Algebra de Boole. Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales 2018

Transcripción

1 Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales 2018 Sergio Noriega Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales

2 Los sistemas digitales emplean generalmente señales que pueden adoptar dos estados bien diferenciados donde (en teoría) pueden ser referenciados a dos niveles de alguna condición física tal como corriente ó tensión (circuitos integrados), campo eléctrico (memorias EEPROM, FLSH), campo magnético (diskettes, cintas magnéticas), condición óptica (CD, DVD), etc.. Consecuentemente es posible representar datos binarios e interrelacionarlos a través de algún grupo de reglas. El LGEBR DE BOOLE es un formalismo que conlleva a la creación de FUNCIONES LÓGICS donde las mismas relacionan una variable binaria de salida con una o mas de entrada. Dichas funciones se basan en una serie de postulados y teoremas que imponen las reglas de juego entre dichas variables.

3 Operadores Lógicos: sí como los operadores matemáticos (+, -, x,/, etc.) los operadores lógicos son los que interrelacionan a las variables lógicas de entrada entre sí. Estos son: ND cuyo símbolo es ó ó & OR cuyo símbolo es + ó ó # NOT cuyo símbolo es ó / ó! EJEMPLOS: B = B = & B = B (sólo hay una separación entre variables) C + D = C D = C # D = / =! Con combinaciones entre estos 3 operadores se pueden implementar cualquier función lógica posible.

4 CONECTIVIDDES: Dada una serie de variables lógicas (que generalmente se designan con letras), existe un número finito de funciones diferentes (conectividades) que pueden obtenerse. La cantidad de CONECTIVIDDES se puede calcular mediante la expresión: 2 2 n donde n es el número de variables lógicas de entrada a la función EJEMPLOS: Si hay una sola variable El nº de conectividades es 4. Si hay una dos variables El nº de conectividades es 16. Si hay una tres variables El nº de conectividades es 48. etc.

5 CONECTIVIDDES DE UN SOL VRILE Son 4: F=0 (ó Falso), F=1 (ó Verdadero), F=, F=Ā ó NOT (negación de : Si =0 F=1 y viceversa). CONECTIVIDDES DE DOS VRILES Son 16, de las cuales las mas relevantes son: F = F = F = B F = B F = 0 F = 1 F = B ó ND B F = + B ó OR B F = B ó NND B F = + B ó NOR B F = B ó OR-Exclusiva B F = B ó NOR-Exclusiva B

6 lgebra de Bolee Métodos de representación de funciones lógicas Ecuaciones Lógicas ó booleanas. Tabla de verdad. Operadores lógicos gráficos (compuertas). Diagramas de Karnaugh (método gráfico). Diagramas de Venn (método gráfico). Representación temporal.

7 Tablas de verdad de funciones de 1, 2 y 3 variables: F 0 1 F B F B C Si una función tiene n variables de entrada existirán 2 n combinaciones diferentes entre las mismas n=1 2 n=2 4 n=3 8 n=4 16 etc

8 Tablas de verdad de funciones de 1, 2 y 3 variables: EJEMPLOS: Ā ND B NND B F F F B F B

9 Tablas de verdad de funciones de 1, 2 y 3 variables: EJEMPLOS: OR B NOR B B NOT EXCL. B F B F B F B F B

10 Tablas de verdad de funciones de 1, 2 y 3 variables: EJEMPLOS: ND OR OR-EXCL. F B C F B C F B C

11 Operadores lógicos gráficos (compuertas) NOT OR NOR ND NND Operadores lógicos básicos OR-EXCL. NOR-EXCL.

12 ECUCIONES LÓGICS PROPIEDDES: + 1 = 1; 1 = ; + 0 = ; 0 = 0; = ; + = ; / = 0; + / = 1 [Negar un nº par de veces a ] = [Negar un nº impar de veces a ] = / + B = ; ( + B) = ; DISTRIBUTIV (B + C) = B + C + B C = ( + B) ( + C) CONMUTTIV B = B ; C + H = H + C Teorema de De Morgan + B = B B = + B

13 Implementación de funciones lógicas: EJEMPLOS C B C B C B D C = + B C = B D = ( + B) C NOT: quí se asume que el estado lógico de una llave normal abierta (N) es 0 si está abierta. La lámpara es 0 si está apagada.

