Espacios Booleanos. Rodrigo Jesús Hernández Gutiérrez. Instituto de Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México.
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- Ramona Rodríguez Farías
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1 Espacios Booleanos Rodrigo Jesús Hernández Gutiérrez Instituto de Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México Espacios Booleanos p. 1/12
2 Recordemos... Sea X un espacio topológico. Recordemos que X es... Hausdorff si cualesquiera dos puntos de X se pueden separar por abiertos, compacto si X es homeomorfo a un cerrado de un cubo de Tychonoff [0, 1] κ, disconexo si X se puede escribir como la unión de dos abiertos ajenos no vacíos. Espacios Booleanos p. 2/12
3 Recordemos... Sea X un espacio topológico. Recordemos que X es... Hausdorff si cualesquiera dos puntos de X se pueden separar por abiertos, compacto si X es homeomorfo a un cerrado de un cubo de Tychonoff [0, 1] κ, disconexo si X se puede escribir como la unión de dos abiertos ajenos no vacíos. Definición. Un espacio X es 0-dimensional si es Hausdorff y para cada x X y U abierto con x U, existe un abierto y cerrado V tal que x V U. Por ejemplo, los racionales, el conjunto de Cantor, cualquier espacio discreto; todos son 0-dimensionales. Espacios Booleanos p. 2/12
4 Espacios Booleanos Definición. Un espacio Booleano es un espacio compacto, Hausdorff y 0-dimensional. Espacios Booleanos p. 3/12
5 Espacios Booleanos Definición. Un espacio Booleano es un espacio compacto, Hausdorff y 0-dimensional. Un ejemplo importante de espacio Booleano es el espacio de Cantor generalizado κ 2, que es el producto de κ copias del espacio discreto con dos puntos. En el caso κ = ω, se tiene el conjunto de Cantor tradicional. Espacios Booleanos p. 3/12
6 Espacios Booleanos Definición. Un espacio Booleano es un espacio compacto, Hausdorff y 0-dimensional. Un ejemplo importante de espacio Booleano es el espacio de Cantor generalizado κ 2, que es el producto de κ copias del espacio discreto con dos puntos. En el caso κ = ω, se tiene el conjunto de Cantor tradicional. Proposición. Si X es un espacio 0-dimensional con w(x) κ, entonces X se puede encajar en κ 2. Espacios Booleanos p. 3/12
7 Porqué se llaman Booleanos? Definición. Un álgebra Booleana es un orden parcial (B,,,, ) tal que existen el mayor 1, el menor 0, para cualesquiera a,b B, existen el supremo a b, el infimo a b y para cada a B, existe a B el complemento de a. El ejemplo canónico de álgebra booleana es considerar (P(X),,,,X ) para algún conjunto X. Espacios Booleanos p. 4/12
8 Porqué se llaman Booleanos? Definición. Un álgebra Booleana es un orden parcial (B,,,, ) tal que existen el mayor 1, el menor 0, para cualesquiera a,b B, existen el supremo a b, el infimo a b y para cada a B, existe a B el complemento de a. El ejemplo canónico de álgebra booleana es considerar (P(X),,,,X ) para algún conjunto X. Si X es un espacio topológico, consideramos CO(X) la colección de cerrados y abiertos de X. Sucede que X es un subálgebra Booleana de P(X). Espacios Booleanos p. 4/12
9 Porqué se llaman Booleanos? Definición. Un álgebra Booleana es un orden parcial (B,,,, ) tal que existen el mayor 1, el menor 0, para cualesquiera a,b B, existen el supremo a b, el infimo a b y para cada a B, existe a B el complemento de a. El ejemplo canónico de álgebra booleana es considerar (P(X),,,,X ) para algún conjunto X. Si X es un espacio topológico, consideramos CO(X) la colección de cerrados y abiertos de X. Sucede que X es un subálgebra Booleana de P(X). Si X es 0-dimensional, entonces CO(X) es base para los abiertos (y para los cerrados) de X. Espacios Booleanos p. 4/12
10 Se vale un regreso? Pregunta. Dada una álgebra Booleana B, existe algún espacio topológico X tal que CO(X) B? Espacios Booleanos p. 5/12
11 Se vale un regreso? Pregunta. Dada una álgebra Booleana B, existe algún espacio topológico X tal que CO(X) B? Notemos que si X es 0-dimensional y x X, entonces N(x) = {U CO(X) : x U} cumple las siguientes propiedades: N(x) = {x}, si U,V N(x), entonces U V N(x), si U N(x) y V CO(X) es tal que U V, entonces V N(x). Espacios Booleanos p. 5/12
