Las leyes de conservación son importantes por los siguientes motivos:

Transcripción

1 Capítulo 3 Energía El estado de una partícula viene caracterizado simultáneamente por su masa, posición y velocidad, o su cantidad de movimiento y su posición. Si con el transcurso del tiempo permanecen constantes o invariables estas dos últimas magnitudes se confirma que el estado de esta partícula no varía. Todos los cuerpos materiales constituyen un sistema de partículas, y consecuentemente el estado de un cuerpo será la suma de los estados de cada una de sus partículas. Si con el transcurso del tiempo un cuerpo experimenta un cambio y varía su estado inicial se debe a que ha variado el estado de alguna o todas sus partículas. En cualquier situación si se conocen las condiciones iniciales del estado inicial de las partículas y las fuerzas que actúan sobre ellas, pueden establecerse las ecuaciones de movimiento de las mismas para prever los sucesivos estados posteriores. Sin embargo este procedimiento puede llegar a ser muy complicado y surge la pregunta no hay principios generales, deducibles de las leyes de Newton que ayuden a superar estas dificultades? Ante esta situación surgen las leyes de conservación, una de ellas vista en el tema anterior, la ley de conservación de la cantidad de movimiento, otra vista en cursos anteriores, la ley de conservación de la energía y una tercera llamada conservación del momento angular o momento cinético, que se estudia en próximos cursos. En este tema se amplía al estudio de la ley de conservación de la energía, introduciendo para ello el concepto de trabajo. Las leyes de conservación son importantes por los siguientes motivos: 1. son independientes de la trayectoria de las partículas y de las fuerzas que actúan sobre ellas,. no dependen del tipo de fuerzas, 3. son de una ayuda muy valiosa para la resolución de problemas sobre el movimiento de partículas. 55

2 56 CAPÍTULO 3. ENERGÍA 3.1. Trabajo de una fuerza constante El trabajo de una fuerza constante se define como el producto escalar del vector fuerza resultante aplicada sobre una partícula y el vector desplazamiento experimentado por la misma. El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del menor ángulo que forman: W = F x = F x cos α (3.1) que se expresa en julios (J), cuando la fuerza se mide en newton (N) y el desplazamiento en metros (m). De la definición de trabajo se deduce que si el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento es inferior a 90 o el resultado es positivo, si el ángulo es superior a 90 o el resultado del trabajo es negativo; en el primer caso parte de la fuerza está dirigida en el mismo sentido que el desplazamiento, favorece el aumento de la cantidad de movimiento, y en el segundo caso parte de la fuerza aplicada es opuesta al desplazamiento, favorece la disminución de la cantidad de movimiento. Cuando la fuerza aplicada no hace variar la cantidad de movimiento del cuerpo el trabajo realizado es nulo, y en esto sólamente se da cuando el ángulo es igual a 90 o. Geométricamente el trabajo es igual al área formada por la gráfica de la fuerza, el eje de la posición y las verticales en cada posición como viene dado en la figura (3.1): Figura 3.1: La acción de una fuerza constante (que no varía con la posición del cuerpo) produce un trabajo que coincide con el área del rectángulo sombreado. Ejemplo 1 Calcula el trabajo hecho por una fuerza de 10 N aplicada sobre un cuerpo cuyo desplazamiento es de 3 m, en el caso de que fuerza y desplazamiento sean vectores paralelos, antiparalelos y perpendiculares. En cada caso el ángulo formado por estos vectores es igual a 0 o, 180 o y 90 o respectivamente, por lo que el trabajo vale en cada caso: W = 10 3 cos 0 = 30 J W = 10 3 cos 180 = 30 J

