RECULL DE PROBLEMES DE SELECTIVITAT SOBRE INTEGRALS. a) Calculeu l'àrea limitada per la gràfica de la funció, l'eix OX i les rectes verticals 0 x = 2.

Transcripción

1 RECULL DE PROBLEMES DE SELECTIVITAT SOBRE INTEGRALS ) PAU 999 Sèrie Qüestió: Calcula l àrea determinada per les corbes d equacions el dibui següent: y 4 i y representada en ) PAU 999 Sèrie Qüestió : Calculeu raonadament l'epressió d'una funció f ( ) tal que f '( ) e i que f ( ). ) PAU 999 Sèrie Problema : 6 Donada la funció f ( ) a) Calculeu l'àrea limitada per la gràfica de la funció, l'ei OX i les rectes verticals. i 4) PAU 999 Sèrie 5 Qüestió : f + k i Trobeu el valor del coeficient k de manera que l'àrea limitada per la funció l'ei d'abscisses sigui igual a 6u. 5) PAU 999 Sèrie 6 Qüestió : f Sigui. Calculeu l'àrea de la regió que limita la gràfica de f d'abscisses i que està representada en el dibui següent: i l'ei Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

2 6) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu l'àrea que té l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les representat en el dibui següent: y + 7 i 6 y 7) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu per integració la superfície del recinte delimitat per les corbes d'equació y 6 representat en el dibui següent: y i la recta 8) PAU Sèrie Qüestió : El polinomi p ( ) + a + b s'anul la per a i complei Calculeu raonadament a i b. p d 4. 9) PAU Sèrie 5 Qüestió : k d Trobeu el valor de k per tal que k + k ) PAU Sèrie Qüestió : π a) Quin és l'angle en radians < < tal que sin ( ) cos ( ) b) Considereu les funcions f ( ) sin ( ) i g ( ) cos ( )?. Calculeu la superfície del recinte delimitat superiorment per les gràfiques d'aquestes funcions, inferiorment per l'ei d'abscisses i π lateralment per les rectes verticals i representat en l'esquema següent: ) PAU Sèrie 4 Qüestió 4: Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

3 Sabeu que la gràfica de la funció f ( ) passa pel punt (, 4) f '( ). a) Determineu l'epressió de f ( ). b)calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de f ( ) i l'ei d'abscissesox. i que la seva funcióderivada és ) PAU Sèrie 5 Qüestió : Teniu una funció f ( ) definida per a (, ), sabeu que el gràfic de f ' forma és dela on f '( ), f '( ), f ' i que f ( ). Dibuieu un gràfic aproimat de f ( ) indicant en quins punts hi ha etremsrelatius. ) PAU Sèrie 5 Qüestió 4: f e Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció d'abscisses i la recta vertical. per a, l'ei 4) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu el valor positiu de a que fa que l'àrea compresa entre la recta d'equació la paràbola y a valgui 8. y a + a i 5) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu l'àrea compresa entre les gràfiques de les corbes representada en l'esquema següent: y e i y e i la recta y 5 Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

4 6) PAU Sèrie Qüestió : f Calculeu la primitiva de la funció que s'anul la en el punt d'abscissa. 7) PAU Sèrie Qüestió : e ln ( ) Calculeu d. 8) PAU Sèrie Qüestió : Donada ( f + e + ), determineu la funció g ( ) tal que g '( ) f ( ) una primitiva de f ( )) i que el seu gràfic passa pel punt (, ). (és a dir, 9) PAU Sèrie 5 Qüestió : Considerem la regió S del pla limitada per la paràbola en l'esquema següent: y i la recta y representada Siguin A i B els punts d'intersecció de la recta i la paràbola, i T el triangle que té per vèrtes A, B i l'origen de coordenades (, ). Calculeu l'àrea de la regió que resulta quan es treu el triangle T a la regió S. ) PAU 4 Sèrie Problema : Considereu la funció f ( ) + m +, m. a) Calculeu el valor de m per tal que l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció, l ei OX i les rectes i sigui de unitats quadrades. b) Per a m, indiqueu el punt o els punts on la recta tangent a la gràfica de lafunció forma un angle de 45 amb el semiei positiu de OX. ) PAU 4 Sèrie Qüestió : f cos cos : Donada la funció a) trobeu la seva integral indefinida; π b) quina és la primitiva de f ( ) que passa pel punt,? sin + cos. Indicació: recordeu que ) PAU 4 Sèrie 4 Qüestió : Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

5 Calculeu l àrea del recinte tancat que delimiten la gràfica de la funció y. i la recta y ) PAU 4 Sèrie 4 Qüestió 4: Considereu la funció f ( ) de la figura definida a l interval [, ]. a) Calculeu la funció derivada f '( ) a l interval (, ) b) Hi ha algun punt de (, ) en el qual f ' c) Calculeu f ( ) d. no eisteii? 4) PAU 4 Sèrie 5 Qüestió : Calculeu el valor de la integral següent: d + 5) PAU 5 Sèrie Problema : Considereu la funció f ( ) 4. a) Calculeu l equació de les rectes tangents a la gràfica de f en els punts d abscisses i 4. b) Feu un gràfic dels elements del problema. c) Calculeu l àrea compresa entre la gràfica de f i les rectes tangents que heu trobat a l apartat a). 6) PAU 5 Sèrie Problema : Considereu la funció f ( ) + + b si < ae b si on a i b són nombres reals. a) Quina condició han de complir a i b per tal que f sigui contínua a tot R? b) Trobeu els valors de a i b per als quals f sigui contínua però no derivable a tot R. c) Per a a i b, calculeu. f d 7) PAU 5 Sèrie 4 Qüestió : Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

6 5 4 : f d. Donada la funció: a) Calculeu la integral f F. b) Trobeu la primitiva F de f que compleii 8) PAU 6 Sèrie Qüestió : y f Considereu la funció definida per a [, 5] adjunta. que aparei dibuiada a la figura a) Quina és l epressió de la seva funció derivada quan eistei? b) Calculeu f ( ) d. 9) PAU 6 Sèrie 4 Qüestió : El gràfic de la funció f ( ) +, quan >, és com seguei: a) Trobeu una primitiva de la funció f. b) Calculeu l àrea de la regió ombrejada. ) PAU 6 Sèrie 4 Problema : Considereu la paràbola d equació y +. i a) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la paràbola en els punts d abscissa. b) Calculant el mínim de la funció y + trobeu el vèrte de la paràbola. c) Trobeu les interseccions de la paràbola amb els eios i feu una representaciógràfica de la paràbola i de les tangents obtingudes al primer apartat. d) Calculeu l àrea compresa entre la paràbola i les rectes tangents. ) PAU 7 Sèrie Qüestió : Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 6

7 Busqueu els etrems relatius i els punts de tall amb els eios, i feu una representacióaproimada de la corba d equació delrecinte tancat per aquesta corba i l ei d abscisses. y 4. A continuació, calculeu l àrea ) PAU 7 Sèrie Qüestió 4: La funció derivada ' F d una funció contínua F : R R que passa per l origen és una funció a trossos formada per les semirectes del dibui. Escriviu l epressió de la funció F ( ) com una funció a trossos. ) PAU 7 Sèrie Problema : Donades les funcions f ( ) a 4 i g ( ) + b: a) Calculeu a i b de manera que les gràfiques de f ( ) i de g ( ) siguin tangents en elpunt d abscissa, és a dir, que tinguin lamateia recta tangent en aquest punt. b) Trobeu l equació de la recta tangent esmentada en l apartat anterior. c) Pel valor de a obtingut en el primer apartat, calculeu el valor de l àrea de la regiólimitada per l ei d abscisses OX i la funció f ( ). 4) PAU 8 Sèrie Qüestió : Se sap que certa funció derivable F ( ) verifica les condicions següents: F ' ( ) i 4 F a) Trobeu F ( ). b) Calculeu l àrea compresa entre F ( ) i l ei OX des de fins a. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 7