12 Se vale un regreso? Pregunta. Dada una álgebra Booleana B, existe algún espacio topológico X tal que CO(X) B? Notemos que si X es 0-dimensional y x X, entonces N(x) = {U CO(X) : x U} cumple las siguientes propiedades: N(x) = {x}, si U,V N(x), entonces U V N(x), si U N(x) y V CO(X) es tal que U V, entonces V N(x). Es decir, N(x) es un CO(X)-ultrafiltro fijo. Espacios Booleanos p. 5/12
13 Ultrafiltros Definición. Si B es un álgebra Booleana, un B-filtro es una colección F B que cumple las siguientes condiciones: 1 F, 0 / F, si a,b F, entonces a b F, si a F y b B es tal que a b, entonces b F. Espacios Booleanos p. 6/12
14 Ultrafiltros Definición. Si B es un álgebra Booleana, un B-filtro es una colección F B que cumple las siguientes condiciones: 1 F, 0 / F, si a,b F, entonces a b F, si a F y b B es tal que a b, entonces b F. Definición. Decimos que un B-filtro F es B-ultrafiltro si cada vez que a,b B cumplen a b F, entonces a F ó b F. De manera equivalente, un B-ultrafiltro es un B-filtro maximal. Espacios Booleanos p. 6/12
15 Ultrafiltros Definición. Si B es un álgebra Booleana, un B-filtro es una colección F B que cumple las siguientes condiciones: 1 F, 0 / F, si a,b F, entonces a b F, si a F y b B es tal que a b, entonces b F. Definición. Decimos que un B-filtro F es B-ultrafiltro si cada vez que a,b B cumplen a b F, entonces a F ó b F. De manera equivalente, un B-ultrafiltro es un B-filtro maximal. En particular, en un espacio X, los conjuntos de la forma N(x) son CO(X)-ultrafiltros. Cualquier CO(X)-ultrafiltro U cumple U 1. Si U = {x}, entonces U se llama fijo y es fácil demostrar que U = N(x). Si X es compacto, todo ultrafiltro es fijo. Espacios Booleanos p. 6/12
16 El espacio de Stone de un BA Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjunto St(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología. Para a A, sea λ(a) = {U St(B) : a U}. Observemos que se cumplen: Espacios Booleanos p. 7/12
17 El espacio de Stone de un BA Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjunto St(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología. Para a A, sea λ(a) = {U St(B) : a U}. Observemos que se cumplen: St(B) = λ(1), Espacios Booleanos p. 7/12
18 El espacio de Stone de un BA Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjunto St(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología. Para a A, sea λ(a) = {U St(B) : a U}. Observemos que se cumplen: St(B) = λ(1), = λ(0), Espacios Booleanos p. 7/12
19 El espacio de Stone de un BA Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjunto St(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología. Para a A, sea λ(a) = {U St(B) : a U}. Observemos que se cumplen: St(B) = λ(1), = λ(0), λ(a b) = λ(a) λ(b), Espacios Booleanos p. 7/12
20 El espacio de Stone de un BA Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjunto St(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología. Para a A, sea λ(a) = {U St(B) : a U}. Observemos que se cumplen: St(B) = λ(1), = λ(0), λ(a b) = λ(a) λ(b), λ(a b) = λ(a) λ(b), Espacios Booleanos p. 7/12
21 El espacio de Stone de un BA Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjunto St(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología. Para a A, sea λ(a) = {U St(B) : a U}. Observemos que se cumplen: St(B) = λ(1), = λ(0), λ(a b) = λ(a) λ(b), λ(a b) = λ(a) λ(b), λ(a ) = St(B) λ(a). Espacios Booleanos p. 7/12
22 El espacio de Stone de un BA Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjunto St(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología. Para a A, sea λ(a) = {U St(B) : a U}. Observemos que se cumplen: St(B) = λ(1), = λ(0), λ(a b) = λ(a) λ(b), λ(a b) = λ(a) λ(b), λ(a ) = St(B) λ(a). Se puede demostrar que con la topología generada por estos conjuntos, St(B) es compacto, Hausdorff y 0-dimensional. Espacios Booleanos p. 7/12
23 Cosas que se saben... Si X es un espacio discreto, CO(X) = P(X) y St(CO(X)) = βx, la compactación de Stone-Čech de X. Espacios Booleanos p. 8/12
24 Cosas que se saben... Si X es un espacio discreto, CO(X) = P(X) y St(CO(X)) = βx, la compactación de Stone-Čech de X. Si X es un espacio sin puntos aislados, entonces St(CO(X)) tampoco tiene puntos ailados, observemos que estos pueden ser distintos espacios ya que St(CO(X)) no es compacto. Espacios Booleanos p. 8/12