3 3.1. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE 57 W = 10 3 cos 90 = 0 lo que demuestra que el trabajo puede ser positivo, negativo y nulo, aunque hayan fuerzas aplicadas durante el desplazamiento. Ejemplo Calcula el trabajo hecho sobre un cuerpo de 50 kg cuando se desplaza 14 m sobre una superficie horizontal mientras que actúa una fuerza de 370 N que tira del mismo formando un ángulo de 4 o con la horizontal, teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento vale 0,3. En primer lugar se calcula la fuerza de rozamiento cuyo módulo es igual al producto del coeficiente de rozamiento por la fuerza normal, que al ser un plano horizontal coincide con el módulo del peso: F roz = 0, , 8 = 147 N que permite calcular el trabajo teniendo en cuenta que esta fuerza forma un ángulo de 180 o con el desplazamiento: W = cos cos 4 = , 17 = 674, 17 J La potencia es una magnitud que mide la rapidez con la que se realiza un trabajo: P = W (3.) t siendo su unidad el watio (W) cuando el trabajo se mide en julios (J) y el tiempo en segundos (s). Cuando una máquina realiza un trabajo en un determinado tiempo, desarrolla una potencia que viene dada por la expresión anterior; esta potencia desarrollada también depende de la fuerza aplicada. Si se sustituye el término de trabajo usando la expresion (3.1) se obtiene una relación que muestra que la potencia es igual al producto escalar de la fuerza aplicada y la velocidad media del cuerpo: P = F x t = F v (3.3) Ejemplo 3 Una máquina desarrolla una potencia de 1000 W cuando levanta un cuerpo de 100 kg en 4 s haciendo una fuerza igual al peso. Qué trabajo ha hecho la máquina? Qué velocidad alcanza el cuerpo? Se aplica la ecuación (3.): W = P t = = 4000 J y la velocidad media se despeja de la ecuación (3.3): v = 1000 = 1, 0 m/s 100 9, Trabajo de la fuerza homogénea de la gravedad La ley de gravitación universal indica que la fuerza de la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia, sin embargo puede considerarse constante siempre que los desplazamientos en altura no sean muy grandes, tomando como valor constante la aceleración g de la gravedad, por este motivo puede aplicarse la ecuación (3.1) y no la (3.6) para obtener el trabajo hecho por la Tierra sobre

4 58 CAPÍTULO 3. ENERGÍA un cuerpo situado en sus alrededores que se desplaza desde el suelo a una cierta altura x: W = m g x cuando el cuerpo asciende el ángulo entre los vectores aceleración de la gravedad y desplazamiento es de 180 o, cuyo coseno vale -1, indica que el trabajo es negativo lo que es correcto porque la fuerza de la gravedad reduce la cantidad de movimiento del cuerpo; por contra cuando el cuerpo desciende los vectores g y desplazamiento forman un ángulo de 0 cuyo coseno toma el valor 1, siendo el trabajo realizado positivo que coincide con el hecho de que aumenta su cantidad de movimiento. La anterior expresión puede escribirse sin utilizar vectores, teniendo cuidado de poner signo negativo a la aceleración de la gravedad y de considerar el suelo como origen del sistema de referencia: W = m g x = m g (x ) = m g x + m g (3.4) si x es mayor que el cuerpo asciende y el trabajo es negativo, cuando el cuerpo cae x sería inferior a siendo el trabajo realizado positivo Producto de vectores Cuando se multiplican dos vectores el resultado obtenido puede ser un escalar u otro vector, por este motivo el producto de dos vectores puede ser un producto escalar y un producto vectorial respectivamente; el primero es el aplicado en este tema. El producto escalar de dos vectores que forman un ángulo α se define como el producto de los módulos de ambos por el coseno del menor ángulo que forman, siendo su resultado un escalar por definición: A B = A B cos α El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo α se define como un vector de módulo igual al producto de los módulos de los vectores dados por el seno del menor ángulo que forman; su dirección es perpendicular al plano formado por los dos vectores y el sentido que se obtiene al girar el primer vector sobre el segundo por el ángulo más corto. A B = A B sin α 3.. Trabajo de una fuerza variable Un muelle o una goma elástica tienen la propiedad de recuperar la forma inicial tras la deformación sufrida por la acción de una fuerza, siempre que esta fuerza aplicada no sobrepase un determinado límite de elasticidad que depende del tipo de material y forma de construción del muelle o goma. Cuerpos como estos cumplen la ley de Hooke, donde la fuerza ejercida por estos es directamente proporcional al desplazamiento experimentado: F = K x (3.5)

