Robótica Inteligente Teoria de Control. Marco Antonio López Trinidad Luis Enrique Sucar Succar Depatamento de Computación Tec de Monterrey

Transcripción

1 Robótica Inteligente Teoria de Control Marco Antonio López Trinidad Luis Enrique Sucar Succar Depatamento de Computación Tec de Monterrey

2 La tarea de un controlador es ajustar el estado de una señal de un proceso con respecto a un valor conocido como set point (SP), la diferencia entre la señal medida y el set point se conoce como error (E) E = PV SP Aunque algunas veces se utiliza la cantidad SP PV como el error

3 Para medir la señal de la variable de proceso PV, se debe utilizar algun sistema (sensor), y la señal de salida del sensor tiene las mismas unidades del set point SP El controlador acuta sobre el error y mediante algun mecanismo (elemento final de control) manipula el proceso para cambiar PV en alguna dirección y asi reduce el error

4 SP E Controlador Salida de Control Elemento Final de Control Variable Manipulada Proceso PV PV Transmisor Elemento Primario de Control (Sensor) Instrumento de medición

5 Existen al menos tres elementos dinamicos, incluyendo el controlador, que podrian contribuir de manera importante en el comportamiento de la señal de proceso PV Las caracteristicas de estos elementos se deben tomar en consideración por el ingeniero de procesos Son caracteristicas internas del proceso o del hardware del los elementos

6 En general, se espera que el controlador sea capaz de compensar los efectos de los elementos dinamicos del sistema La forma en que un controlador opera sobre una señal de error se conoce como ley de control o algoritmo de control, en terminos del mundo digital

7 Algunas veces el estado de un proceso, esta determinado por diferentes variables de proceso y que están relacionadas entre si Ejemplo: Para controlar la humedad relativa se deben tomar en cuenta la temperatura y la precipitación pluvial A este tipo de control se le conoce como multivariable

8 El numero de variables independientes, tales como la temperatura, presión, concentración, etc. que pueden controlarse independientemente en un proceso de control no son ilimitadas, pero son una función del numero total de posibless ecuaciones que las relacionan Al conjunto de posibilidades dentro de un proceso, se le conoce como grado de libertad del proceso

9 Control de lazo abierto y lazo cerrado Suponer que se desea manejar un automovil a velocidad constante y con los ojos cerrados Probablemente la primera aproximación seria mover el volante (elemento final de control) en alguna posición y mantenerlo alli, sin importar la dirección (PV) que tome el vehiculo y lo que pueda suceder con el auto A este esquema se le conoce como control de lazo abierto

10 Control de lazo abierto y lazo cerrado Ahora si se le permitiera al conductor abrir los ojos y mover de manera libre el volante, permitiendo ajustar la dirección que tome el vehiculo A este esquema se le conoce como control de lazo cerrado

11 Control On Off Suponer que al conductor se le permite mover el volante, completamente a la izquierda o completamente a la derecha, de tal foma que cuando se llega a un extremo de la carretera, entonces se debe girar el volante completamente en la dirección opuesta

12 El proceso se repite de manera indefinida hasta alcanzar el proposito Para evitar que el atuomovil oscile de manera brusca, se establece una banda conocida como gap, de tal forma que nada sucede mientras la dirección del vehiculo no sobrepase la frontera de la banda

13 GAP Totalmente a la izquierda Volante + Totalmente SP a la derecha 0 100% del span PV dirección del automovil

14 Ley de control del esquema on off E = PV SP V = sign E Para E ½ 0 V+ significa que el volante esta completamente girado hacia la derecha V significa que el volante esta completamente girado hacia la izquierda

15 Control on off El efecto de este esquema de control se muestra en la siguiente figura:

16 Cuando la dirección del automovil sobrepasa el limite inferior de la banda, entonces el volante se gira completamente a la izquierda, pero debido a la inercia del sistema pasa algun tiempo para que la dirección del vehiculo cambie En la siguiente ocación que la dirección del vehiculo sobrepasa el limite superior de la banda, entonces el volante se gira completamente a la derecha, sobrepasandose a la dirección deseada

17 En la siguiente figura se nota que aun sin tenerse una banda, la inercia del vehiculo demanda cierto sobrepaso (oscilación) y oscilamiento de la dirección del vehiculo para un alta frecuencia En general este tipo de control tiene como caracteristicas la oscilación y el sobrepaso o sobretiro

18 Control Proporcional Para evitar oscilación, es necesario encontrar un valor intermedio de movimiento del volante, que mantendra a la variable de proceso en estado estable con respecto al set point

19 Control Proporcional El modo deseado de control, consiste de ajustar manualmente a una posición del volante que corresponde a un error de cero cuando el proceso esta bajo condiciones normales Ademas, hay que instruir al controlador girar el volante a la derecha de manera proporcional, para un error positivo (PV > SP) y girar el volante a la izquierda para un error negativo (PV < PS)

20 Control Proporcional En otras palabras la ley de control debe ser de la siguiente forma: V = KE + M E = PV SP K es una constante de proporcionalidad M es una posición donde E = 0

21 Control Proporcional La ecuación anterior define una linea recta Totalmente a la derecha Set point Valor de la posición M V Error Totalmente a la izquierda 0% 100% Rango de la variable de proceso

