Diseño de Observadores Lineales Dedicados aplicados al problema del diagnóstico de fallas

Transcripción

1 Diseño de Observadores Lineales Dedicados aplicados al problema del diagnóstico de fallas Juan Anzurez, Celso Cortés División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería Eléctrica-Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Morelia, Michoacán C.P , México Isidro I. Lázaro Facultad de Ingeniería Eléctrica-Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Morelia, Michoacán C.P , México RESUMEN El presente trabajo plantea un esquema para el diagnóstico de fallas basada en el diseño de observadores dedicados, cuyo objetivo es evitar la redundancia en hardware. La idea general del esquema de observadores dedicados es construir un observador Luenberger por cada salida del sistema, de forma tal que el problema del diagnóstico de fallas se resuelve mediante la comparación de la salida del sistema y la salida estimada generando señales conocidas como residuos. Si los residuos son cero el sistema está libre de fallas en caso contrario hay presencia de fallas en el sistema. En el presente artículo se muestra una aplicación al problema de diagnóstico para sistemas no lineales para lo cual se emplea como ejemplo el modelo del péndulo invertido. Palabras Claves: Diagnóstico de Fallas, Esquema de Observadores Dedicados, Instrumentación y Control. 1. INTRODUCCIÓN El área de control siempre ha sido tema interesante para avances en ingeniería y la ciencia, además de su gran importancia en procesos industriales y de manufactura para mejorar la productividad evitar el exceso de operaciones manuales o rutinarias etc. Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven más y más complejas, la descripción de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad de ecuaciones. Debido a que la disponibilidad de las computadoras digitales (1960) hizo posible el análisis en el dominio del tiempo de sistemas complejos, la teoría de control moderna basada en el análisis en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de variables de estados, se ha desarrollado para enfrentar la creciente complejidad de las plantas modernas [7]. Aunque desde los primeros años de la década de los 70 se vienen produciendo avances significativos en el campo del diagnóstico de fallas tanto en la teoría como en la práctica, ha sido en los últimos años cuando las investigaciones en este campo han aumentado considerablemente [1], [6], [8], [9]. Tal es el caso de los observadores o estimadores que permiten estimar las variables de estados de un sistema basados en mediciones de las señales de salida y señales de control [2], [9], [10]. El presente trabajo muestra el estudio y desarrollo del Esquema de Observadores Dedicados (DOS, por sus siglas en inglés Dedicated Observer Schemes ). El esquema básico se muestra en la Fig. 1, el cual fue propuesto por Clark y fue probado por primera vez en 1974 [3], [5], [9]. Este esquema propone utilizar un observador por cada salida del sistema o planta, de ahí es que toma su nombre. Cada uno de estos observadores se basa en el diseño de Luenberger para cada salida [1], [9]. Esto permite tener un esquema de aislamiento de fallas en la salida de manera natural, debido a la propiedad de estimación de cada salida del sistema o planta bajo análisis. El concepto de aislamiento se refiere a la identificación plena del elemento que dentro del sistema presenta una falla. [1-5], [9] Observador 1 Observador 2 Observador m Procesamiento lógico para señales redundantes Figura 1. Esquema de Observadores Dedicados 2. DESCRIPCIÓN DE LOS OBSERVADORES DEDICADOS (DOS). En el esquema de observadores dedicados presentado por Clark cada observador es manejado por el vector de entrada u y la salida de un sensor. De esta manera para m sensores, tendrían que existir m observadores. Estos observadores generan un vector de estados estimados, el cual se puede emplear para detectar fallas en el sistema mediante la comparación con las salidas (señales reales de los sensores), de forma tal que: Una falla en el k-ésimo sensor provocará que el estado estimado del k-ésimo observador difiera del estado 1 2 m alarmas