8 5) PAU 9 Sèrie 4 Qüestió : Considereu la funció f ( ) ( ) a, amb a >. a f a) Trobeu els punts de tall de la funció ( ) amb l ei OX. b) Comproveu que l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f ( ) i l eid abscisses no depèn del valor del paràmetre a. 6) PAU 9 Sèrie Qüestió : Considereu les corbes y 4 i y 6. a) Trobeu-ne els punts d intersecció. b) Representeu les dues corbes en una mateia gràfica, on es vegi clarament el recinte que limiten entre elles. c) Trobeu l àrea d aquest recinte limitat per les dues corbes. 7) PAU 9 Sèrie Problema : 4 b Sigui la funció f ( ) a + +. a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta + y 4 és tangent a la gràficade la funció f ( ) en el punt d abscissa. Per a la resta d apartats, considereu que a i que b 4. b) Trobeu els intervals de creiement i de decreiement de la funció f ( ). Trobeu iclassifiqueu els etrems relatius que té la funció. f amb l ei OX. c) Calculeu els punts de tall de la funció d) Trobeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f ( ), l ei OX i les rectes i. 8) PAU 9 Sèrie 4 Problema : + La gràfica de la funció f ( ), des de fins a 4, és la següent: i a) Calculeu l equació de les rectes tangents a aquesta funció en els punts d abscissa. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 8

9 b) Dibuieu el recinte limitat per la gràfica de la funció i les dues rectes tangentsque heu calculat. c) Trobeu els vèrtes d aquest recinte. d) Calculeu la superfície del recinte damunt dit. 9) PAU Sèrie Qüestió 5: La gràfica de la funció f () sin() és la següent: a) Trobeu-ne una primitiva. b) Aplicant el resultat de l apartat anterior, calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de la f i l ei d abscisses des de fins a π. funció 4) PAU Sèrie Qüestió 5: Sigui f ( ) 8 + les rectes i.. Trobeu l àrea del recinte limitat per la gràfica d aquesta funció, l ei OX i 4) PAU Sèrie 5 Qüestió 6: y 4 i una recta r que passa per l origen i talla la En la figura es mostra la corba corba en un punt P d abscissa k, amb < k < 4. a) Trobeu l àrea ombrejada, delimitada per la corba i la recta, en funció de k. b) Trobeu per a quin valor de k l àrea de la regió ombrejada és la meitat de l àrea del recinte limitat per la corba i l ei OX. 4) PAU Sèrie Qüestió : Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 9

10 i g ( ) Definim les funcions f ( ) a ( ), en què a >. a a) Comproveu que l àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima. ( + a ) 4 a. 4) PAU Sèrie Qüestió 6: a Sigui ( + ) f a a d per a >. a) Comproveu que f ( a) + a. a b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè la funció f (a) tingui un mínim relatiu. 44) PAU Sèrie 4 Qüestió : Calculeu l àrea del recinte limitat per les corbes d equació f ( ) + i g ( ) 5. 45) PAU Sèrie Qüestió : f 9 és la següent: La gràfica de la funció a) Trobeu el punt de tall, (a, ), de la funció amb la part positiva de l ei OX. b) Calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de f() i l ei OX en el primerquadrant. 46) PAU Sèrie Qüestió : Donada la funció f ( ) i la recta horitzontal y k, amb k >. a)feu un esbós del recinte limitat per les gràfiques de la funció i la recta, i els eios de coordenades. b) Trobeu el valor de k sabent que l àrea d aquest recinte és igual a 4 /. 47) PAU Sèrie 4 Qüestió : La corba y i la recta y k, amb k >, determinen una regió plana. a) Calculeu el valor de l àrea d aquesta regió en funció del paràmetre k. b) Trobeu el valor de k perquè l àrea limitada sigui 6u. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

11 48) PAU Sèrie 5 Qüestió 4:(Incomplet) Per a f, considereu la funció +. b) Calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de f ( ), la recta d equació 5 i l ei OX. 49) PAU Sèrie Qüestió : De la funció polinòmica P ( ) + a + b + sabem que Té un etrem relatiu en el punt d abscissa ; 5 La integral definida en l interval [, ] val. 4 Calculeu el valor dels paràmetres a i b. 5) PAU 4 Sèrie Qüestió 4: Calculeu l àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions y, y 4 i y 9. 5) PAU 4 Sèrie 4 Qüestió 6: Responeu a les qüestions següents: a) La funció f ( ) ( b ) e a, amb a i b constants, té la representació gràfica següent i sabem que passa pels punts A (, ) i B (,) gràfica és horitzontal. Calculeu els valors de a i b. i que en el punt A la recta tangent a la b) Calculeu ln d. 5) PAU 5 Sèrie Qüestió :(Incomplet) b) Calculeu l àrea de la regió plana finita limitada per la corba y i la recta y Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

12 5) PAU 5 Sèrie 4 Qüestió 4: Sigui f la funció f ( ) sin ( ) π, (unitats en radians).. Calculeu la primitiva de la funció f que passa pel punt 54) PAU 6 Sèrie Qüestió 4: f sin. Sigui la funció a) Calculeu l equació de les rectes tangents a la funció f en els punts d abscissa i π, respectivament. Trobeu les coordenades del punt en què es tallen les dues rectes. b) Calculeu l àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció f i les rectes tangents de l apartat anterior (en cas de no haver resolt l apartat anterior, suposeu que les rectes són y i y, respectivament). 55) PAU 6 Sèrie Qüestió 6: Siguin les paràboles f ( ) + k i g ( ) 9k +. a) Calculeu les abscisses, en funció de k, dels punts d intersecció entre les dues paràboles. b) Calculeu el valor del paràmetre k perquè l àrea compresa entre les paràboles sigui de 576 unitats quadrades. 56) PAU 6 Sèrie 5 Qüestió 6: Sabem que una funció f ( ) té per derivada f '( ) ( + ) e i que f ( ). a) Trobeu l equació de la recta tangent a y f ( ) en el punt de la corba d abscissa. b) Calculeu l epressió de f ( ). Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

13 SOLUCIONARI: ) PAU 999 Sèrie Qüestió : Calcula l àrea determinada per les corbes d equacions el dibui següent: y 4 i y representada en Primer hem de trobar en quin punt es tallen les dues corbes ( ) 4 4 ± 4 Per tant les corbes es tallen en, i. Ara hem de calcular l àrea que hi ha entre la corba inferior i la superior. Al dibui es veu clar que la corba superior és la paràbola, és a dir, la corba y i per tant la inferior és l altra. No cal dir que aiò també ho podíem saber agafant punts, avaluant les dues funcions i fent nosaltres la representació gràfica. Donat que SEMPRE és la mateia funció la que va per dalt no cal separar l interval d integració, en subintervals i per tant el nostre problema es resol mitjançant la integral. [ ] ( ) ( ) d ( 4 ) d k k k ,5u 5 5 ) PAU 999 Sèrie Qüestió : Calculeu raonadament l'epressió d'una funció f ( ) tal que f '( ) e i que f ( ). És evident que ens estan demanant una primitiva. Si agafem la funció G ' e e Aií G e i la derivem utilitzant la Regla de la Cadena tenim que e d e d e d e + k f. És a dir: f e + k De totes les primitives ens demanen la que fa que Sigui Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

