo, la presión en el tubo B disminuirá para compensar dicho aumento de energía cinética, pero además hay fricción, por lo que la presión disminuirá aún más como consecuencia del trabajo de las fuerzas de rozamiento. Si el fluido es real, no hay conservación de la energía, por lo que la ecuación de Bernoulli no puede ser planteada tal como lo hicimos en el ítem b), debemos agregar un término al segundo miembro de la ecuación: el término de trabajo de las fuerzas de rozamiento por unidad de volumen. Simplificando los términos de E gravitatoria y reordenando tal como hicimos en el ítem anterior nos queda Por lo tanto como vemos en la ecuación anterior, la presión en B será menor que A, por dos motivos: a) para compensar el aumento de Ec en B y porque se gastó energía para vencer a las fuerzas de rozamiento en el tramo comprendido entre los puntos A y B. Ejercicio 2 El esquema muestra un tanque y un sistema de dos tubos horizontales A y B de radios 2 cm y 1 cm respectivamente. Sabiendo que el coeficiente de viscosidad del líquido es 1.0 p y su densidad 1.00 g/cm3: a) Calcule la velocidad del líquido en el tubo A si la velocidad de salida por el tubo B es de 200 cm/s b) Cuál es el nivel del líquido en el tanque ( H )? c) Indique la altura de líquido en los todos los manómetro gráfica y numéricamente. d) Cuál sería la velocidad de salida si el líquido fuera ideal? e) Indique la altura de líquido en todos los manómetros para el fluido ideal. Cátedra de Física-FFYB-UBA [3]

4 Respuesta La resolución de este tipo de ejercicios debe encararse teniendo en cuenta las 3 leyes principales de la hidrodinámica: La ecuación de continuidad El teorema de Bernoulli modificado para fluidos reales La ley de Poiseuille a) En este ítem se pregunta cuál es la velocidad en el tubo A y dan como dato la velocidad en el tubo B, por lo tanto lo que corresponde es aplicar la ecuación de continuidad y calcular dicha velocidad: Como el radio de A es 2 cm y el radio de B es 1 cm, remplazamos en las ecuaciones anteriores y calculamos la velocidad en A b) Para calcular la altura de líquido en el tanque vamos a plantear la ecuación de Bernoulli modificada para fluidos reales. Para ello debemos elegir 2 puntos del sistema, en este caso los más convenientes son: 1 en la base del tanque, inmediatamente antes de la entrada al tubo A, y 2 en el extremo de salida del tubo B. (Ec. A) Los puntos 1 y 2 están a la misma altura respecto de un nivel de referencia (en este caso lo hemos tomado en la base del tanque), por lo tanto los términos de E gravitatoria se pueden simplificar. Por otro lado, la corresponde a la velocidad del líquido en el tanque. Teniendo en cuenta que la sección del tanque es mucho mayor que la sección del tubo A, la velocidad del Cátedra de Física-FFYB-UBA [4]

5 líquido en el tanque será muchísimo menor que la velocidad del líquido en dicho tubo (Ecuación de continuidad) y muchísimo menor aún que la velocidad en el tubo B. Por lo tanto, la E cinética en el punto 1 se puede considerar despreciable respecto de la E. cinética en el punto 2 y el término. se puede simplificar. Teniendo en cuenta estas consideraciones, la ecuación anterior no queda: Ahora bien, sabemos que: (Ec. C) (Ec. B) Por ejemplo, si la H del tanque fuera 20 cm (10 veces mayor que el diámetro A), la velocidad en el tanque sería 100 veces menor que la velocidad en el tubo A y 400 veces menor que la velocidad en B. La E. cinética en 1 será veces menor que E. en el punto 2. (Ec. D) Remplazando y simplificando, nos queda: (Ec. E) Por otro lado, el trabajo de la fuerza de rozamiento por unidad de volumen se calcula, si el régimen es laminar, a partir de la ley de Poiseuille que nos permite calcular la pérdida de presión que se genera como consecuencia de la fricción en un tramo de cañería de longitud l, radio r para un líquido de viscosidad y que circula con una velocidad v. (Ec. F) Además sabemos que (Ec. G) Si remplazamos el valor de Q en la ecuación (G), nos queda la ley de Poiseuille expresada en relación a la velocidad: (Ec. H) En este sistema tenemos 2 tramos de cañería con radios diferentes, por lo que el trabajo total de la fuerza de rozamiento será la suma del trabajo de la fuerza de rozamiento en cada tramo. Cátedra de Física-FFYB-UBA [5]

