Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades I

Transcripción

1 MS 1) Donada la funció y a) Troba la recta tangent en el seu punt d'infleió. b) Troba la recta normal en el punt de 1 (1+0,5 1,5 punts) ) A la vista de la gràfica d'aquesta funció. a) Estudia la monotonia de la funció (creiement, decreiement i màims i mínim locals) b) Estudia el signe de la 1a derivada. c) Estudia la curvatura de la funció (concavitat, conveitat i punt d'infleió). d) Estudia el signe de la a derivada e) Quina és la recta tangent a la corba en el punt (,1) f) Quina és la recta normal a la corba en el punt de 4? ) Donada la funció f ( ) ( ). Estudieu a) El seu domini, continuïtat i derivabilitat. b) Les seves asímptotes c) Calculeu i simplifiqueu les seves 1a i a derivada. d) La seva monotonia (creiement, decreiement, màims i mínims locals) e) La seva curvatura (concavitat, conveitat i punt d'infleió) f) Representeu gràficament la funció anterior. (0,5*4+0,5*,5 punts) (0,5+1, ,56 punts)

2 MS 1) Donada la funció y a) Troba la recta tangent en el seu punt d'infleió. b) Troba la recta normal en el punt de 1 (1+0,5 1,5 punts) a) Per trobar el punt d'infleió calculem primer la a derivada. y' y'' 6 1 Per tant tenim un candidat a punt d'infleió en el punt on y '' 0 que és en Per assegurar-nos que en aquest punt tenim un punt d'infleió estudiem el signe de la a derivada al seu voltant: y 0 y ' y '' Per tant efectivament en [és a dir en (,f())(,0)] hi ha un punt d'infleió La recta tangent serà una recta del tipus y m + n on m y' y 4+ n i ara imposat que passa pel punt (,0) obtenim que n n8 i la recta buscada és y b) El punt és el (1,f(1))(1,) Calculem quan val y '( 1) 1 1 ( 1) el pendent de la 1 1 recta normal (que és la perpendicular a la tangent és m 1 y '( 1) 1 la recta normal és al recta YX+n que passa pel punt (1,) 1+n n la recta buscada és y + aií doncs

3 ) A la vista de la gràfica d'aquesta funció. MS a) Estudia la monotonia de la funció (creiement, decreiement i màims i mínim locals) Crei (,) 0 (, 4 + ) Decrei (, 0) ( 4, ) Màim en, és a dir en (,1) Mínim en 0 i en 4, és a dir en (0,0) i (4,0) b) Estudia el signe de la 1a derivada. 0 4 y y ' c) Estudia la curvatura de la funció (concavitat, conveitat i punt d'infleió). Punts d'infleió en aproimadament 1 i Còncava (,) 1 (, + ) i Convea (,) 1 d) Estudia el signe de la a derivada 1 y y ' y '' e) Quina és la recta tangent a la corba en el punt (,1) La recta horitzontal Y1 f) Quina és la recta normal a la corba en el punt de 4? La recta vertical X4 (0,5*4+0,5*,5 punts) ) Donada la funció f ( ) ( ). Estudieu a) El seu domini, continuïtat i derivabilitat. Domini R {}, ja que només cal treure els valors que anul len el denominador Com és un quocient de polinomis és contínua i derivable en tots els valors del seu domin, és a dir en R {} b) Les seves asímptotes Verticals. Mirem si ho és la recta X. Estudiem els dos límits laterals 8 8 lim f ( ) lim + ; lim f ( ) lim + per tant sí és ( ) 0 asímptota la recta X i en els dos casos la funció va cap a + infinit. Inclinades. Com la funció és un quocient de polinomis si hi ha asímptota per + també ho serà per Per tant anem a calcular-ho per +. La asímptota és una recta d'equació

4 MS y m + n on f ( ) m lim lim lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( 4 4) + n lim f ( ) m lim lim lim lim lim lim lim Aií doncs la recta Y X + 4 és asímptota per + i també per c) Calculeu i simplifiqueu les seves 1a i a derivada. f ( ) ( ) ( ) 4 ( ) f '( ) f ''( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 6 ( ) 1 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( 18 ) ( ) d) La seva monotonia (creiement, decreiement, màims i mínims locals) y 0 7/ y ' Crei (, ) (, 6 + ), Decrei (,) 6 i té un mínim local en 6 [és a dir en (6, 7/)] e) La seva curvatura (concavitat, conveitat i punt d'infleió) 0 6 y 0 7/ y ' y '' Convea PI Còncava Còncava Convea (, 0), Còncava (,) 0 (, + ) i té un punt d'infleió en 0 [és a dir en (0,0)]

5 MS Representeu gràficament la funció anterior. Amb tota aquesta informació fent la taula resum completem amb algun valor, dibuiem les asímptotes i el dibui és clar: y -6, / 15,6 y ' y '' Convea PI Cònc Còncava Asímptotes: X (tant per la dreta com per l'esquerra la funció va cap a més infinit Y X + 4 (0,5+1, ,56 punts)

6 MS