12 OTRO MUNDO ES POSIBLE: AL

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1 12 OTRO MUNDO ES POSIBLE: AL En este capítulo presentaremos AL [12], un lenguaje tipificado para expresar algoritmos Este lenguaje tiene como objetivo expresar de manera precisa problemas computacionales, por lo tanto debe ser completo, en el sentido de que cualquier computación intuitiva, pueda ser especificada por medios finitos Debe poseer una sintaxis que permita la construcción de algoritmos complejos a partir de partes más simples y una semántica que defina el significado de los algoritmos: Qué se va a computar y en alguna medida, cómo Con un lenguaje como el presentado en este capítulo es posible tender un puente entre el nivel algorítmico y la especificaciones de una máquina capaz de ejecutar tales descripciones algorítmicas El puente es el cálculo-, una teoría de las funciones computables que expresa propiedades elementales de operadores y operandos, aplicaciones y el rol de las variables en la computación Ese será el tema del siguiente capítulo El enfoque adoptado por AL está orientado a expresiones, donde los algoritmos mismos son expresiones que al computarse producen valores Las computaciones se definen mediante un conjunto definido de reglas de transformación Estas reglas se aplican sistemáticamente hasta que ya no es posible aplicar regla alguna El valor encontrado en la última transformación es el valor que deseábamos computar Debe observarse que los valores tienen una interpretación más general en este lenguaje, que en los lenguajes tradicional Los valores no son necesariamente atómicos, como los números, sino que pueden ser agregados complejos de expresiones que no pueden ser transformados en nada más y son por tanto, en cierto sentido, constantes Tales expresiones constantes pueden incluir funciones, aplicaciones de funciones y variables en contextos específicos Denotemos a las expresiones como e o e i con i 2 {0,, n} Podemos describir una computación como una secuencia: e 0! e 1!!e i! e i+1!!e n donde e 0 es la expresión inicial y e n es la expresión terminal ó el valor de e 0 La transformación de e i a e i+1 se da por la aplicación de una única regla de transformación Las expresiones en esta secuencia tienen una propiedad muy importante: si e n es el valor de e 0, entonces podemos decir que ambas expresiones significan lo mismo o que tienen la misma semántica, aunque sintácticamente difieran Siendo este el caso, también podemos decir que e 1 es equivalente a e n y lo mismo para todas las expresiones en la secuencia menores que n Es decir, las reglas de transformación que definen las computaciones llevadas a cabo preservan el significado, pues obviamente remplazan 145

2 146 : iguales por iguales Esta idea puede ilustrarse evaluando en tres transformaciones las siguiente expresión aritmética: Ejemplo 48 La evaluación de una expresión aritmética preserva significado: ((5 + 3) (8/4))! (8 (8/4))! (8 2)! 16 Es evidente que todas las sub-expresiones en esta computación son, debido a las reglas de la aritmética, remplazadas sistemáticamente de adentro hacía afuera por números Las expresiones en la cadena difieren sintácticamente, pero son equivalentes semánticamente, tienen el mismo significado La equivalencia semántica, por otro lado, no nos dice nada sobre lo que significa una expresión por si misma, otro nivel de interpretación es necesario para ello En un sentido estricto, podremos hablar de figuras sintácticas y transformaciones puramente sintácticas de expresiones, en otras expresiones que consideramos semánticamente equivalentes; sin que podamos hablar del significado o semántica de las expresiones en si mismas Aunque el lenguaje que estamos presentando no es un lenguaje estrictamente funcional, si tiene como implementación más cercana a Lisp [16] y a su intérprete EVAL - APPLY Esta es la razón para comenzar la segunda parte de este curso con esta revisión