TEMA Nº 2. SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCSCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MECÁNCA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS TEMA Nº 2. SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN PROFESOR: ING. CARLOS A. PÉEZ M.- Punto Fijo; abril de 2016

2 TEMA N 2 SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN 2.1 Definición de un sistema de primer orden: Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) es modelada mediante una ecuación diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema lineal o linealizado, se tiene: a 1 *y(t) + a O *y = b * x(t ) Donde x(t) es la entrada (función forzada). Si se divide toda la expresión entre a o quedaría de la forma siguiente, aplicando el teorema de diferenciación real propuesto por Laplace, queda la ecuación de la manera siguiente: t p dy + y = K p x(t ) dt Tp Es conocida como constante de tiempo y K p es conocida como ganancia de estado estable o ganancia del proceso. Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación es también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer Orden ó retardo lineal. 2.2 Modelamiento de procesos como sistemas de primer orden. Tiene capacidad para almacenar materia o energía. Presentan una resistencia asociada con el paso del flujo de masa ó energía. 2.3 Balance de materia Ley de conservación de la materia Si no hay generación o consumo de materia dentro del sistema Acumulación = Entradas Salidas Si no existe acumulación o consumo de materia dentro del sistema, se dice que Estamos en estado estacionario o uniforme. 2

3 Entradas = Salidas Si no existen flujos de entrada y salida, se reduce al concepto básico la conservación de la materia dentro de un sistema cerrado o aislado. Para todo balance de materia debe definirse un sistema, se entiende por este a cualquier porción arbitraria o total de un proceso. El método general para resolver balances de masa (BM) es simple: 1. Definir el sistema. Dibujar un diagrama de proceso. 2. Colocar en el diagrama los datos disponibles. 3. Observar cuales son las composiciones que se conocen, o que pueden calcularse fácilmente para cada corriente. 4. Determinar las masas (pesos) que se conocen, o que pueden definirse fácilmente, para cada corriente. Una de estas masas puede usarse como base de cálculo. 5. Seleccionar una base de cálculo adecuada. Cada adición o sustracción deberá hacerse tomando el material sobre la misma base. 6. Asegurarse de que el sistema esté bien definido. Una vez logrado lo anterior, se estará preparado para efectuar el número necesario de balances de materia. 2.4 Balance de energía Conceptos básicos: 1. Sistema: Cualquier masa de material o parte de equipo especificados arbitrariamente. Un sistema se define circundándolo con una frontera. Un sistema cerrado por el cual no hay transferencia de masa se denomina sistema cerrado o sistema sin flujo, en contraposición a un sistema abierto o sistema con flujo, en el cuál se permite el intercambio de masa. Toda masa o equipos externos al sistema definido se designan como entorno. Al resolver un problema se debe definir claramente el sistema y su entorno. 2. Propiedad: Es una característica de un materia la cuál se puede medir, como volumen, presión, temperatura etc.., o que se puede calcular 3

4 3. Propiedad extensiva(variable, parámetro): Es aquella cuyo valor depende de la cantidad de material y es aditiva, por ejemplo el volumen y la masa son propiedades extensivas. 4. Propiedad intensiva (variable, parámetro): Es aquella cuyo valor no es aditivo y no varía con la cantidad de material, ejemplo temperatura, presión, densidad. 5. Estado: Es el conjunto de propiedades de los materiales en un momento dado. El estado de un sistema no depende de la forma o la configuración del sistema sino sólo de sus propiedades intensivas como la temperatura, la presión y la composición. Dos propiedades son independientes una de la otra, si existe por lo menos una variable de estado del sistema en la que una propiedad varíe y la otra se mantenga fija 6. Proceso Adiabático: Proceso en que no hay intercambio de calor, el sistema está aislado. También puede considerarse como adiabático el proceso, si Q(calor transferido) es muy pequeño o cuando el proceso ocurre con tal rapidez que no hay tiempo de transferir calor. 7. Capacidad calorífica: Se definen las capacidades caloríficas a volumen constante (Cp) y a presión, para rangos no demasiado amplios de temperatura se puede considerar a las capacidades caloríficas como independientes de la temperatura. Para líquidos y sólidos Cv y Cp se pueden considerar prácticamente iguales. Para los gases ideales Cp = Cv +R Con objeto de dar un significado físico a la capacidad calorífica, se puede pensar que representa la cantidad de energía necesaria para elevar en un grado la temperatura de la unidad de masa de una sustancia. Si consideramos la dependencia de la capacidad calorífica a presión constante Cp, con la temperatura y teniendo en cuenta que casi todas las ecuaciones para Cp de sólidos y líquidos son empíricas, se expresa mediante una serie de potencias, con constantes a, b b, c, etc. por ejemplo: Cp = a + bt + ct 2 + dt 3 4

