Probabilidad Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes

Transcripción

1 Definition (Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes) Sean A, B S y A B = {φ}, entonces P(A B) = P(A) + P(B) 1

2 Definition (Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes) Sean A, B S y A B = {φ}, entonces Ejemplo P(A B) = P(A) + P(B) Una compañia contrará a un estudiante para trabajar en el verano y lo hará mediante una elección aleatoria. Si Pedro, Pablo, Paco, Juan y José realizan el proceso de contratación cuál es la probabilidad de que Juan y Pedro sean elegidos?. Puesto que P(Juan)= 1 5 y P(Pedro)= 1 5, entonces P(Juan Pedro) = P(Juan) + P(Pedro) = = 2 5 1

3 En general, si A i son mutuamente excluyentes tenemos ( n ) P A i = n P(A i ) 2

4 En general, si A i son mutuamente excluyentes tenemos ( n ) P A i = n P(A i ) Definition (Evento complementario) Sea A S un evento, definiremos A c como todos aquellos elementos de S que no pertenecen a A. A A c se le llama el evento complementario a A. 2

5 En general, si A i son mutuamente excluyentes tenemos ( n ) P A i = n P(A i ) Definition (Evento complementario) Sea A S un evento, definiremos A c como todos aquellos elementos de S que no pertenecen a A. A A c se le llama el evento complementario a A. Observamos que A y A c son conjuntos mutuamente excluyentes y por tanto P(A) + P(A c ) = 1 = P(S) 2

6 En general, si A i son mutuamente excluyentes tenemos ( n ) P A i = n P(A i ) Definition (Evento complementario) Sea A S un evento, definiremos A c como todos aquellos elementos de S que no pertenecen a A. A A c se le llama el evento complementario a A. Observamos que A y A c son conjuntos mutuamente excluyentes y por tanto P(A) + P(A c ) = 1 = P(S) En particular P(A) = 1 P(A c ) 2

7 Definition (Prob. de eventos no mutuamente excluyentes) Sean A, B S y A B {φ}, entonces P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 3

8 Definition (Prob. de eventos no mutuamente excluyentes) Sean A, B S y A B {φ}, entonces P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Ejemplo Cuál es la probabilidad, en una baraja, sacar un as o un corazón? P(as corazón) = P(as) + P(corazón) P(as corazón) P(as corazón) = =

9 Probabilidades con independencia estadística Imaginemos que tenemos una moneda que ha sido alterada de tal modo que en el 90% de los lanzamientos se obtengan caras y en el restante 10% se obtengan cruces. En cada lanzamiento individual, P(cara)=0.90 y P(cruz)=0.10. El resultado de cualquier lanzamiento particular no está relacionado en lo absoluto con los resultados de lanzamientos previos o futuros. También los resultados de varios lanzamientos de esta moneda son estadísticamente independientes, aunque esté cargada. Definition (Prob. conjunta de dos eventos independientes) La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades. Se escribe como P(A B) = P(A) P(B) ( n ) n P A i = P(A 1 ) P(A 2 )... P(A n ) = P(A i ) 4

10 Ejemplos Probabilidad Probabilidades con independencia estadística Cuál es la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos sucesivos de moneda? Como P(cara)= 1 2, tenemos P(cara cara) = P(cara) P(cara) = = 0.25 Cuál es la probabilidad de obtener cruz, cara y cruz, en ese orden, en tres lazanmientos de moneda? P(x c x) = P(x) P(c) P(x) = = Cuál es la probabilidad de obtener una cruz en tres lanzamientos? Puesto que sólo hay una posibilidad que no tiene cruz, a saber, cara, cara, cara; 1 P(c c c) = =

11 Probabilidad con dependencia estadística Supongamos que lanzamos dos dados, observamos que hay 36 posibles maneras en las que puedan caer los dados, esto es 1 36 de probabilidad para cada uno. Supongamos que al lanzar el primer dado nos cae 3. Entonces, dada esta información, cuál es la probabilidad que la suma de los dos dados sea igual a 8?. Para calcular esta probabilidad, el razonamiento es el siguiente Dado que el dado inicial cayó 3, debe haber a lo más 6 posibles resultados para el segundo dado, esto son: (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5) y (3,6), y observamos que para cada uno hay 1 6 de probabilidad de que ocurran. Como sólo ocupamos (3,5), la deseada probabilidad es

12 Probabilidad condicional Definition (Probabilidad condicional bajo dependencia estadística) Sean A, B S dos sucesos del espacio muestral S. Se le llama probabilidad del evento A condicionado a B (o probabilidad del evento A una vez que ha ocurrido B) y se representa por P(A B) y se definine como P(A B) P(A B) = P(B) 7

13 Ejemplos Probabilidad Probabilidad condicional 1. Sea el espacio muestral S = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}. Y sean A = {(c, c)}, B = {(c, c), (c, x)} y C = {(c, c), (c, x), (x, c)}. Calcule P(A B) y P(A C). P(A B) = P({(c, c)})/p({(c, c), (c, x)}) = (1/4)/(2/4) = 1/8. P(A C) = (1/4)/(3/4) = 1/3. 2. Calcula la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par. P(par 6) = = 1 3 Más ejemplos: 8