6 (Ec. I) Remplazando la ecuación I en la ecuación E, nos queda El peso específico, la densidad, el radio A, el radio B, la longitud A, la longitud B, la velocidad A, la velocidad B y el coeficiente de viscosidad son datos que conocemos. Remplazando v a, v b, r a, r b, l a, l b, η, δ y ρ por sus respectivos valores podemos calcular H que es la altura de líquido en el tanque. H= cm c) El líquido es viscoso, por lo tanto la presión irá disminuyendo a lo largo del tubo como consecuencia del trabajo de la fuerza de rozamiento. La cantidad de presión que se pierde en un tramo de cañería queda determinado por la ley de Poiseuille. Esta ley nos permite calcular la diferencia de presión entre dos puntos. Para calcular la presión absoluta en un punto determinado de la cañería, necesitamos tomar un punto de referencia en el cual conozcamos la presión. En este caso podemos partir tanto del punto 1 como del punto 2 considerados en el ítem, ya que conocemos cuanto vale la presión en cada uno de ellos. En el punto 1 la presión es igual a la presión atmosférica más la presión ejercida por la columna de líquido en el tanque y en el punto 2 la presión es igual a la presión atmosférica: El cálculo resulta más corto si partimos del punto 2. Cátedra de Física-FFYB-UBA [6]

7 Manómetros 6 y 5 La presión absoluta en el punto 6 será: La diferencia de presión entre los puntos 2 y 6 podemos calcularla con la ley de Poiseuille Los manómetros indican la sobrepresión qué hay en un punto determinado respecto de la atmosférica. A esta presión se la conoce como presión manométrica y es igual al producto de la altura de la columna de líquido en el manómetro por el peso específico del líquido. La presión en el punto 2 es igual a la presión atmosférica, por lo tanto la altura de líquido en un hipotético manómetro 2 sería igual a cero. La altura de líquido en el manómetro 6 será la equivalente a una presión manométrica de 8000 barias. Entonces la altura podemos calcularla como: 8,16 cm El mismo razonamiento podemos emplear para calcular la altura en el manómetro 5, solo que ahora la longitud será 15 cm (respecto del punto 2) 24,48 cm La altura de líquido en el manómetro 5 también podría calcularse partiendo del punto 6, cuya presión manométrica acabamos de calcular te animás a comprobarlo? Cátedra de Física-FFYB-UBA [7]

8 Manómetro 4 El cálculo de la altura de líquido en el manómetro 4 no es tan sencillo (tampoco es demasiado complicado). La diferencia de altura entre el manómetro 4 y 5 es consecuencia de dos fenómenos, por un lado, la pérdida de presión debida a la fricción (como en los casos anteriores) y por el otro, al cambio de sección de los tubos. La sección del tubo A es mayor que la del tubo B, por lo que el líquido se acelera al pasar del tubo A al B. El aumento de energía cinética es compensado por una disminución de la presión en el tubo B (Teorema de Bernoulli). Planteemos el teorema de Bernoulli para fluidos reales entre los puntos 4 y 5: Como ya explicamos más arriba, los términos de energía gravitatoria se pueden simplificar. Haciendo eso y reordenando nos queda: Diferencia de presión debida a la diferencia de energía cinética entre 5 y 4 ( Diferencia de presión debida a la fricción ) Veamos cada por separado: : Cátedra de Física-FFYB-UBA [8]

