( b) ( a) Matemàtiques - Activitats d estiu 4t ESO + = NOMBRES REALS. 1. Calcula, extraient factors fora dels radicals:

Transcripción

1 NOMBRES REALS 1. Calcula, extraient factors fora dels radicals: a) = b) = c) = d) =. Racionalitza els denominadors dels quocients següents: a) 5 c) 6 b) 7 7 d) Calcula, aplicant fórmules notables: ( a) ) ( b) 3 ) EQUACIONS I SISTEMES D EQUACIONS 4. Resol les equacions següents: a. x + 4 (8 x) = 0 b. x + 3 (x 3) = -(x 3) c. 4(x 4) + 4x 4(4 x) = 4(4x 4) + 4(4 x) d. (4 + 3x) + 6 = 3(x + ) e. x 3 x = (x 1) 6 x f. = g. h. x 1 1 = x x 3 1 x (x 1) = 6 1

2 5. Resol les equacions biquadrades propostes a continuació: 4 a. x 13x + 36 = 0 4 b. 4x + 3x 1 = 0 4 c. x 6x + 5 = 0 4 d. x + 5x + 6 = 0 e. x 4 9 = 0 f. x (x ) = 8 g. x (x + 3) = 10 h. x (x 8) + 15 = 0 4 x + 16 i. = 13 x 6. Resol els sistemes d equacions següents: a. b. c. d. e. f. x + y = 10 x y = 17 x + y = 7 x + y = 9 y x = 1 xy = 6 x + y = 10 x + 4xy = 57 x x xy = 14 + xy = 6 xy = 0 x = 5 y INEQUACIONS 7. Resol les inequacions exposades a continuació: a. x + 1 < 1 b. 3x < 4

3 c. 8 > 4x 3 d. (x + ) > 5x + e. 1 4x < 5x + 11 f x (1- x) > 4( x) + 3x PROBLEMES D INEQUACIONS 8. Si al doble d un nombre li sumem 8 unitats, resulta més petit que si al seu triple li n restem 1. Quins nombres verifiquen aquest enunciat? 9. El doble de la suma d un nombre més tres unitats és més gran que el triple d aquest nombre més sis unitats. Quins nombres compleixen aquesta condició? 10. La suma de la meitat i la quarta part d un nombre és més petita o igual que el triple d aquest nombre menys nou unitats. Quins nombres verifiquen aquestes condicions? 11. En Lluís ha comprat una llibreta, un bolígraf que val la quarta part del que val la llibreta i un retolador que val 1,80 euros. Si s ha gastat menys de 6,50 euros, què podem dir del preu de la llibreta? 1. Dues empreses lloguen furgonetes. Tenen aquestes tarifes per dia de lloguer: Empresa A : 6 euros fixos + 0,75 euros per km Empresa B : 9 euros fixos + 0,65 euros per km Indica per a quin quilometratge l empresa A és més econòmica. 13. La companyia telefònica cobra en cada rebut 15 euros de quota fixa més 0,16 euros per cada pas dels servei automàtic. Si un abonat no vol que la tarifa del telèfon sobrepassi 71 euros en total, quin és el nombre màxim de passos que ha de consumir? TRIGONOMETRIA 14. Fixa t en el triangle i completa les dades: AB = AC = BC = 5 cm 3

4 15. Fixa t en el triangle i completa les dades: AB = 4 m AC = BC = 16. Fixa t en el triangle i completa les dades: AB = DC = BC = AC = AD = DB = 3 m 17. Fixa t en els angles i completa les raons trigonomètriques: sin α = sin β = cos α = cos β = tan α = tan β = 18. Els braços d un compàs, que mesuren 1 cm, formen un angle de 50º. Quin és el radi de la circumferència que es pot traçar amb aquesta obertura. 4

5 19. Què mesura l apotema d un pentàgon regular de costat 10 cm? 0. Per trobar l altura a la que es troba un globus, procedim de la següent manera: Rosa es col loca en un punt B, i jo en A, a 5 metres d ella, de manera que els punts A, B i C queden alineats. Si els angles α i β mesuren 40º i 50º, respectivament, a quina altura es troba el globus? 1. Una antena de radio està subjectada al terra per dos cables d acer, com indica la figura. Calcula: a. L altura de l antena b. La longitud dels cables. c. L angle ABC.. Des del lloc on em trobo, la visual cap a un campanar és de 3º amb l horitzontal. Si m apropo 5 m, l angle és ara de 50º. Quina és l altura del campanar? 3. Calcula h, x i b. 4. D un triangle sabem que els seus costats fan a = 10 cm, b = 15 cm i c= 18 cm. Troba el valor dels seus angles. 5. Les mesures dels catets d un triangle rectangle són 3,6 cm i,7 cm. Dibuixa el triangle i calcula el valor del sinus de cadascun dels angles aguts. Calcula també el valor d aquests angles. 6. La hipotenusa d un triangle rectangle mesura 5,3 cm i un dels seus catets, 4,5 cm. Dibuixa el triangle i calcula el valor dels cosinus dels seus angles aguts. Calcula també el valor d aquests angles. 7. Si la hipotenusa d un triangle rectangle val 10 cm i sabem que sin α = 0,6 essent α l angle agut més petit, calcula el perímetre i l àrea del triangle. 5

