Superficies abstractas

Transcripción

1 Superficies abstractas

2 Bolas La n-bola: D n = B n = {x R n : x 1} La n-bola abierta: D n = B n = {x R n : x < 1}

3 homeomorfismos Definición. X, Y espacios; h : X Y función. La función h se llama homeomorfismo si y sólo si h es continua, biyectiva y h 1 es continua. Se escribe X = Y.

4 homeomorfismos Definición. X, Y espacios; h : X Y función. La función h se llama homeomorfismo si y sólo si h es continua, biyectiva y h 1 es continua. Se escribe X = Y. Se considera (de momento) que dos espacios homeomorfos son idénticos.

5 homeomorfismos (Los espacios que nos interesan están hechos de la misma sustancia que R n )

6 homeomorfismos (Los espacios que nos interesan están hechos de la misma sustancia que R n ) R n es un material muy elástico.

7 ejemplo Sea ε > 0. Luego B(0, 1) B(0, ε) w ε w z ε z B(0, 1) = B(0, ε)

8 Lema. Sean x, y B n, x y. Entonces existe un homeomorfismo h : B n B n tal que h(x) = y y h B n = 1 B n.

9 Lema. Sean x, y B n, x y. Entonces existe un homeomorfismo h : B n B n tal que h(x) = y y h B n = 1 B n. Dem. Tenemos ϕ : B n R n ; w w 1 w, con inversa ϕ 1 : R n B n ; z z 1 + z. Luego ϕ es un homeomorfismo.

10 En R n tenemos la traslación T (v) = v ϕ(x) + ϕ(y) con inversa T 1 (u) = u + ϕ(x) ϕ(y) Luego T también es un homeomorfismo y T (ϕ(x)) = ϕ(y).

11 Luego si h = ϕ 1 T ϕ, h : B n B n es un homeomorfismo tal que h(x) = y. B n h ϕ R n T B n ϕ R n Pero queremos h : B n B n.

12 Para z B n, definimos h(z) = z (o sea, forzamos h B n = 1.) Falta demostrar que h es continua: P. D. lim w 1 P. D. lim h(w) = w. O sea: w 1 w 1 w ϕ(x) + ϕ(y) w w ϕ(x) + ϕ(y) = w.

13 Ejemplo

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16 Superficies

17 Superficies Una superficie es un espacio X tal que X es de Hausdorff y cada punto de X tiene una vecindad homeomorfa a B 2.

18 Ejemplos

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49 Superficies Una superficie es un espacio X tal que X es de Hausdorff y cada punto de X tiene una vecindad homeomorfa a B 2. (Sólo nos interesan las superficies conexas)

50 Si X es una superficie, entonces int(x) = X = {a X U N a, U = B 2 } es el interior de X. X = X int(x) es la frontera de X.

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52 Una superficie X se dice que es no orientable, si X contiene una cinta de Möbius. Se dice que X es orientable, si X no es no orientable.

53 Una superficie X se dice que es no orientable, si X contiene una cinta de Möbius. Se dice que X es orientable, si X no es no orientable. (cosas de matemáticos)

54 Una superficie X se dice que es cerrada si es compacta y tiene frontera vacía.

55 Las Superficies cerradas y orientables (y conexas),,,...

56 Las Superficies cerradas y no orientables (y conexas) P 2, P 2 #P 2, P 2 #P 2 #P 2,...

57 Las Superficies compactas con frontera:,,,,...

58 Las Superficies compactas con frontera:,,,,...,,,,...

59 Las Superficies compactas con frontera:,,,...

60 Las Superficies compactas con frontera:,,,...,,,...

61 ,,,...,,,...,,,...

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65 2b 2b 2b 2b g n = n > 0 n times n = n times n < 0

66 P 2

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68 2 2 (P#P)

69 Detengámonos un momento.

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71 Dónde quedó?

