TEMA 4. Procediments de contrastació i selecció de models

Transcripción

1 TEMA 4. Procediments de contrastació i selecció de models 1. Introducció i principis generals de contrastació 2. Contrastos de validació 3. Tres contrastos assimptòtics: raó de versemblança, Wald i multiplicadors de Lagrange 4. Instruments per a la selecció de models 5. Exercicis pràctics Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 1

2 i. Introducció 1. Introducció i principis generals de contrastació Els contrastos d hipòtesi es basen en la construcció d estadístics -a partir d una determinada mostra- que permetin decidir, amb un nivell de confiança raonable, si aquestes dades podrien haver estat generades per una població amb unes determinades característiques. Objectiu bàsic dins aquest tema: podem refiar-nos dels resultats del model que hem especificat per treure conclusions econòmiques? Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 2

3 i. Principis generals de contrastació El primer pas sempre consisteix en definir la hipòtesi a contrastar. Normalment cal definir una hipòtesi nul la (H 0 ) i una hipòtesi alternativa (H A ) El procediment seguit per a contrastar hipòtesis consisteix a establir una regla de decisió basada en l evidència empírica. L espai mostral es divideix en dues regions: la regió de rebuig de la hipòtesi nul la i la regió d acceptació on no es rebutja la hipòtesi nul la. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 3

4 Qualsevol contrast dona lloc a dos tipus d error: Error tipus I: el contrast ens porta a rebutjar la hipòtesi nul la quan és certa Error tipus II: el contrast ens porta a no rebutjar la hipòtesi nul la quan aquesta és falsa A partir d aquests errors es defineixen dos conceptes: Nivell de significació o tamany del contrast: probabilitat de cometre un error tipus I Potència del contrast: probabilitat de rebutjar la hipòtesi nul la quan aquesta és falsa (1-probabilitat d error tipus II) Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 4

5 El nivell de significació del contrast està sempre sota control de l investigador, és a dir es tria el nivell d error tipus I que s està disposat a assumir. Ara bé, cal tenir en compte que com més petit sigui, però això augmentaria l error tipus II. Per tant, el que intentem és que per un determinat nivell d error tipus I, el procediment de contrastació triat tingui una probabilitat associada a l error tipus II el més petita possible. Habitualment, definirem un estadístic de prova calculat a partir de les dades de partida i el compararem amb un valor crític d una determinada distribució un cop fixat el nivell de significació que volem assumir. La regla de decisió habitual ens diu que si l estadístic de prova és més gran que el valor crític, rebutjarem H 0. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 5

6 Validació vs. selecció de models Hi ha diferents procediments de contrastació i diferents tipus de contrastos. En el context del MRLMG, podem distingir dos grans tipus de contrastos: Contrastos de validació (o d especificació errònia) Constrastos de selecció de models (o d especificació) Per models ennierats ( anidados ) Per models no ennierats Quan s ha de fer servir cada contrast? Quines característiques/propietats tenen? Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 6

7 2. Contrastos de validació Els contrastos de validació és caracteritzen perquè la hipòtesi alternativa no està definida de manera exacta. Idea bàsica: Permeten determinar si el MRLMG especificat compleix uns requisits mínims que garanteixen la validesa de la inferència realitzada i, per tant, que les conclusions del model són valides. Es tracta d un conjunt de contrastos ja vistos a l Econometria I i als primers temes de l Econometria II i que sovint s han complementat amb anàlisis gràfiques. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 7

8 Podem agrupar aquests contrastos en tres categories: b. Anàlisi dels paràmetres estimats i. Significació econòmica: signe i magnitud ii. Significació estadística individual (t) i global (F) c. Anàlisi dels residus MQO i. Anàlisi gràfica (linealitat, outliers, terme de pertorbació no esfèric, ) ii. iii. Distribució dels residus (histograma, contrast de Bera-Jarque) Contrastos específics (autocorrelació, heteroscedasticitat) d. Canvi estructural i valoració de la capacitat predictiva i. Canvi estructural: Chow, Cusum i Cusum-q ii. Capacitat predictiva: Error absolut mig (EAM), Error quadràtic mig (EQM), Error percentual absolut mig (EPAM) Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 8