6 POLINOMIS 8. Obté el valor numèric del polinomi p(x) = x 3 5x + 3 per a x = 0, x = - 1 i x = 1/. 9. Calcula: a. (x 3-5x + 4) (x +3x 5) b. (x 4 + 4x 3 6x +1) (x + x 4) c. (x 4 3x + x 5) : (x + ) 30. Troba el valor de k per tal que sigui arrel del polinomi P(x) = x 4 15x + kx Donat el polinomi P(x) = x 5 x 4 15x 3 + 5x + 14x 4, digues si x = 1, x = -1, x= i x = - són arrels de P(x). 3. Calcula el valor numèric del polinomi P(x) = (x + )(x ) quan x = -1, x = 0 i x = Si el polinomi Q(x) és el resultat de les operacions següents: 5(x )(x + 3)(x 1), de quin grau és Q(x)? Quin serà el seu terme independent? 34. Divideix els polinomis i comprova el resultat: a. (6x 5 x 4 8x x 8x)/(x 3x + ) b. (x 7 x 6 + x + 3)/(x 4 x ) c. (4x 3 + x 3x + 1)/(x +1) d. (x 3 + x + 1)/(x x + 1) 35. Factoritza els polinomis: a. P(x) = x x 3 b. Q(x) = - 6x + 1x + 18 c. R(x) = 3x x + 5 FUNCIONS 36. Donada la funció f(x) = x + x 3, troba: a. les imatges de -1, 1 i 3. b. les antiimatges de 0 i 5. 6

7 37. Troba el domini de les funcions següents: 5 a. f(x)= x+ b. g(x)= 3x 9 c. h(x) = x x En les gràfiques següents, esbrina: a. el domini, b. el recorregut c. els punts de tall amb els eixos d. la continuïtat i la discontinuïtat e. el creixement, el decreixement, els màxims i els mínims f. el signe g. les imatges de -, 0, 3, 5 i - 4, en els casos que sigui possible h. les antiimatges de - 3, 0,, 4 i - 5, en els casos que sigui possible. a) y b) y x x 7

8 c) y d) y x x 39. Quins són els punts de tall amb els eixos de la paràbola y = x + 8x + 7? 40. La funció mostrada en la gràfica següent, indica: a. el domini i el recorregut b. els punts de tall amb els eixos c. els valors d x on la funció és creixent. d. els valors d x on la funció és decreixent e. les coordenades dels màxims o mínims f(x) 5 GEOMETRIA, VECTORS I RECTES 41. Donats els punts A=(1, -3 ) i B=(,4) troba les coordenades del vector AB. 4. Donats els punts A=(1,0), B=(,-1), C=(3,) i D=(-1,-), troba els vectors AB, AC, AD, BC, BD, CD. 43. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas fes-ne la representació gràfica. a. b. c. d. AB amb A=(-3,4) i B=(6,9) CD amb C=(5,1) i D=(4,-3) EF amb E=(0,0) i F=(-,-4) GH amb G=(-,-3) i H=(-5,-8) 8

9 44. Si el punt B=(-,1) és l extrem dels vectors següents, troba n l origen: a. AB =(3,4) b. AB = (1, ) c. AB =(,5) 45. Determina la funció f(x) que passa pel punt P=(3,) i té pendent. 46. Determina la funció f(x) que passa pel punt P=(,-1 ) i té pendent Troba l equació de la recta que passa pels punts P(1, ) i Q(0, - 1) 48. Troba l equació de la recta que passa pels punts P(4, 6) i Q(1, - 3) 49. Donada la figura següent i sabent que les equacions de les rectes són: AB: y = 0,5x + 4,75 AC: y =,5x +,5 BC: y = - x + 16 a. Troba les coordenades dels punts A, B i C b. Troba l equació de la recta paral lela a la recta BC que passa pel punt A. 50. Quin és el perímetre del triangle format pels punts ABC de l exercici anterior? 9

10 SOLUCIONS: 1.. a. 0 b. 3 c. 15 d a. b c d a b EQUACIONS a. 4 b. -3 c. No té solució d. -/3 e. /9 f. 9/8 g. -4 h. /7 10

11 5. BIQUADRADES a. x 1 = 3, x = - 3, x 3 =, x 4 = - b. x 1 = 1/, x = -1/ c. = 5,x = 5,x = 1,x = 1 x1 3 4 d. No té solució. e. = 3,x = 3 x1 f. X 1 =, x = - g. =,x = x1 h. = 5,x = 5,x = 3,x = 3 x1 3 4 i. = 7,x = 7,x = 6,x = 6 x SISTEMES a. x 1 = 3, x = 3, x 3 = - 3, x 4 = - 3, y 1 = 1, y = - 1, y 3 = 1, y 4 = -1 b. x 1 = 5, y 1 =, x =, y = 5 c. x 1 =, y 1 = 3, x = - 3, y = - d. x 1 = 3, y 1 = 4, x = 19/7, y = 3/7 e. x 1 =, y 1 = -5, x = -, y = 5 f. x 1 = 10, y 1 =, x = -10, y = - 7. INEQUACIONS a. x< 0 b. x < c. x < 11/4 d. x < /3 e. x > - 10/9 f. x > 1/3 8. Els nombres majors de Tots els nombres negatius. 10. Els majors o iguals que 31/10 11

