Estudio de dinámica de una red neuronal con modelo de Hindmarsh-Rose

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1 Estudio de dinámica de una red neuronal con modelo de Hindmarsh-Rose Carlos García Argos 22 de noviembre de 2008 Blah Resumen Índice 1. Introducción 1 2. Modelo de Hindmarsh-Rose Implementación del modelo Resultados del estudio mediante simulaciones Simulaciones con una neurona aislada Simulaciones con una red de 3 neuronas acopladas Conclusiones 6 1. Introducción Esta práctica está basada en el trabajo previo discutido en [1], y consiste en la implementación de un modelo de red neuronal simple, formada por 3 neuronas interconectadas por conductancias que simulan una sinapsis eléctrica. En este trabajo se presenta la implementación llevada a cabo para realizar las simulaciones en software de cálculo numérico. Concretamente, el software aquí incluido se ejecuta tanto en GNU Octave [2] como en MATLAB [3]. Las simulaciones se realizan en base al modelo de Hindmarsh-Rose [4], el cual se ha resuelto mediante métodos numéricos para EDOs de Runge-Kutta. 2. Modelo de Hindmarsh-Rose Las ecuaciones que gobiernan la dinámica del modelo que se ha simulado son: dx i (t) dt = y i (t) + 3x 2 i (t) x 3 i (t) z i (t) + e i j i g ij (x i (t) x j (t)) dy i (t) dt dz i (t) dt = 1 5x 2 i (t) y i (t) = µ ( z i (t) + S (x i (t) + 1,6)) Se trata de unas ecuaciones diferenciales acopladas, que forman un sistema de ecuaciones no lineales que puede ser resuelto mediante técnicas numéricas. En este caso, se ha optado por un método de Runge-Kutta de quinto orden con 6 evaluaciones de la función (RK56). Existen dos variantes de dicho método, que únicamente se diferencian por los pesos de los valores de la función evaluados. La decisión de optar por un método de Runge-Kutta de orden elevado, frente a un método más simple como el método de Euler o un ODE23 se debe a la inestabilidad del primero y a la falta de precisión para el segundo, 1

2 que requiere valores de paso demasiado pequeños para ser utilizado de forma práctica en un lote de muchas simulaciones. En la siguiente sección se incluye el código fuente de los programas implementados que pueden utilizarse para la verificación de los resultados que se presentan en la sección 3. Los valores de los parámetros µ y S se fijan a: µ = 0,0021 S = 4 En todos los casos. Por otro lado, el parámetro e i gobierna el régimen de la neurona: Régimen regular: e i = 3 Régimen caótico: e i = 3, Implementación del modelo hr red.m Este archivo contiene las ecuaciones de Hindmarsh-Rose y los parámetros de cada una de las neuronas. Es posible adaptarlo para simular una red más grande o más pequeña, indicando el número de neuronas en la variable N y modificando los array de los parámetros µ, S y e i (que pueden configurarse diferentes para cada neurona), así como el array de conductancias entre las neuronas. Para llevar a cabo las diferentes simulaciones de la práctica, es necesario modificar los valores de los vectores E y G. Además, para simular una neurona aislada puede modificarse el valor de N a 1 en este archivo y en el siguiente. % Neurociencia Computacional 1 % Practica 2: Modelo de red - Ecuaciones del modelo HR % Carlos Garcia Argos (carlos.garciaargos@estudiante.uam.es) function dydt = hr_red(t,x) S = 4; mu = [0.0021, , ]; E = [ , , ]; % N = numero de neuronas N = 3; g1 = 0.03; g2 = 0.03; G = [0 g2 g1; g2 0 g1; g1 g1 0]; for i=0:n-1 % Suma de los estimulos que vienen de las otras neuronas de la red suma = 0; for j=1:n suma = suma + G(i+1,j)*(x(i+1) - x(j)); end; % Las tres ecuaciones del modelo dydt(3*i+1,1) = x(3*i+2) + 3*x(3*i+1)ˆ2 - x(3*i+1)ˆ3 - x(3*i+3) + E(i+1) + suma; dydt(3*i+2,1) = 1-5* x(3*i+1)ˆ2 - x(3*i+2); dydt(3*i+3,1) = mu(i+1)*(-x(3*i+3) + S*(x(3*i+1) + 1.6)); end; 2