Las expresiones simbólicas en AL incluyen valores constantes tales como números (por ahora no distinguiremos entre enteros y reales), cadenas de caracteres, valores booleanos (falso y verdadero), variables y los símbolos primitivos para operadores aritméticos, lógicos y relacionales Estas expresiones se llaman átomos o términos de base (en inglés grounded), puesto que no están compuestos por otras expresiones del lenguaje Con los átomos como base, procederemos a definir algunos constructores sintácticos o formas sintácticas que están compuestas de expresiones y son a su vez expresiones Estas formas se usaran para construir expresiones más complejas substituyendo expresiones en posiciones sintácticas reservadas para expresiones En las definiciones asumimos que e 0, e 1,, e n y e denotan expresiones válidas en el lenguaje; y que v 1, v 2,, v m y f 1,, f k denotan variables o identificadores Informalmente los constructores son los siguientes: (e 0 e 1 e n ) denota la aplicación de una expresión e 0 a las expresiones e 1 e n La expresión e 0 está en la posición del operador y las otras expresiones en la posición de los operandos Las aplicaciones son las expresiones más importantes del lenguaje ya que son a ellas que las reglas de transformación se aplican Observen el uso de la notación prefija con fines de uniformidad if e 0 then e 1 else e 2 es una forma sintáctica especial que denota la aplicación del predicado e 0 a las expresiones consecuente e 1 y alternativa e 2 Su objetivo es elegir e 1 o e 2 para su posterior evaluación, dependiendo del valor del predicado e 0 (true o false)

3 147 lambda v 1 v n in e 0 denota una abstracción de las variables v 1 v n de la expresión e 0 ; o una función sin nombre de n parámetros formales v 1 v n cuya expresión cuerpo e 0 especifica la computación de los valores funcionales Se dice que lambda liga las variables v 1 v n en el cuerpo e 0 que determina su alcance en lo que se conoce como abstracción lambda he 1 e n i denota una lista n-aria ó una secuencia de expresiones en un orden particular, en el que tiene sentido hablar del primer, último e i-ésimo elemento La lista vacía se denota por hi letrec f 1 = e 1 f k = e k in e 0 es la expresión más compleja del lenguaje letrec precede a un conjunto de ecuaciones que igualan las variables f 1,, f k con las expresiones e 1,, e k recursivamente y las ligan en las expresiones e 1,, e k y también en e 0 De hecho, esas variables pueden verse como nombres o identificadores de funciones, por medio de las cuales puede hacerse referencia a la parte derecha de la ecuación más adelante en la expresión letrec El valor de la expresión es el valor de la expresión meta e 0 en la cual la ocurrencia de los identificadores f 1,, f k es remplazada recursivamente por el lado derecho de sus definiciones let v 1 = e 1 v n = e n in e 0 es una versión no recursiva de letrec Ninguna otra expresión es válida en el lenguaje De manera concisa las formas sintácticas pueden escribirse como: e = s const var oper (e 0 e 1 e n ) if e 0 then e 1 else e 2 let v 1 = e 1 v n = e n in e 0 lambda v 1 v n in e 0 hi he 1 e n i letrec f 1 = e 1 f n = e n in e 0 donde el signo = s denota equivalencia sintáctica const denota el conjunto de valores constantes, var el de variables y oper el de las operaciones primitivas del lenguaje AL Ahora estamos listos para definir la forma en que las expresiones en AL serán evaluadas Para ello solo debemos definir reglas para computar el valor de las formas sintácticas definidas en la sección anterior Como un primer paso, lo primero que haremos será definir estas reglas de forma independientemente de cualquier mecanismo o maquinaria para proveer una idea general de como debemos proceder en principio Con este propósito definiremos un evaluador abstracto llamado EVAL Se le debe considerar una meta-función que mapea cada forma sintáctica en otra que representa