5 3.. TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE 59 Figura 3.: La regla del tornillo sirve de símil para saber que el sentido del producto del vetor A por el B es otro vector perpendicular al plano y sentido hacia abajo, se aprieta el tornillo, ya que gira desde A hasta B por el ángulo más corto; sin embargo el vector producto de D y C tiene el sentido hacia arriba por que al mover el D sobre el C por el ángulo más corto se afloja el tornillo. donde K es la constante de elasticidad expresada en N/m y x es la elongación del muelle o goma que coincide con su posición, por lo que se deduce que la fuerza es variable con el desplazamiento. Si se aplicara la ecuación (3.1) se obtendría, tomando x = x x o = x al ser x o = 0 la posición de equilibrio: W = F x = K x x cos 0 = K x Al comparar este resultado con su representación gráfica se comprueba que el trabajo hecho por un muelle desde su posición inicial 0 hasta su posición x resulta ser la mitad del obtenido anteriormente: La expresión (3.1) sólamente es válida cuando la fuerza permanece constante, pero cuando la fuerza es variable el trabajo se obtiene mediante una expresión que se deduce del siguiente razonamiento. En la gráfica (3.3) se cogen intervalos muy pequeños de desplazamiento, de forma que el área total sea la suma de las áreas de todos los rectángulos que se forman, dichas figuras se aproximan a rectángulos cuando se toman desplazamientos infinitamente pequeños, y después se suman para obtener el área de la figura: W = lím x 0 x F x = x F dx (3.6) donde dx representa el intervalo infinitamente pequeño llamado diferencial de x y es la forma de indicar que el producto F dx es la derivada de una función, por lo tanto el signo llamado integral significa buscar esa función primitiva u original cuya derivada se encuentra en el interior de este símbolo. Puede ser obviado el tratamiento vectorial si se estudian solemente aquellos casos en los

6 60 CAPÍTULO 3. ENERGÍA Figura 3.3: La fuerza crece con el aumento de la longitud del muelle y el área que representa el trabajo coincide con la de un triángulo cuya base es x y la altura K x. que la fuerza y el desplazamiento están alineados: W = x F u x dx u x = x F dx (3.7) ya que el producto escalar del un vector unitario consigo mismo cumple con la condición u x u x = 1. Si se aplica esta última expresión para calcular el trabajo realizado por un muelle que se ha estirado desde la posición hasta x metros se obtiene lo siguiente: W = x K x dx = ] x [ K x = K x + K Ejemplo 4 Calcula el trabajo hecho por un muelle que se estira cm desde su posición de equilibrio ( = 0), sabiendo que la constante de elasticidad es de 3 N/m. Se aplica la ecuación (3.7) donde x es 0,0 m y K toma el valor de 3 N/m: (3.8) W = 0,0 0 3 x dx = ] 0,0 [ 3 x 0, 0 = 3 = J 0 Otra fuerza variable con la distancia es la gravitatoria, que viene dada por la ley de gravitación universal de Newton, que en una dimensión toma la forma: F = G M m ux (3.9) x representa la distancia entre los centros de ambos cuerpos, y esta fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia entre ambos cuerpos y cuyo sentido es opuesto al vector posición del cuerpo problema.

7 3.3. ENERGÍA POTENCIAL Y FUERZAS CONSERVATIVAS 61 Para calcular el trabajo hecho por esta fuerza se aplica de nuevo la ecuación (3.6): x W = G M m [ ] x G M m dx = = = G M m G M m 1 (3.10) si M es la masa de la Tierra y m la del cuerpo problema, y este último cambia de posición, siendo x mayor que, la Tierra hace un trabajo negativo, ya que en la expresión (3.10) el primer sumando es menor que el segundo. Ejemplo 5 Calcula el trabajo hecho por la Tierra cuando un cuerpo de 00 kg cambia de la posición 6, m a 6, m. (Masa de la Tierra kg y la constante G 6, Se aplica la ecuación (3.10): W = G M m G M m 1 = 1, , = J Cálculo de integrales definidas La aplicación de la derivada a una función F(x) permite obtener otra función llamada derivada f(x), y la operación inversa que consiste encontrar la función original o primitiva F(x) a partir de f(x) viene dada por la aplicación de la integral, representadas así: f(x) = df (x) dx F (x) = f(x)dx Sólamente se verán aquellas integrales llamadas inmediatas, es decir aquellas cuya función primitiva es fácil de deducir, aplicadas a funciones polinómicas del tipo ax + b. Por ejemplo la función primitiva de 3 es 3x+C, donde C es una constante que se obtiene de las condiciones iniciales del problema. Sin embargo esta constante no es un obstáculo cuando se aplican las integrales definidas, ya que se anula: x x x 5dx = [5x + C] x = 5x 5 xdx = [ x + C]x = x x 1 x dx = [ x 1 + C] x = 1 x + 1 regla conocida con el nombre de Barrow y que viene explicada en la gráfica (3.4) 3.3. Energía potencial y fuerzas conservativas Se ha visto como el trabajo hecho por una fuerza elástica o por la fuerza homogénea de la gravedad sólamente depende de la posición inicial y final, como se muestra en las ecuaciones (3.8) y (3.4). No todas las fuerzas tienen esta