14 f ( ) e + k e + k + k k + k i per f e + tant la solució del problema és ) PAU 999 Sèrie Problema : 6 Donada la funció f ( ) c) Calculeu l'àrea limitada per la gràfica de la funció, l'ei OX i les rectes verticals. Evidentment hem de calcular f ( ) d. D entrada pot ser que aquesta integral funció f ( ) entre els punts f d i i no correspongui amb l àrea per sota de la. Però se suposa que aquest és l apartat c) d un problema on en els dos apartats primers ja ha quedat descartada aquesta possibilitat. f d d d + 4 d + + Però 4 ( 4) ( 4) d + 6 d 4 k 6 ln ( 4 ) k ' k 4 + k + 6( ln ( + 4 ) + k ' ln ( + 4 ) + k ') ( 6) ( ) 6( ln 6 ln 4) 6 6ln ( 6 ) 6 6ln ( ),49u ) PAU 999 Sèrie 5 Qüestió : f + k i Trobeu el valor del coeficient k de manera que l'àrea limitada per la funció l'ei d'abscisses sigui igual a 6u. En aquest cas ens hem de fer un dibui de la funció perquè la regió que ens demanen dependrà del valor del paràmetre k. Dibuiem la funció, per eemple quan k 4 Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

15 En general, els talls de la funció f ( ) + k amb l ei OX seran: f ( ) + k k ± k Per tant ara sabem que l àrea de la regió limitada per la funció f ( ) + k i l ei OX és f d + k d k k ' k + + k k k ( ) k k ( ) k k ' k k k k k k k k ' k k k k k k k k k + 6k k 4k k + k k + k k Finalment: k 4k k f d 6 6 4k k 8 k k 7 k k 7 k k k 79 k 79 k 79 k 9 5) PAU 999 Sèrie 6 Qüestió : f Sigui. Calculeu l'àrea de la regió que limita la gràfica de f d'abscisses i que està representada en el dibui següent: i l'ei Evidentment el problema es resoldrà calculant una integral. Primer de tot anem a calcular els etrems de l interval d integració. Per fer-ho necessitem saber en quins punts la funció f Però talla l ei OX. És a dir, en quins punts f. f ±. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

16 Per tant el que hem de calcular és: f ( ) d f d d d d d d d d d d [ k] k ' ( + k ) ( + k ) k ' ( ) k ' ) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu l'àrea que té l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les representat en el dibui següent: y + 7 i 6 y Quan ens demanen l àrea compresa entre dues corbes sempre hem de trobar els punts de tall entre les corbes i saber quina va per dalt i quina va per sota. En aquest cas la funció y + 7 és una paràbola invertida i és la que en el gràfic del dibui va per dalt. 6 Calculem ara en quins punts es tallen les dues corbes y + 7 i y per saber els etrems d integració ( + 7) que podem resoldre per Ruffini. (Tot i que es veu clarament que una de les arrels és ) Finalment resolem l equació de n grau que ens dóna com a solucions i. Per tant, el nostre interval d integració serà [, ] i l àrea a calcular serà: (Cal destacar la mala qualitat del dibui que van ficar en aquest eamen de selectiu donat que està totalment deformat) Aquí teniu el dibui de les mateies funcions però una mica millor escalat: Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 6

17 6 6 + d + d + + k ( 7) 7 7 6ln + 7 6ln + k + 7 6ln + k ln 6 + k k ln,577 7) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu per integració la superfície del recinte delimitat per les corbes d'equació y 6 representat en el dibui següent: y i la recta Com sempre, primer hem de calcular on es tallen les dues corbes. y 6 y També cal veure quina és la funció que va per sobre i la que va per sota. Al dibui es veu clar que la recta va per sobre mentre que la paràbola va per sota. Finalment calculem la integral que ens donarà l àrea: ( ) + 6 d + 6 d 6 k + + ( ) ( ) k + 6 ( ) + k k + k u Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 7

18 8) PAU Sèrie Qüestió : El polinomi p ( ) + a + b s'anul la per a i complei Calculeu raonadament a i b. p d 4. El nostre polinomi depèn de dos paràmetres a i b i ens donen dues condicions, per tant, d entrada, si les dues condicions són independents entre si, el problema tindrà solució única. p ( ) + a + b s anul la per a : p + a + b 4 + a + b a + b 4 a p d 4 + a + b d b + k 4 a a b + k + + b + k 4 + a + b a + b 4 a + b a + b a + b Per tant tenim el sistema: a + b 4 F F 6a + b F F 6a + b 6a + b 4 a a + b a + b a b a 4 4 a 4 6 6a + b 6 + b 8 + b b 6 b 4 6 Per tant la solució al problema és a i b 9) PAU Sèrie 5 Qüestió : k d Trobeu el valor de k per tal que k + k k k+ k d ln ( k ) + a ( ln ( k k ) + a ln ( k + k ) a) k k+ ln ( k ) + a ln a ln ( k ) ln ln ( k ) ln ( k ) k Per tant, k + d k ( k ) ln k e e k e ln ) PAU Sèrie Qüestió : π a) Quin és l'angle en radians < < tal que sin ( ) cos( ) Evidentment és l angle de 45º que correspon a 4 π radians.? (Aiò resulta obvi per definició de sinus i cosinus com a Catet oposat/hipotenusa i Catet contigu/hipotenusa. L angle de 45º fa que els dos catets siguin iguals, és a dir, el triangle és isòsceles i per tant el sinus i el cosinus han de ser el matei.) Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 8

19 b) Considereu les funcions f ( ) sin ( ) i g ( ) cos( ). Calculeu la superfície del recinte delimitat superiorment per les gràfiques d'aquestes funcions, inferiorment per l'ei d'abscisses i π lateralment per les rectes verticals i representat en l'esquema següent: Resulta evident que el nostre problema es resol mitjançant una integral des de fins π π. Però aquest interval l haurem de dividir en dos subintervals. I, 4 i π π I 4,. f sin g cos. En cadascun d aquests intervals, de les dues funcions i integrarem la funció que va per sota. Evidentment, donat que sin ( ) i cos ( ) π tindrem que en l interval I, 4 la funció que va per sota és f ( ) sin ( ) π π en l interval I 4,, la funció que va per sota és g ( ) cos ( ), mentre que. Per tant, l àrea del nostre problema correspon a la suma de les dues integrals següents: ( ) d ( ) d ( ) ( ) 4 π π 4 π π sin cos cos sin π π π π π cos + cos + sin sin u ) PAU Sèrie 4 Qüestió 4: Sabeu que la gràfica de la funció f ( ) passa pel punt (, 4) f '( ). a) Determineu l'epressió de f ( ). Com f ( ) passa per (, 4) aleshores, f ' f d f + k i que la seva funció derivada és f 4 + k 4 + k 4 + k 4 k i per tant: f b) Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de f ( ) i l'ei d'abscisses OX. Per calcular l àrea de la regió limitada per la gràfica de f ( ) i l ei OX haurem de calcular els punts de tall entre la funció f ( ) i l ei. Per fer-ho resolem l equació f ( ). Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 9

20 f f d d k + ( ) + k ( ) ( ) + k k + + k Per tant hem de calcular Que el resultat sigui negatiu solament vol dir que la regió que hem integrat està per sota de l ei OX i que té un àrea de u. Per tant, la resposta al problema és u. Aquí tens representada la funció i la regió a integrar: ) PAU Sèrie 5 Qüestió : Teniu una funció f ( ) definida per a (,), sabeu que el gràfic de f ' forma és de la on f '( ), f '( ), f ' i que f ( ). Dibuieu un gràfic aproimat de f ( ) indicant en quins punts hi ha etrems relatius. Podem observar en el gràfic de f '( ) que f '( ) és una funció definida a trossos. En l interval (, ] és una recta de pendent i ordenada a l origen també, mentre que en l interval [, ) f '( ) és una recta de pendent i ordenada a l origen, per tant tenim que: f '( ) si < si < < Ara, integrant en cadascun dels dos intervals tenim que f ( ) + k si < + k ' si < < Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