9 : Para calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento tenemos que desdoblar este término en 2 porque tenemos dos tramos de cañería con diferente radio, por lo que la pérdida de presión debida a la fricción en cada tramo será diferente ya que tienen distinto radio y el líquido circula por cada uno de ellos a distinta la velocidad. Por lo tanto, el será Y la diferencia de altura en los manómetros será: cm cm P cinético P fricción La altura de líquido en el manómetro 5 ya la hemos calculado, entonces la altura en el manómetro 4 será: Cátedra de Física-FFYB-UBA [9]

10 Manómetro 3 La altura de líquido en el manómetro 3 será mayor que en el manómetro 4 y se puede calcular utilizando la ley de Poiseuille, tal como lo hicimos para los manómetros 5 y 6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA El ejercicio ahora nos pide que calculemos la velocidad de salida y las alturas en los manómetros considerando que el líquido que fluye en el sistema es ideal d) Si el líquido es ideal, no hay fricción entre las capas y por lo tanto no pérdida de Energía por rozamiento. Para calcular la velocidad en este caso, hay que aplicar la ecuación de Bernoulli original (sin el término de W fr /Vol) Cátedra de Física-FFYB-UBA [10]

11 Nuevamente plantearemos como referencias los puntos 1 y 2, tal como lo hicimos en el ítem b) Si seguimos el misma razonamiento que hicimos para un fluido real, podemos simplificar los términos de Energía gravitatoria ya que los puntos 1 y 2 están a la misma altura. El término de Energía cinética en el punto 1 también se puede considerar despreciable, respecto de la energía cinética en el punto 2, ya que la sección del tubo es mucho menor que la sección del tanque. Entonces, teniendo en cuenta estas consideraciones nos queda: Ahora bien, sabemos que: Remplazando y simplificando, nos queda: Sabemos que, por lo tanto remplazando y ordenando obtenemos: Ahora veamos que sucede con las presiones.. e) Como dijimos anteriormente, si el líquido es ideal, no hay pérdida de presión a causa de la fricción entre los manómetros, por lo tanto para un mismo tubo horizontal, la presión será la misma a lo largo de todo el tubo y por lo tanto los manómetros marcarán la misma altura. Pero el tubo A y el tubo B tienen distinto radio y por lo tanto el liquido circula por ellos a distinta velocidad (4 veces menor en el tubo A que en tubo B), esto genera que la presión en ambos tubos sea distinta. Cátedra de Física-FFYB-UBA [11]

12 Calculemos primero las alturas en los manómetros del tubo B: Aplicamos la Ec. de Bernoulli, en los puntos 5, 6 y 2 Analicemos cada grupo de términos de esta ecuación: 1) Los términos de energía gravitatoria ( son iguales en cada punto (los puntos 2,5 y 6 están a la misma altura) y por lo tanto se pueden simplificar. 2) Por la ecuación de continuidad sabemos que, como la sección del tubo no cambia, la velocidad en el punto 5, en el punto 6 y en el punto 2 es la misma. Por lo tanto los términos de Energía cinética también pueden simplificarse. 3) Al simplificar los términos de energía gravitatoria y Energía cinética nos queda: Como vemos en el punto 5 y en el punto 6 la presión es igual a la presión atmosférica, por lo tanto la altura en los manómetros 5 y 6 será igual a 0 (cero). Ahora calculemos las alturas en los manómetros del tubo A: Como discutimos en el ítem a) la velocidad en el tubo A es menor que la velocidad en el tubo B. Por lo tanto al ser menor la energía cinética en el tubo A, la presión a lo largo del tubo A será mayor que la presión en le tubo B. Por lo tanto, la altura de los manómetros 4 y 5 será distinta. Para calcular la diferencia de presión entre los manómetros 4 y 5 planteamos la ecuación de Bernoulli para fluidos ideales entre ambos puntos: Como ya explicamos más arriba, los términos de energía gravitatoria se pueden simplificar. Haciendo eso y reordenando nos queda: La diferencia de presión entre 4 y 5 se debe a la diferencia de energía cinética entre esos puntos Cátedra de Física-FFYB-UBA [12]