8 6 CAPÍTULO 3. ENERGÍA Figura 3.4: La integral definida entre y x es la diferencia entre las áreas comprendidas entre 0 y x y entre 0 y. propiedad tan importante, por ejemplo el trabajo hecho por las fuerzas de rozamiento si que depende del camino llevado o desplazamiento, es decir de todas las posiciones y no solamente de la final e inicial. Cuando en un sistema inercial de referencia una fuerza es independiente del tiempo o estacionaria, su intensidad sólamente depende de la posición de la partícula sobre la que actúa. Esto implica que el trabajo hecho entre dos posiciones no dependa del camino seguido entre ellos; estas fuerzas son llamadas conservativas. La fuerza elástica del muelle y la fuerza homogénea de la gravedad son dos ejemplos de fuerzas conservativas. Entonces es posible definir el estado de un cuerpo enganchado a un muelle y el de un cuerpo en las inmedicaciones de la superficie terrestre por una magnitud llamada energía potencial elástica o potencial gravitatoria respectivamente, que tienen la forma: U = K x (3.11) U = m g x (3.1) una energía que aumenta conforme aumenta la elongación del muelle o cuando aumenta la altura sobre el suelo de la Tierra. En ambos casos se considera el origen de la energía potencial elástica y gravitatoria cuando el muelle está en su posición de equilibrio o el cuerpo está sobre la superficie terrestre, donde x vale 0. En general la energía potencial es una energía asociada un cuerpo sometido a la acción de una fuerza conservativa y que depende solamente de su posición y de las características de dicha fuerza. La ecuación (3.8)relaciona el trabajo hecho cuando un muelle se deforma con la variación de la energía potencial del cuerpo enganchado al muelle: W = K x + K = (K x K ) = (U U 1 ) = U (3.13)

9 3.3. ENERGÍA POTENCIAL Y FUERZAS CONSERVATIVAS 63 que confirma que la energía potencial del muelle disminuye cuando intenta recuperar su forma incial y aumenta cuando se deforma, en el primer caso se acerca a su posición de equilibrio y en el segundo se aleja de la misma. Y por otro lado la ecuación (3.4) relaciona el trabajo hecho para subir o bajar un cuerpo en las proximidades de la superficie terrestre con la variación de la energía potencial del cuerpo: W = m g x +m g = (m g x m g ) = (U U 1 ) = U (3.14) de donde se deduce que el cuerpo pierde energía potencial conforme desciende y gana energía potencial gravitatoria cuando se eleva, en el primer caso se acerca a su posición de equilibrio y en el segundo se aleja de la misma. Ejemplo 6 Calcula el trabajo hecho por la Tierra cuando un cuerpo cambia de estar a un metro del suelo a 5 m. La energía potencial del cuerpo en ambas posiciones es: U 1 = 30 9, 8 1 = 94 J ; U = 30 9, 8 5 = 1470 J y la relación con el trabajo hecho por la Tierra viene dado por la ecuación (3.14): W = U = (U U 1) = ( ) = 1176 J el resultado es coherente con lo dicho al principio, el trabajo disminuye la cantidad de movimiento, se opone a que el cuerpo se aleje de forma indefinida de la Tierra. Ejemplo 7 Un muelle hace un trabajo de 30 J para recuperar su forma, sabiendo que su constante de eslasticidad es de 500 N/m, calcula el alargamiento que había sufrido tomando su posición de equilibrio cero. Calcula la energía potencial inicial y final del cuerpo cogido al muelle. Se aplica la ecuación (3.13): 30 = 500 x + K 0 y se obtiene que x es igual a 0,34641 m aproximadamente. La energía potencial viene dada por la expresión (3.11): U = K x = 500 0, J que coincide con la relación entre el trabajo y la variación de energía potencial elástica W = U y que su energía potencial en la posición de equilibrio es cero. La fuerza gravitatoria dada por la ley de gravitación universal de Newton también es una fuerza conservativa que solamente depende de la posición del cuerpo relativa al centro de la Tierra, y es independiente del tiempo, y por este motivo debe haber una energía potencial gravitatoria cuya forma deriva de la expresión (3.10): ( G M m + G M m ) = 1 = (U U 1 ) = U (3.15) W = G M m G M m 1 =

