1. PROBABILIDAD SIMPLE

Transcripción

1 0. INTRODUCCIÓN Muchos aspectos de nuestra vida están influidos por el azar. Por ejemplo: Lloverá mañana?, quién ganará la liga de fútbol?, Si nos vamos ahora del colegio, se dará cuenta alguien? Cada vez que estudiamos un fenómeno o experimento que todavía no se ha realizado, tratamos de evaluar la posibilidad de que ocurra algo en particular, estamos haciendo, por lo tanto un cálculo de su posibilidad A partir del s. XVII dichos cálculos fueron investigados por matemáticos surgiendo así diferentes formas de calculo.. PROBABILIDAD SIMPLE Supongamos el experimento de lanzar una vez un dado. Y nos interesa si sale un número menor que 5. Entonces: Tenemos las siguientes posibilidades E = {, 2, 3, 4, 5, } (Espacio Muestral) Y las que nos interesan son: A = {, 2, 3, 4} (Suceso Aleatorio) De las posibilidades que tenemos al lanzar un dado (lo llamaremos casos posibles), se corresponden con nuestro suceso tan solo 4 (que se llaman casos favorables) 4 La probabilidad de qué ocurra el suceso A, entonces es: ) En general, esto se conoce como la Regla de Laplace que podemos enunciar así: ) nº casos nº casos favorables posibles Ejemplo: De una baraja sacamos una carta, qué probabilidad hay de que sea una carta de oros? Escribir el espacio muestral en este caso es muy largo así que vamos a pensar desde la ley de Laplace Casos posibles: (hay cartas diferentes en una baraja) Casos favorables: (solo hay cartas de oros) ) /8

2 En los casos anteriores, ha sido posible calcular la probabilidad de los sucesos debido a la simetría de la situación, por ejemplo: lanzar una monea y ver si sale cara o lanzar un dado y analizar el número que sale. Para otro tipo de sucesos, la probabilidad puede ser estimada usando los resultados de la experimentación o situaciones pasadas: Ejemplo: En el pasado febrero llovió 8 días. Con esta información, podemos estimar que la probabilidad de que llueva un día en febrero es de: Ejemplo: Soy un torpe, todas las mañanas cuando me preparo las tostadas siempre se me cae. He estado analizando el suceso y de las últimas 50 veces que ha ocurrido, en 35 ocasiones la cara de la tostada que toca el suelo es la de la mantequilla. Podemos decir entonces que si una tostada untada con mantequilla se cae al suelo, la probabilidad de que lo haga con la mantequilla hacia abajo es de: Por similitud con la estadística, si realizamos muchas veces una experiencia aleatoria, la frecuencia absoluta de un suceso es la cantidad de veces que se repite y la frecuencia relativa es la proporción de veces que ocurre. Esto, puede enunciarse formalmente como: Al realizar reiteradamente una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de un cierto suceso, va tomando diferentes valores. Estos valores al principio sufren grandes oscilaciones, pero poco a poco se van estabilizando. Si el número de experiencia crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad (Ley de los Grandes Números) 2/8

3 2. PROBABILIDAD COMPUESTA Ejemplo: Dos personas, A y B, organizan el siguiente juego: Tiran un dado tres veces. Si sale algún, gana A y si no sale ningún, gana B Cuál de las dos tiene más probabilidad de ganar? Podemos representar esta situación en la forma siguiente (DIAGRAMA DE ÁRBOL): Sale Sale 5 Sale NO sale 5 NO sale Sale 5 NO sale 5 NO sale 5 Sale NO sale 5 Sale NO sale Sale 5 NO sale La probabilidad de que no salga en número al tirar tres veces un dado será: La probabilidad de que salga algún es, precisamente, la del suceso contrario al anterior, es decir: En resumen es más probable que no salga ningún al lanzar 3 veces un dado que que salga por lo menos un 3/8

