Nom i cognoms Grup Número estudiant. 1. [5 punts] Es considera la següent funció f(x) =e x + cos (x), de la qual volem calcular les seves arrels.

Transcripción

1 1. [5 punts] Es considera la següent funció f(x) e x + cos (x), de la qual volem calcular les seves arrels. a) [1pt] Prenent com a x 0 2.5, calcula x 1 mitjançant el mètode de Newton. ) [1pt] Utilitzant el mètode de Newton i prenent com a x 0 2.5, retorna la iteració que verifica els criteris d aturada am tol f 0.01 i tol x Per aquesta iteració, retorneu el seu error relatiu aproximat en valor asolut i el seu valor de la funció tamé en valor asolut. x 1 x k r k f(x k ) c) [1pt] Utilitzant dos mètodes diferents s han otingut els següents resultats. Feu una predicció de l error que otindríem si fessim una iteració més am els dos mètodes (estimeu Ẽ4 ). Poseu els resultats a la taula. Mètode A Mètode B iter Ẽk p k iter Ẽk p k k Ẽ4 Ẽ4 d) [1pt] Donats x 0 2ia 1, calculeu dues iteracions del mètode de la isecció. Retorneu el valor de x 2. e) [1pt] Calculeu l error asolut aproximat associat a x 0 (de l apartat d)), és a dir Ẽ0. A partir d aquest valor, quantes iteracions cal fer per poder assegurar que l error asolut exacte és inferior a ? x 2 Ẽ 0 Nomre mínim d iteracions:

2 2. [3 punts] Sigui la funció f(x) cos (x). a) [1pt] Escriviu els polinomis de Lagrange associats als punts x 0, x 1 0 and x 2. L 0 L 1 L 2 ) [0.75pts] Escriu el polinomi que interpola la funció donada en els punts anteriors, segons el criteri d interpolació pura. Cal que simplifiqueu els resultats el màxim possile. p(x) c) [0.5pts] Calculeu una aproximació de cos (2) utilitzant el polinomi interpolador calculat en l apartat anterior. cos(2) d) [0.75pts] Troeu una cota superior de l error d interpolació comès a l aproximar cos(2) utilitzant el residu de Lagrange. error apple

3 3. [2 punts] Es vol estudiar si el orohidrur de sodi es podria utilitzar com a comustile. Per això es fan experiments per avaluar la cinètica electroquímica i s otenen les següents dades de soretensió ( ) respecte la densitat de corrent (I). I (A) (V) En les condicions de l estudi, se sap que la relació que existeix entre la soretensió ( ) i la densitat del corrent (I) es pot expressar com p(i) a + ln (I) on p(i) (I). a) [1 punt] Escriviu en forma matricial, sense sustituir valors, el sistema d equacions que cal resoldre per determinar a i segons el criteri de mínims quadrats, suposant que coneixem n + 1 dades de soretensió i densitat de corrent, é s a d i r ( I i, i ),,...,n. Sistema d equacions 0 en forma matricial (sense sustituir valors): A a ) [0.5 punts] Escriviu en forma matricial, ara sí sustituint els valors numèrics donats a la taula, el sistema d equacions que cal resoldre per determinar a i segons el criteri de mínims quadrats. Oservació: aquest apartat es puntuarà encara que no estigui correcte l apartat anterior. Sistema d equacions en forma matricial (sustituint valors donats a la taula):! a c) [0.5 punts] Saent que a 8.60 i 1.36, quin és l error quadràtic que es comet en aquesta aproximació? EQ

4 Nom i cognoms Grup Calculadora Número estudiant FORMULARI Càlcul Numèric Equacions Diferencials Curs /Q2 - Primer Parcial. 29/03/16 E k E k 1 p, R n (x) f n+1) (µ) (n + 1)! (x x 0)... (x x n ), µ 2 [min(x, x 0 ), max(x, x n )] En tots els exercicis cal que utilitzeu TOTS els decimals que permeti la calculadora! [Competència Genèrica - 5% de la nota final de l assignatura] a) [3 punts] Considereu la funció f(x) x 2 +sin(x) i les aproximacions inicials x 0 2ix 1 1. Feu una iteració del mètode de la secant per calcular x 2. x ) [2 punts] Raona quin és l avantatge principal del mètode de la secant respecte al mètode de Newton. L avantatge principal és que no necessita la derivada de la funció. c) [5 punts] Considereu la funció f(x) queverificaquef(a) a, f(2a) 2a, f(3a) 0, am a>0. Aproximeu f(x) mitjançant un spline lineal, S(x). Simplifiqueu el resultat el màxim possile. 8 >< x, x 2 (a, 2a) S(x) >: 2x +6a, x 2 (2a, 3a) a) Recordem que les fórmules per calcular les aproximacions utilitzant el mètode de la secant son: x k+1 x k f(x k ) s k, s k f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 Per tant: x 2 x 1 f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 1 f( 1) f( 1) f( 2) ) L avantatge principal resideix en el fet de no necessitar la derivada de la funció. c) En el primer interval, la recta S 0 (x) entreelspunts(a, f(a)) (a, a) i(2a, f(2a)) (2a, 2a) és, òviament, la recta identitat S 0 (x) x En el segon interval construim la recta S 1 (x) entreelspunts(2a, f(2a)) (2a, 2a) i(3a, f(3a)) (3a, 0). Utilitzem, per exemple, polinomis de Lagrange L 1 0(x) x 3a 2a 3a 3a x a, L 1 1(x) x 2a 3a 2a x 2a a 3a ) S 1 (x) 2a a x 2x +6a