22 Control Proporcional La pendiente de la linea, determina el cambio en el giro del volante, que corresponde al valor del error Totalmente a la derecha SP Valor de la posición M Totalmente a la izquierda 0% PV 100%

23 Control Proporcional El porcentaje de cambio en el error, necesario para mover el volante a escala completa, se conoce como banda proporcional (PB) Por lo tanto, en la figura anterior se nota que se requiere de un valor grande de error para girar el volante completamente en cualquier dirección En la figura siguiente se requiere de un error pequeño para girar el volante completamente en cualquier dirección

24 Control Proporcional Totalmente a la derecha SP Valor de la posición M Totalmente a la izquierda 0% PV 100%

25 Control proporcional La relación entre la ganancia proporcional y la banda proporcional es: K = 100/PB donde PB esta en porcentaje El termino de estado estable M se conoce como restablecimiento manual (manual reset)

26 Control proporcional La acción de control con respecto al tiempo de este esquema se muestra en la siguiente figura: Derecha Volante Izquierda PV SP E

27 Control Proporcional Si por alguna razón; una piedra o un bache sobre el pavimento, entonces el error salta rapidamente a un valor fijo, el volante instantaneamente se movera una cantidad proporcioal en la dirección necesaria para reducir el error a cero Si el error se mantiene constante, la posición del volante se mantendra constante Las desventajas del control proporcional se pueden determinar, por este tipo de disturbios en un sistema de lazo cerrado

28 Control Proporcional Suponiendo que se abre el lazo y que no hay control. Y repentinamente ocurre un disturbio en forma de escalón, la posición del volante no cambiara y la dirección del vehiculo se desviara a algun estado estacionario estable con error constante Al restaurar el lazo cerrado de control. El volante tratara de moverse para reducir el error a cero, pero la la ley de control establece que V puede cambiar solamente si E cambia y M es constante

29 Es decir, para cualquier nueva posición del volante diferente a M, correspondiente al valor promedio del valor desvidado debe haber valor definido del error E Esto se conoce como error residual u off set Por lo tanto, un control proporcional con ganancia menor a infinito, resulta en error cero solamente para una condición de carga, que se establece por el valor M Entonces para eliminar el error cuando ocurre un cambio en la carga, el valor de M se tiene que reinicializar (reset) manual mente

30 Control Integral El control integral genera un error residual, cada vez que se recarga el sistema y por lo tanto ese error debe reinicializarse manualmente, si se desea tener un error cero Una forma de reinicializar el controlador de manera autómatica, es indicandole al controlador que mueva el volante en la dirección donde se reduce el error hasta que no se tenga mas error

31 Control Integral Por ejemplo se podria hacer que el volante gire a velocidad constante, a este tipo de reset se le conoce como control de velocidad unica flotante, donde flotante se refiere a la dependencia de la razón de cambio en el controlador sobre el error

32 Control Integral Un moddo comun de reset es el control de velocidad proporcional flotante, en el que la razón del movimiento del volante es proporcional a la derivada del error: d V d t = K 1 E

33 Control Integral Integrando la ultima ecuación se obtiene: V=K 1 Edt

34 Control Integral Si se combinan el control proporcional con el control integral se obtiene: V=KE K I Edt M

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36 Control PI La salida del controlador (posición del volante) crece casi instantaneamente por una cantidad KE como resultado de la parte proporcional Pero debido a que el error persiste, el termino integral continua moviendo el voalnte a velocidad constante, donde la pendiente se obtiene de la ganancia de reset K I

37 Control PI Despues de transcurrido el tiempo T I, conocido como tiempo de reset, el movimiento del volante debido a la pendiente del temino integral, se iguala al termino proporcional Por lo tanto el ajuste del reset se puede expresar en terminos del T I o de su reciproco

38 Control PI Algoritmo PI en terminos del tiempo de reset: V=KE K T I Edt M V=K E 1 T I Edt M

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40 Control Derivativo Si el tiempo integral del control PI dura demasiado, el proceso lentamente se restableceria hasta que el error alcance el valor de cero En el caso del carro, es obvio que si se pierde la dirección deseada, es necesario reestablecer la orientación pero de manera suave

41 Control Derivativo Es necesario poder incorporar en el controlador una forma de anticiparse al error, determinando que tan rapido se esta moviendo el error

42 Control Derivativo La derivada del error, permite determinar la razón de cambio del error. Matemáticamente se tiene la expresión: V = K D d E d t

43 Control Derivativo La derivada solamente afecta al controlador, cuando hay un cambio en la magnitud del error E Cuando el error E esta en estado estable, la corrección solamente se puede realizar mediante los algoritmos proporcional e integral

44 C Control Derivativo Es posible reducir el error utilizando los algoritmos de cotrol proporcional y derivativo (PD), pero el tipo mas comun es el cotrolador (PID) V=K E 1 T I Edt T D de dt M

45 Control Derivativo El termino TD se conoce como razón del tiempo o tiempo derivativo y esta relacionado con KD como: K D =KT D

46 Control Derivativo Desempeño del controlador PD

47 Bibliografia Analysis and Syntesis of Linear Control Systems. Chi Tsong Chen. Holt Rinehart Winston Digital Control of Dynamic Systems. Gene F. Franklin, J. David Powel and Michael Workman. Addison Wesley Modern Control Engineering. Kasuhiko Ogata. Prentice Hall Modern Control Systems. Richard C. Dorf and Robert Bishop. Addison Wesley