13 Para calcular la velocidad en 4 aplicamos la ecuación de continuidad: Como el radio de A es 2 cm y el radio de B es 1 cm, remplazamos en las ecuaciones anteriores y calculamos la velocidad en A Remplazando este valor en la ec. de Bernoulli podemos calcular la diferencia de presión: La diferencia de altura entre los manómetros será: Como Entonces La altura en el manómetro 3 será la misma que la altura en el manómetro 4, por las mismas razones explicadas para el manómetro 5 y 6 ( el tubo es horizontal, por lo cual no hay cambios de E. gravitatoria, y la sección es la misma, por lo cual no hay cambios de E. cinética, en consecuencia no hay cambios de presión entre los puntos 3 y 4) Cátedra de Física-FFYB-UBA [13]

14 Presión (cm de agua) PROBLEMAS VISCOSIDAD / M2 / FISICA AHORA TE PROPONEMOS UNOS PROBLEMAS PARA QUE RESUELVAS SOLO. TE DAMOS LAS RESPUESTAS DE CADA UNO DE ELLOS PERO NO UNA EXPLICACIÓN DETALLADA Ejercicio 3 Con un dispositivo igual al utilizado en el T.P. para comprobar la ley de Poiseuille, por el que fluye agua ( = 1,0 cp y = 1,0 g/ml) a través de un tubo de 71 cm de largo total y 0,5 cm de diámetro, se obtuvieron los siguientes datos: - Altura en el depósito de agua: 20 cm - Volumen escurrido: 403,0 ml - Tiempo: 20segundos. - Altura de líquido en el manómetro A: 9,5 cm - Altura de líquido en el manómetro B: 0,5 cm Se grafica Presión en función de longitud para este sistema y se obtiene el siguiente gráfico: Presión en función de la longitud Longitud (cm) Cátedra de Física-FFYB-UBA [14]

15 Presión (cm de agua) PROBLEMAS VISCOSIDAD / M2 / FISICA a) Considera válidas las determinaciones realizadas con este tubo para comprobar la ley de Poiseuille? Por qué? b) Discuta el gráfico obtenido, tramo por tramo c) Cuál debería ser el caudal para obtener resultados de los cuales se puedan sacar conclusiones correctas? d) Si disminuyera la altura de líquido en el tanque, Lograría de esta manera obtener el caudal calculado en el ítem anterior para que las determinaciones sean válidas para el objetivo del TP? cuál sería dicha altura? e) Esquematice sobre el gráfico anterior como sería el gráfico de presión en función de longitud con el caudal calculado en el ítem c). Respuestas a) Las determinaciones no serán válidas porque el régimen de flujo es turbulento (R= 5131) b) El primer tramo, entre 0 y 30 cm, corresponde al tanque. La presión en ese tramo es igual a la presión hidrostática ejercida por la altura de líquido en el tanque y se mantiene constante porque se considera que dentro del tanque la velocidad es despreciable, al no haber energía cinética, no hay fricción y por lo tanto la presión se mantiene constante. Al llegar a la entrada del tubo (30 cm) se produce una brusca caída de presión debido al aumento de energía cinética. El líquido al entrar al tubo se acelera, gana velocidad y por lo tanto parte de la energía almacenada como presión en el tanque es utilizada para incrementar la energía cinética. A partir de allí la presión va disminuyendo, pues se gasta convirtiéndose en trabajo de la fuerza de rozamiento por unidad de volumen. Si el régimen fuera laminar la caída sería lineal (ley de Poiseuille), pero como el régimen es turbulento, la pérdida de presión en función de la longitud sigue una función exponencial inversa. c) 7.85 ml / seg. d) Sí, se podría. La altura de agua en el tanque debería ser 4.50 cm e) Presión en función de la longitud Turbulen to Longitud (cm) Cátedra de Física-FFYB-UBA [15]