2 estimado de los otros m-1 observadores, lo cual permite la detección y aislamiento de la falla de manera directa [1], [2], [9], [10]. Lo anterior significa que el residuo será igual a cero si el sistema está libre de fallas, en caso contrario el sistema presenta una falla. Por lo que las fallas están desacopladas, es decir que cada falla de encuentra asociada con una salida, tal como se ilustra en la figura 2. El modelo para este esquema expresado en variables de estado es representado de la siguiente manera: Donde es el vector de estado,,, es el vector de salida medible además A, B, y C son matrices constantes de dimensiones apropiadas ( ) y f m (t) representa la falla en el elemento m de salida [4]. (1) Nótese que el observador reproduce la salida del sistema y además corrige la ecuación dinámica con un término que es proporcional al error entre la salida del sistema real () y la salida estimada. Definimos el error entre los estados reales del sistema y los estimados como: (4) Entonces, la dinámica del error () a partir de (1) y (3) será: (5) De esta manera, si los valores propios de la matriz (A-LC) son estables; es decir, están en el semiplano izquierdo del plano complejo. Debido a que la solución de la ecuación es: 0 0 (6) De modo que, si los valores propios de tienen parte real negativa, el error () tiende a cero sin importar su condición inicial. Lo que quiere decir que, el observador de Luenberger, bajo la suposición de conocimiento perfecto del sistema, a medida que pasa el tiempo, mejora asintóticamente la estimación de los estados. Figura 2. Esquema de Clark para la generación de Residuos 3. DISEÑO DE OBSERVADORES DEDICADOS Consideremos un sistema modelado en variables de estado representado por las ecuaciones: (2), 0 0 Donde, el par (u(t), y(t)) es escalar y las matrices (A, B, C) son conocidas. El estimador de estados está compuesto por una reproducción del sistema más un término adicional de corrección, como se indica en la ecuación (3). (3) Donde es el estado estimado De esta forma, el problema de diseño de un estimador de estados se reduce a la determinación de una ganancia L del observador tal que la matriz sea Hurwitz, en ese sentido, el problema de diseño de un observador es equivalente al cálculo del control por realimentación de estados. En este artículo para el diseño del observador se propone utilizar las herramientas de MATLAB, por ejemplo, los comandos: place o acker, para calcular L. Para lo cual se utiliza el principio de dualidad, A T =A y C T =B. La K obtenida de esta manera es la transpuesta de L, (L = K T ). Es importante indicar que esta técnica está basada en la propuesta de modificar la dinámica del sistema mediante la reubicación de los polos de la planta en lazo abierto. Para la ubicación de los polos del observador se debe considerar entonces que la dinámica de éste, que debe ser más rápida que la del sistema a observar, se desea que el estado estimado alcance al estado de la planta lo más rápido posible. Es necesario mencionar que el observador Luenberger es aplicable únicamente a sistemas deterministas lineales e invariantes en el tiempo. El observador Luenberger extendido se puede aplicar a sistemas deterministas no lineales y variantes en el tiempo. Si el observador se emplea para estimar todas las variables de estado del sistema, independientemente de si se pueden medir o no, se le denomina observador de orden completo. En otras ocasiones esto no será necesario, pues habrá variables de estado medibles de forma directa. Las variables de estado y las de salida están relacionadas, debido a que estas últimas son