5 1. [5 punts] Es considera la següent funció f(x) e x + cos (x), de la qual volem calcular les seves arrels. a) [1pt] Prenent com a x 0 2.5, calcula x 1 mitjançant el mètode de Newton. x ) [1pt] Utilitzant el mètode de Newton i prenent com a x 0 2.5, retorna la iteració que verifica els criteris d aturada am tol f 0.01 i tol x Per aquesta iteració, retorneu el seu error relatiu aproximat en valor asolut i el seu valor de la funció tamé en valor asolut. x k r k f(x k ) c) [1pt] Utilitzant dos mètodes diferents s han otingut els següents resultats. Feu una predicció de l error que otindríem si fessim una iteració més am els dos mètodes (estimeu Ẽ4 ). Poseu els resultats a la taula. Mètode A Mètode B iter Ẽk p k iter Ẽk p k k Ẽ Ẽ d) [1pt] Donats x 0 2ia 1, calculeu dues iteracions del mètode de la isecció. Retorneu el valor de x 2. x e) [1pt] Calculeu l error asolut aproximat associat a x 0 (de l apartat d)), és a dir Ẽ0. A partir d aquest valor, quantes iteracions cal fer per poder assegurar que l error asolut exacte és inferior a ? Ẽ Nomre mínim d iteracions: 14 a) En aquest cas, si apliquem la fórmula del mètode de Newton tenim que: x k+1 x k f(x k ) f 0 (x k ) x k e x k + cos (x k ) e x k sin (x k ) Per tant, prenent x otenim x 1 x 0 e x0 + cos (x 0 ) e x0 sin (x 0 ) 2.5 e cos ( 2.5) e 2.5 sin ( 2.5) ) Hem de calcular la primera iteració que satisfà els criteris d aturada: r k <tol x i f(x k ) <tol f. Comprovem si x 1, calculat a l apartat anterior satisfà f(x 1 ) <tol f.veiemquef(x 1 )f( ) 0.36 i per tant NO es satisfà aquest criteri d aturada. Calculem x 2, x 2 x 1 e x1 + cos (x 1 ) e x1 sin (x 1 ) Comprovem si x 2 satisfà f(x 2 ) <tol f. Veiem que f(x 2 )f( ) i per tant SÍ es satisfà aquest criteri d aturada. Comprovem si es satisfà r k <tol x. Saem que Per tant, cal cacular x 3 aans. Calculem-ho, Ara sí, calculem r 2, r 2 x 3 x 2 x 3. x 3 x 2 e x2 + cos (x 2 ) e x2 sin (x 2 ) r 2 x 3 x 2 x >tol x

6 Oservem que encara no satisfà aquest criteri. Així doncs, calculem una iteració més, Comprovem ara si x 3 cumpleix els criteris d aturada: x 4 x 3 e x3 + cos (x 3 ) e x3 sin (x 3 ) r 3 x 4 x 3 x <tol x f(x 3 ) <tol f Per tant, x 3 és el primer iterat que satisfà amdós criteris. c) Per fer les prediccions dels errors utilitzarem que per un mètode de convergència d ordre p i FAC E k E k 1 p Oservem que el mètode A té convergència quadràtica, p 2. Per altra anda, el mètode B té convergència lineal, p 1 am FAC 1. Per tant 2 Mètode A: Ẽ4 Ẽ3 2 Ẽ Mètode B: Ẽ4 1 2 Ẽ d) Donats x 0 2ia 1 tals que f(x 0 )f(a) < 0, fem un pas de la isecció. Saem que, x 1 x 0 + a 1.5 on f(x 1 ) Com que f(a) , llavors 2 f(x 1 )f(a) > 0 i hem d actualitzar el valor d a, ésadira x 0 2. Per tant, el nou interval és {x 1,a} { 1.5, 2}. I el següent iterat serà, x 2 x 1 + a e) Calculem Ẽ0, Ẽ 0 x 1 x ( 2) 0.5 Saem que pel mètode de la isecció, l error asolut exacte és més petit que el dole de l error asolut aproximat i que l error asolut aproximat es divideix exactament per dos a cada iteració, és a dir, E k apple2 Ẽk Ẽ0 2 k I volem que l error sigui inferior a després de k iteracions, per tant, usquem la iteració k que satisfà, Per tant, cal k 14. E k apple2 Ẽk 2 Ẽ0 2 k k 1 < < 2 k 1 ) k 1 > log 2 (5000) ) k> Un exercici similar el podeu troar resolt en format vídeo a youtue:

