Campo magnético. Ciertas rocas se atraen entre sí y también atraen algunos metales como el hierro. ) Magnes O 4

Transcripción

1 Campo magnético Los fenómenos magnéticos son conocidos desde la antigüedad. Ciertas rocas se atraen entre sí y también atraen algunos metales como el hierro. Brújula China, siglo IX (origen árabe o Indú). Magnetita (Fe 3 O 4 ) Magnes Al igual que en el caso de cargas, donde introdujimos la noción de campo eléctrico, describiremos los efectos en las proximidades de un imán o de una corriente eléctrica con la noción de campo magnético (B).

2 Conexión entre electricidad y magnetismo: Oersted ( ): la corriente eléctrica en un alambre desvía la aguja de una brújula. Ampere ( ): formuló leyes cuantitativas para calcular la fuerza magnética entre dos conductores. Propuso que el magnetismo en la materia se debía a lazos de corriente del tamaño de moléculas. Faraday (1820): La corriente eléctrica puede inducirse ya sea moviendo un imán o cambiando la corriente de un circuito. Todo imán, sin que importe su forma, tiene dos polos. Polos distintos se atraen. Polos iguales se repelen. Los polos magnéticos siempre se encuentran de a pares. La tierra se comporta como un gran imán.

3 Electrostática: Por simetría, podríamos escribir: Sin embargo, aquí aparece una primera diferencia entre campos eléctricos y magnéticos: las cargas magnéticas individuales (o monopolos) no existen (o al menos no han sido observadas). Por lo tanto, es más útil pensar en: Una carga eléctrica en movimiento (corriente eléctrica) genera un campo magnético, El cual ejerce una fuerza magnética sobre otras corrientes.

4 Hay una fuerte simetría (o semejanza) entre E y B. Sin embargo: La fuerza eléctrica sobre una partícula cargada es siempre paralela a E (o a las líneas de E). La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es perpendicular a B. Un vector (E) Dos vectores (v y B) La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es entonces más compleja de describir que la fuerza eléctrica sobre una carga estática.

5 Monopolos y flujo magnético. En el caso de electrostática, el flujo eléctrico era proporcional a la carga neta encerrada en la superficie gaussiana. Si la carga neta encerrada era cero, el flujo de E a través de la superficie gaussiana era cero. Por analogía, el flujo magnético debería ser proporcional a la carga magnética encerrada. Pero como los monopolos magnéticos no existen, concluimos que el flujo magnético total a través de una superficie cerrada es siempre cero. (Ley de Gauss para el flujo magnético).

6 Fuerza magnética sobre una carga en movimiento. A partir de experimentos sobre cargas en movimiento en un campo magnético se observa. La magnitud de la fuerza magnética es proporcional a q y a v La magnitud y dirección de la fuerza depende de v y de la magnitud y dirección de B. Si v B F = 0. F es perpendicular a los vectores v y B. Si los vectores v y B forman un ángulo θ entre ellos, entonces F es proporcional al sen θ. La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto a la fuerza sobre una negativa que se mueve en la misma dirección. Todas estas observaciones se pueden resumir en:

7 Dado que F, v, y B son vectores, podemos escribir: (al escribir vxb en lugar de Bxv hemos especificado cuál de las dos direcciones posibles de B queremos usar).

8 Por ser un producto vectorial, F es siempre perpendicular a v, y la fuerza magnética es una fuerza deflectora lateral. Dado que la fuerza magnética es perpendicular a v, no puede cambiar su módulo (como F es perpendicular a v, no puede realizar trabajo sobre la carga, por lo cual el campo magnético no puede cambiar la energía cinética de una partícula cargada en movimiento). La expresión para F sirve como definición de campo magnético, y nos da tanto su módulo como su dirección.

9 F e = qe F m = qvxb La unidad de B en el S.I. es el Tesla (T): Una unidad más antigua es el gauss:

10 Las líneas de campo magnético se dibujan en forma similar al caso del campo eléctrico. Las líneas de B pasan por el imán formando anillos cerrados (otra diferencia con E). Mayor concentración de líneas: el campo magnético es mas intenso. Polos del imán.