4 148 : su valor, o significado En este sentido, EVAL puede considerarse la función sintáctica del lenguaje Este meta-función se define mediante aplicaciones recursivas sobre todas las sub-expresiones, o algunas de ellas seleccionadas, de las formas sintácticas del lenguaje La selección de las sub-expresiones estará determinada por una estrategia de evaluación que debería computar valores resultantes con un casi mínimo costo computacional Definiremos EVAL con una estrategia intuitiva: los operandos de una aplicación generalmente deberán evaluarse antes que el operador se aplique a ellos Si algún caso causa problemas, se aislará y se le procesará de forma diferente Esta estrategia es directamente implementable y conlleva una alta eficiencia en tiempo de ejecución De hecho, esta estrategia se implemente en la mayoría de los lenguajes de programación imperativos, y en ese contexto se conoce como estrategia de llamada por valor La aplicación de EVAL a una expresión e se denota EVALJ e K y recorriendo en forma descendente las formas sintácticas tenemos: Las expresiones atómicas como constantes, variables y operadores primitivos evalúan a si mismos: EVALJ atomo K = atomo Para aplicaciones con expresiones no especificadas en las posiciones de operador y operandos: EVALJ (e 0 e 1 e n ) K = EVALJ (EVALJ e 0 K EVALJ e 1 K EVALJ e n K) K Para los condicionales tenemos: EVALJ if e 0 then e 1 else e 2 K = 8 < EVALJ e 1 K EVALJ e : 2 K if EVALJ e 0 K then e 1 else e 2 Si EVALJ e 0 K = true Si EVALJ e 0 K = false En cualquier otro caso Observen que si la forma e 0 no tiene un valor booleano, la expresión de queda casi idéntica, excepto que la expresión e 0 es evaluada Para las expresiones let tenemos: EVALJ let v 1 = e 1 v n = e n in e 0 K = EVALJ e 0 [ v 1 EVALJ e 1 K v n EVALJ e n K ] K esto es, la forma evalúa al valor de e 0 en donde todas las ocurrencias de las variables ligadas por let han sido substituidas por sus valores respectivos, mediante EVALJ e i K i 2 {1,, n} denotando las substituciones Para las abstracciones anónimas que ocurren en una posición distinta a la del operador, tenemos que: EVALJ lambda v 1 v n in e 0 K = lambda v 1 v n in EVALJ e 0 K lo que significa que las abstracciones necesitan tener su cuerpo evaluado para determinar sus valores

5 149 Para las listas: EVALJ hi K = hi y EVALJ he 1 e n i K = hevalj e 1 K EVALJ e n Ki se computan recursivamente los valores de sus sub-expresiones preservando su estructura Para las expresiones letrec: EVALJ letrec f i = e i in e 0 K = EVALJ e 0 [ f i EVALJ e i [ f i letrec in f i ] K ] K esta definición aparentemente complicada, debe leerse como sigue: el valor de la expresión letrec completa es el valor de su término meta e 0, computado al expandir todas las ocurrencias de los identificadores de función f i con los valores e i en la mano derecha de sus ecuaciones definitorias Estos valores a su vez deben computarse substituyendo las ocurrencias de los identificadores f i en las expresiones nuevamente, por copias de las expresiones completas en letrec, las cuales sin embargo, tienen su expresión meta remplazada por los mismos f i Las formas sintácticas especializada letrec f i = e i in f i de hecho representa las expresiones e i en su forma no evaluada Tan pronto como los f i desaparecen de la expresión, la expresión letrec misma desaparece pues ya no es necesaria para que la computación continúe Hemos recorrido todas las formas sintáctica y sin embargo, la definición de EVAL está lejos de ser completa Hasta el momento sólo hemos cubierto los casos generales de las aplicaciones que tienen expresiones no específicas en las posiciones de operador y operandos Lo que falta son los casos especiales donde las expresiones en la posición del operador son (o evalúan a) abstracciones y operaciones primitivas Estas aplicaciones definen realmente las acciones de transformación de expresiones, por ejemplo, los casos estándar de aplicaciones