3 medibles, sólo será necesario observar (n-m) variables de estado, donde n es la dimensión del vector de estado y m es la dimensión del vector de salida. Cuando el observador únicamente estima el número mínimo de variables de estado, se le denomina observador de orden mínimo. En determinadas ocasiones puede resultar más sencilla la aplicación de un observador de orden mínimo, cuando el número de variables del sistema es muy elevado. 4. CASO DE ESTUDIO En el presente artículo para mostrar la técnica de Diagnóstico de Fallas basada en el Esquema de Observadores Dedicados, se toma como ejemplo de aplicación el conocido modelo del péndulo invertido el cual es un sistema no lineal cuyo modelo se puede representar mediante variables de estado linealizando alrededor de un punto de operación. El diagrama del ejemplo de aplicación se muestra en la figura 3 y para el cual se emplean los parámetros indicados en la tabla 1. Se ha considerado detectar fallas en los sensores de posición del carro y posición del péndulo respecto a la vertical. Con los parámetros anteriores el modelo en espacio de estado se puede representar como se muestra a continuación θ θ 0 θ θ Φ 0 Φ Para el diseño del observador se considera de orden completo, bajo el esquema mostrado en la figura 4. En el que además se propone sea de la forma de compensador es decir el conjunto Controlador-Observador. Los criterios de diseño son los siguientes: Tiempo de establecimiento menor que 5 segundos. Ángulo del Péndulo nunca mayor que 0.05 radianes de la vertical. Figura. 4 Esquema de un Observador Luenberger de orden completo. Usando métodos de espacio de estado es relativamente simple trabajar con un sistema de salida múltiple, así en este ejemplo de aplicación se diseña el controlador considerando tanto el ángulo del péndulo como la posición del carro. El esquema del controlador se muestra en la figura. 5. Figura 3 Diagrama del caso de estudio (péndulo invertido) Variable Definición Valor M masa del carro 0.5 kg m masa del péndulo 0.5 kg b fricción del carro 0.1 N/m/seg l longitud al centro de masa del péndulo 0.3 m I inercia del péndulo kg*m^2 F x θ fuerza aplicada al carro coordenadas de posición del carro ángulo del péndulo respecto de la vertical Tabla 1.- Parámetros usados en el caso de estudio Fig. 5 Esquema de un controlador mediante retroalimentación de estados Donde R para la figura anterior representa una entrada al carro del tipo escalón. Los 4 estados son: La posición y velocidad del carro; el ángulo y velocidad angular del péndulo. La salida y contiene tanto la posición del carro como el ángulo del péndulo. 5. RESULTADOS El objetivo es diseñar un controlador de modo tal que para una entrada escalón, el péndulo pueda ser desplazado, y eventualmente retornar a cero (a la vertical) y el carrito debiera moverse a su posición nueva.

4 Para ello es necesario determinar los polos en lazo abierto de sistema: p = i i i i Se busca que los polos del controlador diseñado sean cerca de 4 a 10 veces más rápidos que el más chico de los polos, por ejemplo en -40. Se emplea el comando acker para encontrar el vector L. Las señales de salida consideradas son el ángulo de del péndulo y la posición del carro. Para el diseño del observador puesto que el sistema no es observable si usamos como salida sólo el ángulo del péndulo, esto tiene sentido: Ya que si lo único que puede medir es el ángulo del péndulo, no puede determinar cuál será la posición del carro. De esta manera las ganancias de Luenberger L de cada estado son: L= 1.0e+03 * El sistema se probó bajo tres casos distintos: (b) Figura 6. Estados del Sistema (b) Respuesta del Observador Ahora para el siguiente caso se simula una falla en el estado correspondiente a la posición del carro mediante una señal tipo escalón con las siguientes características, se considera que justamente en 1.5 segundos ocurre una falla y toma un valor final de 1, se observa que las figuras 7a y 7b ya no son iguales, lo importante es checar el comportamiento que tiene el observador y sobre todo notar que debido a la falla ya se tiene un error mismo que se muestra en 7c 1) El sistema libre de fallas 2) Fallas aisladas 3) Fallas múltiples En el primer casos lo más importante es registrar el comportamiento del observador, es decir, la manera en que sigue a la entrada, fuera de ello y dado que no existe una falla las graficas no presenta más complicaciones para su análisis, en (6a) muestran el comportamiento de los estados de interés sin falla, se gráfica el estado de la posición del carro y ángulo con respecto a la vertical, mientras que en (6b) se encuentran las salidas del observador, analizando ambas gráficas hace se nota que el error en ellas es prácticamente cero. (b)