21 Com la funció f ( ) és derivable en l interval (, ) (perquè eistei la seva derivada), aleshores f ( ) és continua en aquest interval. En particular ha de ser continua en el punt on es troben els dos intervals i per tant lim f ( ) lim f ( ) f ( ) Però: + lim f lim + k + k + + k k lim f lim + k ' + k ' k ' + + lim f lim f f k k ' i per tant: + f ( ) + si < + si < < En el següent gràfic està representada la funció f ( ) en blau i la seva derivada f ' vermell. en ) PAU Sèrie 5 Qüestió 4: f e Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció d'abscisses i la recta vertical. Evidentment l àrea que ens demanen es resol mitjançant la integral: f d e d f e s ha d integrar per parts. Però la funció Repetirem la demostració de la fórmula de integració per parts: d u v udv + vdu, prenent integrals: d u v udv + vdu u v udv + vdu udv u v vdu En el nostre cas: Agafant u i dv e tenim que: u du d i dv e d v e d e per a Finalment, substituint en la fórmula de la integració per parts tenim: udv u v vdu e d e e d e d e e e Una vegada calcula la integral indefinida, calcular la definida resulta trivial: e e e e e +, l'ei Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

22 4) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu el valor positiu de a que fa que l'àrea compresa entre la recta d'equació la paràbola y a valgui 8. y a + a i Sempre que ens demanin un àrea d un recinte d integració el primer que hem de fer és un dibui del recinte. En la gràfica de la dreta s han representat les gràfiques per al valor a. Evidentment haurem de calcular els punts on les dues corbes es tallen: a a a a a a a + ( a) Per tal de plantejar la integral que correspon a l àrea també hem de saber quina és la funció que va per sobre i quina per sota, en el nostre cas, es veu clarament que la recta per sobre i la paràbola per sota. Aií: (( ) ) ( ) Àrea a + a a d a + a + a d a + + d a + + d a + + ( ) ( ) 8 a ( ) a a a a 9a 8 Àrea 8 8 a a 4 9 5) PAU Sèrie Qüestió : Calculeu l'àrea compresa entre les gràfiques de les corbes representada en l'esquema següent: y e i y e i la recta y 5 Com sempre, el primer que hem de fer es representar el recinte d integració perquè el dibui que donen a la sele tot i que ajuda deia molt que desitjar. Aquí tens el dibui de l eamen de selectivitat i un altra representació realitzada amb el Geogebra. Per plantejar la integral o integrals que corresponen al recinte d integració hem saber on es tallen les diferents corbes. de Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

23 Aií: f e Tall entre y : i la recta 5 ln 5 f ( ) y e 5 ln ( e ) ln 5 ln e ln 5 ln 5 g e i la recta y 5: Tall entre ln 5 y 5 g ( ) y e 5 ln ( e ) ln 5 ln e ln 5 ln 5 ln 5 Per tant, hem de separar el recinte d integració en dos parts, l interval, on tindrem la funció y 5 que anirà per sobre i la funció g( ) e ln 5 que anirà per sota i l interval, f ( ) e va per sota. on la funció y 5 anirà per sobre i la funció També val a dir que per simetria aquestes dues integrals han de valer el matei, per tant també podem calcular una de les dues i multiplicar el resultat per. ln 5 ln 5 ln 5 A ( 5 e ) d 5 e e 5 e ln 5 5ln 5 5ln 5 5 5ln 5 5ln ln 5 e 5, Per tant, l àrea total serà A A, 4,4 NOTA: També haguéssim pogut calcular l altra integral, seria aquesta: ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 A 5 e d 5 e 5 e e 5ln 5 ln 5 5ln 5 5ln 5 e 5 +, 6) PAU Sèrie Qüestió : f Calculeu la primitiva de la funció que s'anul la en el punt d'abscissa. ( ) f d d d d F (*) Sigui un candidat a primitiva, aleshores: F '( ) ( ) ( ) ( ) Per tant, el que necessitem és introduir un dintre de la integral, és a dir, ( ) (*) ( ) d ( ) d + + C + C Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

24 Com ens demanen la primitiva que s anul la en hem d imposar la condició ( ) F + C + C + C + C C i per tant la primitiva que ens estan demanant és: F ( ) 7) PAU Sèrie Qüestió : e ln ( ) Calculeu d. 4ln 4 Sigui F ( ) ln ( ) un candidat a primitiva, aleshores F '( ) 4ln ( ) Per tant, solament ens cal introduir un dintre de la nostra integral original. Aií: e e e ln ( ) 4ln ( ) 4ln ( ) 4 e 4 4 d d d ln ( ) ( ln e ln ) (( ln e) 4 ( ln) 4 ) ( 4 4 ) ( ) ( ) 8) PAU Sèrie Qüestió : Donada ( f + e + ), determineu la funció g ( ) tal que g '( ) f ( ) una primitiva de f ( )) i que el seu gràfic passa pel punt (, ). Una funció g ( ) tal que g '( ) f ( ) ( ) és una primitiva de f. Per tant: + + g f d + e d e + C Si aquesta primitiva ha de passar pel punt, tenim: + + (és a dir, g e + C e + C + C C g e + 9) PAU Sèrie 5 Qüestió : Considerem la regió S del pla limitada per la paràbola en l'esquema següent: y i la recta y representada Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

25 Siguin A i B els punts d'intersecció de la recta i la paràbola, i T el triangle que té per vèrtes A, B i l'origen de coordenades (, ). Calculeu l'àrea de la regió que resulta quan es treu el triangle T a la regió S. Es pot fer un dibui més acurat del recinte d integració dibuiant també el triangle, seria aií: L àrea que se ns demana és la pintada de color marró. Aquesta àrea es pot calcular de moltes maneres però potser la més intel ligent sigui calcular el recinte entre la recta y i la paràbola i desprès restar-li l àrea del triangle com base altura. Primer de tot necessitem els punts de tall entre la recta i la paràbola. Aií: ± Àrea entre la paràbola i la recta: ( ) d Àrea triangle: base altura AT Àrea recinte: 4 ) PAU 4 Sèrie Problema : Considereu la funció f ( ) + m +, m. a) Calculeu el valor de m per tal que l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció, l ei OX i les rectes i sigui de unitats quadrades. NOTA: La funció f serà sempre positiva en aquest interval, donat que en l interval [, ] la variable és sempre positiva i per tant, donat que m tindrem que tots els termes de f + m +, m seran positius. Aií, una vegada descartats canvis de signe podem assegurar que l àrea demanada coincidirà amb f d f ( ) d ( + m + ) d + m + + m + ( ) 4 + m m 4 4 Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