25 Cosas que se saben... Si X es un espacio discreto, CO(X) = P(X) y St(CO(X)) = βx, la compactación de Stone-Čech de X. Si X es un espacio sin puntos aislados, entonces St(CO(X)) tampoco tiene puntos ailados, observemos que estos pueden ser distintos espacios ya que St(CO(X)) no es compacto. Si I es un ideal de un álgebra booleana B, entonces St(B/I) es homeomorfo al subespacio cerrado {U St(B) : U I = }, por ejemplo, si κ es un cardinal con la topología discreta, St(κ/[κ] <ω ) es el residuo βκ κ. Espacios Booleanos p. 8/12
26 Cosas que se saben... Si {A i : i I} es una familia de álgebras Booleanas, entonces St( {A i : i I}) es homeomorfo a β( {St(A i ) : i I}). Espacios Booleanos p. 9/12
27 Cosas que se saben... Si {A i : i I} es una familia de álgebras Booleanas, entonces St( {A i : i I}) es homeomorfo a β( {St(A i ) : i I}). Si A es un subálgebra de un álgebra Booleana B, entonces la función f : St(B) St(A) definida por f(u) = {a A : a U} es continua y sobre. Espacios Booleanos p. 9/12
28 Cosas que se saben... Si {A i : i I} es una familia de álgebras Booleanas, entonces St( {A i : i I}) es homeomorfo a β( {St(A i ) : i I}). Si A es un subálgebra de un álgebra Booleana B, entonces la función f : St(B) St(A) definida por f(u) = {a A : a U} es continua y sobre. Más en general, cualquier morfismo de álgebras Booleanas f : A B induce una función continua f : St(B) St(A). Espacios Booleanos p. 9/12
29 Cosas que se saben... Si {A i : i I} es una familia de álgebras Booleanas, entonces St( {A i : i I}) es homeomorfo a β( {St(A i ) : i I}). Si A es un subálgebra de un álgebra Booleana B, entonces la función f : St(B) St(A) definida por f(u) = {a A : a U} es continua y sobre. Más en general, cualquier morfismo de álgebras Booleanas f : A B induce una función continua f : St(B) St(A). Si F κ es el álgebra Booleana libre sobre κ generadores, entonces St(F κ ) κ 2. Espacios Booleanos p. 9/12
30 Dualidad de Stone Teorema. La categoría de álgebras Booleanas BA es la opuesta a la de espacios Booleanos BS. En particular, existen funtores F : BA BS, G : BS BA definidos de la siguiente manera. En objetos, F(B) = St(B) y G(X) = CO(X). Si f : A B es un morfismo en BA, g : X Y es un morfismo en BS, definimos F(f) : St(B) St(A) y G(g) : CO(Y ) CO(X) por: F(f)(U) = {a A : f(a) U}, G(g)(U) = g [U]. Funciones continuas inyectivas corresponden a morfismos suprayectivos de álgebras (cocientes de álgebras) y funciones continuas suprayectivas corresponden a morfismos inyectivos de algebras (subálgebras). Espacios Booleanos p. 10/12
31 Para que sirve? Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único F -espacio Booleano de peso 2 ω en el que todo G δ no vacío tiene interior no vacío. Espacios Booleanos p. 11/12
32 Para que sirve? Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único F -espacio Booleano de peso 2 ω en el que todo G δ no vacío tiene interior no vacío. En general, las propiedades topológicas de βω que dependen de la hipótesis del continuo se estudian del punto de vista algebrista. (cita directa del artículo sobre βω de Jan van Mill) Espacios Booleanos p. 11/12
33 Para que sirve? Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único F -espacio Booleano de peso 2 ω en el que todo G δ no vacío tiene interior no vacío. En general, las propiedades topológicas de βω que dependen de la hipótesis del continuo se estudian del punto de vista algebrista. (cita directa del artículo sobre βω de Jan van Mill) Las álgebras Booleanas superatómicas estan en correspondencia con los espacios Booleanos que tienen kernel perfecto vacío. Espacios Booleanos p. 11/12
34 Para que sirve? Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el único F -espacio Booleano de peso 2 ω en el que todo G δ no vacío tiene interior no vacío. En general, las propiedades topológicas de βω que dependen de la hipótesis del continuo se estudian del punto de vista algebrista. (cita directa del artículo sobre βω de Jan van Mill) Las álgebras Booleanas superatómicas estan en correspondencia con los espacios Booleanos que tienen kernel perfecto vacío. Las cubiertas proyectivas en la categoría de espacios compactos Hausdorff se construyen a través de espacios se Stone de álgebras Booleanas completas. Espacios Booleanos p. 11/12
35 Bibliografía Handbook of Boolean Algebras, Volumen 1, Editado por J. Donald Monk, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, An Introduction to βω, J. van Mill, en Handbook of set-theoretic topology, , North-Holland, Amsterdam, Espacios Booleanos p. 12/12
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