3 prac2hr red.m Este programa simplemente hace la llamada al método de Runge-Kutta con los vectores de tiempo y de condiciones iniciales correspondientes. Se ha tomado un vector de condiciones iniciales nulo, a pesar de que sería posible obtener mejores resultados con uno mejor adaptado, por carecer de información sobre las posibles condiciones iniciales en este escenario. En este archivo también se incluye el parámetro N que indica el número de neuronas a simular, solamente para establecer el vector de condiciones iniciales. % Neurociencia Computacional 1 % Practica 2: Modelo de red % Carlos Garcia Argos (carlos.garciaargos@estudiante.uam.es) % Parametros de la simulacion: paso y tiempo final dt = 0.05; fin = 10000; N = 3; % Condiciones iniciales yinit = zeros(1,3*n); % Vector de tiempo tspan = 0:dt:fin; % Llamada al metodo de resolucion del SEDO [t_plot,y_plot] = rk56a( hr_red, 0, fin, yinit, dt); rk56a.m % Implementacion del Metodo de Runge-Kutta de quinto orden % Metodo A de orden 5 con 6 evaluaciones % Uso: [t,y,dy]=rk56a(funcion,inicio,fin,alfa,paso) % % (C) - Carlos Garcia Argos, 20/VIII/2001 function [ts,ys,fs]=rk56a(f,inicio,fin,alfa,h) if nargin<5 disp( Faltan argumentos de entrada ); return; else ts=inicio:h:fin; ys(:,1)=alfa; n=(fin-inicio)/h; for i=1:n k1=feval(f,ts(i),ys(:,i)); k2=feval(f,ts(i)+h,ys(:,i)+h*k1); k3=feval(f,ts(i)+h,ys(:,i)+(k1+k2)*h/2); k4=feval(f,ts(i)+h/4,ys(:,i)+h*(14*k1+5*k2-3*k3)/64); k5=feval(f,ts(i)+h/3,ys(:,i)+h/96*(-12*k1-12*k2+8*k3+64*k4)); k6=feval(f,ts(i)+h*(3/4),ys(:,i)+h/64*(-9*k2+5*k3+16*k4+36*k5)); fs(:,i)=k1; ys(:,i+1)=ys(:,i)+(7*k1+7*k3+32*k4+12*k5+32*k6)*h/90; end; 3

4 end; 3. Resultados del estudio mediante simulaciones 3.1. Simulaciones con una neurona aislada Definición de las simulaciones Las simulaciones para una neurona aislada que se han llevado a cabo han consistido en dos casuísticas: 1. Una sola neurona en régimen regular. 2. Una sola neurona en régimen caótico. La longitud de las simulaciones se ha establecido de manera que sea posible observar varios ciclos de funcionamiento de las neuronas y que el tiempo de simulación esté aceptablemente acotado alrededor de una hora en un procesador actual. Se ha optado por una simulación hasta unidades de tiempo (que en el modelo de Hindmarsh-Rose es adimensional). A continuación se presentan las gráficas de ambos casos, tanto el tiempo completo de simulación como una muestra en un intervalo más reducido, de 5000 unidades de tiempo Gráficas de resultados La Figura 1 se muestra el resultado obtenido para el caso del régimen regular. Se observa que las ráfagas siguen una distribución uniforme, con una distribución claramente periódica de dichas ráfagas. (a) Tiempo total de la simulación (b) Zoom Figura 1: Resultado de la simulación para una neurona regular Por el contrario, como se observa en la Figura 2 se ilustra el caso de una neurona en régimen caótico. En este caso, las ráfagas no muestran ningún comportamiento periódico, sino que cada ráfaga dispara en un instante diferente e independiente de las anteriores, además de tener duraciones diferentes Simulaciones con una red de 3 neuronas acopladas Definición de las simulaciones Para el caso de tener 3 neuronas acopladas mediante sinapsis eléctricas, se han simulado los mismos casos que en [1], que se ilustran en la Tabla 1. Para el caso de tener las neuronas desacopladas,... 4

5 (a) Tiempo total de la simulación (b) Zoom Figura 2: Resultado de la simulación de una neurona caótica Simulación g 1 g 2 Régimen A 0 0 Caótico B 0,01 0,01 Caótico C 0,03 0,03 Caótico D 0 0,02 Caótico E 0,01 0,01 Regular F 0 0,02 Regular Cuadro 1: Parámetros para las simulaciones con la red de 3 neuronas 5

6 Gráficas de resultados 4. Conclusiones En esta práctica se ha hecho blah blah blah. Referencias [1] F.B. Rodriguez, P. Varona, R. Huerta, M.I. Rabinovich, Henry D.I. Abarbanel. Richer Network Dynamics of Intrinsically Non-regular Neurons Measured through Mutual Information. International Work-Conference on Artificial and Natural Neural Networks, [2] GNU/Octave. [3] MATLAB. [4] J.L. Hindmarsh, R.M. Rose. A Model of Neuronal Bursting Using Three Coupled First Order Differential Equations. Proceedings of the Royal society of London,