72 Aaah!

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85 Explicación

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93 Algo está bien

94 Algo está bien Por qué?

95 Conjuntos

96 Sea una relación de equivalencia en X. Escribimos [a] = {y X a y} X = {[a] a X} p : X X a [a]

97 Si X es un espacio, le damos al cociente X/ la topología más grande que hace continua a la proyección canónica p : X X/. (o sea, U X es abierto p 1 (U) X es abierto)

98 Propiedad Universal de los Cocientes. f X p X ~ E! Z f _ Para todo espacio Z y toda función continua f : X Z, si ( a, b X, p(a) = p(b) f(a) = f(b)), entonces existe una única función continua f : X Z tal que f p = f.

99 En particular, si R 1 y R 2 son relaciones de equivalencia en X con proyecciones canónicas p : X X/R 1 y q : X X/R 2 y se puede probar que ( a, b X, p(a) = p(b) q(a) = q(b)), entonces la única función continua que existe q : X/R 1 X/R 2 tal que q p = q, es un homeomorfismo.

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101 Las superficies con frontera son discos con bandas

102 2b 2b 2b 2b g,,,...,,,,...

103 Las superficies con frontera son discos con bandas

104 Las superficies con frontera son discos con bandas Para reconocer una superficie, podemos cortarla y...

105 Las superficies con frontera son discos con bandas Para reconocer una superficie, podemos cortarla y... No! Alguien ya sistematizó este proceso y todo puede ser más Fácil (Sí)

106 Def. A, B espacios, A B. Decimos que A desconecta a B, si B A es disconexo.

107 Sea X una superficie compacta con frontera. Decimos que X es 1-conexa si todo arco propiamente encajado en X......?

108 Sea X una superficie compacta con frontera. Un arco α X se dice que está propiamente encajado si α X y α X.

109 Sea X una superficie compacta con frontera. Decimos que X es 1-conexa si todo arco propiamente encajado en X desconecta a X.

110 Ejemplo (se puede ver que la única superficie conexa, compacta y 1-conexa es el disco D 2 )

111 Sea X una superficie compacta con frontera. Decimos que X es 2-conexa si X no es 1-conexa y todo par de arcos propiamente encajados en X desconecta a X.

112 Ejemplo

113 Sea X una superficie compacta con frontera. Decimos que X es n conexa si X no es (n 1) conexa y toda n ada de arcos propiamente encajados en X desconecta a X.

114 2b 2b 2b 2b g,,,...,,,,...

115 Observación: Sean X y Y frontera. superficies compactas, conexas y con Si X = Y, entonces X = Y. X y Y son ambas orientables o ambas son no orientables. X es n-conexa Y es n-conexa.

116 Teorema de Clasificación de las Superficies Sean X y Y frontera. superficies compactas, conexas y con X = Y X = Y. X y Y son ambas orientables o ambas son no orientables. X es n-conexa Y es n-conexa.

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119 Nota Se tiene el invariante : χ(a) = número de vértices número de aristas + número de caras La característica de Euler del espacio A. Teorema. A = B χ(a) = χ(b). (por eso se llama un invariante)

120 Nota Ejemplos: χ( ) = 0 χ(s 1 ) = 0 χ(b n ) = 1 Lema Fundamental. χ(a B) = χ(a) + χ(b) χ(a B).

121 Nota Sea X una superficie (n + 1) conexa. Entonces X es un disco con n bandas, X = D 2 B 1 B n. χ(d 2 B 1 ) = χ(d 2 ) + χ(b 1 ) χ(d 2 B 1 ) = = 0 χ(d 2 B 1 B 2 ) = χ(d 2 B 1 )+χ(b 2 ) χ((d 2 B 1 ) B 2 ) = = 1

122 χ(d 2 B 1 B 2 B 3 ) = χ(d 2 B 1 B 2 )+χ(b 3 ) χ((d 2 B 1 B 2 ) B 3 ) = = 2. χ(x) = 1 n.

123 Teorema de Clasificación de las Superficies Sean X y Y frontera. superficies compactas, conexas y con X = Y X = Y. X y Y son ambas orientables o ambas son no orientables. χ(x) = χ(y ).

124 Sea X una superficie (n + 1)-conexa (X compacta con frontera). Entonces existe un sistema de arcos, α 1,..., α n X, propiamente encajados en X tales que X α 1 α n es un disco.