LA MATERIA. Materia. constituida por cargas en movimiento

Transcripción

1 CAPÍTULO 6 EL CAMPO MAGNÉTICO EN LA MATERIA B B m constituida por cargas en movimiento Vibraciones atómicas considerables; movimiento de electrones a grandes velocidades alrededor de los núcleos; conjunto de partículas cargadas en movimiento dinámico. Interactúa con la materia Campo promedio macroscópico momento dipolar magnético modelo de la materia 389

2 El dipolo magnético: Expansión multipolar del potencial vectorial: dipolo + cuadrupolo + octopolo +... el término monoplar es cero Término dipolar dominante: µ I µ I A (r ) = rcosθ dl = rˆ r dl 1 o o o 2 2 4πro 4πr o o ( ) [( ) ] = ( ) + ( ) d rˆ r r rˆ dr r rˆ r dr o o o 390

3 [( ) ] = = ( ) + ( ) d rˆ r r 0 rˆ dr r rˆ r dr o o o o Del doble producto cruz: ( ) = ( ) rˆ drr rˆ r dr ( ) ( ) ( ) rˆ r dr = r rˆ dr rˆ r dr o o o o = o ( ) ( ) rˆ r dr 2 rˆ r dr o 391

4 I r+dr dr=dl r 1 2 o o ( rˆ r) dl = rˆ ( r dl) 392

5 µ oi 1 A (r o) = ˆ 2 1 r o ( r dl) 4πr o 2 µ µ A r m m r o ( ) ( ) 1 (r o o) = ˆ = ˆ 2 2 4πr o o 4πr o o momento dipolar magnético: m 1 = I d 2 r l ( ) Integral doble del área del lazo de corriente Unidades: corriente por área Am 2 393

6 Para un lazo de corriente en un plano: m = IA A área del lazo dipolo ideal Ifi y Afi0 con m=cte. Campo magnético dipolar: µ o m rˆ B(r, θ ) = A 1(r) = 4 2 π r m = mkˆ = m cosθrˆ senθq ˆ ( ) µ o msenθ ˆ = f 4 2 π r 394

7 rˆ rqˆ rsenθfˆ m rˆ = mcosθ msenθ 0 = msenθf ˆ µ om B(r, θ ) = 2cosθ rˆ+ senθq ˆ 3 4πr ( ) 395

8 Dipolo en campo magnético externo: Tiende a alinearse con el campo I B z β m F M-III IV I III F M-II F M-III h I h y x I B I I F M-I F M-IV I y I F M-I II Corte seccional Visto desde arriba Fuerza magnética sobre el lazo: F = M I(d l B ) 396

9 Sub-trayectoria I: dl = dxˆi ˆi ˆj kˆ dl B= dx 0 0 = dxbˆj 0 0 B S/2 S/2 S S M I I( dxb) ˆ IB x ˆ F IB ˆ = j= j= j 2 2 S/2 S/2 F = IBSˆj M I 397

10 Sub-trayectoria II: dl = cosβ dyˆj+ senβdzk ˆ ˆi ˆj kˆ dl B= 0 cosβdy senβ dz = Bcosβdyˆi 0 0 B S/2 S/2 FM II I( Bcos dy) ˆ IBcos y ˆ = β i = β i S/2 S/2 S S FM II = IBcosβ ˆ i = IBScosβ ˆ i

11 Sub-trayectoria III: Por simetría con I: M III S/2 = ( ) ˆ= F I dxb j IBSˆj S/2 Sub-trayectoria IV: Por simetría con II: Fuerza neta: M M IV S/2 = I( Bcosβ dy) ˆ= IBScosβ F i î S/2 F = IBSˆj IBScosβî IBSˆj+ IBScosβ î = 0 399

12 Fuerzas en I y III; distintos centros de acción: Torque N= h F M h = distancia perpendicular de la línea de acción al origen Para el lado I: N = F h= IBSˆj hkˆ = IBShi ˆ I M I Para el lado III: III Torque total: M III ( ) ( ) N = F h = IBSˆj hkˆ = IBShî N= N + N = IBShî+ IBShî = 2IBShî I III 400