completas se transforman con EVAL como sigue: EVALJ (lambda v 1 v n in e 0 e 1 e n ) K = EVALJ e 0 [v 1 EVALJ e 1 K v n EVALJ e n K] K Son evaluadas al valor de los cuerpos de abstracción e 0 en los cuales todas las ocurrencias de las variables lambda-ligadas (los parámetros formales de las abstracciones) son substituidos de izquierda a derecha por los valores de las expresiones operando en el orden en que ocurren en las aplicaciones Sin embargo, la sintaxis del lenguaje también permite desigualdades entre la aridad n de la expresión y el número m de argumentos En esos casos podemos optar por una aproximación cobarde, definiendo el valor de tal aplicación como una cadena de caracteres denotando el error: EVALJ (lambda v 1 v n in e 0 e 1 e m ) K m>n= función de aridad n recibiendo m argumentos La computación puede entonces detenerse y regresar esa cadena como el valor de la expresión completa De manera alternativa se puede intentar mejores soluciones, por ejemplo:

6 150 : Si el número de argumentos m es mayor que la aridad de la abstracción n, debemos definir el valor como una nueva aplicación cuyo operador es una expresión resultado de la aplicación de la abstracción de aridad n a n argumentos y cuyos operandos son los restantes m - n argumentos evaluados: EVALJ (lambda v 1 v n in e 0 e 1 e m ) K m>n= EVALJ ( EVALJ e 0 [ v 1 EVALJ e 1 K v n EVALJ e n K ] K EVALJ e n+1 K EVALJ e m K ) K Si la aridad n de la abstracción excede el número de argumentos m, en cuyo caso tenemos una aplicación parcial, el valor es definido como sigue: EVALJ (lambda v 1 v n in e 0 e 1 e m ) K m<n= lambda v m+1 v n in EVALJ e 0 [ v 1 EVALJ e 1 K v m EVALJ e m K ] K Aunque aún no contamos con los elementos para resolver el problema, es necesario señalar que el caso donde m<npuede introducir potencialmente conflictos entre nombres entre las variables lambda-acotadas renombradas que resultan de la abstracción y las variables libres en las expresiones argumento que están siendo substituidas bajo la abstracción lambda Los casos n = m y m>ny la evaluación de abstracciones aisladas no están completamente libres de este problema, ya que el cuerpo de la abstracción puede incluir recursivamente otras abstracciones que pueden ser penetradas por las substituciones El renombrado de variables no se considera una solución apropiada a este problema, dada la complejidad inherente al crecer el tamaño y la complejidad de los algoritmos Por el momento, si queremos seguridad al respecto, podemos adoptar una estrategia conservadora definiendo las evaluaciones parciales como: EVALJ (lambda v 1 v n in e 0 e 1 e m ) K m<n= [ EVALJ e m K EVALJ e 1 K lambda v 1 v n in e 0 ] expresión que tiene los argumentos evaluados y la abstracción empaquetados entre corchetes, en lo que se conoce como una cerradura Este mecanismo representa el valor de una nueva abstracción de aridad n - m sin realmente computarlo, y por tanto, evitando las substituciones bajo las abstracciones y los conflictos entre nombres que las acompañan Las cerraduras deben tratarse como abstracciones normales, es decir, pueden ser usadas como operadores y operandos de otras aplicaciones y tomar más argumentos hasta que puedan computarse llevando a a cabo las substituciones pospuestas Consideraciones similares con respecto a las aridades, aunque no impliquen conflictos entre nombres, aplican en el caso de las operaciones primitivas Para las operaciones aritméticas (binarias) que denotaremos con op_arit, y usando num, num 1 y num 2 para denotar números, tenemos que: EVALJ ( op_arit e 1 e 2 ) K = num Si num 1 = EVALJ e 1 K ^ num 2 = EVALJ e 2 K ( op_arit EVALJ e 1 K EVALJ e 2 K ) En cualquier otro caso esto es, el valor de la aplicación es un número si sus dos argumentos son números o evalúan a números El valor se obtiene aplicando el operador al valor de los dos