14 Implementación de funciones lógicas: EJEMPLOS Del 3er. ejemplo anterior, si hay además una llave normal cerrada (NC), tendríamos: D C CIRCUITO EQUIVLENTE B E B E D E = ( + B) C /D C

15 Implementación de funciones lógicas: Todo NND Todo NOR + B B ó + B + B B ó + B B B ó + B B B ó + B 1 ó + 0

16 COMPUERT OR C B REPRESENTCIÓN TEMPORL B t t COMPUERT IDEL COMPUERT ND C B C B No existen retardos!!! t t t COMPUERT IDEL C t

17 COMPUERT NOR C B REPRESENTCIÓN TEMPORL B t t COMPUERT IDEL COMPUERT NND C B C B No existen retardos!!! t t t COMPUERT IDEL C t

18 DIGRMS DE KRNUGH FUNCIONES CNÓNICS: Son aquellas formadas por términos especiales que contienen a todas las variables de entrada de la función. Dependiendo de que términos una función canónica puede ser de dos tipos: PRIMER FORM ó SEGUND FORM. PRIMER FORM: Está formada por mintérminos (intersección entre las variables en juego). SEGUND FORM: Está formada por maxitérminos (unión entre las variables en juego).

19 DIGRMS DE KRNUGH FUNCIÓN CNÓNIC DE PRIMER Y SEGUND FORM Para 2 variables y B, hay 2 2 términos en total. Los mintérminos son: / /B, / B, /B y B. Los maxtérminos son: +B, +/B, /+B y /+/B. Para 3 variables, tendremos 2 3 términos en total. Los mintérminos son: /C /D /E, /C /D E, /C D /E, /C D E, C /D /E, C /D E, C D /E y C D E. L UNIÓN COMPLET DE MINTÉRMINOS D L FUNCIÓN 1 Los maxtérminos son: C+D+E, C+D+/E, C+/D+E, C+/D+/E, /C+D+E, /C+D+/E, /C+/D+E y /C+/D+/E L INTERSECCIÓN COMPLET DE MXTÉRMINOS D L FUNCIÓN 0

20 DIGRMS DE KRNUGH FUNCIÓN CNÓNIC DE PRIMER FORM EJEMPLOS: FUNCIÓN CNÓNIC DE 2 VRILES FUNCIÓN CNÓNIC DE 3 VRILES E B B E ( m1, m2) ( 12, ) J P Q R P Q R P Q R J ( m1, m2, m7) ( 12,, 7)

21 DIGRMS DE KRNUGH FUNCIÓN CNÓNIC DE SEGUND FORM EJEMPLOS: FUNCIÓN CNÓNIC DE 2 VRILES T ( E F) ( E F) ( E F) T ( M 0, M 2, M3) (0, 2,3) FUNCIÓN CNÓNIC DE 3 VRILES ( B C D) (M 2) (2)

22 DIGRMS DE KRNUGH CONVERSIÓN FUNCIÓN CNÓNIC DE PRIMER FORM Convertir la siguiente función: F B C F = ( /B/C + /BC + B/C + BC) + BC ( / + ) F = /B/C + /BC + /C + C + C + /C F = /C + /B/C + /BC + /C + C

23 DIGRMS DE KRNUGH CONVERSIÓN FUNCIÓN CNÓNIC DE SEGUND FORM Convertir la siguiente función: P = ( Q + R) S Por un lado: ( Q + R) = ( Q + R) + /S S = ( Q + R) = ( Q + R + /S) ( Q + R + S) Por el otro: S = S + ( /Q + /R) ( /Q + R) ( Q + /R) ( Q + R) = ( /Q + /R + S ) ( /Q + R + S ) ( Q + /R + S ) ( Q + R + S ) Combinando: P = ( /Q + /R + S) ( /Q + R + S) ( Q + /R + S) ( Q + R + S) ( Q + R + /S)

24 DIGRMS DE KRNUGH CONVERSIÓN DE UN FUNCIÓN CNÓNIC L OTR Pasar de 1ra forma a 2da: EJEMPLO: G = /B /C /D + /B C D + B /C /D + B C /D + B C D Se trabaja con el complemento de G: /G = /B /C D + /B C /D + B /C D (Los mintérminos que faltan en G) Negando ambos miembros se mantiene la igualdad: G = /B /C D + /B C /D + B /C D plicando De Morgan dos veces: G = ( /B /C D ) ( /B C /D ) ( B /C D ) G = ( B+C+/D) ( B+/C+D) ( /B+C+/D) De tener 5 mintérminos pasamos a tener 3 maxtérminos.. POQUÉ?