16 Ejercicio 4 Indique Verdadero o Falso y justifique. Si se coloca un cuerpo esférico de densidad 0,75 g/ml en el fondo de un recipiente con agua (densidad = 1 g/ml): a) el cuerpo permanece en el fondo b) el cuerpo sube con velocidad constante desde el principio c) el cuerpo sube con un movimiento acelerado, alcanzando luego de un cierto tiempo una velocidad máxima, la cual es constante durante el resto del movimiento del cuerpo en el seno del fluido. d) El empuje que recibe el cuerpo es siempre el mismo, mientras asciende por el líquido y cuando alcanza el equilibrio flotando parcialmente sumergido en la superficie. e) La velocidad con la que asciende el sólido es independiente del tamaño del cuerpo. f) La velocidad de desplazamiento del sólido puede disminuirse si se mezcla el agua con un líquido de densidad = 1,2 g/ml g) El cuerpo no asciende si se prepara una mezcla 1: 1 (V/V) con un líquido X de densidad = 0,5 g/ml h) El cuerpo emerge parcialmente de la superficie del líquido, alcanzando finalmente una situación de reposo. En ese momento el empuje es menor que cuando estaba ascendiendo por el seno del fluido. i) El cuerpo nunca alcanza el equilibrio de fuerzas. Rta: a) F; b) F; c) V; d) F; e) F; f) F; g) V; h) V; i) F Ejercicio 5 En un hospital se le efectúa a un paciente una transfusión de sangre a través de una vena del brazo. El médico quiere suministrarle 500 cm 3 en 20 minutos y utilizar una aguja de 40 mm de longitud y radio interior 0,5 mm. La presión intravenosa manométrica del paciente es de 15 mm de Hg. La bolsa con sangre se cuelga a cierta altura por encima del brazo de modo que la presión manométrica a la entrada de la aguja sea la adecuada. La viscosidad de la sangre a (37ºC) es de 2,1 mpa.s, y su densidad es 1,06 g/ml. Determine: a) la presión manométrica a la entrada de la aguja b) la altura a la que hay que colocar la bolsa c) la velocidad media con la que entra la sangre en la vena NOTA: Considerá que la presión dentro de la bolsa es la presión atmosférica y que la fricción por la guía que lleva la sangre desde la bolsa a la aguja es despreciable. Acordate que Pa equivale a 760 mmhg, 1mPa.s =1cp y que 1Pa =10 barias. Respuestas a) P A = 3, Pa b) h = 33 cm c) v = 53 cm/s Cátedra de Física-FFYB-UBA [16]

17 Ejercicio 6 Se necesita aplicar a un paciente un medicamento por vía intramuscular. Para ello se carga una jeringa con 5 ml del líquido a inyectar y se procede a realizar la aplicación con el paciente parado y la jeringa en posición horizontal. Se inserta la aguja en la nalga y se aplica una fuerza F sobre el émbolo, de manera tal que el líquido contenido en la jeringa ingrese en el glúteo del paciente en un tiempo total de 10 segundos. Sabiendo que el cuerpo de la jeringa tiene un diámetro de 15 mm y la aguja posee un diámetro de 0.8 mm y una longitud de 40 mm, calcule: a) la velocidad con que el medicamento sale de la punta de la aguja b) la fuerza F que se aplicó sobre el émbolo. c) Si la aplicación se hace con el paciente acostado y la jeringa en posición vertical Cuánta fuerza habrá que ejercer sobre el émbolo para aplicar toda la ampolla (5ml) en los mismos 10 segundos? NOTA: Considere que en ausencia de fuerza en el émbolo, la presión en todos los puntos es 1 atm y que la velocidad dentro del cuerpo de la jeringa es despreciable. DATOS: densidad del líquido: 1.0 g/ml, coeficiente de viscosidad: 2 cp Respuestas a) La velocidad de salida por la punta de la aguja será: 99.5 cm/s. b) La fuerza que se deberá aplicar será: N. (PISTA: Recordá que Presión = Fuerza/Area, y en este caso la jeringa es equivalente al tanque del ejercicio 2) c) En este caso, con la jeringa en posición vertical la fuerza será: N. (PISTA = Ahora hay que tener en cuenta la Energía gravitatoria. Recordá que el Volumen de un cilindro es V=S x h y que el volumen dentro de la jeringa es 5 ml y el diámetro del émbolo es 15 mm) Cátedra de Física-FFYB-UBA [17]