10 64 CAPÍTULO 3. ENERGÍA donde la energía potencial gravitatoria es: U = G M m (3.16) Escala de energía potencial gravitatoria La energía potencial asociada a un cuerpo sometido a una fuerza conservativa, como es la gravitatoria, necesita una escala para hacer referencia a energías absolutas. Como es costumbre la energía potencial gravitatoria se aborda desde dos puntos de vista: en uno de ellos se considera homogénea la fuerza de la gravedad (una aproximación válida para objetos que ocupan posiciones cercanas a la superficie terrestre) y en el otro se considera la ley de gravitación universal de Newton. Cuando se trata de la fuerza homogénea de la gravedad la expresión de la energía potencial es U = mgx donde x es la altura sobre la superficie terrestre, que fácilmente permite escoger como origen de la escala la de un cuerpo situado a una altura nula x = 0 que implica que U = 0. Por otro lado la expresión de la energía potencial derivada de la ley de gravitación universal de Newton es: U = GM tm R t + x donde M t y R t son la masa y radio de la Tierra y x la altura sobre la superficie terrestre. En este caso el valor cero de la energía se obtiene cuando la altura se hace infinitamente grande, entonces: GM t m U = lím x R t + x = 0 Aunque se utilicen diferentes escalas para medir la energía potencial gravitatoria, dos cosas están claras, que en ambas la energía potencial aumenta conforme aumenta la distancia a la superficie terrestre y que la diferencia energética entre dos posiciones es la misma, ya que las dos se expresan en la misma unidad. Para comprobar estas dos afirmaciones considérese un cuerpo de masa 1 kg que está en la posición inicial en la superficie terrestre y a una altura de 10 m en una posición final:

11 3.4. ENERGÍA CINÉTICA 65 U asociada a un cuerpo U asociada a un cuerpo sometido a la fuerza homogénea de la gravedad sometido a la ley de gravitación universal de Newton = 0 U 1 = 1 9, 8 0 = 0 U 1 = 6, = 6, J x = 10 U = 1 9, 8 10 = 98 J U = 6, = 6, J U > U 1 U > U 1 U U 1 = 98 J U U 1 = 98, 4 J la no coincidencia se debe a que la aplicación de la fuerza homogénea de la gravedad es una aproximación de la ley de gravitación universal de Newton Energía cinética También se encuentra una energía asociada con un cuerpo en movimiento, llamada energía cinética, y para ello se sabe que el trabajo también está relacionado con la cantidad de movimiento y la velocidad instantátena, según las siguientes ecuaciones: que sustituidas en la ecuación del trabajo (3.1) resulta: x = v t (3.17) F = m v t (3.18) W = m v v t = m v v t una expresión que no puede calcularse tal y como está porque si la velocidad varía, qué valor debe colocarse en v?, de nuevo se aplica el concepto de límite, cuando el incremento de velocidad es infinitamente pequeño: W = lím v 0 = = v v v 1 m v v = m vdv = v 1 ] v [m v v 1 = = m v mv 1 (3.19)