9 Cal recordar els següents aspectes d aquests contrastos: Hipòtesi nul la i alternativa (quin és l objectiu del contrast? què pretenem analitzar?) Procediment del contrast (com s obté l estadístic de prova i amb quina distribució l hem de comparar) Regla de decisió (com es defineixen els espais de rebuig i no rebuig de la H 0 ) Quina és la conclusió del contrast? (perquè ens ha servit?, què hem après del nostre model?) Limitacions del contrast (quan podem fer-lo servir amb garanties i quan no) Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 9

10 3. Tres contrastos assimptòtics: raó de versemblança, Wald i multiplicadors de Lagrange Tots tres es basen en el càlcul de la funció de versemblança. A continuació s ofereixen algunes idees bàsiques sobre cadascun d aquests tres contrastos: Raó de versemblança Wald Multiplicador de Lagrange Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 10

11 i. Introducció El procediment de contrastació a que estem més habituats pren com a punt de partida la utilització d intervals de confiança. Aquest mètode és especialment adequat quan es contrasta una hipòtesi nul la relativament senzilla, és a dir quan conté un únic paràmetre, per exemple H 0 :θ= θ 0 davant una hipòtesi alternativa com H A : θ θ 0 La idea és que un cop s ha estimat θ, es calcula un interval pel nivell de confiança triat al voltant de θˆ i es rebutja H 0 si θ 0 cau fora d aquest interval. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 11

12 i. Wald Un procediment de Wald consisteix a avaluar la discrepància amb que la estimació realitzada satisfà les restriccions que s especifiquen a la hipòtesi nul la. Per exemple, si volem contrastar H 0 :θ= θ 0 davant una hipòtesi alternativa com H A : θ θ 0 La idea és que un cop s ha estimat θ, es calcula la discrepància entre el valor estimat i el valor de la hipòtesi: θˆ θ Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 12

13 Ara bé per tal de decidir si aquesta diferència es gran o petita, cal comparar-la amb la variància de l estimador: ( θˆ θ ) / var( θˆ) Aquest estadístic es distribueix com una khi-quadrat amb un grau de llibertat de manera que també resulta fàcil establir una regla de decisió. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 13

14 i. Raó de versemblança El procediment de la raó de versemblança es basa en la utilització de la funció de versemblança. De manera similar a l estimació màxim versemblant, és possible avaluar el valor de la funció de versemblança en funció de dos conjunts diferents de valors pels paràmetres de la funció. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 14

15 Imaginem, per exemple, que s estableix una H 0 : θ Θ davant una H A : θ Ω. Si denotem per L(Θ) i per L(Ω), els valors màxims de la funció de versemblança per a aquests conjunts de valors, la diferència entre aquests valors es pot comparar a partir de l estadístic 2[ln(L(Θ))-ln(L(Ω))] que es distribueix d acord amb una khi-quadrat amb K graus de llibertat, on K és el nombre de restriccions que defineixen el subespai Θ. De manera anàloga al procediment anterior, també resulta fàcil establir una regla de decisió. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 15

16 i. Multiplicadors de Lagrange El procediment dels Multiplicadors de Lagrange també es basa en la utilització de la funció de versemblança. La idea és que a partir de l estimador de màxima versemblança sota les restriccions de la Hipòtesi θˆr nul la ( ) podem obtenir el següent estadístic: ML = ln L( θˆ R ) I θˆ 1 ( R ) θˆ R ln L( θˆ θˆ Aquest estadístic es distribueix con una khi-quadrat amb K graus de llibertat on K és el nombre de restriccions avaluat. R R ) Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 16

