Informe 1 de Métodos Experimentales III. Carga y descarga de un condensador

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1 Informe de Métodos Experimentales III. Carga y descarga de un condensador Claudia Pavez, Nicole Miller, Diego Cohen, and Pablo Pino Departamento de Física *, Facultad de Ciencias Universidad de Chile (Dated: 9 de agosto de 7) El objetivo central de este trabajo es analizar la carga y descarga de un condensador en función del tiempo. Para eso se crearon dos circuitos, uno RɛC, donde se midió el proceso de carga, y otro RC donde se midió el proceso de descarga. Los resultados obtenidos se ajustan a la solución teórica del problema, con diferencias entre 4 % y 7 %. Además se comprobó que mientras mayor es la resistencia del circuito, mas lentos son los procesos de carga y descarga del condensador. I. INTRODUCCIÓN Una de las tantas ramas de estudio del Electromagnetismo es el comportamiento de los circuitos con todos sus componentes: instrumentos de medicion, resistencias, bobinas, condensadores, y como interactuan entre ellos al ponerlos en funcionamiento frente al paso de corriente. En este laboratiorio, se utilizará un circuito RɛC con una fuente a voltaje constante y uno RC, para analizar la relación carga y descarga del condensador en un tiempo dado frente a dos resistencias que difieren en su valor. II. RESUMEN TEÓRICO Nuestro problema es determinar la carga del condensador en función del tiempo, para el circuito de la figura. Debido a la ley Kirchoff, se debe cumplir que: V = Q C + RI = Q C + R dq dt () Para resolver esta ecuación no homogénea, necesitamos la solución de la homogénea, que es: Q(t) = ke t/rc, y una solución particular de la no homogénea, a saber: Q(t) = CV, luego la solución general será: Q(t) = ke t/rc + mcv () Escribiendo V (t) = Q(t), obtenemos la expresión: C V (t) = V ( e t/rc ) finalmente aplicando ln queda ln(v V ) = RC t + ln(v ) (3) Ahora para determinar la ecuación que que rige la descarga del condensador, usamos un razonamiento muy similar al anterior pero ahora en el circuito de la figura. La ley de Kirchoff propone lo siguiente: Q C = Q C + R dq dt = R dq dt Q(t) = ke t/rc (4) Si imponemos que Q() = Q, se tiene que k = Q, por lo tanto: V (t) = Q C e t/rc finalmente aplicando ln queda ln(v ) = RC t + ln(v ) (5) Para determinar las constantes k y m, imponemos las condiciones del sistema y evaluamos Q() = k = CV lim t Q(t) = CV m = _ + interruptor C + R * Nelson Aliaga, Profesor Patricio L Huissier & Sebastián Guillier, Ayudantes Figura : Circuito RɛC para cargar un condensador

2 + C Figura : Circuito RC para descargar un condensador III. R MÉTODO EXPERIMENTAL A. Descripción del equipo Para realizar el experimento se ocupó el siguiente instrumental: Fuente de Voltaje Resistencias de ± 5 %[kω] y ± 5 %[kω] Condensador electrolítico de [µf ] (Se considera sin error asociado pues no se indica de fábrica) Multímetro digital Cables conductores B. Montaje y Procedimiento Para medir la carga del condensador, se arma el circuito de la figura, debe tenerse mucho cuidado de conectar correctamente el condensador, es decir, la parte negativa de este a la parte negativa de la fuente. Cuando ya está fija la tensión de la fuente y el circuito correctamente montado, se sincroniza la partida de este último con el encendido de la fuente, de modo tal que un integrante del grupo emita una señal cada 5 segundos que otro capta para anotar lo que marca el voltímetro en ese instante. Este procedimiento se prolonga hasta que el voltaje marcado en el condensador sea muy cercano al de la fuente. Este procedimiento se realiza con las dos resistencias. Para medir la descarga del condensador, se arma el circuito de la figura, se espera a que el condensador tenga una diferencia de potencial determinada para luego desconectar la fuente del circuito, de modo que el condensador varía su voltaje ya que su carga se disipa en la resistencia. Para medir el voltaje en función del tiempo se repite el proceso de la primera etapa. Luego de obtenidos los resultados, se busca un modelo que permita hacer una regresión lineal para compar con la expresión teórica. IV. RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS A. Resultados obtenidos Los datos obtenidos en cada carga y descarga se muestran en los gráficos de las figuras 3 y 4. Las tablas de datos son presentadas en el apendice. Voltaje [V] Para la carga del condensador se utilizaros los datos, resistencias: R = ± 5 %[kω], R = ± 5 %[kω] capacitancia: C = [µf ] voltaje de la fuente: V = 9, ±,5[V ] Carga de un condensador con una resistencia Datos R= KΩ Datos R= KΩ Figura 3: Datos obtenidos en la carga del condensador Para la descarga del condensador se utilizaros los datos, Voltaje[V] resistencias : R = ±5 %[kω], R = ±5 %[kω] capacitancia : C = [µf ] voltaje de la fuente : Para R, V = 8,9±,5[V ] Para R, V = 9,6±,5[V ] Descarga de un condensador con una resistencia Datos R= KΩ Datos R= KΩ Figura 4: Datos obtenidos en la descarga del condensador