12 66 CAPÍTULO 3. ENERGÍA que permite definir una nueva energía relativa a la cantidad de movimiento de un cuerpo, llamada energía cinética E c que es igual al semi producto de la masa por el cuadrado de la velocidad, que indica que siempre será positiva: E c = m v y siguiendo con la última ecuación se obtiene que: (3.0) W = E c E c1 = E c (3.1) donde de nuevo se encuentra una relación entre el trabajo realizado sobre un cuerpo y su variación de energía cinética que también depende de los estados inicial y final, sin importar el proceso intermedio. Un trabajo positivo hecho sobre un cuerpo sirve para aumentar su energía cinética y uno negativo para disminuirla. Ejemplo 8 Calcula la variación de la energía cinética de un cuerpo sobre el que actúa una fuerza constante de 4 N a lo largo de 10 m, si fuerza y desplazamiento forman un ángulo de 0 o. Se calcula el trabajo hecho por la fuerza según la ecuación (3.1): W = 4 10 cos 0 37, 6 J y como la variación de la energía cinética es igual al trabajo hecho según la ecuación (3.1): E c = 37, 6 J 3.5. Energía mecánica total El trabajo realizado por una fuerza conservativa, como es la fuerza de la gravedad, está relacionada tanto con la variación de la energía potencial del cuerpo, ecuación (3.14) como con la variación de la energía cinética del mismo cuerpo, ecuación (3.1), que al igualarse queda la sigiuente expresión: W = U W = E c que al desglosar el incremento se obtiene: } U = E c (3.) (U U 1 ) = E c E c1 U 1 + E c1 = U + E c (3.3) lo que permite definir la energía mecánica total de un sistema material como la suma de las energías potencial y cinética de dicho sistema: E = E c + U (3.4) Cuando además de las fuerzas conservativas actúan fuerzas que no son conservativas, como las de rozamiento, el trabajo de ambas fuerzas W c y W nc influye en la variación de la energía cinética del sistema material sobre el que actúan, según la ecuación (3.1): E c = W c + W nc E c = U + W nc E c + U = W nc (3.5)

13 3.5. ENERGÍA MECÁNICA TOTAL 67 y al desglosar los incrementos queda: (E c E c1 ) + (U U 1 ) = W nc (E c + U ) (E c1 + U 1 ) = W nc E = W nc (3.6) una expresión que indica que la energía de un sistema aumenta si el trabajo de las fuerzas no conservativas es positivo, y por contra cuando este trabajo es negativo la energía del sistema disminuye, y cuando es cero la energía del sistema se conserva, expresando de esta manera la ley de conservación de la energía mecánica: E = E c + U = constante (3.7) Ejemplo 9 Una presa de agua tiene un desnivel de 50 m. Calcula la velocidad con la que cae el agua sin tener en cuenta el rozamiento. En el caso de que el rozamiento afectase la velocidad del agua sería menor o mayor a la calculada? En el caso de no considerar el rozamiento, la única fuerza que actúa es la homogénea de la gravedad, que por el hecho de ser conservativa permite aplicar la ley de conservación de la energía mecánica en el sentido de que la suma de las energías cinética y potencial arriba es igual a esa suam de energías abajo, pero se sabe que arriba el agua tiene una energía cinética nula y abajo una energía potencial cero (considerando los 50 metros como desnivel) y por tanto puede escribirse que la energía potencial arriba es igual a la energía cinética abajo: m 9, 8 50 = m v 9, 8 50 v = = 15, 65 m/s Para responder a la segunda pregunta tiene que saberse el signo del trabajo hecho por la fuerza no conservativa, que al ser de rozamiento indica que es negativo, por lo tanto según la expresión (3.6) la energía total del sistema debe disminuir, es decir que la energía cinética abajo es inferior a la calculada y también su velocidad.