17 i. Representació gràfica dels tres tipus de contrastos Greene (1999), p. 143 Novales (1993), p. 392 Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 17

18 i. Relació entre Wald, RV i ML Tots tres contrastos són equivalents a nivell assimptòtic, malgrat que en mostra finita es compleix la següent desigualtat: Wald > RV > ML L elecció d un o altra estarà en funció de la complexitat de càlcul. Cal tenir en compte que els requisits d informació són diferents en cada cas: Wald RV ML General Sí Sí No Restringit Molts contrastos populars són casos particulars d aquests. No Sí Sí Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 18

19 1. Instruments per a la selecció de models Un aspecte clau dels contrastos de selecció de model és que es disposa d una hipòtesi alternativa clarament definida. L objectiu bàsic d aquests instruments consisteix a seleccionar o discriminar entre dos models o dues hipòtesis alternatives. Cal distingir entre: Models ennierats (totes les variables explicatives d un dels models estan també presents a l altre model). Models no ennierats (no es dóna la situació anterior). Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 19

20 i. Models alternatius ennierats Hi ha tot un conjunt d instruments (ja coneguts) per a discriminar entre models ennierats Per exemple, H + H X + 0 : Yi = β 1 + β 2 X 2i β K X Ki Ui A : β 2 = 1- β 1 Yi = β 1 + (1 β 1) X 2i β K Ki U i En aquests casos, el contrast de restriccions es pot realitzar a través dels tests habituals: t, F, etc. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 20

21 i. Models alternatius no ennierats En aquest cas, és possible utilitzar alguns instruments diferents als ja coneguts. Per exemple, H = X i + U H = Z + V 0 : Yi β 1 + β 2 A : Yi α 1 + α 2 i i i Com podem seleccionar entre aquests dos models alternatius? Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 21

22 Es pot discriminar entre tots dos models a través de diferents instruments: Coeficient de determinació corregit Criteris d informació: d Akaike (AIC) de Schwarz (SC) Basats en la capacitat de predicció error de predicció final Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 22

23 Coeficient de determinació corregit Es calcula a partir de la següent expressió: R 2 = 1 N N 1 K (1 R 2 ) Quan el nombre de variables explicatives K augmenta, la fracció (T-1)/(T-K) també augmenta mentre que (1-R 2 ) disminueix, ja que l R 2 augmenta per definició. La idea és que amb aquest estadístic tots dos efectes es compensen i permet, per tant una valoració adequada de la bondat d ajust del model. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 23

24 Criteri d informació d Akaike Es calcula a partir de la següent expressió: 2 2 AIC = ln( L) + K N N La idea bàsica d aquest instrument consisteix a seleccionar el model que implica la mínima pèrdua d informació. Cal tenir en compte que a mesura que augmenta el valor de la funció de versemblança, l AIC disminueix (corregint aquest valor pel nombre d explicatives: a mesura que augmenta K, AIC també augmenta) i per tant s hauria d agafar aquell model amb menor valor d AIC (aquell amb menor SQE). Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 24

25 Criteri d informació de Schwarz Es calcula a partir de la següent expressió: 2 K ln( N) SC = ln( σˆ ) + N Com més gran sigui la variància estimada del terme de pertorbació, major serà el valor d SC (tenint en compte el nombre d observacions i el nombre de variables del model). Cal triar, per tant, el model amb el menor valor d SC. Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 25

26 Error de predicció final Es calcula a partir de la següent expressió: EPF = N N + K K ( σˆ 2 ) Com més gran sigui la variància estimada del terme de pertorbació, major serà el valor d EPF (tenint en compte el nombre d observacions i el nombre de variables del model). Cal triar, per tant, el model amb el menor valor d EPF Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 26

27 Temporització 2 sessions teòriques de 2 hores Bibliografia Novales, Econometría, capítol 2, apartat 12 capítol 11, apartat 5 Econometria II - Tema 4 Curs Prof. Raúl Ramos 27