13 h S = senβ 2 S ˆ 2 N= 2IBS senβ i = IBS senβi ˆ 2 m = IS 2 N= mbsenβ iˆ = m B m tiende a alinearse con B Para campo externo no uniforme: FM = ( m B ) 401

14 Ejemplo 50.- Fuerza entre imanes en barra z m 2 z m 1 y ( ) F = m B M

15 m k ˆ m2 = m2ˆ k B o 1 1(r = z, θ= 0) = 3 2 π z µ ( ˆ) µ om1 ˆ ˆ µ omm 1 2 F ˆ M1 2 = m2 z k k 3 = z 3 2 z k π 2πz k F µ mm 3 2 π z o 1 2 M1 2 = 4 k ˆ µ 3 o mm 1 2 k ˆ = M gk ˆ 4 2πz z = 3 µ mm 4 2πMg o

16 Momentos dipolares atómicos: Momentos dipolares en la materia: electrónico de spin del electrón de spin del núcleo Combinación propiedades magnéticas del material Momento dipolar electrónico u orbital: Giro del electrón f s -1 corriente I = e T 404

17 B m v -e I r Período de revolución: 2π T = ω 405

18 eω ev I = = 2π 2πr Momento dipolar orbital: ev ( 2 ) 1 m = I(área) = π r nˆ = evr n ˆ 2πr 2 Ecuación de órbita; B=0: Ecuación de órbita; B 0: o e v = m 4 2 e πε r r o e u + eub = m 4 2 e πε r r 406

19 m ( 2 2 eub= e u v ) m = e (u v)(u+ v) r r u+ v 2u u v = v eub m e = ( v)(2u) r v = ebr 2 m e er 1er m= e vrˆ n= Bˆ n = B 2 4 me 4 me 407

20 Signo negativo cambio en momento dipolar en dirección opuesta al campo Cuántica-mecánicamente: e m = ħ mcnˆ = µ Bmcnˆ 2 m e m c = l(l+ 1) Magnetrón de Bohr: Modelo clásico: µ B = eħ 2m e = 9.27X10 24 Am 2 m = 9.271X10 22 Am 2 408

21 Momento dipolar del spin del electrón: Efecto totalmente cuántico (no existe un buen modelo clásico ni semi-clásico) Spin del electrón momento dipolar magnético Componente z del momento dipolar: µ z = ( ) eħ 2m e J z ħ 2µ B J z ħ = 2µ B ± 1 = µ 2 B Jz proyección en el eje z del momento angular el momento dipolar del spin se alinea a favor del campo magnético 409

22 Momento dipolar del spin del núcleo: Núcleo tiene asociado un spin intrínseco Spin del núcleo momento dipolar magnético Valor aproximado: µ N eħ 2m p = µ B 1,836 Las propiedades magnéticas de la materia se pueden modelar en base a la combinación del momento magnético electrónico y el momento magnético del spin del electrón 410

23 Materiales Diamagnéticos: Diamagnetismo cambio en momento dipolar electrónico en presencia de un campo externo Los momentos dipolares se oponen al campo aplicado (dia=en contra de) B es menor dentro del material con respecto al espacio libre (B B o ) Todos los materiales presentan diamagnétismo Regla general (con muchas excepciones): los materiales con número par de electrones son diamagnéticos Si B=0, los dipolos se orientan azarosamente y estadísticamente m=0 (el material no presenta magnetización) 411

24 Ejemplos de materiales diamagnétcos: Material # electrones c m hidrógeno X 10-8 helio X 10-5 grafito X 10-5 silicio X 10-5 azufre X 10-5 cloruro de sodio X 10-5 cobre X 10-5 germanio X 10-5 oro X 10-5 bismuto metálico X 10-5 gases nobles par 412

25 Materiales Paramagnéticos: Paramagnetismo cambio en momento dipolar del spin del electrón en presencia de un campo externo Los momentos dipolares se alinean con el campo aplicado (para=a favor de) B es mayor dentro del material con respecto al espacio libre (B B o ) Regla general (con muchas excepciones): los materiales con número impar de electrones son paramagnéticos Si B=0, los dipolos se orientan azarosamente y estadísticamente m=0 (el material no presenta magnetización) 413