5 2.5 Tipos de energía: 1. Trabajo (W): Es una forma de energía que representa una transferencia entre el sistema y el entorno. El trabajo no puede almacenarse. Es positivo si se efectúa sobre el sistema, el trabajo hecho por el sistema es negativo. 2. Calor: Se define como la parte del flujo total energía que cruza a través de la frontera de un sistema debido a una diferencia de temperatura entre el sistema y el entorno. Se conoce en ingeniería también como flujo calórico El calor es positivo cuando es transferido al sistema, este puede ser transferido por conducción, convección y radiación. Para evaluar cuantitativamente la transferencia de calor, se puede utilizar una fórmula empírica:. Q = UADT (1). Q = Velocidad de transferencia de calor A = área de transferencia U = coeficiente de transferencia de calor (dato empírico) DT = diferencia efectiva de temperatura entre el sistema y el entorno 3. Energía cinética (Ec): Es la energía que tiene el sistema asociada a su velocidad relativa al entorno en reposo 4. Energía potencial(p): Ec = ½ mv 2 (2) Es la energía que posee el sistema debido a la fuerza ejercida sobre su masa por un campo gravitacional o electromagnético con respecto a un plano de referencia Energía potencial debida a un campo gravitacional: P = mgh h = distancia al plano de referencia, medida a partir del centro de masa del sistema m = masa del sistema g = aceleración de gravedad 5

6 5. Energía interna: La energía interna (U), es la medida macroscópica de las energías moleculares, atómicas, y subatómicas, lo cual sigue reglas microscópicas definidas para los sistemas dinámicos. La energía interna se mide indirectamente a través de la medición de otras variables, tales como presión, volumen, temperatura y composición. La energía interna se calcula como en relativa a un estado de referencia, pero no en forma absoluta 6. Entalpía: La entalpía se expresa como H = U + PV (3), donde E es la energía interna, P es la presión y V el volumen.. Al igual que en el caso de la energía interna, la entalpía no tiene un valor absoluto, sólo se miden los cambios de entalpía. Para determinar la entalpía se considera un estado de referencia: Estado inicial del sistema Entalpía = H 1 - H ref Estado final del sistema H2 - Href Cambio neto de entalpía del sistema al pasar del estado inicial al estado final: (H 2 - H ref ) (H 1 - H ref ) = H 2 H 1 = DH (4) Se tiene que del primer principio de la termodinámica: DU = Q W (5) Siendo Q el calor absorbido y W el trabajo realizado, W = PDV. Si consideramos un proceso a presión constante tenemos: DH = DU + PDV, en este caso DH corresponde al calor absorbido por el sistema, luego DH = Q p Si el proceso se verifica a volumen constante DV = 0, luego Q v = DU = DH La entalpía es una función de estado y sólo depende de los estados inicial y final y no del camino recorrido 2.6 Ecuación general del balance de energía La ecuación general del balance de energía se expresa de la siguiente forma: 6

7 Acumulación de energía = transferencia de energía - transferencia de energía Dentro del sistema a través de la frontera fuera de la frontera del sistema del sistema + Energía generada dentro - energía consumida dentro (6) del sistema del sistema Esta ecuación puede ser aplicada a un equipo individual o a toda una planta En la ecuación (6) se pueden introducir algunas simplificaciones: 1. No hay acumulación de energía dentro del sistema 2. No hay generación de energía dentro del sistema 3. No se consume energía dentro del sistema Si introducimos esas simplificaciones la ecuación (6) se reduce a: Transferencia de energía Transferencia de energía a través = fuera de la frontera del sistema de la frontera del sistema 2.7 Reacciones exotérmicas; endotérmica y catalizadas: El sufijo térmico se aplicaba antes solo para energía calorífica, pero modernamente se ha extendido a cualquier tipo de energía. Como la energía liberada o absorbida en una reacción química es usualmente calor, esto se expresa escribiendo a la derecha de la ecuación el valor H, con signo negativo (-) para las raciones exotérmicas y signo (+) positivo para las reacciones endotérmicas Procesos endotérmicos Se denomina proceso endotérmico a cualquier proceso en que se absorbe energía. Si hablamos de entalpía (H), una reacción endotérmica es aquélla que tiene un incremento de entalpía o _H > 0. Es decir, la energía que poseen los productos es mayor a la de los reactivos. 7

8 Las reacciones endotérmicas y especialmente las relacionadas con el amoníaco impulsaron una próspera industria de generación de hielo a principios del siglo XIX. Actualmente el frío industrial se genera con electricidad en máquinas frigoríficas Procesos exotérmicos Se denomina proceso exotérmico a cualquier proceso en que se desprende energía, es decir con una variación negativa de entalpía. Por ejemplo, cuando reaccionan entre sí dos átomos de hidrógeno para formar una molécula, el proceso es exotérmico. Son cambios exotérmicos el paso de gas a líquido (condensación) y de líquido a sólido (solidificación). Un ejemplo de reacción exotérmica es la combustión. 8

9 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Considérese el proceso de mezclado que se ilustra en la figura, donde se supone que la densidad de la corriente de entrada y la de salida son muy similares y que las tasas de flujo F I y F 2 son constantes. Obténganse las funciones de transferencia que relacionan la concentración a la salida con cada concentración a la entrada; se deben indicar las unidades de todas las ganancias y las constantes de tiempo. 2.- Considérese el reactor isotérmico, que se muestra en la figura, donde la tasa de reacción se expresa mediante: Donde k es una constante. Se supone que la densidad y todas las otras propiedades físicas de los productos y los reactivos son semejantes, también se puede suponer que el régimen de flujo entre los puntos 2 y 3 es muy turbulento (flujo de acoplamiento), con lo que se minimiza la mezcla hacia atrás. Obténganse las funciones de transferencia que relacionan: a. La concentración de A en 2 con la de A en 1.

10 b. La concentración de A en 3 con la de A en 2. c. La concentración de A en 3 con la de A en Considérese el proceso mostrado en la figura, en el cual el tanque es esférico con un radio de 4 pies; el flujo nominal de entrada y de salida del tanque es de 30,000 lbm/hr; la densidad del líquido es de 70 lbm/pies 3 ; y el nivel de estado estacionario es de 5 pies. El volumen de una esfera es 4Π r 3 /3, y la relación entre volumen y altura se expresa mediante El flujo a través de las válvulas es: Donde: r = radio de la esfera, pies V(t) = volumen del líquido en el tanque, pies 3 V r = volumen total del tanque, pies 3 h(t) = altura del líquido en el tanque, pies w(t) = tasa de flujo, lbm/hr Cv = coeficiente de la válvula, gpm/psi 1/2 C v1 = 20.2 y C v2 = 28.0 Δp = caída de presión a través de la válvula psi. G f = gravedad específica del fluido. vp(t) = posición de la válvula, fracción de apertura de la válvula La presión sobre el nivel del líquido se mantiene al valor constante de 50 psig. Obténganse las funciones de transferencia que relacionan el nivel del líquido en el tanque, con los cambios de posiciones de las válvulas 1 y 2., También se deben graficar las ganancias y las constantes de tiempo contra los diferentes niveles de operación cuando se mantiene constante la posición de las válvulas. 10

11 4.- Considérese el tanque de calentamiento que se muestra en la figura. El fluido que se procesa se calienta en el tanque mediante un agente calefactor que fluye a través de los tubos; la tasa de transferencia de calor, q(t), al fluido que se procesa se relaciona con la señal neumática, m(t), mediante la expresión: Se puede suponer que el proceso es adiabático, que el fluido se mezcla bien en el tanque y que la capacidad calorífica y la densidad del fluido son constantes. Obténganse las funciones de transferencia que relacionan la temperatura de salida del fluido con la de entrada, Ti(t), la tasa de flujo del proceso F(t) y la señal neumática, m(t). Se debe dibujar también el diagrama de bloques completo para este proceso. 5.- Considérese el proceso de mezclado que se muestra en la figura. La finalidad de este proceso es combinar una corriente baja en contenido del componente A con otra corriente de A puro; la densidad de la corriente 1, ρ1, se puede considerar constante, ya que la cantidad de A en esta corriente es pequeña. Naturalmente, la densidad de la corriente de salida es una función de la concentración y se expresa mediante: 11

12 El flujo a través de la válvula 1 está dado por El flujo a través de la válvula 2 está dado por Finalmente, el flujo a través de la válvula 3 está dado por La relación entre la posición de la válvula y la señal neumática se expresa con Donde: a 1, b 1, d 1, a 2, b 2, d 2, a 3, b 3 = constantes conocidas. C v1 ; C v2 ; C v3 = coeficientes de las válvulas 1, 2 y 3 respectivamente, m 3 /(s-psi 1/2 ) v p1 (t), v p2 (t) = posición de las válvulas 1 y 2 respectivamente, fracción sin dimensiones. Δp 1, Δp 2 = caída de presión a través de las válvulas 1 y 2, respectivamente, la cual es constante, psi Δp 3 (t) = caída de presión, a través de la válvula 3, psi. G 1, G 2 = gravedad especifica de las corrientes 1 y 2, respectivamente, la cual es constante y sin dimensione G 3 (t) = gravedad especifica de la corriente 3, sin dimensiones Se debe desarrollar el diagrama de bloques para este proceso; en él deben aparecer todas las funciones de transferencia y la forma en que las funciones de transferencia m 1 (t), m 2 (t) y C A1 (t) afectan a las variables de respuesta h(t) y C A3 (t). 6.- Considere la temperatura del sensor esbozado en la figura. El bulbo y sus alrededores están a una temperatura uniforme, Tb (t), C, y los alrededores también a una temperatura uniforme, T(t). El intercambio de calor entre el entorno y el bulbo está dada por 12

13 Donde q (t) = velocidad de transferencia de calor, J / s h = coeficiente de película de transferencia de calor, J / s-m 2 - C A = área de contacto entre el bulbo y sus alrededores, m 2 Sea M, en kg, la masa del bulbo y termopozo, y Cv, J/kg- C, siendo su capacidad calorífica. Obtener la función de transferencia que representa la respuesta de la temperatura del bulbo cuando cambia la temperatura de los alrededores. Dibujar el diagrama de bloques para el bulbo. Expresar la constante de tiempo y la ganancia en términos de los parámetros del bulbo. Nota: La función de transferencia derivados aquí por lo general representa la respuesta dinámica de la mayoría los sensores de la temperatura, independientemente de su tipo. 7.- En casa del Dr. Corripio, la tubería de agua caliente entre el calentador de agua y su ducha es de 1/2 tubos de cobre (área de sección transversal = 0,00101 m 2 ) y alrededor de 30 metros de agua caliente en la ducha totalmente abierto y el flujo era de 2 galones por minuto. Cuánto tiempo tienen que esperar para que el agua caliente llegue a la ducha. Escriba la función de transferencia T(s)/Th(s) de la línea de agua caliente, donde T(t) es la temperatura en la ducha, y Th (t) es la temperatura en el calentador de agua caliente, cuando la válvula de agua caliente se abre. Dibujar el diagrama de bloques para el agua caliente de la línea. Cuál es la función de transferencia cuando la válvula de agua caliente se cierra? Podría usted predecir este caso por su respuesta anterior? 8.- Considere del tambor se muestra en la figura. Aquí z (t), x (t), y y (t) son el tope fracciones del componente más volátil en el alimento, líquido y vapor del destilado, respectivamente. La masa total del líquido y el vapor acumulado en el tambor, la temperatura y presión, se supone constante. Si el equilibrio entre las fases de vapor y líquido que sale del tambor se asume, entonces lo siguiente relación entre y (t) y x (t) se puede establecer el estado de equilibrio y la información es otro proceso. M = 500 kmoles, F = 10 kmoles / s, L = 5 kmoles / s, α = 2,5, y x (O) = 0.4. Obtener la función transferencia que relaciona la salida de la composición del líquido, x (t), 13

14 a la composición de la alimentación, z (t). Determine también el valor numérico de todos los términos de la función de transferencia. 14