Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Los sucesos admiten una representación gráfica que facilita su interpretación

Transcripción

1 1 Experimentos aleatorios Tema 10.- Distribuciones Discretas. Distribución inomial Existen experimentos en los que podemos predecir el resultado antes de que finalicen o incluso de que comiencen, son los llamados experimentos deterministas. Por el contrario, hay otros experimentos en los cuales no se puede predecir el resultado antes de realizarlos, son los experimentos aleatorios. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro o relaciones parecidas. uceso Espacio muestral (E ó ) uceso aleatorio Cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria Cualquier subconjunto del espacio muestral uceso elemental Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral uceso seguro (E) Está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral) ucesos compatibles Dos sucesos, y, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común ucesos independientes Dos sucesos, y, son independientes cuando la probabilidad de que suceda no se ve afectada porque haya sucedido o no uceso compuesto Es cualquier subconjunto del espacio muestral uceso imposible ( ) Es el que no tiene ningún elemento ucesos incompatibles Dos sucesos, y, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común ucesos dependientes Dos sucesos, y, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda se ve afectada porque haya sucedido o no Diagrama de Venn Los sucesos admiten una representación gráfica que facilita su interpretación i el espacio muestral tiene n elementos, el espacio de sucesos tiene 2 n elementos. Operaciones con sucesos Igualdad de sucesos Intersección de sucesos Unión de sucesos Están compuestos por los mismos elementos El suceso intersección es ocurren y a la vez El suceso unión es ocurre u ocurre o ambos a la vez = i y son incompatibles = La intersección de dos conjuntos siempre es menor que la unión (es menor que el propio conjunto)

2 á á 2 Matemáticas _ CC _ 1º achillerato uceso Contrario El suceso contrario a es otro suceso que se realiza cuando no se realiza Diferencia de ucesos Diferencia entre y es el suceso que consta de los elementos que están en pero no están en = = Propiedades de las operaciones con sucesos Intersección Unión Conmutativa = = sociativa ( C) = ( ) C ( C) = ( ) C Idempotente = = implificación ( ) = ( ) = Distributiva ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) Elemento neutro E = = bsorción = E = Leyes de De Morgan ( ) = ( ) = signación de probabilidades. Regla de Laplace i realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, entonces si es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso es: P = nº casos favorables a nº casos posibles La probabilidad presenta unas propiedades: 1. 0 P() 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1: P(E) = 1 3. i y son incompatibles, es decir =, entonces: P( ) = P() + P() Definición de Probabilidad i w 1, w 2,..., w n son los n sucesos elementales de un suceso aleatorio cualquiera, P una función P : R de modo que cumple las propiedades: 0 P(w i ) 1 i {1, 2,...,n} P(w 1 ) + P(w 2 ) P(w n ) = 1 Entonces P es una probabilidad.

3 3 Tema 10.- Distribución inomial y Distribución Normal Consecuencias de la definición de probabilidad 1) P() = 1 P() 2) P( ) = 0 3) i y son 2 sucesos cualquiera: P( ) = P() + P() P( ) 4) i, y C son 3 sucesos cualquiera: P( C) = P() + P() + P(C) P( ) P( C) P( C) + P( C) 5) i, entonces P() P() 6) i E es infinito y = {x 1, x 2,, x n }, entonces P() = P(X 1 ) + P(x 2 ) + + P(x n ) Probabilidad condicionada La información obtenida, modifica la probabilidad de. Lo expresaremos como P(/) y se lee probabilidad de condicionada a o probabilidad de conociendo. P / = P( ) P() ucesos independientes i bien el conocer cierta información adicional modifica la probabilidad de algunos sucesos, puede ocurrir que otros mantengan su probabilidad, pese a conocer dicha información, es decir, p(/) = p(). Cuando esto ocurre diremos que los sucesos y son independientes (el hecho de que ocurra no modifica la probabilidad de ). P( ) = P() P() No se deben confundir los conceptos de sucesos incompatibles y sucesos independientes. Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen elementos en común ( = ): Dos sucesos son independientes si P( ) = P() P(). on conceptos totalmente distintos: uno se refiere a conjuntos y otro se refiere a probabilidades. Experimentos compuestos. Teorema de la probabilidad total. Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. P( ) = P() P(/) P( ) = P() P(/) La forma más sencilla de calcular probabilidades en experimentos compuestos es un diagrama de árbol, donde en cada rama situamos la probabilidad que le corresponde al suceso del final de dicha rama. Estas probabilidades que se van poniendo en el árbol son probabilidades condicionadas, porque dependen de los resultados anteriores C 0.4 $ $ $