3 3 B. Análisis Observando los gráficos de carga del condensador, notamos que podrían concordar con la teoría pues tienen el perfil de un comportamiento exponencial. Para comprobar esto realizamos el gráfico ln(v V ) v/s t presentado en la figura 5 y una regresión lineal para cada caso, asi veremos si existe una relación lineal entre el voltaje y el tiempo. 3 ln(v ) =,95 y B =,9 luego % =, % Descarga de un condensador Datos R= KΩ Regresion Datos R= KΩ Regresion Ln(Vi V) 3 Carga de un condensador Datos R= KΩ Regresion Datos R= KΩ Regresion Figura 5: Logaritmo de los datos v/s tiempo en la carga del condensador. Se presenta además la regresión lineal asociada a cada curva de datos Las regresiones lineales obtenidas para la carga del condensador fueron: R : f(x) = (,383 ±,3) x + (,87 ±,) R : f(x) = (,7 ± 9 5 ) x + (,9 ±,) ambas con un coeficiente de correlación R =,99 Esto nos dice que es posible tener una relación lineal entre el voltaje y el tiempo. Del gráfico tenemos ln(v V ) = A t + B, identificando esta relación con la ecuación (3) se quiere ver si A y B coresponden a /RC y ln(v ) respectivamente. Se tiene Para R : RC =, 454[ ΩF ] y A =,383 luego % = 5,64 % ln(v ) =,95 y B =,87 Para R : luego % =,7 % RC =, 7 [ ] ΩF y A =,7 luego % =,7 % Ln(V) Figura 6: Logaritmo de los datos v/s tiempo en la descarga del condensador. Se presenta ademas la regresión lineal asociada a cada curva de datos. Las regresiones lineales obtenidas para la descarga del condensador: R : f(x) = (,366 ±,6) x + (,7 ±,5) R : f(x) = (,88 ±,) x + (,85 ±,) ambas con un coeficiente de correlación R =,99 Esto nos dice que es posible tener una relación lineal entre el voltaje y el tiempo. Del gráfico tenemos ln(v ) = A t + B, identificando esta relación con la ecuación (5) se quiere ver si A y B coresponden a /RC y ln(v ) respectivamente. Se tiene Para R : RC =, 454 [ ] ΩF y A =,366 luego % = 9,38 % ln(v ) =,9 y B =,7 Para R : luego % = 7,9 % RC =, 7 [ ] ΩF y A =,88 luego % = 7,8 % ln(v ) =,98 y B =,85 luego % = 4,36 % En las comparaciónes ln(v ) y /RC anteriores, se han hallado las diferencias porcentuales entre los datos experimentales y lo predicho por la teoría, tanto para la carga como para la descarga de un condensador. Esta diferencia está representada por %.

4 4 V. CONCLUSIONES VI. BIBLIOGRAFÍA Es interesante notar que los resultados obtenidos corresponden a los esperados, la carga y descarga del condensador se ajusta a una relación exponencial. Mientras mayor es la resistencia, mas lento es cualquiera de los procesos, sea carga o descarga del condensador. Esto nos demuestra que el experimento estuvo aceptablemente montado. Electromagnetismo, Berkeley Physics Course, Tomo II, Edward Purcell Los parámetros de las rectas obtenidas en las regresiones lineales tienen errores porcentuales entre el % y el %. Esto se atribuye a la imprecisión humana, por ejemplo en el momento de emitir y captar la señal de aviso cada cinco segundos, claramente hay una distorsión en los tiempos y en la lectura de los voltajes. A pesar de eso se cumplió con los objetivos. Para una futura mejor edición del experimento, sería bueno establecer una coordinacion mejor entre la medición del tiempo y del voltaje, tambien sería positivo repetir l experiencia con mas resistencias, para quiza después establecer una relación entre el valor de éstas y el tiempo de carga o descarga. Los condensadores estan en la mayoría de los circuitos electrónicos de la actualidad, es importante a la hora de diseñarse uno, se debe saber muy bien como oscilara su carga dependiendo de los demas componentes del circuito, este hecho justifica y exige la existencia de este experimento.

5 5 Apendice - Tablas de datos A coninuación se presentan las tablas de datos obtenidas en cada caso. Voltaje [V] Error asociado a V : ±,5 Cuadro I: Datos obtenidos para la carga del condensador con R = [kω] Voltaje[A] Error asociado a V : ±,5 Cuadro II: Datos obtenidos para la carga del condensador con R = [kω]

6 6 Voltaje[A] Error asociado a V : ±,5 Cuadro III: Datos obtenidos para la descarga del condensador con R = [kω] Voltaje[A] Error asociado a V : ±,5 Cuadro IV: Datos obtenidos para la descarga del condensador con R = [kω]