26 8 8 4 Àrea 6 + m m 4 m m 8 b) Per a m, indiqueu el punt o els punts on la recta tangent a la gràfica de la funció forma un angle de 45 amb el semiei positiu de OX. m f + m + f + + La recta que fa 45º amb el semiei positiu de OX és la diagonal del primer quadrant és a dir, al recta y que té pendent. Per tant, m estan preguntant en quins punts la derivada val. f + + f ' + f '( ) + + Per tant els punts de la funció f on la recta tangent formarà un angle de 45º amb el semiei positiu de OX seran: (, f ( ) ) i (, f ), és a dir, (,) i (, 7 ) ) PAU 4 Sèrie Qüestió : f cos cos : Donada la funció a) trobeu la seva integral indefinida; sin + cos. Indicació: recordeu que ( indicació ) cos cos cos cos cos sin ( ) f d cos cos d cos sin d sin cos d d C sin cos sin + b)quina és la primitiva de F sin C π f que passa pel punt,? π, sin C + π π + passa pel punt F + + C C C F sin F sin ) PAU 4 Sèrie 4 Qüestió : Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 6

27 Calculeu l àrea del recinte tancat que delimiten la gràfica de la funció y. En qualsevol problema d àrees el primer que hem de fer és dibuiar el recinte. Per poder plantejar la integral caldrà trobar els punts de tall entre les dues gràfiques. Aií: ( ) Finalment plantegem la integral: i la recta y Àrea d d d d d d 8 ) PAU 4 Sèrie 4 Qüestió 4: Considereu la funció f ( ) de la figura definida a l interval [, ]. a) Calculeu la funció derivada f '( ) a l interval (, ) La funció derivada, si eistei coincidei amb la pendent de la recta tangent de la funció. Quan la funció és una recta (polinomi de grau ) la seva derivada és una constant (polinomi de grau ) que coincidei amb la pendent de la recta. En el nostre cas, en l interval (, ) la funció f té una pendent de: y f f Pendent, la funció f té un pendent de: Mentre que en l interval y f f,5,5 Pendent,5 Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 7

28 Per tant, f ( ) si, ' si (,) Noteu que en el punt la funció f no és derivable!! b) Hi ha algun punt de (, ) en el qual f ' no eistei f ' En no eisteii? perquè la funció f no és derivable donat que no coincideien les derivades laterals per l esquerra i per la dreta. La derivada per l esquerra de seria mentre que per la dreta seria. NOTA: També es podria dir que f no és derivable en el punt argumentant que en aquest punt la gràfica de f no és suau, és a dir, té un pic. c) Calculeu f ( ) d. Per calcular aquesta integral es podria raonar que aquesta integral correspon a l àrea entre la funció f, les rectes, i l ei OX i que per tant es pot calcular com a suma de l àrea de dos triangles i un rectangle o també calculant l epressió analítica de f i integrant-la. Raonant per figures geomètriques tindríem que l àrea és: 7 A AT + A T + A R Raonant calculant la funció f el raonament podria ser el següent: si, + C si, (,) f ( ) f '( ) f ( ) si (,) + C si (,) si, si, f ( ) f ( ) + + si (,) si (,) Finalment integrem la funció: + f ( ) d f ( ) d + f ( ) d d + d ) PAU 4 Sèrie 5 Qüestió : Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 8

29 Calculeu el valor de la integral següent: d + Podem calcular la primitiva de la funció dividint-la en dos parts d d + d d + d d + d C d ) PAU 5 Sèrie Problema : Considereu la funció f ( ) 4. a) Calculeu l equació de les rectes tangents a la gràfica de f en els punts d abscisses i 4. Sabem que l equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f ( ) en el punt a és: y f ( a) f '( a)( a) En el nostre cas: f ' f ( ) 4 f '( ) 4 f ' la recta tangent és: Per tant en el punt y f f ' y 4 y 4 I en el punt 4 la recta tangent és: y f 4 f ' 4 4 y 4 4 y b) Feu un gràfic dels elements del problema. En el gràfic de la dreta estan representats els diferents elements del problema. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 9

30 c) Calculeu l àrea compresa entre la gràfica de f i les rectes tangents que heu trobat a l apartat a). Per poder plantejar la integral o les integrals que donen l àrea primer hem de calcular els punts de tall. En el nostre cas no ens cal calcular els talls entre les rectes i la paràbola perquè per construcció la recta y 4 ambdues serà el punt ( ) f es produirà en el punt ( 4, ( 4) ) és tangent a la paràbola en el punt i per tant el tall entre, f. Anàlogament el tall entre la recta y i la paràbola f. Per tant, el únic punt de tall que ens caldrà calcular és el tall entre les dues rectes que segons el dibui ja es veu clar que serà en l abscissa Per tant, l àrea serà: 4 ( 4 ) ( 4 6 ) A f d + + f d 4 ( 4 ( 4 )) 4 6 ( 4 ) d + + d ( 4) 4 4 d + ( 8 + 6) d d + ( 4) d + ( ) ) PAU 5 Sèrie Problema : Considereu la funció f ( ) + + b si < ae b si on a i b són nombres reals. a) Quina condició han de complir a i b per tal que f sigui contínua a tot R? f és una funció definida a trossos, on el primer tros és un polinomi que és una funció continua en tot R i el segon tros és una funció eponencial que també és continua en tot R. Per tant, l únic problema de continuïtat el podem tenir en el punt que és on s uneien els dos trossos de la funció. La funció f serà continua en el punt si els límits laterals coincideien i aquest valor lim f lim + + b + + b b Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

31 b b lim f lim ae ae ae a a + + b f ae ae a a Per tant, f continua en tot Rsii a b b)trobeu els valors de a i b per als quals f sigui contínua però no derivable a tot R. + + b si < + si < + si < f ( ) f '( ) f '( ) b b b ae si ae b si abe si La funció f serà derivable en els dos trossos, a l igual que abans, el que hem de mirar és el punt on s uneien aquests trossos. + si < + si < si < f '( ) f '( ) b b abe si abe si ab si Per a que no sigui derivable s ha de complir que a b. Per tant hem de resoldre el sistema: a b a a a a a ± a b Per tant per a que la funció sigui continua en tot R però no derivable en tot Rs ha de complir que a b ± c) Per a a i b, calculeu f d. + + b si < si a + + < f ( ) f b ( ) b ae si e si Com en l interval [,] la funció està definida en dos trossos, hem de dividir la integral en dos: f d f d f d d e d e e e e e e ) PAU 5 Sèrie 4 Qüestió : Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

32 5 4 : f d. Donada la funció: a) Calculeu la integral f f d d d d (*) ( 5 4) F 5 4 un candidat a primitiva, aleshores: Sigui F '( ) ( 5 4) 5 ( 5 4), per tant, necessitem ficar un 5 dintre de la integral. f d d d d (*) ( 5 4) 5 4 (*) 5( 5 4) d 5( 5 4) d ( 5 4) C C b) Trobeu la primitiva F de f que compleii F F + C + C C F ) PAU 6 Sèrie Qüestió : y f Considereu la funció definida per a [, 5] adjunta. que aparei dibuiada a la figura a) Quina és l epressió de la seva funció derivada quan eistei? La derivada en un punt coincidei amb la pendent de la recta tangent en aquest punt. Si la funció és una recta, aleshores la recta tangent en un punt és precisament la funció. Per tant en l interval [, ]: y f f ( ) f '( ) Pendent recta tan gent En l interval [,4 ]: Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

33 f y f 4 f '( ) 4 4 4,5 : En l interval [ ] y f f f ( ) 5 4 ' Aií: si, f ' si,4 si 4,5 Noteu que en i en 4 la funció no és derivable. b) Calculeu f ( ) d. Com la funció f és estrictament positiva en l interval [, ], és a dir, no canvia de signe en aquest interval, la integral anterior coincidei amb l àrea del recinte format per la funció, l ei OX i les rectes i que podem calcular directament sumant els quadrets, dóna 4. També podríem calcular aquesta àrea trobant l epressió analítica de la funció i desprès integrant-la, en aquest cas el raonament seria: si, + C si, (,) f f f '( ) si,4 f ( ) C si, 4 ( 4,) f f si 4,5 + C si 4,5 [,) [ ) [ ] + C C si C C f ( ) si,4 4 + C C + si 4,5 f ( ) d f ( ) d f ( ) d d d [ ] ) PAU 6 Sèrie 4 Qüestió : El gràfic de la funció f ( ) +, quan >, és com seguei: Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya

34 a) Trobeu una primitiva de la funció f. f d d d d ln ( + ) + C b) Calculeu l àrea de la regió ombrejada f ( ) d d ln ( + ) ln9 ln5 ( ln9 ln5) ln ln 5 ln 9 5 ) PAU 6 Sèrie 4 Problema : Considereu la paràbola d equació y +. i a) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la paràbola en els punts d abscissa. Donada una corba f ( ) sabem que l equació de la recta tangent en el punt a és y f ( a) f '( a)( a) En el nostre cas: f ' + + f ( ) + f '( ) + f ' Recta tangent en : ( ) y f f ' y 4 + y + 4 y 4 Recta tangent en : y f f ' y 4 y 4 4 b) Calculant el mínim de la funció y + trobeu el vèrte de la paràbola. Per calcular el mínim hem de fer la derivada: Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

35 y + y ' + y ' + Interval (, ) (, + ) Signe de f '( ) + Monotonia de f ( ) m Per tant, en el punt la funció passa de decreient a creient i per tant té un mínim relatiu., f ( ), 4 c) Trobeu les interseccions de la paràbola amb els eios i feu una representació gràfica de la paràbola i de les tangents obtingudes al primer apartat. Talls amb l ei OX: y + Tall amb l ei OY: (,) (, ) y +, d) Calculeu l àrea compresa entre la paràbola i les rectes tangents. Podem observar que és impossible calcular tot el recinte d integració mitjançant una sola integral. Hem de calcular el punt d intersecció de les dues rectes i integrar els dos recintes. Punt d intersecció de les dues rectes: A A + A on: A ( + ( 4) ) d ( + + ) d + + ( ) + ( ( ) ( 4 4) ) ( ) A + d + d + + ( ) Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

36 A A + A + ) PAU 7 Sèrie Qüestió : Busqueu els etrems relatius i els punts de tall amb els eios, i feu una representació aproimada de la corba d equació per aquesta corba i l ei d abscisses. Etrems relatius: 4 y y' 4 y 4. A continuació, calculeu l àrea del recinte tancat y ' 4 ( ) ± Interval (, ) (, ), (,+ ) Signe de f '( ) + + Monotonia de f ( ) m M m Finalment calculem les dues coordenades d aquests etrems relatius: ( ) ( ) ( ) 4 y A, y B, 4 y C, Punts de tall amb els eios: Talls amb l ei OX: ( ) y Tall amb l ei OY: 4 y, El recinte a integrar, acolorit de color marró coincidirà amb la integral de la funció entre i canviada de signe perquè la funció durant tot aquest interval va per sota de l ei d abscisses. Per tant: 5 4 A f ( ) d ( ) d 5 ± Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 6

37 ) PAU 7 Sèrie Qüestió 4: F ' d una funció contínua F : La funció derivada funció a trossos formada per les semirectes del dibui. R R que passa per l origen és una Escriviu l epressió de la funció F ( ) com una funció a trossos. Donat que la funció F '( ) és una funció definida en dos trossos (,) i [ ) primitiva F ( ) també serà una funció definida en aquests dos trossos. En l interval (,) la funció F '( ) és la recta de pendent i ordenada en l origen. En l interval [, + ) la funció F '( ) és constant igual a. Aií: si (,) F '( ) si [, + ) I per tant: + C si, F ( ) + C si, + [ ) Donat que la funció passa per l origen tenim: F + C C.,+ la seva Com també ens diuen que la funció és continua en tot Raleshores ha de ser continua en el punt que és on s empalmen els dos trossos que la defineien. Aií: + C + C C I per tant: F si si, + (,) [ ) Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 7

38 ) PAU 7 Sèrie Problema : Donades les funcions f ( ) a 4 i g ( ) + b: a) Calculeu a i b de manera que les gràfiques de f ( ) i de d abscissa, és a dir, que tinguin la mateia recta tangent en aquest punt. Dues funcions f i g són tangents en un punt funcions i les seves derivades, és a dir, si f ( a) g ( a) g siguin tangents en el punt a si en aquest punt coincideien les i f '( a) g '( a). En el nostre cas: f g a 4 + b a 4 + b a + b 9 4 a + b 6a + b f a 4 f ' a g ( ) + b g '( ) f ' g ' a 6 a 6 a a 6a + b 8 + b b 7 b a a a a 7 b) Trobeu l equació de la recta tangent esmentada en l apartat anterior. Com la recta tangent a les dues funcions és la mateia calcularem la recta tangent a la funció f. Sabem que la recta tangent a la gràfica d una funció f en el punt ' y f a f a a. En el nostre cas, y f ( ) f '( ) f 4 a f ( ) 4 f '( ) f ' y 4 y y a és Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 8

39 c) Pel valor de a obtingut en el primer apartat, calculeu el valor de l àrea de la regió limitada per l ei d abscisses OX i la funció f ( ). Abans de calcular l àrea ens hem de dibuiar el recinte d integració. Talls de la funció amb l ei OX: y f ( ) 4 4 Com el recinte a integrar queda per sota de l ei OX la integral ens donarà negativa i per tant l àrea coincidirà amb el valor absolut de la integral. 4 4 f ( ) d ( 4) d ( ) ( ) ( ) Per tant: Àrea f ( ) d ) PAU 8 Sèrie Qüestió : Se sap que certa funció derivable F ( ) verifica les condicions següents: a) Trobeu F ( ). F ' ( ) i 4 F Per trobar F ( ) hem de trobar una primitiva de F '( ) F F ' d d d d C C F + C + C C C F ( ) + b) Calculeu l àrea compresa entre F ( ) i l ei OX des de fins a. Si no dibuiem prèviament la funció no podem assegurar que l àrea que ens demanen coincideii amb F d Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 9

40 perquè podria passar que la funció F ( ) canviés de signe en aquest interval. Però al funció F que: és positiva en aquest interval i no canvia de signe. Aií podem assegurar Àrea F d d d ) PAU 9 Sèrie 4 Qüestió : Considereu la funció f ( ) ( ) a, amb a >. a f a) Trobeu els punts de tall de la funció amb l ei OX. Talls amb l ei OX: ( ) a y f ( ) a a a a Per tant, els punts de tall amb l ei OX són (,) i ( a,) b) Comproveu que l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f ( ) i l ei d abscisses no depèn del valor del paràmetre a. La funció f ( ) és una paràbola cap a bai donat que el producte ( a ) de segon grau amb el coeficient corresponent a negatiu. és un polinomi a a a a a a Àrea f ( ) d d ( a ) d ( a) d a a a + + a a a a a a a a a a a a a a 6 6a 6 NOTA: Podem observar com el resultat és sempre /6 que no depèn de a. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

41 6) PAU 9 Sèrie Qüestió : Considereu les corbes y 4 i a) Trobeu-ne els punts d intersecció. y Si volem calcular les dues coordenades dels punts podem triar qualsevol de les funcions. Aií:, 5 B, A ( ) i b) Representeu les dues corbes en una mateia gràfica, on es vegi clarament el recinte que limiten entre elles. c) Trobeu l àrea d aquest recinte limitat per les dues corbes. ( 4 6 ) ( 4 6) ( ) Àrea f g d d + d d ( ) ( ) + 6 ( ) 64 ( ) Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