4 á á 4 Teorema de la probabilidad total Matemáticas _ CC _ 2º achillerato i 1, 2,..., n son sucesos incompatibles 2 a 2, y cuya unión es el espacio muestral ( n = E), y es otro suceso, resulta que: P() = P( 1 ) P(/ 1 ) + P( 2 ) P(/ 2 ) P( n ) P(/ n ) El conjunto 1, 2,..., n que verifica la incompatibilidad 2 a 2 y que la unión de todos ellos es el espacio muestral se denomina sistema completo de sucesos y divide el espacio muestral en partes que no se solapan. Mediante representación gráfica: = P(E) = P( n ) = P( 1 ) + P( 2 ) + + P( n ) Tablas de contingencia Las tablas de contingencia están referidas a 2 características que presentan cada una dos o más sucesos. Hombres Mujeres Total Casados olteros Teorema de ayes Como consecuencia del teorema de la probabilidad total y de las propiedades de la probabilidad condicionada, resulta este importante teorema que permite calcular probabilidades condicionadas. i 1, 2,..., n son sucesos incompatibles 2 a 2, y cuya unión es el espacio muestral ( n = E), y es otro suceso, resulta que: P i P i P i = P 1 P 1 + P 2 P P n P n Las probabilidades P( i ) se denominan probabilidades a priori Las probabilidades P( i /) se denominan probabilidades a posteriori Las probabilidades P(/ i ) se denominan verosimilitudes Distribución inomial o de ernoulli La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso (éxito) y su contrario Ā 2. La probabilidad (p) del suceso es constante (no varía de una prueba a otra) 3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente Variable aleatoria binomial Expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. Es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,, n, suponiendo que se han realizado n pruebas.

5 5 Distribución binomial Tema 10.- Distribución inomial y Distribución Normal n; p n: nº de pruebas p: probabilidad de éxito La probabilidad de Ā es 1-p, y la representamos por q. Función de Probabilidad de la Distribución inomial p X = k = n k pk q n-k n: nº de pruebas k: nº de éxitos p: probabilidad de éxito q: probabilidad de fracaso n k = n! k! n-k! Un estreno de cine ha sido visto por el 80% de espectadores. De un grupo de 4 personas muy cinéfilas Cuál es la probabilidad de que 2 de ellas hayan visto la película? n=4 p=0.8 q=0.2 4, 0.8 p X=2 = = 4! 2! 4-2! = p X=2 = Probabilidades cumuladas Es posible que nos pidan no sólo la probabilidad de que ocurran un cierto número de éxitos en concreto, sino que ocurran como mucho k éxitos o preguntas similares. En el ejemplo anterior nos pueden preguntar: Cuál es la probabilidad de que la vean como máximo 2 personas? p x 2 = p x=0 + p x=1 + p x=2 = p X 2 = Tablas de la distribución binomial La distribución binomial se encuentra tabulada por lo que es fácil calcular probabilidades sin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribución binomial es necesario conocer: El número de veces que se realiza el experimento (n). La probabilidad de éxito (p). El número de éxitos (k). La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0 01 hasta 0 5). El número de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y el número de éxitos a su lado. El caso en que p > 0.5, no se encuentra tabulado. La razón es que si p > 0.5, entonces q < 0.5 y basta intercambiar los papeles de éxito y fracaso para que podamos utilizar la tabla. La probabilidad de que un alumno de 1º de achillerato apruebe las Matemáticas es de 0 7. i consideramos un grupo de 8 alumnos, cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas? Método I Éxito = aprobar Fracaso = suspender n=8 p=0.7 q=0.3 8, 0.7 p X=5 no se puede calcular mediante tabla porque p>0.5 Éxito = suspender Fracaso = aprobar n=8 p=0.3 q=0.7 8, 0.3 p X=3 Tabla p X=3 =

6 á á 6 Método II Matemáticas _ CC _ 2º achillerato n=8 p=0.7 q=0.3 8, 0.7 p X=5 = p X=5 = En la tabla de la distribución binomial, sólo se admiten valores hasta n=10 (10 repeticiones del experimento). Para valores de n > 10, se emplea la formula. Media, Varianza y Desviación Típica en una distribución binomial Media Varianza Desviación típica μ = n p σ 2 = n p q σ = σ 2 = n p q