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12 La fuerza de Lorentz. Si en una dada región existen un campo eléctrico E y un campo magnético B, la fuerza total sobre una carga se puede escribir como la suma vectorial: Fuerza de Lorentz E actúa sobre cualquier partícula cargada, mientras que B actúa sólo sobre partículas cargadas en movimiento.

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14 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético. Supongamos inicialmente sólo un campo B (constante). En este caso, la fuerza sobre la partícula vendrá dada por F = qvxb, y usamos las Leyes de Newton para estudiar su movimiento. Supondremos inicialmente v perpendicular a B. F = q B v = ma Dado que F es perpendicular a v, tendremos un movimiento circular y podemos escribir:

15 La velocidad angular será: Y la frecuencia: Frecuencia ciclotrónica. Notar que no depende ni del radio de la trayectoria ni de la velocidad inicial, solo de B y de la relación q/m.

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17 Si la velocidad no es perpendicular a B, podemos descomponer a v en una componente paralela y una perpendicular a B. La componente paralela no se verá afectada por B, mientras que la componente perpendicular sufrirá una aceleración lateral.

18 Si el campo magnético no es uniforme, el movimiento es más complejo.

19 Supongamos una región en donde los campos E y B son perpendiculares entre sí y a v. Si F E y F B son iguales en módulo, la fuerza de Lorentz es cero. En términos escalares: Los campos E y B cruzados funcionan como selectores de velocidad. Sólo las cargas con velocidad v=e/b Pasan por la región, sin ser afectadas por los campos.

20 Ejemplo: el experimento de Thompson para determinar la relación e/m del electrón (1897). Fuente de electrones Campos E y B cruzados. Los electrones son acelerados por una diferencia de potencial V.

21 Ejemplo: el espectrómetro de masas. Este dispositivo se emplea para separar iones por su masa.

22 Ejemplo: el ciclotrón. Es un acelerador de partículas.

23 Fuerza magnética sobre una corriente. Dado que un campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga en movimiento, debe ejercer también una fuerza sobre una corriente (que no es más que un conjunto de cargas en movimiento). Los electrones no pueden escapar del conductor. La fuerza debe trasmitirse al conductor mismo.

24 Consideremos las cargas individuales que fluyen por un conductor con una velocidad de arrastre v d. F = ev d xb (fuerza sobre cada electrón de la corriente). Sobre cada electrón en el conductor actúa la misma fuerza, por lo cuál la fuerza total sobre el segmento de longitud L es igual al número de electrones (N) por la fuerza sobre cada electrón: Si n es el número de electrones por unidad de volumen, entonces: N = nal

25 Para preservar la relación vectorial, definimos el vector L con igual magnitud que la longitud del alambre conductor y que apunte en la dirección de la corriente. De esta forma, los vectores v d y L tienen direcciones opuestas. Sustituyendo: (esta ecuación es equivalente a F = qvxb).

26 Si el conductor es perpendicular al campo: Si el alambre no es recto o el campo no es uniforme, podemos dividir al conductor en segmentos de longitud ds y hacer:

27 Algunos ejemplos y problemas. Flotación de un alambre por el que circula corriente en un campo magnético.

28 Algunos ejemplos y problemas. Conductor semicircular. Sobre cada sección recta: La fuerza df que actúa sobre un segmento del arco de longitud ds = Rdθ es: (dirección radial, hacia el centro del arco).

29 Esta componente se anula por simetría. La fuerza total sobre el aro semicircular apunta hacia abajo y es: Y la fuerza total: (notar que es la misma fuerza que actuaría sobre un alambre recto de longitud 2L+2R. Esto es así independientemente de la forma del segmento central).