14 68 CAPÍTULO 3. ENERGÍA 3.6. Ejercicios Trabajo de fuerzas constantes y variables 1. Calcula el trabajo hecho por un esquimal que arrastra un trineo mediante una cuerda que forma un ángulo de 0 o con la horizontal si hace una fuerza constante de 30 N a lo largo de 0 m.. Una grúa eleva una masa de 13 kg a una altura de 1 m, qué trabajo ha realizado? 3. Una goma elástica cuyo coeficiente de elasticidad es de 0,0 N/m se estira con la mano cm desde su posición de equilibrio, qué trabajo hace la mano? qué trabajo hace la goma? 4. Una persona eleva un cuerpo de 00 kg a 1,5 m arrastrandolo con MRU por una plataforma inclinada 10 o sobre la horizontal, qué trabajo ha hecho la persona? sería el mismo si lo hubiera elevado verticalmente sin la ayuda de la plataforma, en ausencia de rozamiento? 5. Una máquina hace un trabajo de 600 J para elevar un cuerpo de 3000 g, a que altura lo la elevado? 6. Qué trabajo hace la Tierra sobre un cuerpo de,3 kg que asciende desde el suelo hasta los 15 m? y cuando el cuerpo cae desde 15m hasta el suelo? qué trabajo hace la Tierra desde que se lanza el objeto hasta que vuelve a caer? 7. Un cuerpo de 0 kg dispone de 5 MJ para elevarse verticalmente en el aire, qué altura alcanzará supuesta homogenea la fuerza de la gravedad? Qué trabajo habrá hecho la Tierra? 8. Calcula el trabajo realizado por un cuerpo que estira desde 1 cm a cm un muelle que sigue la ley de Hooke 0, 3x donde x se mide en metros. Aplica el método de la integral y el gráfico. 9. Una máquina desarrolla una potencia de 500 W al arrastrar un cuerpo en reposo haciendo una fuerza constante de 3 N a lo largo de 10 m, si la fuerza aplicada es paralela al desplazamiento, en cuánto tiempo lo realiza? 10. El motor de un coche de 780 kg consigue que alcance 30 m/s desde el reposo en 7 s. Si la fuerza aplicada es constante, cual es la potencia desarrollada por el motor? Energía potencial y cinética 11. Calcula la energía potencial de un cuerpo sujeto a un muelle cuya constante de elasticidad es 3 N/m si se estira 4 cm desde su posición de equilibrio. 1. Calcula la energía potencial de un cuerpo de 00 g que se encuentra a 3 m del suelo.

15 3.6. EJERCICIOS Un cuerpo de kg tiene una energía potencial gravitatoria de 300 J, a qué altura se encuentra? 14. Un muelle tiene doble energía potencial elástica que otro cuando ambos se estiran cm desde su posición de equilibrio. qué relación guardan sus coeficientes de elasticidad? 15. Un cuerpo de 60 kg situado en un astro tiene una energía potencial de 600 J a una altura de 1 m del suelo, mientras que en otro su energía potencial es de 100 J. Cuanto vale la aceleración de la fuerza homogénea de la gravedad en cada astro? De qué astros se trata? 16. Calcula la variación de energía potencial que experimenta un objeto unido a un muelle que se contrae 3 cm desde su posición de equilibrio si cumple la ley de Hooke 0, x siendo x medido en metros. 17. Cuando es nula la variación de energía potencial de un cuerpo que se mueve en la superficie terrestre 18. Un cuerpo de 40 kg se mueve con MRU a una velocidad de 40 km/h, cual es su energía cinética? 19. Sobre un cuerpo de 3 kg en reposo actúa una fuerza que realiza un trabajo de 400 J, qué velocidad alcanza el cuerpo? 0. Una fuerza de 500 N actúa sobre un cuerpo de 5 kg inicialmente en reposo a lo largo de 3 m, qué velocidad alcanza el cuerpo si la fuerza y el desplazamiento son paralelos? y si formaran un ángulo de 4 o? 1. Un cuerpo de 35 kg posee una energía cinética de J y se le opone una fuerza de 300 N a lo largo de 100 m, cual es la energía cinética final? y sus velocidades inicial y final? Ley de conservación de la energía mecánica. Sobre un cuerpo actúa una fuerza conservativa cuyo trabajo es de 0 J de forma que incrementa su energía cinética, cual es la variación de la energía potencial del cuerpo? cómo varía la energía mecánica total del cuerpo? 3. Sobre un cuerpo de 5 kg actúa una fuerza conservativa de forma que su velocidad pasa de 30 a 10 m/s, determina la variación de energía cinética, la variación de la energía potencial y la variación de la energía mecánica total. 4. Si la energía potencial inicial es de 00 J cuando un cuerpo de 5 kg se movía a 30 m/s, determina la energía potencial y cinética que posee cuando se mueve a la velocidad de 10 m/s, si solo actúa la fuerza gravitatoria. 5. Determina en qué condiciones es posible que aumente la energía potencial de un cuerpo que se mueve por la influencia de una fuerza conservativa. 6. Un cuerpo mantiene su velocidad constante pero disminuye su energía potencial, cómo demuestras que se ha aplicado una fuerza no conservativa?