5 (b) (c) Figura 7. Estados del Sistema (b) Respuesta del Observador (c) Error Si aplicamos ahora una falla en el estado de ángulo con la vertical y definimos que ocurre a 2.5 con una amplitud de 2 y de manera similar se simula con una señal tipo escalón, se tiene un comportamiento distinto al anterior (ver 8a y 8b). Pero observando ambas graficas (figura 7 y 8) se aprecia que debido al esquema aplicado las fallas se aíslan de inmediato, es decir, una falla no afecta a los demás residuos (ver 7c y 8c). (c) Figura 8. Estados del Sistema (b) Respuesta del Observador (c) Error Finalmente se plantea el caso donde ocurren fallas es los dos estados de análisis, primero ocurre la falla en el estado de posición a 1.5 segundo, un segundo posterior ocurre la siguiente falla en el estado de ángulo con la vertical, las señales que simulan la falla son las del caso anterior, una señal tipo escalón de magnitud 1 y 2 respectivamente para cada estado, en 9a y 9b, se puede observar el momento en que ocurren dichas fallas y el comportamiento tanto de la planta como del observador respectivamente, y se puede apreciar de una manera más claramente en la gráfica del error 9c, recalcando nuevamente que el aislamiento de las fallas es de manera directa y es una de las principales ventajas del esquema.

6 7. REFERENCIAS (b) (c) Figura 9. Estados del Sistema (b) Respuesta del Observador (c) Error 6. CONCLUSIONES El trabajo presentado muestra que este esquema es práctico y sencillo de implementar. En las simulaciones mostradas se observa que la detección y el aislamiento se hacen de manera directa, lo que facilita su manejo e implementación. [1] J. Anzurez, Diagnóstico de Fallas en Sistemas no Lineales usando lógica difusa y observadores con modos deslizantes, Tesis Doctoral, CINVESTAV, Unidad Guadalajara, [2] J. Chen, R.J. Patton, Robust Model-Based fault diagnosis for Dynamic Systems. Boston: Kluwer Academic Publisher, [3] R.N. Clark, The Dedicated Observer Approach to Instrument Failure Detection, Proceeding of the 15 th IEEE Conference on Decision & Control, FL, USA, 1979, pp [4] R. Isermann, Supervision, fault-detection and fault diagnosis methods and introduction, Control Eng. Practice, Vol. 5, No 5, 1997, pp [5] R.J. Patton, P.M. Frank, R.N. Clark, Issues of Fault Diagnosis for Dynamic Systems, New York, Springer- Verlag, [6] B. C. Toledo and J. A. Marin, "Model-Based Fault Diagnosis Using Sliding Mode Observers to Takagi- Sugeno Fuzzy Model", Proceeedings of the 2005 IEEE International Symposium on Intelligent Control, Cyprus, 2005, pp [7] H. Hammouri, M. Kinnaert and E. H. El Yaagoubi, Application of nonliner observers to fault detection and isolation, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Nijmeier and Fossen Eds., 1999, pp [8] Alcorta Garcia, E. Frank, P.M., Analysis of a class of dedicated observer schemes to sensor fault isolation, Control '96, UKACC International Conference on (Conf. Publ. No. 427), Volume: 1,pp , [9] Steven X.Ding, Model-Based Fault Diagnosis Techniques Design Schemes, Algorithms and Tools, ISBN , Springer-Verlag, Berlin [10] S.Nagarajan, J.Shanmugam and T.R. Rangaswamy, MANFIS Observer-Based Sensor Fault Detection and Identification in interacting Level Process with NN Based Threshold Generator, International Journal of Soft Computing 3, ISSN , Como se mencionó la parte fundamental es el diseño del observador Luenberger, para el cálculo de tales ganancias las cuales deben de ser de cuatro y diez veces mayores que el valor de los polos del sistema en lazo abierto. Se ha observado que en la actualidad el tema de robustez es considerablemente estudiado al igual que los diagnósticos de fallas dado a la importancia que representan estos temas en aplicaciones industriales, científicas y humanas, lo que permite omitir redundancia de hardware e introducir actualmente redundancia analítica. Lo cual ha permitido reducir costos y obtener mejores beneficios.