30 Algunos ejemplos y problemas. Bobina en un campo magnético. La balanza se ajusta de forma tal que el sistema quede en equilibrio cuando circula una corriente i por la bobina. Independientemente de que el campo entre o salga del plano de la hoja, las fuerzas sobre los conductores verticales se cancelan. Sobre el conductor horizontal tenemos: F = NiaB (N espiras forman la bobina) mg = NiaB B = (mg) / Nia

31 Momento de torsión en una espira de corriente. Cuando una espira por la que circula una corriente se coloca en un campo magnético, la misma puede experimentar un momento de torsión, que tiende a hacerla girar alrededor de un cierto eje. Este principio es la base de la operación de motores eléctricos y de los galvanómetros en los que se basan los medidores de corrientes y voltajes. Veamos dos casos simples: Cuando la normal a la espira es paralela a B, el momento de torsión es nulo (equilibrio).

32 Cuando la normal a la espira es perpendicular al campo, el momento de torsión es máximo: Que ocurre para cualquier otra orientación de la espira con respecto al campo? Obviamente, situación intermedia. Es el caso general que analizaremos. :

33 Los lados 1 y 3 de la espira son perpendiculares a B. Vamos a calcular la fuerza sobre cada uno de los 4 conductores que forman la espira.

34 Como ya sabemos, cada una de las fuerzas debe ser perpendicular a B y a la dirección de i. Estas fuerzas son iguales y opuestas, por lo cual no contribuyen a la fuerza neta sobre la espira, y como tienen la misma línea de acción, tampoco aportan al momento de torsión. Tampoco contribuyen a la fuerza neta, ya que se cancelan entre sí. La fuerza neta sobre la espira es cero.

35 Los momentos de torsión no son nulos. Las fuerzas F 1 y F 3 tienden a hacer girar la espira alrededor del eje z, llevando al versor n a alinearse con B, reduciéndose el ángulo θ (si se invierte la corriente n tendría sentido opuesto, produciéndose el mismo efecto de alineamiento). 2F r Notar que si n es paralela a B (θ=0), el momento de torsión es nulo.

36 En el caso de una bobina de N vueltas: (A = a.b) Esta ecuación es válida para toda espira de área A, independientemente de su forma. Es el fundamento de aparatos de medición de corrientes.

37 Dipolo magnético. Cuando se coloca un dipolo eléctrico en un campo eléctrico E, el efecto del mismo es producir un momento de torsión que hace rotar al dipolo de forma tal que se oriente con respecto al campo. Para campos magnéticos, acabamos de ver que éste produce un momento de torsión sobre una espira de corriente que la hace girar de forma tal que su normal se oriente paralela al campo. Las líneas de campo eléctrico de un dipolo eléctrico y las de campo magnético de un imán nos lleva a plantear una analogía: Semejanza iguales ecuaciones.

38 Dipolo eléctrico: τ = pxe Dipolo eléctrico: τ = pesenθ (módulos!) Campo magnético: τ = NiABsenθ (módulos!) Por analogía, definimos entonces: μ: momento dipolar magnético. Resultado absolutamente general, aunque lo hayamos hecho para una geometría particular. Energía del dipolo magnético en un campo magnético (sistema: dipolo + campo). En general, no es posible definir una energía potencial magnética de una carga o un potencial magnético de un campo, como en el caso de un campo eléctrico (ya veremos por qué).

39 A.m 2 Los efectos magnéticos en los materiales están determinados por el magnetismo atómico, más que por el nuclear.

40 Efecto Hall. ΔV Edwin H. Hall, Medición directa del signo y densidad de portadores de carga en un conductor. Consideremos una cinta plana de ancho w por la que circula una corriente i en un campo magnético B. Supongamos portadores de un único signo (electrones por ejemplo) que se mueven con una velocidad de arrastre v d. La fuerza magnética desvía los portadores hacia la derecha. A medida que las cargas se acumulan se genera en campo eléctrico E, hasta que se alcanza un equilibrio. Entonces:

41 Recordando que v d = j/ne y E = V/w

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