42 7) PAU 9 Sèrie Problema : 4 b Sigui la funció f ( ) a + +. a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta + y 4 és tangent a la gràfica de la f en el punt d abscissa. funció 4 + y 4 y 4 y + Per a que una funció f i una recta r siguin tangents en el punt, en aquest punt han de coincidir els seus valors i les seves derivades, és a dir, f r i f '( ) r '. 4 b 4 f ( ) a + + a b f '( ) 4 b f '( ) 4 r ( ) + r '( ) b 4 b 4 4 b 4 b 4 4 f r a a a b b 4 a + + a + a + b b 4 b b 8 f '( ) r ' b 8 b 8 b 6 b 9a + b 9a + 9a 9 a Per tant, a i b Per a la resta d apartats, considereu que a i que b 4. b) Trobeu els intervals de creiement i de decreiement de la funció f ( ). Trobeu i classifiqueu els etrems relatius que té la funció. A partir d aquest apartat ens fan treballar amb la funció f on a i b f ( ) + + Per estudiar els etrems d aquesta funció cal derivar-la i igualar-la a zero., per tant: f ( ) f '( ) 4 8 f '( ) f '( ) Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

43 4 4 ( + ) + Recordem que en la taula següent fiquem els punts on s anul la la derivada i també els punts on la funció és discontinua. f és discontinua en zero. ( ) Interval (, ) (,) (,+ ) Signe de f '( ) + Monotonia de f ( ) m Per tant la funció té un mínim relatiu en el punt f (, ) (, 4) f és estrictament decreient en (, ) (, + ) i estrictament creient en (,) c) Calculeu els punts de tall de la funció f ( ) amb l ei OX. Talls amb l ei OX: 4 4 y f ( ) Per tant els punts de tall amb l ei OX són, i (, ). d) Trobeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f ( ), l ei OX i les rectes i. En el gràfic s ha representat la funció f ( ) i les rectes i. El primer que hem d observar és que la funció f canvia de signe en l interval (, ) per tant, l àrea del recinte no es correspondrà amb el resultat d una única integral sinó la suma de dos. Aií: f ( ) d + + d d d d ln + C Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 4

44 4 A f ( ) d + 4ln ( 6 + 4ln ) ( + 4ln 4) 8 + 4ln ln, A f ( ) d + 4ln 9+ 4ln ( 6+ 4ln ),7,7 Per tant, A A + A,77 +,7, 48 8) PAU 9 Sèrie 4 Problema : + La gràfica de la funció f ( ), des de fins a 4, és la següent: i a) Calculeu l equació de les rectes tangents a aquesta funció en els punts d abscissa. L equació de la recta tangent a la gràfica d una funció f ( ) en el punt a és y f ( a) f '( a)( a) En el nostre cas f ( ) f '( ) f + ( ) f f ' f ' Rectes tangents: y f f ' y 4 y + 7 y f ( ) f '( ) y ( ) y + y + b) Dibuieu el recinte limitat per la gràfica de la funció i les dues rectes tangents que heu calculat. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 44

45 c) Trobeu els vèrtes d aquest recinte. Els vèrtes del recinte seran els punts on les rectes són tangents a la corba, és a dir A (, f ) B 4, f 4 i el punt Con es tallen les dues rectes. Aií: i ( ) (, ( )) (, ) (,4 ) i ( + B (, f ), ) (,) A f + Calculem el punt on es tallen les dues rectes: y C, Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 45

46 d) Calculeu la superfície del recinte damunt dit. L àrea del recinte no es pot calcular mitjançant una sola integral perquè des de fins a el recinte està limitat per les funcions f i y + 7 mentre que entre i el recinte està limitat per les funcions f ( ) i y +. Per tant: + A ( + 7) d + ( + 7) d d + d + d 7d ln C ln C + ( + ) + A 7 d ln 6,94 A + + d + + d d + d + d d ln C 6 ln + + C 6 + A + d ln ln 6 ln, 44 A A + A,94 +, 44, 958 Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 46

47 9) PAU Sèrie Qüestió 5: f sin és la següent: La gràfica de la funció a) Trobeu-ne una primitiva. Aquesta integral es fa per parts. Recordem el procediment per treure la fórmula de les integrals per parts: d u v u dv + v du u dv d u v v du u dv u v v du Sigui u i dv sin ( ) d du d i v sin d cos, aleshores: ( ) cos( ) + sin( ) + C sin d cos cos d cos + cos d b) Aplicant el resultat de l apartat anterior, calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de la f i l ei d abscisses des de fins a π. funció Segons el dibui, la funció no canvia de signe en l interval (,π ) i és positiva en aquest interval, per tant, l àrea del recinte coincidirà amb la integral, aií: π ( π π π ) Àrea sin d sin cos sin cos sin cos ( ) ( ) ( ) ( ) π + π π π 4) PAU Sèrie Qüestió 5: Sigui f ( ) i les rectes 8 + i.. Trobeu l àrea del recinte limitat per la gràfica d aquesta funció, l ei OX Abans de plantejar l àrea mitjançant una integral ens hem d assegurar que la funció no canvia de signe en l interval que estem estudiant. En el nostre cas l interval és [, ] i òbviament el numerador és sempre positiu en aquest interval i no canvia de signe. Per altra banda, el Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 47

48 denominador tampoc dóna problemes en aquest interval dons l únic punt on s anul la no pertany a [,] perquè + [, ]. Aií, podem assegurar que l àrea del recinte coincidei amb f Procedim ara a calcular la integral: d. Aquesta és una funció racional on el numerador té major grau que el denominador. En aquest cas s ha de fer la divisió dels polinomis ( ) f ( ) d d 4 + d + ln ( + ) + C + + f d + ln ln 5 + ln 4 + ln 5 4) PAU Sèrie 5 Qüestió 6: y 4 i una recta r que passa per l origen i talla la En la figura es mostra la corba corba en un punt P d abscissa k, amb < k < 4. a) Trobeu l àrea ombrejada, delimitada per la corba i la recta, en funció de k. Podem plantejar l àrea del recinte de dues formes diferents: MÈTODE : Plantegem l àrea entre la paràbola, l ei OX i les rectes k, i P. l àrea del triangle de vèrtes (, ), Com el punt P pertany a la gràfica de la corba y ( 4 ) serà P ( k, y ( k )) ( k, k ( 4 k )). i k i li restem i té ordenada k, el punt P Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 48

49 Per tant el triangle de vèrtes (, ), ( k,) i P tindrà base igual a k i altura igual a k k ( 4 k ) k ( 4 k ) k ( 4 k ), és a dir, Àrea L àrea entre la paràbola, l ei OX i les rectes i kserà k k k k k y d 4 d 4 d k k k ( 4 k ) Àrea recinte Àrea funció - Àrea triangle k k k k k k k k MÈTODE : Calculem l equació de la recta que passa per l origen i per P i calculem l àrea del recinte com l àrea que hi ha entre la paràbola i la recta. Sigui r la recta que busquem. Sabem que r passa per l origen de coordenades és a dir, per O (,) P ( k, y ( k )) de la corba, aquest punt és P ( k, k ( 4 k )) i per un punt Per tant la recta r té ordenada en l origen igual a zero (perquè passa per l origen de coordenades) i té com a pendent: ( ) ( ) k y y k y k 4 k k 4 k 4 k Pendent 4 k k k k Per tant r és la recta de pendent 4 k i ordenada en l origen, és a dir, r : y ( 4 k ) Finalment: k k k ( ( 4 ) ( 4 ) ) ( 4 4 ) ( ) Àrea k d + k d + k d k k k k k k k k b) Trobeu per a quin valor de k l àrea de la regió ombrejada és la meitat de l àrea del recinte limitat per la corba i l ei OX. L àrea del recinte limitat per la corba i l ei OX és: y d 4 d 4 d 4 Si l àrea ombrejada ha de ser la meitat que l àrea anterior tenim que: k k k k k Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 49