7 151 argumentos En cualquier otro caso, la aplicación se mantiene como tal salvo que e 1 y e 2 son remplazados por sus valores Para las operaciones relacionales, denotadas por op_rel, tenemos que además, str 1 y str 2 denotan cadenas de caracteres, mientras que bool denota un valor booleano: EVALJ ( op_rel e 1 e 2 ) K = 8 < bool Si str 1 = EVALJ e 1 K ^ str 2 = EVALJ e 2 K bool Si num : 1 = EVALJ e 1 K ^ num 2 = EVALJ e 2 K ( op_rel EVALJ e 1 K EVALJ e 2 K ) En cualquier otro caso donde el valor de la aplicación es un booleano si sus argumentos son numéricos o cadenas de caracteres, en cuyo caso, el operador utiliza el orden léxico para establecer su valor de verdad En cualquier otro caso la aplicación permanece intacta, salvo que e 1 y e 2 son substituidos por sus valores Para completar esta historia, definiremos la semántica de algunas operaciones sobre listas Aprovecharemos el hecho de que las expresiones que componen las listas no necesariamente deben evaluarse en orden para producir listas primitivas funcionalmente aplicables Esto es, EVAL procede sobre los operandos solo cuando se puede decidir que son listas o algo más que aplicaciones: 8 < true EVALJ ( empty e ) K = false : (empty EVALJ e K ) Si EVALJ e K = hi Si EVALJ e K = he 1 e n i En cualquier otro caso EVALJ ( first e ) K = e 1 Si EVALJ e K = he 1 e n i ( first EVALJ e K ) En cualquier otro caso EVALJ ( rest e ) K = he 2 e n i Si EVALJ e K = he 1 e 2 e n i ( rest EVALJ e K ) En cualquier otro caso EVALJ ( append e 1 e 2 ) K = 8 < he 11 e 1n e 21 e 2m i Si EVALJ e 1 K = he 11 e 1n i ^ EVALJ e 2 K = he 21 e 2m i : ( append EVALJ e 1 K EVALJ e 2 K ) En cualquier otro caso Varias observaciones son importantes en este punto Primero, la definición de EVAL incluye una verificación dinámica de tipos Las aplicaciones de esas funciones son evaluadas solo si sus argumentos son tipo compatibles, en cualquier otro caso quedan intactas (exceptuando que sus argumentos son substituidos por sus valores) Segundo, la meta función EVAL define la semántica operacional del lenguaje AL Nos dice no solo que significa una expresión en el lenguaje (que valor tiene); pero también cómo una persona o una máquina puede computar ese valor Además, observen que cuando EVAL aparece en una aplicación, se propaga al frente de sus sub-expresiones, pero el EVAL al frente de la aplicación no desaparece Esto significa que las sub-expresiones deben ser evaluadas antes que la aplicación completa pueda ser evaluada Sin embargo, puesto que las sub-expresiones son sintácticamente

8 152 : independientes, pueden ser evaluadas en cualquier orden, incluso simultáneamente; y sus valores siempre serán los mismos! Los EVALs son propagados recursivamente de afuera hacía adentro hasta que las subexpresiones encontradas sean, dada su definición, valores por si mismas y permitan que su EVAL desaparezca Lo mismo sucede con los EVALs al frente de aplicaciones cuyos componentes son todos valores atómicos Estas formas evaluarán a algo diferente, si aplican operadores legítimos a operandos tipo compatibles; o permanecerán intactos (de la manera definida) en cuyo caso ellos mismos son su propio valor Estos EVALs pueden verse como peticiones que fuerzan la evaluación de sus sub-expresiones Tales peticiones se satisfacen de adentro hacía afuera desapareciendo así los EVALs Ejemplo 49 Consideremos un ejemplo de evaluación, usando el lenguaje AL: EVALJ ( (- 3 (+23))(/36))K EVALJ ( EVALJ (-3 (+23)) K EVALJ ( /36) K ) K EVALJ ( EVALJ (-3 EVALJ (+23) K ) K 2 ) K EVALJ ( EVALJ (-35) K 2 ) K EVALJ ( 22) K 4 Ejemplo 50 Ahora definamos factorial: fac = lambda n in if (> n 1) then ( n (fac(- n1))) else 1) y evaluemos la aplicación de factorial a 5: EVALJ (fac 5) K EVALJ EVALJ fac K EVALJ 5 KK EVALJ lambda n in if (> n 1) then ( n (fac(- n1))) else 1) 5 K if EVALJ (> 5 1) K then EVALJ ( 5 (fac(- 51))) K else EVALJ 1 K if true then EVALJ ( 5 (fac(- 51))) K else EVALJ 1 K EVALJ ( 5 (fac(- 51)))) K EVALJ ( 5 EVALJ (fac(4))) KK EVALJ ( 5 ( 4 ( 3 ( 21)))) K 120