4 3. PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES Son numerosas las experiencias que se realizan con reemplazamiento o devolución de las experiencias previas. Por ejemplo, si sacamos dos cartas de la baraja, pero antes de sacar la segunda, devolvemos la primera al mazo. En este caso, la experiencia previa no influye o condiciona las experiencias que siguen; en estas situaciones decimos que los sucesos que ocurren son independientes Por el contrario, en los experimentos sin devolución o reemplazamiento, los resultados de una experiencia influyen o condicionan a las otras; en estas situaciones decimos que los sucesos son dependientes. Por ejemplo si sacamos dos cartas de la baraja pero no devolvemos la primera al mazo, la probabilidad de la segunda está condicionada por lo que salió en la primera. Entonces, podemos decir que en una experiencia compuesta, dos sucesos A y B van a ser independientes siempre que: B) )p(b) En el caso que sean dependientes, la probabilidad de B queda condicionada a que haya ocurrido o no A. Y, por lo tanto el producto anterior cambia en la siguiente forma: B) )p(b A) Ejemplo: Sacamos dos cartas de una baraja española sucesivamente y con reemplazamiento (sacamos una, la miramos y la devolvemos al mazo). Calcular la probabilidad de que las dos cartas sean de oros A: La primera es de oros B: La segunda es de oros A B : Ambas de oros 4/8

5 NO NO NO Como devolvemos la carta, los sucesos son independientes por eso las fracciones de la segunda rama del árbol no cambian (las sombreadas en azul) Entonces: B) )p(b) Ejemplo: Sacamos dos cartas de una baraja española sucesivamente y sin reemplazamiento (sacamos una, la miramos y sin devolverla sacamos la otra). Calcular la probabilidad de que las dos cartas sean de oros B) A: La primera es de oros B: La segunda es de oros A B : Ambas de oros NO Al no devolver la carta, la probabilidad de que la segunda carta sea de oros es diferente según la primera haya sido o no de oros también (sombreado en verde) y los sucesos NO 2 NO son dependientes Entonces: B) )p(b A) B) /8

6 4. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Supongamos la misma experiencia de los ejemplos anteriores, sacamos dos cartas de baraja y en primer lugar vamos a centrarnos en la experiencia con reemplazamiento Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea de oros? Tenemos dos opciones: a) Que la primera carta sea de oros también, entonces la probabilidad de que la primera sea de oros y la segunda NO también es de: p(o ) B) NO b) Que la primera carta no sea de oros, pero la segunda si. Como los sucesos siguen siendo independientes, la probabilidad es p(o 2 ) B) 3 NO Los sucesos expuestos en estos apartados, además probabilidad de la unión de los dos será la suma de sus probabilidades son incompatibles, entonces la 3 4 (O O ) p 2 4 Que es lo que intuitivamente ya sabíamos porque no nos importa que pasara al principio, la segunda carta es de oros con probabilidad /8

7 Qué ocurre si la experiencia es sin reemplazamiento? Cuál será la probabilidad de que la segunda carta sea de oros? Razonamos igualmente desde el árbol de probabilidad Tenemos dos opciones: a) Que la primera carta sea de oros también, entonces la probabilidad de NO que la primera sea de oros y la segunda también es de B) 3 52 NO 2 NO b) Que la primera carta no sea de oros, y la segunda si. Como los sucesos siguen siendo dependientes, la probabilidad es B) 5 2 Los sucesos expuestos en estos apartados son incompatibles, entonces la probabilidad de la unión de los dos será la suma de sus probabilidades p(o O2) Esta forma de proceder se conoce con el nombre de Teorema de la Probabilidad Total 7/8

8 5. EL TEOREMA DE BAYES Supongamos ahora que conocemos el resultado final, en nuestro ejemplo: la segunda carta que sacamos es de oros Qué probabilidad hay de que la primera que sacamos también lo haya sido? Suponiendo la experiencia sin reemplazamiento, lo que nos están pidiendo es p A /B Sabemos que los sucesos son dependientes (ya lo hemos dicho en varias ocasiones, al NO ser sin reemplazamiento), vimos entonces que: NO p(b A) p(b) B) (Solo se han cambiado las letras para situar la fórmula en este contexto) 2 NO Si despejamos: p B A pa /B p B Dicho con palabras, la probabilidad de que la primera carta haya sido de oros, sabiendo que la segunda es de oros se calcula dividiendo la probabilidad de que tanto la primera como la segunda sean de oros, entre la probabilidad de que la segunda sea de oros. Es decir: p 3 3 A /B Esta forma de proceder es lo que se conoce como Teorema de Bayes 8/8