50 4) PAU Sèrie Qüestió : i g ( ) Definim les funcions f ( ) a ( ), en què a >. a a) Comproveu que l àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és ( + a ) 4 a. El primer que hem de fer és un dibui de la situació. Per fer-lo és indispensable calcular els punts de tall entre les dues gràfiques. f ( ) g ( ) a( ) a ( ) a ( ) ( ) a a + a + a + ± Àrea ( f ( ) g ( ) ) d a( ) d a a + d a a a a a a a + a + a + + a a a a a a a a 6 6 a a a + a + + a + a + a a a a a a a ( a + ) 4a a a b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima. Ens demanen minimitzar la funció f ( a) 4a + 4. a 4a + 4 8a a ( 4a + 4) 4a a a f ( a) f '( a) a a 9a 9a ( a ) 4a 4 4 a a ( a ) 4 f ( a) a a a a a ' ± Per tant, els candidats a màims o mínims són a i a. Com l enunciat diu que a > hem de descartar el valor a. Per saber que en el punt a de veritat s assolei un mínim es podria fer un estudi del signe de la derivada per intervals. (Solament caldria ficar per a > perquè aií ens ho indica l enunciat) o també estudiant el signe de la segona derivada en aquest punt. Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

51 ( a ) 4a 4 8a a 4a 4 6a 4a 4a + 4a 4a 8 f '( a) f ''( a) a 9a 9a a f '' > és un mínim. 4) PAU Sèrie Qüestió 6: a Sigui ( + ) f a a d per a >. f a + a. a a) Comproveu que a + d a + + C a a a f ( a) ( a + ) d a + a + a + a a b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè la funció f ( a) tingui un mínim relatiu. Per a que la funció tingui un mínim relatiu la derivada ha de valer zero. a 9a 9a f a a + f ' a + + a 9a 9a a f '( a) a a a 4 4 a a ± Com l enunciat diu a > ens quedem únicament amb el valor a Caldria demostrar que efectivament a és un mínim. 4 a 4a 4a 4 4 f '( a) f '' 4 ( a) f '' 8 5 > és 4 5 a a a a un mínim. 44) PAU Sèrie 4 Qüestió : Calculeu l àrea del recinte limitat per les corbes d equació f ( ) + i g ( ) 5. Per poder dibuiar el recinte d integració ens va bé calcular primer els punts de tall entre les dues gràfiques. Aií: Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

52 5 f g + + Podem comprovar que en tot l interval [,] tenim que g ( ) f ( ) ( ) > per tant: ( 5 ) ( 5 ) Àrea g f d + d + d ( + ) d + + ( 9 9 9) 45) PAU Sèrie Qüestió : f 9 és la següent: La gràfica de la funció a) Trobeu el punt de tall, (a, ), de la funció amb la part positiva de l ei OX. Talls amb l ei OX: y f ( ) 9 ± Com en l enunciat ens demanen el tall amb la part positiva de l ei OX descartem els valors i i ens quedem únicament amb el valor. Per tant, el punt de tall és (, ) Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

53 b) Calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de f ( ) i l ei OX en el primer quadrant. Com la funció és positiva en l interval [, ] l àrea coincidirà amb f f d 9 d 9 d (*) F Sigui d. 9 un candidat a primitiva. Aleshores tindríem que: F ' 9 9 integral. (*) per tant, hem de ficar un 9 9 ( 9 ) d d + C ( 9 ) + C dintre de la Àrea f ( ) d ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ) PAU Sèrie Qüestió : Donada la funció f ( ) i la recta horitzontal y k, amb k >. a)feu un esbós del recinte limitat per les gràfiques de la funció i la recta, i els eios de coordenades. b) Trobeu el valor de k sabent que l àrea d aquest recinte és igual a 4 /. Podem observar que per calcular l àrea del recinte tancat pels eios de coordenades, la recta y k f hem de separar el recinte en dos àrees. De fins a la regió i la funció és un rectangle de base i altura k mentre que de fins l abscissa del punt P la regió Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 5

54 serà la integral de la recta y k(que va per sobre) menys la funció f ( ) que va per sota. Càlcul del punt P tall entre la recta y k i la funció f ( ) : y f k k k + Aií: k + k + k + k d k d k d k + k + k + k + kd ( ) d [ k] ( ) k + k ( k + ) k ( ) k k k ( k ) ( ) k k + k k + k k k k k k k + k A A + A k + 4 k + k 4 A k + k 4 k + k Per tant, l àrea total serà: Finalment: L equació k no té solucions reals, per tant, l única solució al problema és NOTA: També podem calcular l àrea del recinte com l àrea d un rectangle de base k + i altura k al que se li treu l àrea per sota de la gràfica de la funció f ( ). En aquest cas: A k + k k + k Àrea rectangle: k + k + ( ) k + k 6 k k k + k Finalment calculem l àrea del recinte: A A A ( k + k ) k + k Àrea per sota de la funció: A d ( ) Igualant aquesta epressió a 4 obtenim evidentment el valor k Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 54

55 47) PAU Sèrie 4 Qüestió : La corba y i la recta y k, amb k >, determinen una regió plana. a)calculeu el valor de l àrea d aquesta regió en funció del paràmetre k. b)trobeu el valor de k perquè l àrea limitada sigui 6u. Al gràfic de la dreta tenim representades les dues funcions i la regió que determinen: Per poder plantejar la integral hem de calcular els punts de tall entre les dues corbes y i y k. k ± k. Finalment plantegem la integral: k ( k ) ( k ) k A k d k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k A 6 k k 6 k k k k k k k k Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 55

56 48) PAU Sèrie 5 Qüestió 4: (Incomplet) Per a, considereu la funció f ( ) +. b) Calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de f ( ), la recta d equació 5 i l ei OX. Àrea del recinte limitat per f ( ), la recta 5 i l ei OX: 5 5 A f ( ) d d ( ) 5 ( ) ( 5 ) ( ) ) PAU Sèrie Qüestió : De la funció polinòmica P ( ) + a + b + sabem que Té un etrem relatiu en el punt d abscissa ; 5 La integral definida en l interval [, ] val. 4 Calculeu el valor dels paràmetres a i b. Si la funció té un etrem relatiu en el punt d abscissa aleshores en aquest punt s anul larà la seva derivada. Per tant: P + a + b + P ' + a + b ( ) P ' + a + b 7 6a + b 6a + b 7 Si la integral definida en l interval [, ] val 5 4 tindrem que: 5 5 a b 5 P d + a + b + d a b a b 5 a b a b a b a b a b a + b a + b 6 6 Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 56

57 Per tant tenim el sistema 6a + b 7 que té com a solucions a i b 9. a + b 5) PAU 4 Sèrie Qüestió 4: Calculeu l àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions y, y 4 i y 9. Calculem el punt de tall entre la gràfica recta y 9. Tenim: y 4 i la 4 9 ± > Calculem també el punt de tall entre la paràbola y y : i la recta 9 > 9 9 ± Per tant, per poder calcular l àrea de la regió hem de dividir-la en dos intervals,, i, i plantejar les següents integrals: A ( 4 ) d + ( 9 ) d d + ( 9 ) d ( 7 9) unitats quadrades. 8 8 Eercicis sobre integrals de les PAU Catalunya 57