16 70 CAPÍTULO 3. ENERGÍA 7. Calcula la altura alcanzada por un cuerpo de 3 kg que se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s, si sólo actúa la fuerza homogénea de la gravedad. Qué ocurre realmente y por qué? 8. Calcula la velocidad que alcanza una bola de 0,5 kg dejada caer de 30 m si sólo actúa la fuerza homogénea de la gravedad. Realmente alcanzaría este valor? 9. Un bloque de 15 kg es empujado por una fuerza de 60 N paralela a una superficie rugosa horizontal siendo el coeficiente de rozamiento de 0,1. Si el bloque se traslada 10 m calcula. a) el trabajo hecho sobre el cuerpo, b) el trabajo de la fuerza de rozamiento, c) la variación de energía cinética, d) la velocidad final si estaba inicialmente en reposo. 30. Calcula la distancia recorrida por una masa con velocidad inicial de 10 m/s a lo largo de un plano rugoso horizontal siendo el coeficiente de rozamiento de 0,. 31. Calcula la velocidad máxima que alcanza un cuerpo de 50 g que cae por una superficie rugosa inclinada 60 o sobre la horizontal, cuando se deja caer desde una distancia de 30 cm del comienzo del plano horizontal siendo el coeficiente de rozamiento de 0, Una masa de kg desciende deslizándose por una superficie lisa y curva desde una altura de 5 m; al pie de la rampa hay un muelle cuya constante de elasticidad es de 350 N/m con el que choca el cuerpo. Calcula a) la compresión del muelle y b) la energía del cuerpo cuando deja de comprimir el muelle. 33. Una masa de 3 kg se comprime contra un muelle cuya constante de elasticidad es de 500 N/m hasta 0 cm de la posición de equilibrio y cuando se deja libre el cuerpo se desliza por una superficie lisa, primero horizontal y después inclinada ascendente 45 o. Calcula a) la velocidad del cuerpo justamente después de abandonar el contacto con el muelle, b) la distancia recorrida en el plano inclinado. 34. Un dispositivo lanzador de platos de 60 g (tiro al plato) consigue que alcancen una altura de 10 m cuando se lanzan verticalmente. Calcula la constante de elasticidad del resorte si la compresión del mismo es de 15 cm. 35. Una máquina de Atwood está formada por dos cuerpos de masas y 3 kg cuya diferencia de altura es de 60 cm. Calcula la velocidad de las masas cuando, después de dejarlas libres, se mueven hasta alcanzar la misma altura. 36. Una pelota de 50 g se lanza con una velocidad de 0 m/s con un ángulo de 35 o sobre la horizontal. Expresa la energía cinética en función de las componentes de la velocidad. Calcula la altura máxima que alcanza la pelota. En qué momento la energía cinética es mínima? Por qué no hay diferencia entre la energía cinética que tenía el cuerpo en el momento del lanzamiento y en el momento de tocar suelo?

17 3.6. EJERCICIOS Un cuerpo de 4 kg se desliza por una superficie lisa horizontal y está atado mediante un hilo a un cuerpo de kg que pende. Calcula la velocidad de ambos cuerpos cuando el cuerpo que pende haya descendido 50 cm. 38. Comprueba, mediante la aplicación de la ley de conservación de la energía mecáncia, que la componente vertical de la velocidad cuando toca el suelo de un objeto que sigue un movimiento horizontal es v y = gy 0 siendo y 0 la altura desde la que se lanzó.

18 7 CAPÍTULO 3. ENERGÍA