26 Ejemplos de materiales paramagnéticos: Material # electrones c m berilio X 10-8 oxígeno X 10-8 sodio X 10-5 aluminio X 10-5 potasio X 10-5 itrio X 10-5 cloruro de níquel X 10-5 tungsteno X 10-5 platino X 10-5 cloruro de erbio

27 Materiales Ferromagnéticos: Cada átomo tiene un momento dipolar fuerte, debido a momentos de spin sin compensar Los momentos de átomos vecinos se alinean en la misma dirección, formando dominios Dominios una dirección regiones con el momento dipolar en Ferromagnético virgen: momento dipolar de cada dominio orientado azarosamente; m=0 si B=0 Si B 0, los dominios tienden a alinearse con el campo; m 0 B es mucho mayor dentro del material con respecto al espacio libre (B 4,500B o ) 415

28 Un material ferromagnético queda magnetizado al remover el campo; m 0 El ferromagnetismo desaparece si T>T C (Temperatura de Curie) Ejemplos de materiales ferromagnéticos: Material T C cobalto 1,131 C fierro 770 C níquel 358 C gadolinio 16 C alnico (aluminio, níquel, cobalto y cobre) 416

29 Materiales Antiferromagnéticos: Los momentos dipolares magnéticos de átomos vecinos se alinean antiparalelamente; m=0 B es casi igual dentro del material con respecto al espacio libre (B B o ) Se presenta principalmente a bajas temperaturas No se les ha encontrado gran aplicación práctica en la ingeniería Ejemplos: óxido de níquel (NiO); sulfuro ferroso (FeS); cloruro de cobalto (CoCl 2 ) 417

30 Materiales Ferrimagnéticos: Alineamiento antiparalelo de los momentos dipolares magnéticos netos de átomos vecinos, pero m 0 Si B 0, hay un gran alineamiento de los dipolos con el campo B es mucho mayor dentro del material con respecto al espacio libre, pero no tanto como en los ferromagnéticos (B 800B o ) Los materiales ferrimagnéticos son malos conductores; corrientes parásitas reducidas aplicación fundamental en campos variables con el tiempo; transformadores, antenas, inductores Ejemplos: Ferritas (óxidos de Fe): Fe 3 O 4 ; NiFe 2 O 4 ; Ni 1/2 Zn 1/2 Fe 2 O 4 418

31 Materiales Superparamagnéticos Superparamagnetismo natural no es un estado magnético Matriz de partículas ferromagnéticas (puntos) sobre una superficie no ferromagnética Si B 0, dominios en cada punto se alinean con el campo, pero no hay una alineación de los dominios de puntos vecinos Gran proliferación de materiales superparamagnéticos en nuestra vida cotidiana Ejemplos: todos los medios magnéticos de almacenamiento de información; cintas para audio, video y datos; discos flexibles y rígidos; tiras magnéticas en tarjetas bancarias y boletos 419

32 Almacenamiento de información; analógica y digital: 420

33 Magnetización: Magnetización momento dipolar magnético por unidad de volumen: M = lim τ 0 m τ Unidades Am 2 m 3 = A m Potencial debido a material magnetizado: µ A ( ) o ˆ 1 ξ = m x 2 4πξ ( ) 421

34 A 1 µ ˆ ( ) o M x ξ = dτ 4π 2 ξ 1 = ξ xˆ ξ 2 actuando sobre coordenadas de integración A 1 (ξ) = µ o 4π M 1 dτ ξ M 1 = ξ 1 M ξ ( ) M ξ 422

35 µ o 1 A1( ξ ) = M dτ 4π ξ µ o 1 M = dτ 4π ξ ξ ( M ) M M dτ= d a ξ ξ A 1 µ o M µ o M da ( ξ ) = dτ+ 4 4 π ξ π ξ 423

36 Densidad volumétrica de corriente de magnetización: Jm = M Densidad superficial de corriente de magnetización: K = M n ˆ m Potencial debido a material magnetizado: A 1 µ J µ K ( ξ ) = dτ+ da 4 4 o m o m π ξ π ξ 424

