Seminari 5. Estadística CP

Transcripción

1 Seminari 5. Estadística CP Problema 1 - Solució. Al 1976 les eleccions presidencials d EEUU, en les que es van enfrontar Jimmy Carter i Gerald Ford, es van guanyar només per un petit marge. Una enquesta realitzada immediatament abans d aquests comicis va revelar que el 51% de la mostra tenia la intenció de votar a Carter. L empresa va anunciar que tenia una certesa del 95% de que aquest resultat (el 51%) estava a menys de 2 punts percentuals del veritable percentatge de votants a favor de Carter. 1. Utilitzant un llenguatge senzill, explica-li a algú que no sàpiga d Estadística què vol dir una certesa del 95% en aquest cas. Ens demanen explicar el concepte de confiança o certesa associat a l interval de l enunciat, això és de (51%-2%, 51%+2%) = (49%, 53%) amb una confiança del 95%. La interpretació és la següent: si repetíem l estimació de l interval de confiança moltes vegades, en el 95% de les repeticions l interval de confiança obtingut inclouria la veritable proporció (que denotarem π) de votants a favor de Carter, i en un 5% de les vegades no ho faria. 2. L enquesta mostrava que Carter anava guanyant. Tot i així l empresa encarregada de l estudi va dir que els resultats eren massa ajustats com per predir qui guanyaria. Explica perquè. El fet de que un candidat guanyi les eleccions és equivalent a dir que la veritable proporció de votants a favor d aquest candidat és superior al 50%. En el nostre cas, l interval obtingut per π no es troba totalment inclòs al l interval, al rang de valors, (50% ; 100%), i per tant no es van observar evidències a la mostra a favor de que Carter guanyaria 1

2 3. Quan va conèixer els resultats, un polític va preguntar nerviós: Quina és la probabilitat de que més de la meitat dels votants de EEUU prefereixi a Carter? Un expert en Estadística li va indicar que aquesta pregunta no es podia respondre a partir dels resultats de l enquesta i que, de fet, no tenia sentit parlar de tal probabilitat. Explica perquè. El polític demana Quina és la probabilitat de que més de la meitat dels votants prefereixi a Carter? Observem doncs que la seva pregunta fa referència a la població total d EEUU (els votants) i no pas als individus de la present (o una altra) mostra. El valor que vol conèixer el polític és la veritable proporció poblacional: aquest no és aleatori, és un valor numèric concret que es coneixerà després de la realització dels comicis, i per tant no porta associada cap distribució de probabilitat. 4. En base als resultats obtinguts en aquest estudi, quina hauria d haver estat la mida mostral necessària en una futura enquesta per tal de garantir un error d estimació de com a molt 1 punt percentual amb una confiança del 95%. Volem determinar una mida mostral de manera que es verifiqui, Es necessita, per tant, una mida de com a mínim 9601 individus per satisfer els requeriments de l enunciat. 2

3 Problema 2. Per a una mostra aleatòria de 1158 executius, el 47,9% van considerar l Estadística com a part molt important de la preparació per a la feina de Director General a. 1. Calcula un interval de confiança al 95% per la proporció poblacional d executius que comparteixen aquesta opinió. Denotem per π la proporció poblacional d executius que consideren que l Estadística és una part molt important de la preparació per a la feina de Director General i com a la proporció d individus a la mostra que comparteixen aquesta opinió. Segons l enunciat per la mostra de individus. En ser la mida de la mostra força gran, la distribució de la proporció mostral pot ser aproximada a una llei normal i l interval de confiança al 95% demanat és 2. Sense fer cap càlcul, determina si un interval de confiança al 90% per a aquesta proporció poblacional tindria una amplitud major, menor o la mateixa amplitud que la de l interval de l apartat anterior. Per què? Si l interval de confiança hagués estat al 90% i no pas al 95%, l amplitud, això és la diferència entre l extrem superior i l inferior de l interval, hagués estat menor que en el cas anterior. La raó és que el valor crític necessari per a la construcció hauria passat de ser 1,96 a ser ara (aproximadament i segons la informació que podem extreure de les taules) 1,645 doncs 3. Utilitzant la informació mostral, un expert en Estadística construeix un interval de confiança que va des de 0,458 a 0,500. Quin és el nivell de confiança amb el que s ha treballat? a Si no t ho creus, consulta H.W. Hildebrant, F.A. Bond, E.L. Miller y A.W. Swinyard, An executive appraisal of courses which best prepare one for general management, Journal of Business Communication, 19, no. 1, (1982), Per determinar la confiança de l interval, cal determinar el valor crític z* utilitzat en la construcció i després obtenir el contingut probabilístic associat a aquest valor. Observem que, 3