12 11. Podem dir que val menys de 3,76 1. Per a quilometratges inferiors a 30 km. 13. Com a molt pot consumir 350 passos. 14. AB = 10 cm, AC = 8,66 cm 15. AC = 8 m, BC = 6,93 m 16. AB = 4,4 m, BC = 6 m, AD = 3 m, DC = 5, m, AC = 8, m. 17. sin α = 5/13, cos α = 1/13, tan α =5/1, sin β = 1/13, cos β = 5/13, tan β = 1/ ,14 cm 19. 6,88 cm 0. 14,18 m. 1. altura: 54,56 m, longitud: AB = 63 m i BC = 109,1 m, angle ABC = ,84 m 3. h = 30,74 cm, x = 3,19 cm, b = 44,50 cm 4. A = 33,75 0, B = 56,44 0, C = 89, sin α = 0,8, α = 53,13 0, sin β = 0,6, β = 36, cos α = 0,8, α = 58,11 0, cos β = 085, β = 31, El perímetre és 4 cm i l àrea és 4 cm 8. p(0) = 3, p(-1) = 6, p(1/) = 3/4 9. a. x 3 6x + 9 b. x 6 + 6x 5 4x 4 x 3 5x + 5x 4 c. Q(x) = x 3 x + x; R = k = x = 1 sí, x = - 1 sí, x = sí, x = - no 3. P(-1) = - 9, P(0) = -4 i P(3) = El grau serà 3, el terme independent a. Q(x) = 3x 3 + 4x x +, R =

13 b. Q(x) = x 3 x + x 1, R = x c. Q(x) = x 3/, R = 5/. d. Q(x) = x +, R = x a. P(x) = (x 3) (x + 1) b. Q(x) = - 6 (x 3) (x + 1) c. R(x) = 3 (x 5/3) (x + 1) 36. a. f(- 1) = - 4, f(1) = 0, f(3) = 1, b. f -1 (0) = 1 i 3, f -1 (5) = - 4 i. 37. a. Df = R {- } b. Dg = [3, + ) c. Dh = R {4, - } 38. a b c d Domini R R {0} (-5, + ) (-, -3) Recorregut [0, + ) R {0} [0, + ) [0, + ) Punts de tall (0, 0) No en té (- 5, 0) i (,1, 0) No en té Continuïtat R Discontinua en x = 0 (-5, + ) (-, -3) Creixement i creix: (0, + ), sempre sempre sempre decreixent decreixement decreix: (-, 0) creixent creixent Signe sempre + (-, 0): -;(0, + ): sempre + sempre + Imatges Antiimatges 13 f(- ) = 1,5 f(0) = 0 f(3) =,3 f(5) = 3, f(- 4) =,9 f -1 (- 3) = -- f -1 (0) = 0 f -1 () = -,5 i,5 f -1 (4) = -7,5 i 7,5 f -1 (- 5) = -- + f(- ) = - 0,5 f(0) = -- f(3) = 0,4 f(5) = 0, f(- 4) = - 0,3 f -1 ( - 3) = - 0,4 f -1 (0) = -- f -1 () = 0,5 f -1 (4) = 0,3 f -1 ( - 5) = - 0, f(- ) = 1,9 f(0) =,1 f(3) =,9 f(5) = 3,1 f(- 4) = 1 f -1 (- 3) = -- f -1 (0) = - 5 f -1 () = - 1 f -1 (4) = 1 f -1 (- 5) = -- f(- ) = -- f(0) = -- f(3) = -- f(5) = -- f(- 4) = 1 f -1 (- 3) = -- f -1 (0) = -- f -1 () = -3, f -1 (4) = - 3 f -1 (- 5) = --

14 39. (0, 7), (- 1, 0) i (- 7, 0) 40. a. Df = R, Rf = R b. ( -, 0) i (0, ) c. creixent (-, 3) U (5, + ), decreixent (3, 5) d. màxim: (3, 4), mínim (5, ) 41. AB = (1,7) 4. AB = (1, 1),AC = (,),AD = (, ),BC = (1,3),BD = ( 3, 1),CD = ( 4. 4) 43. a. AB = (9,5) b. CD = ( 1, 4) c. EF = (, 4) d. GH = ( 3, 5) 44. a. A(- 5, - 3) b. A(- 3, 3) c. A(- 4, - 4) 45. f(x) = x f(x) = - x f(x) = 14x f(x) = 3x a. A(1, 1), B(5, 6), C(3, 10) b. y = - x = 0, 09 14