7 2. [3 punts] Sigui la funció f(x) cos (x). a) [1pt] Escriviu els polinomis de Lagrange associats als punts x 0, x 1 0 and x 2. L 0 (x 0)(x ) x(x ) (x + )(x ) ( 0)( ) 2 2 L 1 (0 + )(0 ) x2 2 (x + )(x 0) (x + )x 2 L 2 ( + )( 0) 2 2 ) [0.75pts] Escriu el polinomi que interpola la funció donada en els punts anteriors, segons el criteri d interpolació pura. Cal que simplifiqueu els resultats el màxim possile. p(x) cos( )L 0 (x) + cos(0)l 1 (x) + cos( )L 2 (x) L 0 (x)+l 1 (x) L 2 (x) 2x2 + 2 c) [0.5pts] Calculeu una aproximació de cos (2) utilitzant el polinomi interpolador calculat en l apartat anterior. 2 cos(2) p(2) d) [0.75pts] Troeu una cota superior de l error d interpolació comès a l aproximar cos(2) utilitzant el residu de Lagrange. error apple a) El polinomi de Lagrange L i (x), associat al punt x i, ha de valer un en aquest punt i s ha d anular a la resta de punts, així doncs: (x 0)(x ) x(x ) L 0 (x) ( 0)( ) 2 2 (x + )(x ) L 1 (x) (0 + )(0 ) x2 2 2 (x + )(x 0) (x + )x L 2 (x) ( + )( 0) 2 2 ) El polinomi interpolador pur ve donat per: p 2 (x) 2X f(x i )L i (x) cos( )L 0 (x) + cos(0)l 1 (x) + cos( )L 2 (x) 2x2 + 2 c) Una aproximació la podem otenir avaluant el polinomi interpolador. Així doncs, cos(2) p 2 (2) 2(2) d) Per tal de troar una cota superior de l error comès, recordem que l error d interpolació pura ve donat per: R n (x) f n+1) (µ) (n + 1)! (x x 0)... (x x n ), µ 2 [min(x, x 0 ), max(x, x n )] En el nostre exercici en particular, i donat que les derivades successives de la funció cosinus sempre estan fitades per un, R 2 (x) f 3) (µ) (x + )x(x ) f 3) (µ) 3! 3! Finalment, en el punt x 2 l error té la següent cota superior, R 2 (2) apple 1 (2 + )2(2 ) x + x x apple 1 x + x x 6

8 3. [2 punts] Es vol estudiar si el orohidrur de sodi es podria utilitzar com a comustile. Per això es fan experiments per avaluar la cinètica electroquímica i s otenen les següents dades de soretensió ( ) respecte la densitat de corrent (I). I (A) (V) En les condicions de l estudi, se sap que la relació que existeix entre la soretensió ( ) i la densitat del corrent (I) es pot expressar com p(i) a + ln (I) on p(i) (I). a) [1 punt] Escriviu en forma matricial, sense sustituir valors, el sistema d equacions que cal resoldre per determinar a i segons el criteri de mínims quadrats, suposant que coneixem n + 1 dades de soretensió i densitat de corrent, é s a d i r ( I i, i ),,...,n. Sistema d equacions en forma 0 matricial (sense sustituir 1 valors): 0 n +1 ln(i i ) a B C ln(i i ) ln 2 (I i ) (I i ) (I i )ln(i i ) 1 C A ) [0.5 punts] Escriviu en forma matricial, ara sí sustituint els valors numèrics donats a la taula, el sistema d equacions que cal resoldre per determinar a i segons el criteri de mínims quadrats. Oservació: aquest apartat es puntuarà encara que no estigui correcte l apartat anterior. Sistema d equacions en forma matricial (sustituint valors donats a la taula):! ! a c) [0.5 punts] Saent que a 8.60 i 1.36, quin és l error quadràtic que es comet en aquesta aproximació? EQ a) En aquest cas hem de troar un interpolant de la forma p(i) a + ln(i) utilitzant el criteri de mínims quadrats. Així doncs, nx EQ(a, ) ( i a ln(i i )) 2. Per tant, els valors d a i que fan que p(i) sigui l interpolant de (I) segons el criteri de mínims quadrats es determinen mitjançant la minimització min EQ(a, ). a, Determinarem els paràmetres a i imposant que El sistema resultant és, doncs: 8 n X 0. 2( i a ln(i i )) 0 2( i a ln(i i )) ln(i i )0 Simplificant els termes i aïllant els valors d a i s oté: 0 n +1 ln(i i ) ln(i i ) ln 2 (I i ) 1 C A a ) Sustituint les dades experimentals donades a la taula otenim, 0 (I i ) (I i )ln(i i ) 1 C A ! a !

9 c) L error quadràtic serà, 2X EQ ( i a ln(i i )) 2 On hem d utilitzar que a 8.60 i 1.36, per tant, 2X EQ ( i ( 8.6) ( 1.36) ln(i i ))