25 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 2 VRILES B B B B B B B 2 3 quí indica que la variable B está en toda la columna sin negar Este número indica si la variable en la columna está negada o nó. Este número indica la posición del mintérmino Este número indica si la variable en la fila está negada o nó. quí indica que la variable está en toda la fila sin negar CD MINTÉRMINO TIENE UN LUGR SIGNDO DENTRO DEL DIGRM DE KRNUGH

26 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 3 VRILES BC BC BC BC BC C C C C C C C C NO son adyacentes cambian las variables y C. Son adyacentes ya que sólo cambia la variable. Para armar cualquier Diagrama de Karnaugh los casilleros contiguos verticales u horizontales deben contener mintérminos adyacentes, es decir, donde sólo cambie una variable entre uno y otro.

27 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD 15 CD 14 CD CD 8 9 CD 11 CD 10

28 DIGRMS DE KRNUGH 5 VRILES: La representación se realiza con dos diagramas de Karnaugh de 4 variables cada una, donde la quinta variable se representa en uno negada y en el otro sin negar. 6 VRILES: Idem al caso anterior pero ahora con 4 Karnaugh de 4 variables cada una. Cada Karnaugh corresponderá a una combinación de la 5ta. y 6ta. variable (son 4 combinaciones diferentes) L SÍNTESIS Y SIMPLIFICCIÓN UTILIZNDO KRNUGH ES UTIL HST 5 VRILES. mayor número puede dar lugar a errores en la determinación de los términos a simplificar.

29 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES Representación de funciones canónicas CD CD CD CD CD EJEMPLO: CD + CD + CD + CD + CD + CD

30 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES Representación de funciones en general CD CD CD CD CD La unión de todos estos mintérminos no dan la función: F = /

31 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES Representación de funciones en general CD CD CD CD CD La unión de todos estos mintérminos no dan la función: F =

32 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES Representación de funciones en general CD CD CD CD CD La unión de todos estos mintérminos no dan la función: F = B

33 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES Representación de funciones en general CD CD CD CD CD La unión de los mintérminos de y de B forman la función: F = + B Esta operación de unión toma los términos comunes y no comunes de las variables y B.

34 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES Representación de funciones en general CD CD CD CD CD La intersección de los mintérminos que forman a y B dan F = B Esta operación de intersección toma sólo los términos comunes de las variables y B.

35 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES Representación de funciones en general CD CD CD CD CD Esto dá: F = C Esta operación de intersección toman los términos comunes de las variables / y C.

36 DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES REPRESENTCIÓN DE FUNCIONES EN GENERL Ejemplo: + B C CD CD CD CD CD B C

37 DIGRMS DE KRNUGH ESTRUCTURS PRTICULRES CD CD CD CD CD F = / /B /C D + / /B C /D + / B /C /D + / B C D B /C D + B C /D + /B /C /D + /B C /D = / /B (/C D + C /D) + B (/C D + C /D) + / B (/C /D + C D) + /B (/C /D + C D) = / /B (C D) + B (C D) + / B (C Θ D) + /B (C Θ D) = (C D) [/ /B + B] + (C Θ D) [/ B + /B] = (C D) [ Θ B] + (C Θ D) [ B] = B C D

38 SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES LÓGICS Simplificar una función lógica significa hallar otra manera de expresarla pero que utilice la menor cantidad de términos y/o variables a fin de conseguir una representación mas compacta. Esto en realidad depende de la estructura de hardware que se utilice para la generación de sub-funciones lógicas. Método clásico. Diagramas de Karnaugh (método gráfico). Métodos tabulares (Quine-McCluskey). Métodos algorítmicos. etc..

39 SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES LÓGICS MÉTODO CLÁSICO: Utiliza las reglas generales del lgebra de Boole para ver si es posible reducir la función lógica a su menor expresión. EJEMPLOS: ( + B) + B + B utilizando una de las propiedades antes citada. B + B B por lo que puede implementarse con una sola compuerta OR-Exclusiva.

40 DIGRMS DE KRNUGH SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES B B B B B B B B 2 3 B B B B B B 2 3 SI SE TOMN DOS MINTÉRMINOS DYCENTES EN EL DIGRM SE ELIMIN UN VRILE EJEMPLO 3: / B + B = B EJEMPLO 2: / /B + /B = /B

41 DIGRMS DE KRNUGH SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES B B B B B B B B 2 3 B B B B B B 2 3 SI SE TOMN DOS MINTÉRMINOS DYCENTES EN EL DIGRM SE ELIMIN UN VRILE EJEMPLO 1: / /B + / B = / EJEMPLO 2: /B + B =

42 SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 3 VRILES SI SE TOMN DOS MINTÉRMINOS DYCENTES EN EL DIGRM SE ELIMIN UN VRILE. BC BC BC BC BC C C C C C C C C EJEMPLO 1: / /B /C + /B /C = /B /C. SI SE TOMN CUTRO, SE ELIMINN DOS VRILES EJEMPLO 2: / /B /C + /B /C + / /B C + /B C = /B

43 SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 3 VRILES BC BC BC BC BC C C C C C C C C La función vale /C tomando los 4 mintérminos La función vale Cómo se obtiene BC? y?