4 Resolent aquesta equació en z* obtenim, Com, segons les taules, l interval de confiança ha estat calculat al de confiança. 4

5 Problema 3. Es va seleccionar una mostra aleatòria de 50 compradors habituals a Internet i se ls va preguntar la magnitud de la despesa realitzada l any passat en compres per Internet, que suposarem normalment distribuïda. El fitxer adjunt Seminari5.xls conté les dades amb la despesa (en euros) de cadascun dels compradors. 1. Utilitzant SPSS, determina un interval de confiança al 95% per la mitjana de la despesa que els compradors habituals realitzen a Internet. Observem que la distribució de la variable despesa és normal sent la desviació estàndard σ desconeguda. Per això podem afirmar que, segueix una distribució t amb n-1 graus de llibertat. Donat que la mida de la mostra és prou gran també podríem haver utilitzat la següent aproximació, però hem de tenir present que aleshores els resultats són aproximats. A SPSS hem de seleccionar Analizar + Comparar Medias + Prueba t para una muestra; passem la variable Despesa a la caixa de Contrastar variables i cliquem al botó Opciones per tal de canviar la confiança del 95%, que hi és per defecte, al 99%, que és la demanada. L interval de confiança resultant és (294,6206; 311,5275) 5

6 2. Es considera que la variable despesa que fa un ciutadà qualsevol (no necessàriament comprador habitual) fa en compres d Internet té mitjana µ= 100 euros i desviació estàndard σ=20 euros. Si trobessis publicat que la mitjana de la despesa en compres per Internet entre els compradors habituals és també de 100 euros, ho trobaries correcte? L interval al 99% de confiança per a la mitjana poblacional de la despesa a Internet dels compradors habituals és Tal i com hem observat al problema 1, si repetim aquest procediment un nombre elevat de vegades, en el 99% de les repeticions l interval de confiança obtingut inclouria la veritable mitjana de la despesa d aquest sector de la població. En base a aquests resultats no sembla raonable dir que els individus que són compradors habituals es comporten com el conjunt genèric de ciutadans en termes de despesa mitjana doncs 6

7 3. Si suposem finalment que el fet de ser comprador habitual a Internet no afecta a la dispersió (respecte del que es coneix sobre la despesa per a un ciutadà qualsevol), determina a ma un interval de confiança al 99% per la mitjana de la despesa que els compradors habituals realitzen en Internet i comenta la diferència entre aquest resultat i el de l apartat a. Si ara suposem que σ=20, tindrem que la variable aleatòria segueix exactament una distribució normal estàndard. Observem que aquesta nova variable aleatòria basada en la mitjana mostral és lleugerament diferent de la de l apartat 1 i que la seva distribució exacta n és una altra. L interval demanat és, Observem que tot i que ambdós intervals, el de l apartat a) i aquest de l apartat c), han estat construïts amb la mateixa confiança aquest últim és més estret. Observem que la desviació mostral en l apartat a (20,3335) i la desviació poblacional (postulada) en l apartat c (20,0000) són comparables; aleshores el fet que la longitud de l interval hagi minvat es justifica analíticament en que la distribució t és més dispersa que la normal estàndard tot tenint en compte que σ i la desviació mostral són pràcticament idèntiques. A nivell estadístic entenem també que, en aquest segon cas, l interval ha estat construït amb més informació que en el primer (ara estem suposant que σ és coneguda) donant lloc a que la estimació sigui més ajustada. 7