37 Las densidades de corriente de magnetización son REALES: ^ M=Mk K=K f ^ m r^ Constituyen corrientes parásitas 425

38 Ley de Ampere: J = J + J m 1 B µ o µ o ( B) = = J' = J+ J m B = J+ M µ o B M = J µ o Vector H: H B µ o M Unidades A m 426

39 Ley de Ampere: H = J H dl = Ienc Medios lineales, isotrópicos y homogéneos: M =χ m H χ m susceptilidad magnética del medio (adimensional) χ m <0 para medios diamagnéticos χ mo =0 en el espacio libre χ m >0 para los demás medios 427

40 B B H = M= χmh µ µ o o ( 1 ) B=µ +χ H=µ H Permeabilidad magnética del medio: m o µ = µ ( o 1+ χ ) m Unidades N A 2 Permeabilidad relativa: µ km = = 1+χ µ o ( ) (adimensional) 428 m

41 k m <1 para medios diamagnéticos k mo =1 en el espacio libre k m >1 para los demás medios Ley de Ampere en medios LIH: 1) H debe ser paralelo o perpendicular al lazo amperiano en todo punto. Esta condición implica que debemos conocer la dirección de H a priori. 2) H debe ser constante en el lazo amperiano usado. Esta condición se cumple para líneas y planos infinitos con distribución de corriente uniforme. 429

42 Ejemplo 51.- Solenoide ideal. z H dl µ y x I 430

43 De la Ley de Ampere: H enc dl = I enc ( ) I = NI= nl I Si el núcleo del solenoide es LIH, cumple con las condiciones de la ley de Ampere: H dl = Hdl= Hl= NI H = niˆ k 431

44 o ( 1 ) B=µ H=µ +χ H m B =µniˆ k Solenoide sin núcleo (espacio libre): B =µ o niˆ k Generalizando: Para medios LIH, la solución es exactamente igual a la del espacio libre siempre y cuando: µ o µ 432

45 Condiciones de frontera: dl 2 H 2 β 1 α H 1 433

46 De la ley de Ampere: H dl = H dl+ H dl = 2 1 ( ) H dl H dl= H H dl 2t 1t 2t 1t Ienc = Kdl ( ) H H dl= Kdl 2t 1t H H = K 2t 434 1t

47 Las componentes tangenciales del vector H son discontinuas si existe una densidad superficial de corriente K entre los medios Si los medios son LIH: Si K=0: B2t B 1t =K µ µ 2 1 B 2t µ = µ 2 1 B 1t Las componentes tangenciales de B son siempre discontinuas al cambiar de medio 435

48 B =0 B 2n = B 1n Las componentes normales de B son siempre continuas al cambiar de medio En resumen, condiciones de frontera: ( ) nˆ B B = ( ) nˆ H H = K

49 Histéresis: Ferromagnéticos no lineales B µ (B) = f H Ciclo de Histéresis: Representa pérdidas de energía: El campo B le cede energía al material para cambiar la orientación de los dipolos, pero esta energía no regresa al campo; se disipa en el medio (en forma de calor). 437

50 M o B c b d a g H o I e f 438

51 RESUMEN GLOBAL: ELECTROMAGNETOSTÁTICA Ecuaciones de Maxwell (caso estático): Forma diferencial: D =ρ (Ley de Gauss) E =0 (Ley de Faraday) B =0 H = J (Ley de Ampere) 439

52 Forma integral: D da = ρd τ (Ley de Gauss) E dl = 0 (Ley de Faraday) B da= 0 H dl = J da (Ley de Ampere) 440

53 Ecuaciones de los materiales: D=ε oe+ P H B = M µ o En medios LIH: D H =εe = µ B Ley de Lorentz: q[ ( )] F = E+ v B EM 441

54 Condiciones de frontera: Relatividad: ( ) nˆ D D =σ 2 1 ( ) nˆ E E = ( ) nˆ B B = ( ) nˆ H H = K 2 1 E marco de referencia B mismo fenómeno observado desde distintos puntos de vista 442