44 SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES CD CD CD CD CD B CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD 15 CD 14 CD CD 8 9 CD 11 CD 10 La función vale /B tomando los 8 mintérminos Tomando estos 8 se tiene /C Tomando estos 8 se tiene C

45 SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES DIGRMS DE KRNUGH PRIMER FORM: 4 VRILES CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD 15 CD 14 CD CD 8 9 CD 11 CD 10 Tomando estos 8 se tiene / Tomando estos 8 se tiene Tomando estos 8 se tiene D Cómo se obtiene /D?

46 DIGRMS DE KRNUGH SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES PRIMER FORM: 4 VRILES Ejemplo: Simplificar la función /C + /B + / B C + C CD CD CD CD CD B C RESULTDO: + B C

47 DIGRMS DE KRNUGH ESTRUCTURS CON DON T CRE SIMPLIFICCIÓN DE FUNCIONES Son funciones que son incompletamente definidas (hay combinaciones de variables que no se utilizan en la función). CD CD CD CD CD X 0 X X 0 1 X 10 X 0 X X EST X L DEJO EN 0. LS DEMÁS EN 1 F = /C /D + C

48 RIESGOS DE TEMPORIZCIÓN (TIMING HZRDS) Posibles comportamientos que pueden experimentar las salidas de un circuito digital si es excitado con alguna combinación de señales a su entrada que den como resultado una respuesta transitoria diferente a la prevista en el diseño debido a la existencia de retardos que existen en todo dispositivo físico. Este comportamiento depende además de la estructura del circuito (como se lo implementa en forma lógica). Riesgo estático: Es aquél que puede hacer que una salida vaya a temporalmente a un estado diferente al definitivo. Riesgo estático de 1 : Cuando el circuito responde momentáneamente a una dada excitación con un 0. Riesgo estático de 0 : Idem pero donde se establece temporariamente un 1 a la salida. Riesgo dinámico: Respuesta de una salida la cual cambia de estado repetidas veces al generarse un simple cambio a su entrada. Sergio Noriega Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales

49 RIESGOS DE TEMPORIZCIÓN Riesgo estático de 1 : Una salida que debe tener un estado lógico final 1 puede momentáneamente ponerse a 0 si se dá que hay al menos dos fuentes D concurrentes que habilitan un B /B 1 y una de ellas difiere temporalmente en su respuesta E respecto de la otra. EJEMPLO B C t F =C= 1 /B D E F t t t t

50 RIESGOS DE TEMPORIZCIÓN BC BC BC BC BC En el Karnaugh de la salida se puede apreciar como los términos marcados con rojo ( /B) y amarillo ( B C) si en algún momento son ambos 0 la salida también lo será.

51 RIESGOS DE TEMPORIZCIÓN Solución: BC BC BC BC BC B C /B D E F Con esta estructura aunque redundante se evita que ocurra el riesgo de 1 ya que la compuerta adicional evita que el retardo del negador pueda dar una falsa respuesta.

52 RIESGOS DE TEMPORIZCIÓN Riesgo estático de 0 : Una salida que debe tener un estado lógico final 0 puede momentáneamente ponerse a 1 si se dá que hay al menos dos fuentes concurrentes que habilitan un 0 y una de ellas difiere temporalmente en su respuesta respecto de la otra. B C D E

53 Bibliografía: puntes de teoría: Diagramas de karnaugh. S. Noriega. Libros: Sistemas Digitales. R. Tocci, N. Widmer, G. Moss. Ed. Prentice Hall. Diseño Digital. M. Morris Mano. Ed. Prentice Hall. 3ra edición. Diseño de Sistemas Digitales. John Vyemura. Ed. Thomson. Diseño Lógico. ntonio Ruiz, lberto Espinosa. Ed. McGraw-Hill. Digital Design:Principles & Practices. John Wakerly. Ed. Prentice Hall. Diseño Digital. lan Marcovitz. Ed. McGraw-Hill. Electrónica Digital. James Bignell, R. Donovan. Ed. CECS. Técnicas Digitales con Circuitos Integrados. M. Ginzburg. Fundamentos de Diseño Lógico y Computadoras. M. Mano, C. Kime. Ed. Prentice Hall. Teoría de conmutación y Diseño lógico. F. Hill, G. Peterson. Ed. Limusa Sergio Noriega Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales