1 Departament d Educació Departament de Matemàtiques. Curs SES Pla Marcell

Transcripción

1 1 Icosàedre truncat: format per 12 pentàgons i 20 hexàgons. Ocupa un 87,74% de l esfera

2 2 GEOMETRIA AL PLA I AL ESPAI. ÀREES I VOLUMNS Malgrat la seva simplicitat, els cossos geomètrics sempre han atret a les persones. Només cal mirar al nostre voltant amb ulls geomètrics i adonar-nos de la gran quantitat d elements amb formes geomètriques que hi ha. Per exemple, encara que et sembli mentida, quan tires a porta en un partit de futbol estàs donant un cop de peu a un icosàedre truncat. Aquesta és la forma geomètrica de la pilota de futbol. Consta de 12 pentàgons i 20 hexàgons i ocupa el 87,74% de l esfera. La resta, fins adquirir la forma d esfera, s aconsegueix gràcies a l inflament i al fet que les peces de l icosàedre truncat són de cuir i, per tant, es poden deformar lleugerament. Un nou disseny de la pilota, un rombicosidodecaedre format per 12 pentàgons, 30 quadrats i 20 triangles, s acosta encara més (en un 94,32%) a l esfera. De la mateixa manera, els recipients i envasos de molts del productes que consumin es basen en figures geomètriques. Creus que és producte de l atzar? Actualment no hi ha cap factor industrial que obeeixi a l atzar, tot té unes raons matemàtiques de fons. Per què fan servir un envàs amb una forma i no amb una altra? Les matemàtiques són molt útils per gran quantitat de coses. Una de les aplicacions que s ha posat de moda a partir de la segona guerra mundial son els problemes d optimització. Es a dir, els problemes en que es calculen tots els paràmetres industrials que fan mínims els costos. Quin és l envàs que consumeix més cartró amb un volum interior més gran? Si volem respondre aquesta i altres preguntes, primer hem de recordar les figures planes i les seves àrees i, desprès, conèixer els cossos geomètrics, construir políedres i, així, ser capaços de trobar els seus volums. Per treballar i comprendre aquesta informació ens serà molt útil els recursos que hi ha a la xarxa. Crearem un banc de recursos-webs. El primer treball que haureu de fer és, per parelles, trobar una pàgina web sobre geometria que haureu de comentar i exposar a classe. Cada dia, al començar la classe, una parella exposarà la web triada durant 5 minuts, de manera que entre tots trobarem molt recursos que ens seran molt útils. (Evidentment, aquesta activitat serà avaluada). Una vegada assolits els conceptes, caldrà fer un treball, també per parelles: dissenyar un nou envàs per una llauna de refresc. Caldrà exposar-lo públicament. Com a material especial de classe durant aquest tema necessitarem el llapis de memòria, el regle, un compàs, una cartolina (és molt recomanable el cartró de les caixes de cereals), el transportador d angles, cinta adhesiva, tisores, pega i calculadora. (El portar o no el material serà avaluable de manera específica en aquest tema)

3 3 1r TREBALL PER LLIURAR AL PROFESOR/A: Abans de presentar la web al vostres companys heu de fer arribar per mail al vostre professor/a aquesta plantilla amb la vostra valoració de la web. Amb els vostres treballs crearem un banc de recursos de geometria que estarà penjat a la web del profe: PLANTILLA PER A LA VALORACIÓ D UNA PÀGINA WEB 1. NOM i COGNOM DELS ALUMNES: 2. ADREÇA: 3. AUTOR: 4. Dades conegudes de l autor: (Petita investigació sobre si l autor o autors pertany a alguna institució publica per obtenir un cert grau de confiança amb la informació exposada a la pàgina web) 5. VALORACIÓ DEL 0 AL 10 de la web triada: DISSENY GRÀFICS CONTINGUT VELOCITAT 6. COMENTARIS a. EL QUE MÉS T HA AGRADAT DE LA PÀGINA b. EL QUE MENYS T HA AGRADAT DE LA PÀGINA c. COMENTARI GENERAL DE LA PÀGINA

4 4 POLÍGONS I ÀREES Full de treball A: Angles A.1 Troba la definició de lloc geomètric. Anota la bibliografia. A.2 Recorda les definicions de punt, recta, semirecta i segment. Dibuixa ls i anota la bibliografia. A.3 Recorda les definició d angle. Dibuixa un angle qualsevol i els seus elements. Anota la bibliografia. A.4 Recorda les definicions d angle agut, recte, obtús. Dibuixa ls. A.5 Quina és la diferència entre angles complementaris i suplementaris? Posa exemples. A.6 Dibuixa dues rectes paral leles. Talla les dues rectes per una recta secant de manera que es formen 8 angles. Anomena els 8 angles amb una lletra diferent. Hi ha angles que siguin iguals entre els 8 formats? Escriu les relacions d igualtats que trobis entre els 8 angles obtinguts amb el tall d una recta secant sobre dues rectes paral leles. A.7 Fent servir les definicions anteriors i les conclusions del problema anterior, troba el valor dels angles a i b de la figura següent: A.8 Troba el valor dels angles a i b de la figura següent:

5 5 Full de treball B: Triangles B.1 Quina creus que és la diferència entre longitud, àrea i volum? Posa diversos exemples reals de longituds, àrees i volums amb mides reals. B.2 Quin és el patró de mesura per a una longitud? I per una àrea? I per un volum? Quina relació hi ha entre els 3 patrons? B.3 Troba i escriu la definició de polígon. Anota la bibliografia. Dibuixa 4 polígons amb diferents nombre de costats. Dibuixa 2 àrees tancades planes les quals no siguin polígons. Explica quina és la raó per la qual aquestes 2 figures no són polígons i les altres 4 si ho són. Posa-li nom als 4 polígons en funció dels costats. B.4 Anota les mides dels 3 angles de l esquadra i dels 3 del cartabò. Quant sumen els tres angles en cada cas? Suma del tres angles: 25º A Suma dels tres angles: B.5 Dibuixa en un paper apart un triangle qualsevol i retalla els tres angles. Col loca ls junts, quant mesura la suma dels tres angles? (Enganxa els tres angles junts) B.6 Enuncia la primera propietat que verifiquen tots els triangles la qual fa referència a la suma dels tres angles. B.7 Agafant 3 de les 4 longituds següents: 4 cm, 5 cm, 6 cm i 10 cm, intenta construir triangles. Digues amb quines 3 tres longituds es pot formar un triangle i amb quines no. B.8 Compara la suma dels dos costats més petits amb el altre costat gran en cada cas anterior. Et veus capaç d extreure la segona propietat de tots els triangles que fa referència a la longitud del costat més gran en comparació amb la suma dels altres dos costats? Visita la web i pot ser aclariràs millor les idees. B.9 Sense el transportador, troba els angles A i B als triangles 97º del dibuix següent: B 33º

6 6 B.10 Remena a la xarxa i troba la classificació dels triangles en funció dels costats. Anota la bibliografia. B.11 Segur que a la mateixa web trobaràs la classificació dels triangles en funció dels angles. Escriu-la al teu dossier. B.12 Com són els tres angles d un triangle equilàter? Com són els angles d un triangle isòsceles? B.13 Dibuixa un triangle que sigui rectangle i isòsceles a la vegada. Quant mesuren els seus angles? B.14 El següent dibuix mostra un triangle isòsceles i un triangle rectangle. Troba els angles a i d explicant el teu raonament B.15 Troba la definició d altura d un triangle. Dibuixa al teu dossier un triangle gran qualsevol. Construeix les seves tres altures i troba l ortocentre. B.16 Si el triangle és isòsceles i consideres la base el costat desigual, l altura divideix sempre la base en dues parts iguals? B.17 Recorda la fórmula per trobar l àrea d un triangle i d un rectangle i determina l àrea de la figura següent: B.18 2n TREBALL PER LLIURAR AL PROFESOR/A: Elabora un document writter amb tots els conceptes que has treballat als fulls de treball A i B. Aquest document ha de tenir les definicions amb dibuixos i fórmules. Cal enviar-ho per mail al teu professor/a. Acordeu quin és el últim dia de lliurament.

7 7 Full de treball C: Semblança i Teorema de Tales C.1 En el món de les matemàtiques utilitzem habitualment paraules del llenguatge habitual amb un significat específic. Aquest és el cas de la paraula semblant. Quan utilitzes la paraula semblant en el llenguatge habitual quin significat té per a tu aquesta paraula? Escriu una definició. C.2 Aplicant la teva definició intenta dir si les parelles de figures següents són o no semblants i per què: Segurament totes les parelles de figures anteriors podríem dir que són semblants, però si filem més prim és clar que les papallones, excepte en la grandària, són del tot iguals i que els ninots de neu tenen diferent gruix. Respecte els quadrats podem dir que són semblants, però també podem dir que el de la dreta no és quadrat, perquè els costats no són rectes. El pentàgon i l hexàgon són dos polígons perquè en alguna cosa s'assemblen, però un pentàgon amb un hexàgon no té res a veure. On hem de posar el límit per determinar si dues figures són o no semblants?. És clar que en el món de les matemàtiques no ens podem permetre el luxe d'utilitzar definicions ambigües, necessitem definicions molt concretes. Per treure aquesta ambigüitat podem dir, per exemple, que dues figures són semblants si una és fotocòpia reduïda o ampliada de l altra, o quan amplies o redueixes una imatge a l ordinador i ho fas des d un dels extrems de la imatge. En canvi, si fas la reducció o l ampliació des de el mig d un dels costat, llavors la imatge es deforma, ja no és semblant. a) b) c) d) C.3 Observa les següents figures, mesura amb el regle els costats i els angles, omple la taula i contesta a les preguntes que hi ha desprès. Figura original Figura semblant? B c C B c C b d A a D b d A a D

8 8 ANGLES DE LA FIGURA ORIGINAL A = A = B = B = C = C = D = D = ANGLES DE LA CANDIDATA A SEMBLANT COSTATS DE LA FIGURA ORIGINAL COSTATS DE LA CANDIDATA A SEMBLANT a' a = a = = a b' b = b = = b c' c = c = = c d' d = d' = = d PROPORCIÓ ENTRE ELS COSTATS Són els 4 angles iguals? Són els 4 costats proporcionals? Són les figures semblants? Quina és la constant de proporcionalitat? Quan les figures són semblants a la constant de proporcionalitat se li anomena RAÓ DE SEMBLANÇA C.4 Comprova si són o no semblants aquests dos triangles. En cas de serho, quina és la raó de semblança? (Omple unes taules iguals al problema anterior, prenent mides amb el regle i amb el transportador) Figura original Figura semblant? B c a B c a A b C A b c C.5 Trobes alguna relació entre el concepte de semblança i el concepte d escala? Intenta raonar-ho.

9 9 C.6 Dibuixa al teu dossier dos triangles amb raó de semblança 2. Comprova que realment són figures semblants i que la raó de semblança és 2. Determina l àrea dels dos triangles que has dibuixat. Trobes alguna relació entre les dues àrees? C.7 Dibuixa dos triangles amb raó de semblança 3. Comprova que realment són figures semblants i que la raó de semblança és 3. Determina l àrea dels dos triangles que has dibuixat. Trobes alguna relació entre les dues àrees? C.8 En general, si la raó de semblança entre dos triangles és k, quina és la raó entre les seves àrees? C.9 Retalla dos triangles grans i exactament iguals. En un d ells dibuixa un segment paral lel a un costat. Retalla el triangle pel segment que acabes de fer. Rebutja el quadrilàter i quedat amb els dos triangles, un gran i un petit. Creus que aquests dos triangles són semblants? En cas afirmatiu, quina és la raó de semblança? Troba les àrees dels dos triangles i comprova que es verifica la relació del problema anterior. Els teus companys han fet la mateixa operació que tu amb triangles diferents, creus que tothom haurà obtingut dos triangles semblants? Amb aquest exercici has comprovat el Teorema de Tales: Dos triangles estan posició de Tales si tenen un angle comú i els costats respectius a aquest angle són paral lels. Els triangles en posició de Tales són sempre semblants. Per tant, els angles han de ser iguals i els costats paral lels. L aplicació d aquest teorema et permetrà resoldre diversos problemes, com ara veuràs. Si dos triangles compleixen que dos angles d'un d'ells són iguals a dos angles de l'altre, aleshores els triangles són semblants. La formulació i demostració d'aquest teorema s'ha atribuït a Tales de Milet que va ser un dels fundadors de la matemàtica grega i que va viure al voltant de l'any 600 ac. Tales està considerat com el primer matemàtic, del que es coneix el nom, que ha fet demostracions matemàtiques deductives. La vida i obra d'aquest geni ens ha arribat barrejada de llegenda i ara costa saber què hi ha de vertader en el que es diu d'ell. Per exemple, diuen que Tales anava un dia amb un mul que arrossegava un carro ple de sal, el mul se'n va adonar que en creuar un riu el pes del carro minvava. Així, doncs, va agafar el costum d'anar-se'n cap el riu cada vegada que el carregaven. Tales, en veure això, va carregar un dia el carro d'esponges traient aquesta mania a l animal. Pel que respecta al concepte de semblança es diu que un dia va calcular l'alçada d'una piràmide posant un bastó al terra i mesurant les ombres del bastó i la piràmide va calcular l'alçada d'aquesta aplicant la raó de semblança que hi havia entre les ombres i les alçades. També se li adjudica l'habilitat de calcular amb precisió la distància dels vaixells utilitzant reduccions a escala de triangles mesurats des de la costa. Tales, a més de matemàtic també era filòsof i per acabar aquest comentari històric ens podem quedar amb dues de les seves frases preferides: "Cal que et coneguis a tu mateix" i "No facis allò que acostumes a criticar dels altres"

10 10 C.10 Aquests dos triangles són semblants, troba la longitud del segment QR i de l AC C.11 Imagina que vols mesurar l'altura d'una església. En un cert instant fa una ombra de 12 m i, en el mateix instant, es clava un bastó a terra que sobresurt 60 cm i fa una ombra de 50 cm. Calcula amb aquestes dades l'altura de l església. C Raig de sol C' A' B' A ombra B

11 11 C.12 L exercici anterior de l'ombra del sol és molt important a la història de la geometria i és interessant fer-lo bé. Ara faràs un exercici d'autocorrecció. Contesta sí o no a les següents preguntes. Si la resposta és sí a totes enhorabona, però si és no a alguna torna a fer l'exercici anterior : a) Comentes en algun moment si els dos triangles (pal amb la seva ombra i església amb la seva ombra) són semblants? b) Justifiques per què són semblants fent referència a les condicions que s'han de complir? (Definició de triangles en posició de Tales) c) Cal observar que els raigs del sol siguin paral lels. Perquè són paral lels? d) Calcules la raó de semblança? e) Utilitzes la raó de semblança per calcular l'alçada de l'església? f) Expliques en cada moment què estàs fent? g) Dones la resposta a l'exercici amb una frase? C.13 Una antena projecta una ombra de 14 m en el mateix moment que una persona que mesura 178 cm projecta una ombra de 145 cm. a) Fes un croquis d aquesta situació, col locant les dades conegudes. b) Es tracta de dos triangles semblants? Per què? c) Troba l altura de l antena. C.14 Troba el valor de x (les mides estan en cm) de: C.15 3r TREBALL PER LLIURAR AL PROFESOR/A: Cal que trobis un objecte del qual no puguis saber la seva altura. L objectiu del problema és esbrinar aquesta alçada fent ús del Teorema de Tales. Pots fer servir la teva alçada i ombra com a valors coneguts. Cal fer un fotografia de l objecte del qual vols saber l alçada, amb la seva ombra i la de l objecte del qual saps l alçada i l ombra. Cal retocar la fotografia de manera que apareguin dibuixades a sobre de la fotografia les dades conegudes i els triangles. Has d enganxar la fotografia a un writter i explicar amb detall tots els càlculs que has fet per trobar l alçada desconeguda. Finalment has d enviar el document al professor/a. El professor/a ha de fixar una data límit d enviament al seu correu electrònic.

12 12 Full de treball D: Teorema de Pitàgores D.1 Del curs passat, ja saps que una terna pitagòrica són tres nombres a, b i c que compleixen la següent propietat: a 2 = b 2 + c 2 Per exemple a = 5, b = 4 i c = 3 són tres nombres que al verificar la propietat, són una terna pitagòrica. Troba, al menys, dues ternes pitagòriques més. D.2 Busca el tercer valor de la terna en cada un dels casos següents. Escriu amb detall totes les operacions que fas. a) Sabem que b = 10 cm i c = 14 cm, calcula el valor d a. b) Sabem que b = 4,5 cm i c = 6.8 cm, calcula el valor d a. c) Sabem que a = 12 m i b = 5 m, calcula el valor de c. d) Sabem que a = 7,3 cm i b = 46 mm, calcula el valor de c e) Sabem que a = 11 m i c = 80 dm, calcula el valor de b f) Sabem que a = 9,2 cm i c = 5,3 cm, calcula el valor de b D.3 De totes les ternes pitagòriques que tens en tots els exercicis anteriors tria n tres i dibuixa un triangle per cada terna utilitzant els valors de a, b, i c per fer els costats dels triangles. Escriu els lletres a, b, i c als costats. Observa els teus triangles i els de tots els teus companys de la classe. Què tenen en comú aquests triangles? El Teorema de Pitàgores diu que si tenim un triangle rectangle c a b El quadrat que podem fer a partir de la seva hipotenusa a te la mateixa superfície (quantitat de paper) que els dos quadrats junts que podem fer a partir dels catets: a 2 = b 2 + c 2 a 2 c 2 b 2

13 13 D.4 Aplica el Teorema de Pitàgores per trobar el valor del costat que falta: 3 cm a 6,4 cm 4 cm 6 cm b c =2 cm c a =7,28 D.5 D un triangle rectangle coneixem els dos catets que fan 3 i 7 cm Quant mesura la hipotenusa? D.6 Calculeu el catet d'un triangle rectangle sabent que la hipotenusa en fa 10 cm i l'altre catet amida 6 cm. D.7 El costat d'un quadrat amida 2.6 cm Quant amida la diagonal? D.8 Trobeu l'altura d'un triangle equilàter el costat del qual mesura 1 m. D.9 Si dibuixem triangles amb les següents mesures Serien rectangles? Per quina raó? a) 5, 12, 13 b) 8, 6, 4 c) 8, 15, 17 d) 7, 13, 9 D.10 Dibuixa un sistema de coordenades i situa els punts A(2,6) i B(7,1). Troba la distància entre ells. D.11 Calcula l àrea de la part pintada, sabent que son dos quadrats i l àrea del quadrat gran mesura 100 cm 2. D.12 Dibuixa una circumferència de 6 cm de radi i dos diàmetres perpendiculars. Traça-hi el quadrat inscrit i calcula n l àrea. D.13 4t TREBALL PER LLIURAR AL PROFESOR/A: Recorda que vas lliurar un document writter amb tots els conceptes que havies treballat als fulls de treball A i B. Aquest document contenia totes les definicions amb dibuixos i fórmules. Ara amplia aquest mateix document amb els conceptes treballats als apartats C i D. Cal tornar-ho a enviar amb els resum dels fulls de treball A,B,C i D per correu electrònic al professor/a.

14 14 Full de treball E: Quadrilàters E.1 En Lluís és molt aficionat als estels i a les matemàtiques. La setmana vinent s ha de presentar a un concurs de vol acrobàtic amb estels elaborades de manera casolana. Ha dissenyat un estel amb la forma i mides següents: a) La forma de l estel d en Lluís és un quadrilàter? Per què? b) Es tracta d un paral lelogram? Per què? c) Busca a la xarxa una classificació dels quadrilàters i anota aquesta classificació al teu dossier amb la bibliografia. d) Quin tipus de quadrilàter és l estel d en Lluís? Per què? e) Quina és la diferència entre un quadrat i un rombe? I entre un rectangle i un romboide? Dibuixa ls. f) Quina és la diferència entre un trapezi i un trapezoide? Dibuixa ls. g) Quina és la fórmula de l àrea d un quadrat? I d un rectangle? I d un rombe? I d un romboide? I d un trapezi? h) En Lluís té tallada la peça de roba amb la forma de l estel i ara ha de muntar l estructura construïda per els dos llistons de fusta. Troba la longitud que ha de tenir cada un dels llistons. L angle entre els costats de 30 i 40 cm és de 90º. i) A quina distància de cada extrem es troba el punt on ha d unir-los? E.2 Els polígons I, II, III i IV són quadrats. Els perímetres dels quadrats I i II són, respectivament, 16 cm i 24 cm. a) Calcula, en cm, el perímetre del quadrat IV. b) Troba l àrea dels quatre quadrats. c) Troba l àrea que falta per a que la figura formada pels 4 quadrats sigui un rectangle?

15 15 Full de treball F: Polígons regulars F.1 Has recordat als fulls de treball anteriors aspectes relacionats amb dos tipus de polígons: el triangles i els quadrilàters. a) Esbrina quina condició ha de complir un polígon para ser regular. b) Quin nom rep el polígon regular de tres costats? I el quatre costats? c) Troba a la xarxa els dibuixos de polígons regulars de 3, 4 5, 6, 7 i 8 costats. Enganxa aquestes figures al teu dossier i escriu a sota el nom. F.2 L àrea del polígons regulars. a) Dibuixa un quadrat i traça les seves dues diagonals, de manera que es tallin al centre del quadrat. b) En quants triangles ha quedat dividida la figura? Són tots iguals? c) En funció dels costats, com són aquests triangles? d) Si divideixes un pentàgon regular de la mateixa manera, amb 5 radis que es tallin al centre del pentàgon des dels vèrtex, en quants triangles queda dividida la figura? Són tots iguals? Quin tipus de triangles són? e) I un hexàgon regular amb 6 radis? f) Serà certa la següent afirmació: Sempre podrem descompondre qualsevol polígon regular en tants triangles isòsceles iguals com costats tingui? Comprova-ho amb un heptàgon i un octògon regulars. g) Així, per trobar l àrea d un polígon regular, només cal conèixer l àrea d un dels triangles isòsceles en queda dividit i multiplicar-ho pel nombre de triangles. Troba l àrea d un pentàgon regular de costat 6,9 cm si l altura dels 5 triangles interiors és de 5,6 cm. h) Troba el perímetre i l àrea d un octògon regular de costat 2 cm i apotema (altura d un triangle isòsceles) 3 cm. F.3 Els angles interiors dels polígons regulars. a) Quan sumen els angles interiors de qualsevol triangle? b) Quan mesuren els angles interiors d un triangle equilàter? c) Quan mesuren els angles interiors d un quadrat? d) Quan sumen els angles interiors d un quadrat? e) Divideix un pentàgon regular amb dues diagonals en tres triangles. Quant sumaran els 5 angles interiors del pentàgon? Quan mesura, doncs, un angle interior d un pentàgon regular? f) Amb diferents diagonals, en quants triangles pots dividir un hexàgon? Quant sumaran els 6 angles interiors del hexàgon? Quan mesura, doncs, un angle interior d un hexàgon regular? g) Serà certa la següent afirmació: La suma dels angles interiors d un polígon de n costats és 180º (n-2) i, per tant, si el polígon és regular, tots els seus angles interiors són iguals i la seva mida és: 180º ( n 2) n? Comprova-ho amb un heptàgon i un octògon regulars.

16 16 Full de treball G: Figures circulars G.1 Quina és la diferència entre una circumferència i un cercle? Anota quina és la fórmula per trobar la longitud d una circumferència i la fórmula per trobar l àrea d un cercle. Escriu, com sempre, la bibliografia. G.2 Quina és la diferència entre radi, diàmetre i corda d una circumferència? Dibuixa una circumferència i aquests tres elements. G.3 Quants graus té una circumferència? I mitja circumferència? G.4 Que s entén per sector circular de n graus? Pots dibuixar un sector de 45º? Anota la bibliografia. G.5 Esbrina quina és la figura anomenada corona circular. Troba la fórmula que permet trobar la seva àrea. Anota la bibliografia. G.6 Agafa un CD i pren les mesures necessàries per trobar la superfície en la que és pot gravar. G.7 En un terreny rectangular es construeixen dues fonts circulars, com es mostra a la figura, i es planta gespa en el terreny restant. Quina superfície ocupa la gespa? 30 m 10 m G.8 5é TREBALL PER LLIURAR AL PROFESOR/A: Recorda que vas lliurar un document writter amb tots els conceptes que havies treballat als fulls de treball A,B,C i D. Aquest document contenia totes les definicions amb dibuixos i fórmules. Ara amplia aquest mateix document amb els conceptes treballats als apartats E,F i G. Cal tornar a enviar el document amb els resum dels fulls de treball A,B,C,D,E,F i G per correu electrònic al professor/a a la data pactada.

17 17 POLÍEDRES I VOLUMNS Aquestes figures representen objectes del món real que trobem a la natura, al carrer o a casa nostra. Tots aquests objectes tenen una característica en comú: estan limitats per superfícies planes que són polígons. En aquests cossos, els polígons s'anomenen també cares. Un políedre és un cos geomètric format per cares que són polígons. Anomenem cares d'un políedre a cadascun dels polígons que el formen. Cada dues cares d'un políedre tenen un únic costat en comú que s'anomena aresta del políedre. Els punts on es tallen tres o més arestes s'anomenen vèrtex del políedre. La diagonal d un políedre és el segment que uneix dos vèrtex no situats a la mateixa cara. Diagonal Segons els nombres de cares els políedres Vèrtex s'anomenen: tetràedre (4 cares), pentàedre (5 cares), hexàedre (6 cares), heptàedre (7 cares), octàedre (8 cares),..., dodecàedre (12 cares),..., icosàedre (20 cares)... Cara Aresta

18 18 Full de treball H: Desenvolupaments plans. Relació d Euler H.1 Observa els cossos geomètrics següents i omple el quadre semblant al del cub amb la resta de volums. Cub o hexàedre Tetràedre Octàedre Dodecàedre Icosàedre Cilindre Con Piràmide hexagonal Piràmide quadrangular Cub Figura Políedre C = nº cares A = nº arestes V = nº vèrtex C + V A + 2 SI Tetràedre... H.2 Fixa't en les dues últimes columnes de la taula. Dóna una igualtat que expressi el que s'hi observa:... =... Aquesta igualtat, C + V = A + 2, s'anomena relació d'euler i els políedres que verifiquen la relació d'euler es poden representar exactament sobre el pla, és a dir, es pot aconseguir dibuixar sobre el paper una figura que contingui tots els elements del políedre que es vol representar. Aquesta representació s'anomena desenvolupament pla del políedre.

19 19 H.3 Un dels problemes que tenim a l'hora de fer geometria és el temps necessari per poder fer les construccions en especial quan es tracta de geometria de l'espai: dibuixa, pinta, retalla, doblega les pestanyes, enganxa La manera que utilitzarem per investigar ha de ser la més simple, fàcil i ràpida possible. Per exemple polígons retallats de cartolina, sense pestanyes i enganxades amb cinta adhesiva. El resultat és un políedre experimental que permet enganxar, desenganxar, tornar a provar, fins aconseguir el políedre buscat. Després també permet d'obrir-lo per obtenir-ne el desplegament. No resulta un políedre molt polit, però aquest el podem obtenir ràpidament, observar-lo, prendre'n nota, descriure'l, dibuixar-lo, La plantilla que et donarà el professor/a serà una bona eina per fer-ho. Hauràs de retallar-la i posar-la a sota d un full de plàstic transparent amb una mica de gruix. Caldrà que buides l interior de les figures. Serà imprescindible portar-la a classe. H.4 Els desplegaments del cub o hexàedre regular. Fes 6 quadrats de 4 cm. de costat de cartolina amb la plantilla. Retalla ls. Enganxa els quadrats amb cinta adhesiva per fer un cub. Desmunta el cub que acabes de construir tallant algunes de les arestes que has unit amb cinta adhesiva per obtenir diferents desplegaments. Apunta al teu dossier, en paper quadriculat, tots els desplegaments que vas obtenint (hi ha 11 de diferents). Enganxa al dossier un desplegament del cub o hexàedre que has fet. Per últim, omple una taula semblant a aquesta al teu dossier: Cares Cub o Hexàedre Nombre Iguals? SI o NO Com són? Arestes Vèrtex H.5 Fes el mateix amb 4 triangles equilàters de 6 cm. de costat. Acabes de construir un políedre que té el nom de tetràedre. Investiga, també més d'una manera de fer-ne el desplegament. Enganxa al dossier un desplegament possible i omple una taula com la del cub però ara amb les dades del tetràedre. H.6 Intenta fer la construcció d una piràmide de base quadrangular. Enganxa al dossier un desplegament possible i omple una taula com les anteriors.

20 20 Observar un políedre Quan investigues i aconsegueixes obtenir un políedre, convé prendre nota de com és, el seu aspecte, amb què és fet, les seves propietats i tot el que et suggereix. Per això cal observar-lo bé i de tot el que veiem fer-ne una fitxa. Què es pot anotar a la fitxa: Un dibuix del políedre. Els possibles desplegaments. Un desplegament de la figura en cartolina i cinta adhesiva enganxada per una cara al dossier. Així, si en cal, podràs tornar-lo a muntar. Quantes cares té, quin tipus de polígon són i si són iguals. Quantes arestes té, quin tipus de polígons uneixen i si són iguals. Quan vèrtexs té, quins polígons hi concorren, quantes cares hi concorren i si en tots passa el mateix. Si verifica o no la relació d Euler. Si és convex (Un políedre és convex quan pot reposar per qualsevol cara sobre un pla, quedant-hi completament en contacte la cara). Altres observacions que et suggereixi, tot el que et crida l'atenció, com ara si és molt punxegut, si té forats, si és molt irregular, si és simètric... H.7 Resumeix la informació obtinguda fins ara, elaborant una fitxa d observació dels políedres que has treballat en els problemes anteriors: el cub, el tetràedre i la piràmide quadrangular (cada fitxa s ha de fer en un full sencer. Per tant són 3 fitxes en 3 fulles). Pot servir-te de model la fitxa següent: Dibuix en 3D NOM DEL POLÍEDRE Dibuixos dels desplegaments Fitxa nº Cares Piràmide quadrangular Nombre Iguals? SI o NO Com són? Arestes Vèrtex Compleix la relació d EULER? És convex? La figura en cartolina i cinta adhesiva enganxada per una cara Observacions:

21 21 Full de treball I: Políedres regulars o platònics I.1 És pot fer un tetràedre amb triangles que no siguin equilàters? (Hauràs de retallar quatre triangles iguals que no siguin equilàters i amb la cinta adhesiva intentar unir-los) I.2 És pot fer un políedre a partir de 6 rombes? Fes una fitxa per aquest políedre. És molt semblant a la del cub, però cal diferenciar dos tipus de vèrtex depenent de com són els angles de les cares que hi concorren. Observa que els vèrtex on hi concorren els angles de les cares més aguts, són més punxeguts. Aquest políedre rep el nom de cub oblic. I.3 Amb 6 rectangles i dos hexàgons elabora la fitxa d un prisma de base hexagonal. I.4 Observa les fitxes anteriors. El cub i el tetràedre reben el nom de políedres regulars (o platònics). En canvi els altres (prisma hexagonal i pentagonal, piràmide quadrangular i el cub oblic) no. Fixa't en com són els polígons que formen les cares del cub i el tetràedre i busca alguna diferència amb els altres cossos. Podries definir què és un políedre regular? Als grecs els fascinava que només hi hagués cinc políedres regulars. Tant, que Plató identificava cadascun d ells amb un element natural. Segons Plató, la terra corresponia a l hexàedre, és a dir a la forma més sòlida i menys mòbil, i el foc al tetràedre donat que és sòlid que té la forma més aguda i més mòbil; l aire i l aigua corresponien al octàedre i al icosàedre. El cinquè i últim sòlid regular, el dodecàedre, va ser considerat per Plató com símbol de l univers. I.5 Elabora la fitxa d observació dels tres políedres regulars que encara no has fet, l octàedre, el dodecàedre i l icosàedre. Hi ha cinc políedres regulars: El cub o hexàedre regular és el políedre regular que té sis cares quadrades iguals. El tetràedre regular és el políedre regular que té quatre cares que són triangles equilàters iguals. El octàedre regular és el políedre regular que té vuit cares que són triangles equilàters iguals. El dodecàedre regular és el políedre regular que té dotze cares que són pentàgons regulars. El icosàedre regular és el políedre regular que té vint cares que són triangles equilàters iguals.

22 22 Full de treball J: Prismes J.1 A un problema anterior has elaborat la fitxa del cub oblic. Al següent has elaborat la fitxa del prisma de base hexagonal. Com creus que són les cares laterals d'un prisma recte? i les d'un prisma oblic? Descriviu-ho amb paraules i dibuixa n dos de rectes i dos d'oblics. Compleixen els quatre prismes la relació d Euler? J.2 Compara la teva definició amb aquesta: Un prisma és un políedre que té dues cares iguals i paral leles (dites bases), les altres cares (dites cares laterals) són paral lelograms (quadrilàters amb els costats oposats paral lels i iguals). J.3 En els prismes, les cares laterals són sempre paral lelograms. Per tant, per distingir-los i identificar-los s'utilitza el polígon de la base. Dibuixa un prisma triangular, un prisma quadrangular i un pentagonal. J.4 Alguns prismes no es poden diferenciar per la base, ja que totes les cares poden ser-ho. És el que passa quan les bases també són paral lelograms com les cares laterals. Aquestes prismes s anomenen paral lelepípedes. Quin paral lelepíped és el que té totes les cares quadrats? Dibuixa-ho. J.5 Dibuixa un ortoedre, es a dir, un paral lelepípede amb les seves 6 cares rectangles. Dibuixa el seu desenvolupament pla i elabora la novena fitxa d observació. J.6 Compara les teves 9 fitxes de políedres que has elaborat i mira si serveix com a definició alternativa de prisma la següent: Un prisma és quan en tots el vèrtex hi concorren un polígon qualsevol i dos quadrilàters. Raona si serveix o no i per quin motiu. J.7 Si en cada vèrtex hi concorre un polígon qualsevol i tres triangles equilàters tenim un antiprisme. Fes-ne un de pentagonal a partir de dos pentàgons i 10 triangles equilàters. Fes la dècima fitxa d observació. J.8 Una aranya que es troba en el vèrtex A del cub de la figura veu arribar una mosca que es situa en el vèrtex E. Quin és el camí més curt que ha de recórrer l aranya sobre la superfície del cub per tal de capturar a la mosca? Si l aresta del cub fa 10 cm, quant fa el camí més curt? NOTA.- Prova les solucions possibles amb el desplegament del cub. A B D C E G F

23 23 Full de treball K: Piràmides Aquesta paraula ens recorda Egipte i els monuments que van servir de tomba als faraons. La més gran de les famoses tres piràmides d Egipte és la de Keops, que data del 2600 ac. aproximadament. És de base quadrada amb unes dimensions impressionats: 230 m d aresta de la base i 146 m d alçada. Esta formada per 2,3 milions de blocs de pedra cadascun dels quals pesa aproximament 20 tones. Piràmides de Guiza: Keops I Kefrèn. K.1 Defineix, de manera semblant a com hem definit els prismes, les piràmides. Elabora la fitxa d observació número 11 d una piràmide triangular i la número 12 d una pentagonal. K.2 Si es talla una piràmide per un pla paral lel a la base, s anomena tronc de piràmide la part de la piràmide compresa entre la base i la secció determinada pel pla. La secció determinada pel pla és la base petita i les cares laterals són trapezis. Elabora la fitxa d observació tretzena d un tronc de piràmide de base rectangular. K.3 Contesta a les següents preguntes després de meditar-les bé i mirant les teves fitxes d observació: a) Hi ha alguna piràmide que sigui un políedre regular? Quina? b) Hi ha algun prisma que sigui políedre regular? Quin? c) Hi ha algun antiprisme que sigui políedre regular? Quin? K.4 Aquí tens una llista dels polígons de cada vèrtex dels políedres que queden. I la quantitat de polígons que fan falta per construir-los. Fes almenys un d ells. Observa l i fes la fitxa catorzena. polígons en cada vèrtex polígons en total nom triangle, quadrat, triangle, quadrat 8 triangles i 6 quadrats cuboctàedre hexàgon, quadrat, hexàgon 8 hexàgons i 6 quadrats octàedre escapçat octògon, triangle, octògon 8 triangles i 6 octògons cub escapçat hexàgon, triangle, hexàgon 4 triangles i 4 hexàgons tetràedre escapçat quadrat, triangle, quadrat, quadrat quadrat, hexàgon, octògon triangle, triangle, triangle, triangle, quadrat decàgon, decàgon, triangle pentàgon, triangle, pentàgon, triangle hexàgon, hexàgon, pentàgon triangle, quadrat, pentàgon, quadrat hexàgon, quadrat, decàgon, quadrat triangle, triangle, triangle, triangle, pentàgon 8 triangles i 18 quadrats 8 hexàgons, 12 quadrats i 6 octògons 32 triangles i 6 quadrats 20 triangles i 12 decàgons 20 triangles i 12 pentàgons 20 hexàgons i 12 pentàgons 20 triangles, 30 quadrats i 12 pentàgons 20 hexàgons, 30 quadrats i 12 decàgons 80 triangles i 12 pentàgons

24 24 Full de treball L: Cossos rodons o cossos de revolució Als fulls de treball anteriors has estudiat els políedres, però, existeixen figures geomètriques que no pertanyen a la família dels políedres. Efectivament, si penses en una llauna, un embut o una pilota, estes figures no són polièdriques donat que no tenen cares poligonals. Aquestes figures pertanyen a una nova família, la dels cossos rodons o cossos de revolució. Els cossos rodons més populars i senzills són el cilindre, el con i l'esfera. A les figures següents apareixen objectes de la vida real que tenen aquesta forma: L.1 Retalla 3 peces de cartolina amb formes de rectangle, triangle isòsceles i cercle i, desprès, les perfores a la part superior i inferior com mostren les figures. Fes ús d un fil elàstic amb la intenció de crear un eix de gir i observa que, al girar amb rapidesa, es produeix l efecte òptic propi de les figures dels cossos de revolució. Quins és el nom d aquests tres cossos rodons? L.2 Imagina't un cilindre amb la seva superfície lateral pintada. Quan el cilindre gira una volta completa deixa una marca que és la superfície lateral. Es tracta d'un rectangle que té les dimensions següents: Base: la longitud de la base del cilindre. Altura: la longitud de la generatriu del cilindre. Dibuixa el desenvolupament pla d un cilindre.

25 25 L.3 Es vol posar una etiqueta en un pot cilíndric de manera que cobreixi tota la superfície lateral. El radi de la base del pot és de 5 cm i la seva altura, 20 cm. Quina figura plana forma aquesta etiqueta? Quines dimensions ha de tenir? L.4 Si gires aquest rectangle al voltant del costat més petit es forma un cilindre. Quant mesurarà la seva generatriu? I el radi de la base? 10 cm 5 cm L.5 Imagina't un con amb la seva superfície lateral pintada. Quan el con gira una volta completa deixa una marca que és la superfície lateral. Es tracta d'un sector circular que té les dimensions següents: Arc: la longitud de la base del con. Radi: la longitud de la generatriu del con. Dibuixa el desenvolupament pla d un con. L.6 Calcula l'àrea d'un sector circular de radi 2 cm i longitud de l'arc 10 cm. Àrea del sector circular = Arc radi 2 L.7 La torre d'un castell està rematada amb un con. El radi de la base del con fa 4 m. Quines dimensions (longitud i àrea) té el cercle sobre el qual descansa? L.8 El desenvolupament d'un con és un sector l'arc del qual fa 31'4 cm. Quant fa el radi del con? L.9 Ja saps que una esfera és el cos generat per un semicercle que gira al voltant del seu diàmetre, quin seria el desenvolupament pla de l'esfera? Quins problemes genera això als mapes? L.10 El cilindre, el con i l'esfera s'anomenen cossos de revolució perquè, com hem vist, es poden obtenir a partir de girs de figures planes. Per les diferents peses de la figura, dibuixa els cossos de revolució que s obtindran al fer un gir al voltant de l eix indicat

26 26 Full de treball M: Ampliació M.1 Repassa i memoritza els volums de alguns cossos geomètrics: Figura Dibuix volum c Prisma a b V = a b c h Cilindre V = π r 2 h r En general, per calcular la el volum de qualsevol figura sols cal multiplicar l àrea de la base per l altura. A excepció de les figures que acaben en punta que s han de dividir per tres com per exemple el con: Con r h V r 2h = π 3 M.2 Calcula el volum i la superfície de: a) Un prisma rectangular de costats a = 3 cm, b = 7 cm, c = 15 cm b) Un prisma quadrangular de base a = b = 5 cm c = 10 cm c) Un hexàedre de 10 cm de costat d) Un cilindre de radi r = 4 cm i altura h =12 cm e) Un con de radi r = 7 cm i altura h = 16 cm M.3 Calcula el volum i la superfície d un prisma de base hexagonal que el costat de l hexàgon de la base sigui 3 cm. i l alçada sigui 1cm: 1 3

27 27 M.4 Calcula la superfície i el volum d una piràmide de base quadrada com la del dibuix: 7 4 M.5 Calcula la superfície i el volum d una ampolla com la del dibuix: M.6 Volum de l esfera Si construïm un cilindre l altura i la base del qual coincideixen amb el diàmetre d una semiesfera, es pot comprovar que per omplir el cilindre de sorra necessitem exactament tres semiesferes plenes de sorra. Per tant, V esfera = = Vsemiesfera 2 Vcilindre 2 r π r Determina el volum d una esfera amb un diàmetre de 12 cm M.7 Àrea de la superfície esfèrica Si dividim la superfície de l esfera en infinits triangles es pot arribar a conèixer la fórmula que permet trobar l àrea de la superfície esfèrica, que és: A esfera Si el volum d una esfera és de 500 cm 3, calcula l àrea d aquesta esfera. 1 3 = 4π r 2 = 2 3 π = 4 3 5

28 28 Full de treball N: Torna a inventar la llauna de Coca-cola INTRODUCCIÓ L any 1914 Asa Candler, president de Coca Cola, va encarregar a un artesà del vidre anomenat Earl Dean que inventés una ampolla pel seu producte. Earl Dean va confondre el producte i pensant que era una espècie de cacaolat i va fer l ampolla amb la forma del fruit del cacao. La casualitat va fer que aquesta ampolla tingués una forma sinuosa que recorda el cos d una noia i aquest va ser una de les claus del seu èxit. L artesà va patentar l ampolla i es va fer multimilionari ja que per cada ampolla venuda ell cobrava una petita quantitat. Actualment, a més de l ampolla, s utilitza una llauna d alumini. L any 1996 es va intentar fabricar una llauna amb la mateixa forma que l ampolla però el cost de l alumini, que és una matèria primera molt cara, ho va desaconsellar. Per tant, en el seu disseny actual de la llauna de Coca Cola, influeixen més els factors econòmics i pràctics que no pas estètics. En una llauna de Coca Cola hi caben, exactament, 333 cm 3 de refresc (un terç de litre), però, es podrien fabricar molts tipus de llaunes diferents amb la mateixa capacitat? i, si la seva forma obeeix a factors, aquesta forma triada és la que utilitza la mínima quantitat de material per a tenir un cost més baix? N.1 Treballant per parelles, heu d inventar i presentar públicament una nou envàs per a la Coca Cola que compleixi les següents condicions: Que hi càpiga exactament 333 cm 3 Cal que demostreu matemàticament que el vostre recipient és de 333 cm 3. Que utilitzi molt poc material cal calcular la quantitat exacta de material utilitzat. (Premiarem a qui la faci amb menys material) Que sigui relativament fàcil de construir. Cal construir un prototip en cartolina. QUINA ÉS LA LLAUNA CILÍNDRICA MÉS ECOLÓGICA? Les matemàtiques són molt útils per gran quantitat de coses. Una de les aplicacions que s ha posat de moda a partir de la segona guerra mundial son els problemes d optimització. Es a dir, els problemes en que es calculen tots els paràmetres industrials que fan mínims els costos. Actualment no hi ha cap factor industrial que obeeixi a l atzar, tot té unes raons matemàtiques de fons. El problema de la llauna de Coca Cola és un clar exemple. La seva forma no és fruit de l atzar i obeeix a raons purament econòmiques, però quina forma tindria si es volgués prioritzar l ecologia? Estudiem a fons aquesta qüestió.

29 29 Volem fer una llauna cilíndrica de 333 cm 3, volem conèixer quin ha de ser el radi i quina ha de ser l altura per a que la quantitat d alumini sigui mínima. Com que el volum sempre ha de ser el mateix, si la fem més ampla haurà de ser més baixa i si la fem més prima haurà de ser més alta. Això vol dir que no podem triar l altura per què depèn del radi. Per tant, el que sí el podem triar és el radi: h V = π r 2 h = 333 Aïllant l altura 333 tenim que h = 2 π r r Ara ens podem inventar diferents valors pel radi i calcular, en primer lloc, quina altura ha de tenir i en segon lloc quina quantitat d alumini es gasta, es a dir, la superfície de la llauna (pensa en el desenvolupament pla del cilindre): S = 2π r h +2π r 2 CALCULEM, BUSQUEM I CONSTRUÏM Tots aquests càlculs els podeu fer amb una taula com la següent (pots fer un full de càlcul amb l OpenOffice.cal). En acabar-los, la llauna millor serà la que tingui menys superfície. Radi 333 h = 2 π r S = 2π rh + 2πr 1 105, , ,5 47, , , , , ,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 Amplia els càlculs entre els millors valors (augmentant el radi 0,1): 2

30 30 Full de treball O: Treball d ampliació. La caixa de paper Si vols millorar la teva nota de Matemàtiques, et veus capaç de resoldre aquest problema i presentes per escrit la solució, el professor/a segur que valora molt positivament el teu esforç. Anima t. Segur que pots. Amb un full de paper volem construir una caixa. Per fer-ho, retallarem, a cada costat del foli, un quadrat i aixecarem els quatre rectangles resultants per formar els laterals de la caixa tal i com es veu al dibuix. El volum de la caixa obtinguda dependrà del que retallem? a.- Fes una caixa d aquest tipus amb una mida del costat del quadrat inventat per tu. b.- Mesura i apunta les tres mides amb la major precisió possible: amplada, llargada i alçada. Troba l àrea de la base. c.- Calcula el volum de la caixa. Calcula també la superfície que ocupa la caixa desplegada. d.- Amb les mateixes fórmules que has fet servir per mesurar la caixa creada per tu i amb l ajut de l Openoffice.cal, pots omplir la taula següent: Costat del quadrat (cm) Superfície de la base (c m 2 ) Altura de la caixa (cm) Volum (c m 3 ) Superfície de paper (c m 2 )

31 31 e.- Quina és la mida del costat que hem de retallar per aconseguir que el volum sigui el més gran possible? f.- Amb les dades de la taula representa gràficament com varia el volum de la caixa en funció del costat del quadrat retallat. g.- Construeix una segona caixa, aquesta amb el volum màxim, i presenta un informe escrit amb els teus càlculs i la gràfica. Lliura l última caixa i l informe escrit al teu professor/a i, APA! ja tens una bona nota a mates. UN AJUT: Consulta la web: