MATEMÀTIQUES SOLUCIONARI. Autors del llibre de l alumne Àngela Jané Jordi Besora Josep M. Guiteras. Revisió tècnica Antoni Giménez

Transcripción

1 SOLUCIONARI MATEMÀTIQUES Autors del llibre de l alumne Àngela Jané Jordi Besora Josep M. Guiteras Revisió tècnica Antoni Giménez BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACAS GUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORK PANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULO AUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REAL NOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR SAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO

2 Matemàtiques Batxillerat Solucionari No és permesa la reproducció total o parcial d aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o d altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d aquesta obra. Drets reservats 009, respecte a la primera edició en català per: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, Aravaca (Madrid) ISBN: Depósito legal: Editora de projecte: Alícia Almonacid Tècnic editorial: Conrad Agustí Disseny de coberta: Quin Team! Disseny d interiors: McGraw-Hill Il lustracions: Jordi Soto Composició: Servei Gràfic NJR, S.L. IMPRÈS A - PRINTED IN

3 ÍNDEX 3 Guies didàctiques interactives McGraw-Hill... 4 Unitat 0. Comencem Activitats finals... 9 Bloc 1. Funcions Unitat 1. Derivades Activitats Activitats finals... 7 Avaluació... 3 Unitat. Funcions contínues i derivables Activitats Activitats finals Avaluació Unitat 3. Aplicacions de la derivada Activitats Activitats finals Avaluació Unitat 4. Primitives Activitats Activitats finals Avaluació... 8 Unitat 5. La integral Activitats Activitats finals Avaluació... 9 Bloc. Matrius i sistemes Unitat 6. Vectors a l espai Activitats Activitats finals Avaluació Unitat 7. Matrius i determinants Activitats Activitats finals Avaluació Unitat 8. Sistemes d equacions Activitats Activitats finals Avaluació Bloc 3. Geometria Unitat 9. Equacions de rectes i plans Activitats Activitats finals Avaluació Unitat 10. Posició relativa de rectes i plans Activitats Activitats finals Avaluació Unitat 11. Distàncies i angles Activitats Activitats finals Avaluació

4 4 GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL j Guies didàctiques interactives McGraw-Hill A fi de facilitar-vos la tasca docent, hem complementat l oferta del nostre llibre de Matemàtiques amb una guia didàctica interactiva, que estem convençuts que us serà de gran ajut. A continuació us en presentem els trets principals, tot i que, sens dubte, serà a mesura que l aneu fent servir que en descobrireu totes les potencialitats. A més, incorpora una adreça de correu electrònic, on ens podeu fer arribar les vostres observacions i suggeriments. Com veureu, és fàcil de fer anar, molt visual i intuïtiva, i no requereix cap mena d instal lació prèvia. McGraw-Hill, avui, com sempre, qualitat al servei de l educador. Menú amb les accions disponibles per als professors Continguts addicionals A la pantalla principal apareix la barra de menú amb les opcions de navegació i de visualització de les guies digitals. El vídeo de presentació explica com s ha de treballar amb les guies didàctiques interactives de McGraw-Hill. Prement en els ítems de l índex de continguts podeu accedir a material genèric de la matèria amb més informació i activitats extres.

5 GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL 5 Cerca recomanada Opció de cerca Tancar la El menú us mostra totes les opcions genèriques per navegar dins de les guies i per visualitzar les pàgines i els continguts. Pàgina anterior: prement aquest botó podeu navegar fins la pàgina anterior. Pàgina següent: amb aquesta opció podeu avançar fins a la pàgina següent. Inici de la guia: prement aquesta opció podeu anar al començament de la guia. Fi de la guia: podeu navegar fins a la darrera pàgina de la guia. Opció de lectura recomanada: permet ampliar el text i les imatges de la pàgina que s està llegint. Opció cerca ràpida: aquesta opció us mostra en versió reduïda totes les pàgines de la guia. Cerca: us serveix per cercar paraules dins del text de la publicació. Ajuda: en qualsevol moment podeu visualitzar l ajuda per fer servir adequadament la guia digital. Índex de continguts: l índex de continguts està sempre accessible per navegar pels continguts addicionals més ràpidament. Sumari: índex de les unitats i dels continguts del llibre de l alumne.

6 6 GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL j Zones senyalitzades del llibre.

7 GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL 7 j Opcions de visualització Visualització de doble pàgina: Opció de lectura recomanada: Opció cerca ràpida: Requeriments tècnics: L ús d aquestes guies interactives no requereix cap instal lació especial, ja que funcionen amb el navegador d Internet. Tot i que no és necessari estar connectat a la Xarxa per fer-les anar, sí que hi ha continguts, com l accés a pàgines web, que només es podran aprofitar al 100% si s està on-line. La major part d equips ja incorporen el Flash Player, però si no fos el vostre cas, us el podeu descarregar gratuïtament des del web d Adobe.

8

9 MATEMÀTIQUES 0 9 j Unitat 0. Comencem Activitats finals d) 1. Calcula: a) e) b) f) c) d) g). Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents: h) a) 7 i) b) c) d) 4. Si A(x) 6x 4 x 4x 6 i B(x) x 3 x 1, calcula: a). A(x) Multipliquem els coeficients per : 3. Expressa en forma d una sola arrel: a) b) 3x. B(x) Multipliquem els coeficients per 3x: b) c) A(x) : B(x) c) Quocient: c(x) 6x Residu: r(x) 14x 10x 6

10 10 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE d) B(x) : (x 1) Apliquem la regla de Ruffini. Com que B(x) no té terme de grau dos, en el seu lloc hi posem un zero. El primer nombre de la segona fila és 1, perquè dividim entre x 1 canviant de signe el terme independent del binomi. El quocient queda determinat pels tres primers termes de la tercera fila: 1,1,1 x x 1. El residu és. C(x) x 4 x 3 x x C(x) x (x 1) (x 1) m.c.d. (x 1)x m.c.m. x (x 1) (x 1)(x ) 8. Calcula: Cal tenir en compte que 1 x (x 1). m.c.m. x 1 5. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan que sigui possible. a) (x 4 x 1) : (x ) Per Ruffini: x 1 x 1 x 1 x x 1 1 x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 9. Donades les fraccions algèbriques següents: A(x) i B(x) Quocient: x 3 x x 4 Residu: 9 b) (x 6 x 3 x 1) : (x 1) Per Ruffini: calcula: A(x). B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x). A(x). B(x) A(x) : B(x) B(x) : A(x) Quocient: x 5 x 4 x 3 x x 1 Residu: 6. Factoritza els polinomis següents: a) A(x) 6x 3 0x 6x A(x) 6x 3 0x 6x x (6x 0x 6) 6x (x 3) b) B(x) x 4 3x 3 3x 11 x 6 B(x) x 4 3x 3 3x 11x 6 (x 1) (x )(x 3) 7. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis: A(x) x 5 6x 4 8x A(x) x (x 1)(x ) 10. Resol els sistemes d equacions lineals següents pel mètode que s indica: a) per reducció. Multipliquem la primera equació per. D aquesta manera, la x tindrà el mateix coeficient en les dues equacions: Restem les dues equacions per reduir-ne el nombre d incògnites: B(x) x 3 x B(x) x (x 1)(x 1)

11 MATEMÀTIQUES 0 11 Substituïm aquest valor en qualsevol de les dues equacions (per exemple, en la primera) per trobar el valor de l altra incògnita. Substituïm aquest valor en qualsevol equació en la qual la x estigui aïllada, per exemple en la primera: La solució del sistema és: (x, y) (4, 5) b) per substitució. Aïllem una incògnita d una de les equacions, per exemple la y de la segona equació: La solució del sistema és: (x, y) (1, 1) 11. Resol els sistemes d equacions següents: a) Substituïm en la segona, i resolem l equació: x y 1 y 1 x Substituïm en la primera equació la y per 1 x: x 3 (1 x) 1 Resolem la equació que apareix, que té una única incògnita: x 3 (1 x) 1 x 3 3x 1 x 3x 1 3 x 4 x 4 Substituïm aquest valor en la igualtat en la qual hem aïllat la incògnita y: y 1 (4) y 1 4 y 3 Substituïm en la 1a equació: x Solució: (x, y) (6, 10). b) Aïllem la y de la a, y 7 x, substituïm en la 1a i resolem: a 1, b 7 i c 10 La solució del sistema és: (x, y) (4, 3). c) per igualació. Aïllem una mateixa incògnita de les dues equacions, per exemple la x: Substituïm en l equació aïllada: Igualem els membres de la dreta de les equacions: Solucions: (x, y) (, 5) (x, y) (5, ) c) Resolem l equació que apareix, que té una única incògnita: Per reducció. Restem les dues equacions: Resolem l equació:

12 1 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE Arribem a una identitat, per la qual cosa les dues equacions són equivalents (gairebé són la mateixa). El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions. Si aïllem una de les incògnites d una equació obtindrem una fórmula per trobar totes les solucions. Per exemple, la x de la primera equació: x 5 y Solució: (x, y) (5 y, y) Per a cada valor de y tindrem una solució del sistema. Exemples: y 1 (4, 1) y 0 (5, 0) y 3 (8, 3) 1. a) Per a quins valors de m l equació x mx 4 0 té una solució? El discriminant de la equació ( b 4ac) ha de ser igual a zero: a 1, b m i c 4 b) Per a quins valors de m el sistema 14. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents: a) g(x) b) k(x) R R 15. Siguin f(x) i g(x) f a) Troba les funcions: ( f g)( x), ( f g)( x), ( x) g, ( f f)( x), ( g g)( x), f 1 ( x). té una solució única? (f g)(x) f(x) g(x) El sistema ha de ser compatible determinat, és a dir, :,, 1 m m 1 Per a tots els valors diferents de Sense resoldre ls, classifica els sistemes següents: a) (f. g)(x) f(x). g(x) Sistema compatible determinat té una solució. x y 3 b) 4x y , 05, 05, Sistema compatible indeterminat infinites solucions. x y 3 c) 4x y 6 (x) Sistema incompatible no té solució.

13 MATEMÀTIQUES 0 13 (f f)(x) f(f(x)) c) Comprova que f 1 (x) és la funció inversa de f (x). (f 1 o f) (x) f 1 ( f(x)) f 1 (g g)(x) g(g(x)) (f o f 1 ) (x) y xy y x 1 x xy y 1 x ( y) y 1 x f 1 (x) b) Troba el domini d aquestes funcions. R R R R

14 14 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE j Bloc 1. Funcions j Unitat 1. Derivades Activitats 1. La funció f(x) x 3 sempre és creixent. Calcula n la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: [ 3, 1], [0, ] i [5, 7]. En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid? Interval [ 3, 1]: La funció ƒ(x) x 6x és decreixent al voltant de x 4. Quantifica aquest decreixement calculant. Interpreta n el resultat obtingut. Interval [0, ]: 4 Interval [5, 7]: 109 La funció f(x) x 3 té el creixement més ràpid en l interval [5, 7].. Considera la funció f(x) 3x 1. Demostra que la variació mitjana sempre és la mateixa, independentment de l interval [x 1, x ] considerat. ( x) Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de l ordre de dues vegades el que augmenta x. 6. Fes el mateix estudi, de l activitat 5, per a x 3. Fixa t en la gràfica de la funció i interpreta el resultat que has obtingut. 3 En qualsevol interval [x 1, x ] la variació mitjana de la funció és 3. (3 x) 0 3. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) 5 en qualsevol interval [x 1, x ]? Val zero, ja que es tracta d una funció constant. 7. Representa gràficament la funció f(x) x 3. Calcula f (), f (0) i f (3). Interpreta n els resultats. 4. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) x 4x a l interval [,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al voltant de x 3? 3 f () Fes-ne la representació gràfica i comprova després la teva resposta. Podem esperar que la funció f(x) x 4x decreixi al voltant de x 3. Ho comprovem a la gràfica de la funció.

15 MATEMÀTIQUES 1 15 També es verifica: f (0) f (3). La funció f (x) x 3 decreix sempre de la mateixa manera, és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general, f (x 0 ), x 0 R. 8. Donada la funció f(x) ax b, demostra que f (x 0 ) a, independentment del valor x 0 considerat. c) f (0) si f(x) No existeix f (0), ja que x 0 no pertany al domini de la funció. f( x) 1 no existeix f(0). x d) ƒ () si ƒ(x) x ƒ (x 0 ) ƒ () La funció f(x) no és derivable en x. a a 10. Representa gràficament la funció f(x) x x 4 i indica n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i decreixement. Comprova que f (1) Calcula, si és possible: a) f (8) si f(x) f (8) b) f si f(x) 4 x ƒ Decreixent: (, 1) Creixent: (1, ) f] 1 hg f(1) fl(1) lim h" 0 h lim ] 1hg ] 1hg43 h" 0 h lim 1hh h43 h" 0 h lim h lim h 0 h" 0 h h" Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció ƒ(x) ( x) és creixent o decreixent en x 6. Fes el mateix estudi en x 1. ƒ (6) (1 h) 1 (h 8) 8

16 16 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE ƒ (6) 0 creixent en x 6. d) f () si f(x) 10x 3 ƒ (1) ƒ () (h 6) ƒ (1) 0 decreixent en x Troba l equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) 3x 10x 3 en x. 1. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què? La funció ha de ser constant, f(x) K, K R. És així perquè si una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol valor de x D ƒ R. x f() (, 5) f (x) 6x 10 m tg f () y 5 (x ) y 5 x 4 y x Calcula, si és possible: a) f (4) si f(x) No és possible, ja que no existeix f(4). f(4) R b) f (1) si f(x) x ƒ (1) 15. Considera la funció f(x) x 3. En quins punts de la gràfica d aquesta funció la recta tangent és paral lela a la recta y 3x 5? Es tracta de buscar els valors de x per als quals es compleix que f (x) 3. f(x) x 3 f (x) 3x 3x 3 x ± 1 x 1 f(1) x 1 f(1) (1) 3 1 Els punts són (1, 3) i (1, 1). 16. Dibuixa la recta tangent a la corba representada a la gràfica en els punts d abscisses x 3, x 0 i x. c) f (0) si f(x) x 1 ƒ (0) h. 0 0

17 MATEMÀTIQUES 1 17 a) Quin és el signe del pendent de cadascuna d aquestes tangents? En x 3, pendent positiu; en x 0, pendent negatiu; en x, pendent positiu. b) Quin signe tenen f (3), f (0) i f ()? f (3) 0 f (0) 0 f () A partir de la gràfica, fes una estimació dels valors de f (), g (1) i h (0). 19. Esbrina quins són els punts de la gràfica de la funció f(x) x 3 6x 4 que tenen tangent paral lela a l eix d abscisses. f(x) x 3 6x 4 f (x) 3x 1x Si la recta tangent és paral lela a l eix 0X, m tg tg 0º 0. Per tant, es tracta de trobar quins són els valors de x que compleixen l equació: f (x) 0. 3x 1x 0 x (3x 1) 0 x 0 i x 4 x 0 f(0) 4 x 4 f(4) 8 Els punts són P(0, 4) i Q(4, 8) és decrei- 0. Indica raonadament per què la funció f(x) 1 x xent en tots els punts del seu domini. f () 0,7 g (1) 0 g(1) Perquè f(x) 1 x i, per tant, f (x) 0 per a qualsevol x R, x La gràfica de la funció f(x) x bx c presenta un mínim en el punt (3, 1). a) Calcula b i c. Es compleix: f(3) b c 3b c 10 f (3) 0 amb f (x) x b 0 6 b b 6 3 (6) c 10 c 8 La funció és f(x) x 6x 8. b) Representa-la gràficament i verifica el resultat de la teva resposta. h (0) 0,4 18. Considera la funció f(x) x 3x 5. Digues en quin punt de la seva gràfica la recta tangent forma un angle de 45º amb el sentit positiu de l eix X. Aquesta funció, és creixent o decreixent en aquest punt? Per què? Com que tg 45º 1, es tracta de determinar el valor o valors de x per als quals es verifica que f (x) 1. f(x) x 3x 5 f (x) x 3 x 3 1 x f() (, 3) En el punt P(, 3) la funció és creixent, ja que f () Les gràfiques de les funcions polinòmiques de segon grau f(x) ax bx c sempre tenen un màxim o un mínim. Demostra que es troba localitzat en el punt d abscissa x 0 b a. Cal que f (x) 0, ja que en un màxim o en un mínim la gràfica de la funció presenta sempre tangent horitzontal. f (x) ax b 0 ax b x b a

18 18 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 3. Digues en quins punts no són derivables cadascuna de les funcions següents i indica n en cada cas el motiu: a) f(x) x x 0, perquè no pertany al D f. b) g(x) 1 x 9 x 3 i x 3, perquè no pertanyen al D g. c) h(x) x 4 3x x 4 3, perquè no pertany al D h. 5. Donada la funció: f(x) ax b si x x 3 si x Troba a i b perquè sigui derivable en x. lim x f(x) a b lim f(x) 11 x f() 11 La funció ha de ser contínua en x a b 11 a si x f (x) 4x si x En conseqüència: f ( ) f ( ) a 8 5 d) i(x) x x 0, perquè la recta tangent és perpendicular a l eix 0X. 4. Representa gràficament la funció: 6. La funció: a b 11 a 8 16 b 11 b 5 4 x si x 0 f(x) x 4 si x 0 ƒ(x) És contínua en x 0? I derivable? és derivable en x? Per què? ƒ() 3 f(x) (x ) 4 No és derivable en x ja que no és contínua en x. f(x) f(), i, per tant f(x) 7. La funció f(x) x 6x 8 és, en realitat, una funció definida a trossos: x 6x 8 si x o x 4 f(x) x 6x 8 si x 4 És contínua en x 0, ja que lim f(x) lim f(x) f(0) 4 x0 x0 La gràfica de la funció es pot obtenir fàcilment a partir de la gràfica de la funció g(x) x 6x 8. Dibuixa les gràfiques de les dues funcions. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció f(x) en x i en x 4. x si x 0 f (x) si x 0 Per tant, f (0 ) i f (0 ) 0. Com que f (0 ) f (0 ), la funció no és derivable en x y = x 6x

19 MATEMÀTIQUES 1 19 f(x) és contínua en x i en x 4, ja que es compleix: lim f(x) lim f(x) f() 0 x x lim f(x) lim f(x) f(4) 0 x4 x4 En canvi, la funció no és derivable ni en x ni en x 4. f (x) x 6 si x o x 4 x 6 si x 4 f ( ) ; f ( ) f ( ) f ( ) f (4 ) ; f (4 ) f (x)(4 ) f (4 ) 3 8. Sabem que la funció f(x) no és derivable en x. Calcula b. 4 bx L expressió 4 bx s anul la per a x : 4 b 0 b 9. Defineix a trossos la funció f(x) x. Representa-la gràficament i indica raonadament en quin punt no és derivable. (x h) 4x c) f(x), x 0 f (x) d) f(x), x 0 f (x) x si x f(x) x si x No és derivable en x, ja que f ( ) 1 i, en canvi, f ( ) 1. Per tant, f ( ) f ( ) e) f(x), x 0 f (x) 30. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f(x) x 7 ƒ (x) 1 1 b) f(x) 1 x f) f(x) 3 ƒ (x) f (x) 0

20 0 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE g) f(x) 3x x 1 f (x) La funció és creixent en x 4. (3h 6x ) 6x 33. Donada la funció f(x) x 4, calcula f (x) de dues maneres diferents: a) Aplicant la definició de funció derivada. h) f(x) f (x) Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) x 6x 8. Quant val f (3)? b) A partir de la segona regla que acabem de veure. 34. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: 3. Donada la funció f(x) 6 x, calcula f () i f (4). Indica si la funció és creixent o decreixent en x i en x 4. La funció és creixent en x.

21 MATEMÀTIQUES Considera la funció ƒ(x). Calcula ƒ (4); ƒ (16). Interpreta n els resultats obtinguts. 1 f( x)x 1 1 f ( x) x 1 x 1 f () f ( 16) 8 La funció f(x) no és derivable en x 0, ja que aquest valor anul.la el denominador de la funció f (x). 40. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: La funció és decreixent en x 4 i en x 16, ja que ƒ (4) 0 i ƒ (16) 0. Com que ƒ (4) ƒ (16), la funció decreix amb més rapidesa prop de x 4 que prop de x 16. De fet, la funció és decreixent en tot el seu domini, excepte en x 0, on no és derivable. 36. Donada la funció f(x) x 3, calcula f (1) i f (1). Indica si la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és més ràpida aquesta variació. la funció és creixent en x 1 i x 1 i en ambdós punts creix amb la mateixa rapidesa. 41. Per a quins valors de x s anul la la derivada de la funció f(x) x 3 5x 3x 4? 37. Pot decréixer en algun punt la funció de l activitat anterior? Per què? No, perquè ƒ (x) 3x 0 per a qualsevol x R. 38. Indica raonadament per què la funció ƒ(x) és decreixent en tots els punts del seu domini. 4. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon grau f(x) ax bx c s anul la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representarla gràficament. ƒ(x) x 1 ƒ (x) 1 x Si x R {0}, x 0, i, per tant, f (x) 0. Aleshores, f (x) 0 per a qualsevol valor de x real i diferent de zero. Cal tenir en compte que D f R {0} Troba la funció derivada de la funció f( x) x i comprova que aquesta funció no és derivable en x f( x) x x f 3 ( x) x x 43. Quina és l equació de la recta tangent a la gràfica de la funció ƒ(x) x 6x en els punts en què talla l eix d abscisses? ƒ(x) 0 x 6x 0 x 1 0, x 6 Els punts són (0, 0) i (6, 0).

22 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE ƒ (x) x 6 Punt (0, 0): m tg ƒ (0) 6 y 6x Punt (6, 0): m tg ƒ (6) 6 y 6(x 6) y 6x Troba l equació d una funció f(x) que tingui per derivada la funció f (x) representada en la gràfica. Pots trobar-ne més d una? Per què? L equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) sin x en el punt, 1 és y 1; en el punt 3, 1, la recta tangent té per equació y Determina l equació de la recta perpendicular a la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) cos x en 6. Aquesta recta s anomena recta normal a la gràfica de la funció en aquest punt. f(x) cos x f (x) sin x x 6 f 6 cos 6 3 6, 3 m tg f 6 sin m 1 normal Equació de la normal: y 3 1 x 6 x y Compleixen la condició que s estableix a l enunciat totes les funcions del tipus f(x) x k, amb k R. 45. Troba la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f(x) 3 sin x 5 f (x) 3 cos x b) f(x) 4 cos x sin x 1 f (x) 4 sin x cos x c) f(x) ln x 7 x f (x) 1 7x x d) f(x) log 3 x 3x ln 9 1 f (x) ln 3 x Determina els punts d abscisses compreses entre 0 i en els quals la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) sin x és paral lela a l eix OX. Escriu les equacions d aquestes rectes tangents. m tg 0 f (x) 0 cos x 0 x i x 3 x f sin 1, 1 x 3 f 3 sin 3 1 3, Hi ha algun punt de la gràfica de la funció f(x) log x que tingui recta tangent paral lela a la bisectriu del primer quadrant i del tercer? Si la resposta és afirmativa, troba l equació d aquesta recta tangent. 1 1 f(x) log x f (x) ln x Bisectriu primer i tercer quadrants: y x m f (x) 1 1 x ln x ln x 1 f 1 log 1 ln ln ln El punt és 1, log ln 1 ~ (1,44, 0,53) ln Equació de la recta tangent: y 0,53 x 1,44 x y 0, Justifica per què la gràfica de la funció f(x) ln x no pot tenir ni màxims ni mínims. Perqué la funció derivada, f (x) 1 no s anul la per a cap valor real de x: x 1 x 0, A x R 50. Calcula la derivada de les funcions següents: a) f() x 3 1x

23 MATEMÀTIQUES 1 3 b) f(x) sin (3x 5) f (x) 3 cos (3x 5) c) f(x) ln (cos x) f (x) sin x tg x cos x d) f(x) (1 x ) 3 f (x) 3 (1 x ) (x) 6x (1 x ) e) f(x) cos 3 x f (x) 3 cos x sin x f) f(x) sin (ln x) f (x) cos(ln x) x g) f(x) sin x sin x f (x) sin x cos x x cos x (sin x cos x x cos x ) h) f(x) log i) f(x) 1 (x 4) f (x) (x 4) x 4x (x 4) 4 (x 4) 3 j) f(x) sin [cos (ln x)] f (x) cos(cos(ln x))sin(ln x) x k) f(x) ln [sin (1 x)] f (x) cos(1 x) cotg(1 x) sin(1 x) l) f(x) cos (1 3x) f (x) 6 cos (1 3x) sin (1 3x) 51. Calcula la derivada de la funció f(x) sin x cos x. Interpreta n el resultat obtingut. f (x) 0, perquè f(x) sin x cos x 1 5. Troba l equació de la recta tangent al gràfic de la funció f(x) sin x en x 4. x f sin 1 1, f (x) 4 sin x cos x m tg f 4 sin cos Equació de la recta tangent: y 1 x x y Indica per a quins valors de x és creixent la funció f(x) ln (x 1). Per què? Té la gràfica d aquesta funció algun punt en el qual la recta tangent tingui pendent nul? Si la resposta és afirmativa, de quin punt es tracta? f (x) 1 x x x 1 x 1 La funció és creixent per a x R, ja que si x 0 es verifica f (x) 0. x m tg 0 f (x) 0 0 x 1 x 0 x 0 f (0) ln1 0 La recta tangent a la gràfica de la funció té pendent nul la en el punt (0, 0). 54. Calcula la funció derivada de les funcions següents: a) f(x) x 3 cos x f (x) 3x cos x x 3 (sin x) x (3 cos x x sin x) b) f(x) x ln x ln x 1 f (x) ln x x 1 ln x 1 ln x ln x 1 x x x c) f(x) 7 cotg x 3 f(x) 7 cos x 3 f (x) 7 sin x cos x 7 sin x sin x sin x d) f(x) f (x) e) f(x) 1 x 3 x x 3 (x 3x ) sin x cos x 1 sin x (cos x sin x)( 1 sin x) (sin x cos x) ( cos x) f( x) ( 1 sin x) cos x sin x 1 ( 1 sin x)

24 4 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE f) f(x) (1 x) g) f(x) 1 cos 3x 5 3sin3x 3tg3x f( x) cos 3x cos3x h) f(x) sin x x f (x) cos x x sin x x xcos x sin x x 4 x 3 i) f(x) j) f (x) ln x 1 x 55. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra que la derivada k de la funció f(x) és f (x). g(x) k k f (x) ln f(x) ln g(x) g(x) Per tant: f (x) k g (x) f (x) kg (x) g(x) g(x) [g(x)] lnk ln g(x) 56. La derivada de la funció f(x) tg x es pot expressar f (x) 1 tg x. Per què? 1 Perquè f (x) i, 1 tg x 1 sin x 1 cos x cos x cos x En conseqüència: 1 f (x) 1 tg x cos x 57. Troba l equació de la recta tangent al gràfic de la funció x f(x) en x 1. En quin punt del gràfic d aquesta x 1 funció la recta tangent és paral lela a l eix d abscisses? k) f(x) f(1) 1 El punt és 1, 1 m tg f (1) 1 4 Equació recta tangent: y 1 1 (x 1) x y 0 l) f(x) (1 x) 3 log x f (x) 3(1 x) log x (1 x) ln x (1 x) 3log x 1 x x ln Recta tangent paral lela a l eix 0X m tg 0 f (x) 0 x 0 x 0 x 0 f(0) 0 (x 1) La recta tangent és paral lela a l eix d abscisses en el punt (0, 0).

25 MATEMÀTIQUES Comprova que la derivada de la funció: f(x) ln és f (x) 60. Donada la funció f(x) x e x, calcula f (x). Escriu l equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt on s anulla la seva derivada. Indica raonadament si aquesta funció és creixent o decreixent en x 0. f (x) e x x e x e x (1 x) f (x) 1 cos x cos x 1 cos x 1 1 sin x 1 sin x cos x cos x f (x) 0 e x (1 x) 0 1 x 0 x 1 f(1) 1 e 1 1 e Punt: 1, 1 1 ; pendent: m 0 equació tangent: y e e f (0) 1 0 la funció és creixent en x Calcula la derivada de les funcions: a) f(x) e 3x ln (x 4) x f (x) 3e 3x ln(x 4) e 3x x 4 x e [ 3x 3ln(x 4) x ] 4 b) f(x) sin [cos (e x )] f (x) e x cos(cos(e x )) sin(e x ) c) f(x) ex 1 e x f (x) ex e x e x (e x 1) e x 1 (e x ) e x e x e x d) f(x) tg (3 x 7) f (x) 3 x ln 3 cos (3 x 7) e) f(x) (x 1) cos x ln f(x) cos x ln (x 1) f (x) sin x ln(x x 1) cos x f(x) x 1 f (x) (x 1) [ cos x sin x ln(x 1) x cos x x ] 1 f) f(x) ln ex 3 e x f(x) ln(e x 3) lne x ln(e x 3) x f (x) e x 1 e x e x 3 3 e x 3 e x 3 e x Una petita mostra de material radioactiu conté 1 bilió d àtoms. A conseqüència de la desintegració, el nombre N d àtoms de la mostra va disminuint a mesura que passa el temps t. La funció N f(t) que descriu aquesta situació és: N(t) N 0 e t on N 0 és el nombre inicial d àtoms que hi ha a la mostra i t, el temps transcorregut en anys. Es demana: a) Quants àtoms hi haurà a la mostra quan hagin passat 5 anys? I quan n hagin passat 10? t 5 anys N f(5) 10 1 e àtoms t 10 anys N f(10) 10 1 e àtoms b) Quan és més ràpida la desintegració, als 5 anys o als 10 anys? N (t) N 0 e t La desintegració és més ràpida per a t 5 anys, ja que: N (5) 10 1 e 10 9, àtoms/s N (10) 10 1 e àtoms/s i, per tant, es compleix: N (5) N (10) 6. Comprova que la derivada de la funció f(x) x 5 x s anul la en els punts x i x 0. ln5 f (x) x 5 x x 5 x ln5 x 5 x ( x ln5) f (x) 0 x 5 x ( x ln5) x ln5 x 0 x ln5 0

26 6 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 63. Calcula la derivada de les funcions: a) f(x) arc sin 1 x 1 x 64. Dedueix la derivada de la funció g(x) a x sabent que la seva funció inversa és f(x) log a x i suposant coneguda f (x). 1 f(x) log a x f (x) lna 1 x 1 1 g (x) a x lna f (f 1 (x)) 1 1 lna a x 65. Donada la funció f(x) x, calcula f (x), f (x) i f (x). x 4 f (x) x(x 4) x x 8x (x 4) (x 4) f (x) 8(x 4) 8x x(x 4) (x 4) 4 arc tg x b) f(x) e f (x) e arc tg x tgx 1 earc 1 x 1 x c) f(x) ln [arc cos (x 1)] f (x) 1 (1) arc cos(x 1) 1 (x 1) 1 arc cos (x 1) x x 8(x 4) 3x 4x 3 (x 4) 3 (x 4) 3 f (x) 48x(x 4) 3 (4x 3)(x 4) 3 x (x 4) 6 48x(x 4) (4x 3)6x (x 4) 4 48x3 19x 144x 3 19x (x 4) 4 d) f(x) arc tg 1 x arc tg x 1 x 1 f (x) 1 x (1 x) (1) x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 (1 x) (1 x) (1 x) 1 x (1 x ) 1 x 1 x 1 x e) f(x) arc sin x 96x3 384x 96x(x 4) (x 4) 4 (x 4) Troba f (66) (x) i g (94) (x) per a les funcions f(x) sin x i g(x) cos x. f (66) (x) f (x) sin x g (95) (x) g (3) (x) sin x 67. Per a la funció f(x) x, calcula: f (x), f (x), f (x) i f (4) (x) Observa amb detall les funcions que has obtingut i dedueix l expressió de la derivada f (n) (x). f) f(x) arc cos (cos x) f(x) arc cos(cos x) x f (x) 1

27 MATEMÀTIQUES 1 7 Activitats finals 4. Indica en quins punts és derivable la funció: 1. En quins punts de la gràfica de la funció f(x) 1 la recta x tangent és perpendicular a la recta 4x y 0? Escriu les equacions d aquestes rectes tangents. 4x y 0 m 4 m 1 4 f(x) 1 1 ƒ (x) x x m ƒ (x) 1 1 No té solució. 4 x En cap punt la gràfica de f(x) té una tangent perpendicular a 4x y 0. És derivable en tot R excepte en x 0. Es compleix que f (x) 0 per a x R, x La gràfica d una funció f(x) és la de la figura. Sense calcular-ne l expressió analítica, representa gràficament la funció f (x).. Dibuixa en un paper mil limetrat la gràfica de la funció f(x) x 8x. Tot seguit, fes una estimació a partir d aquesta gràfica dels valors de f (1) i f (5). Calcula analíticament f (1) i f (5) i compara els resultats amb els anteriors. f(x) x 8x f (x) x 8 f (1) 8 6; f (5) 10 8 Cal comparar aquests valors amb els valors obtinguts de manera experimental, a partir de la gràfica de la funció. 3. Representa gràficament la funció: 0 si x 0 f(x) x si x 0 Aquesta funció és contínua en x 0? I derivable? Justifica les respostes. 6. Troba les derivades laterals en x 5 de la funció f(x) x 10. És derivable en aquest punt? Per què? x 10 si x 5 f(x) x 10 { x 10 si x 5 f (5 ) ; f (5 ) f (5 ) f (5 ) La funció no és derivable en x 5. lim f(x) 0; lim f(x) 0; f(0) 0 x 0 x 0 Es compleix: lim f(x) f(0) 0 x 0 Per tant, la funció és contínua en x 0. 0 si x 0 f (x) { 1 si x 0 És a dir, f (0 ) 0 i f (0 ) 1 f (0 ) f (0 ) la funció no és derivable en x Indica els intervals de creixement i decreixement i els punts x estacionaris de la funció f(x) x 4. f (x) x(x 4) x x 8x (x 4) (x 4) D f R {, }; f (x) 0 x 0, f(0) 0 (0, 0) Com que f (x) 0 per a x 0, x i f (x) 0 per a x 0, x, es compleix que: La funció és creixent en els intervals (, ) i (, 0). La funció és decreixent en els intervals (0, ) i (, ). La funció presenta un punt estacionari a l origen de coordenades.

28 8 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE x 8. La funció f(x) és creixent o decreixent en x? (x 1) Justifica la resposta. f (x) 0 x Decreixent: (, ) c) Té f(x) algun punt estacionari? Quin és? Sí, x, ja que ƒ () Donada la funció f(x) x e x, resol les equacions f (x) 0 i f (x) 0. f (x) e x x e x e x (1 x) f (x) e x (1 x) e x e x ( x) f (x) 0 e x (1 x) 0 1 x 0 x 1 f (x) 0 e x ( x) 0 x 0 x f () 4 0 f(x) és decreixent en x. 9. Donada la paràbola d equació f(x) x x 5, es considera la recta r que uneix els punts d aquesta paràbola, les abscisses dels quals són x 1 1 i x 3. Troba l equació de la recta tangent a la paràbola que és paral lela a la recta r. 1. Troba per a quin valor de a i b és contínua i derivable la funció: x 1 1 f(x 1 ) f(1) 4 (1, 4) x 3 f(x ) f(3) 8 (3, 8) La recta r conté els punts (1, 4) i (3, 8) m r f (x) x i f (x) m r x x f() 5 El punt de tangències és (, 5) m tg m r Equació de la recta tangent: y 5 (x ) y 5 x 4 x y Aquesta és la representació gràfica de la derivada f (x) d una funció polinòmica f(x). Contínua: lim f(x) lim f(x) f(1) x 1 x 1 3 a a 3 Derivable: f (1 ) f (1 ) 3 a b b 3 a Calcula la derivada de les funcions: a) f(x) sin 4 [ln (x 5)] a) Quin és el grau d aquesta funció polinòmica? Per què? Grau. Perquè f (x) és una funció polinòmica de primer grau, ja que la seva representació gràfica és una recta. b) b) Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x). f (x) 0 x Creixent: (, )

29 MATEMÀTIQUES 1 9 g) f(x) sec (x 3 ) c) d) h) f(x) arc sin e) f(x) [1 cos (1 3x)] f) f(x) log i) f(x) arc tg

30 30 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE j) f(x) arc sin x p) f(x) e tg 3x k) f(x) (x 3) x El nombre N de bacteris d un determinat cultiu varia en funció del temps t expressat en hores, d acord amb l equació: a) Quin és el nombre inicial de bacteris en el cultiu? t 0 N(0) 10 bacteris. b) En quin moment creix més de pressa el nombre d aquests bacteris, quan t h o quan t 4 h? Per què? l) f(x) ln t h N () 5e t 4 h N (4) 5e N (4) N () el nombre de bacteris creix més de pressa per a t 4 h. 15. Calcula les tres primeres derivades de la funció f(x) e 3x. Dedueix l expressió de la derivada enèsima f (n) (x) d aquesta funció. 1 m) f(x) 3 sin x f (x) 3e 3x f (x) 9e 3x f (x) 7e 3x f (n) (x) 3 n e 3x 16. Tenint en compte que arc sec x arc cos, calcula la derivada de la funció f(x) arc sec x. De manera similar, pots calcular les derivades de les funcions g(x) arc cosec x i h(x) arc cotg x. Fes-ho. n) f(x) o) f(x) arc cosec x arc sin

31 MATEMÀTIQUES 1 31 h(x) arc cotg x arc tg 0. Indica raonadament per què la funció f(x), on a i b són nombres reals, no pot tenir punts estacionaris. 17. Troba l equació de la recta normal a la gràfica de la funció f(x) x 7x 10 en els punts d ordenada nul la. f(x) 0 x 7x 10 0 x 1, x 5 (, 0) i (5, 0) f (x) x 7 Punt (, 0): La funció no pot tenir punts estacionaris, ja que f (x) no s anul la per a cap valor de x real. 1. Se sap que la funció f(x) ax bx 1 presenta un mínim en el punt P(4, 4). Calcula a i b. f(4) 4 16a 4b 1 4 4a b 4 f (x) ax b; f (4) 0 8a b 0 Equació recta normal: Punt (5, 0):. Dibuixa de manera aproximada la gràfica de la funció f(x) ln x. Indica raonadament si hi ha algun punt en què aquesta funció no sigui derivable. Equació recta normal: 18. Representa gràficament la funció f(x) x. Hi ha algun punt en el qual aquesta funció no sigui derivable? Justifica n la resposta. La funció no és derivable en x 0 perquè no existeix f(0) i, per tant, no pot ser-hi contínua. 3. Justifica el motiu pel qual la funció f(x) no és derivable en x 0. Perquè no existeix f (0). No. La funció és contínua i derivable a tot R. La seva gràfica és la mateixa que la de la funció g(x) x, ja que f(x) 0 per a tot x R. 19. Determina l expressió algèbrica de la funció f(x) que verifica les condicions següents: De fet, com que no existeix lim f(x), la funció no és contínua en x0 x 0 i, per tant, no pot existir f (x). 4. Representa gràficament la funció f(x) log x i, a partir d aquesta gràfica, dibuixa la funció g(x) log x. Per a quins valors de x no existeix g (x)? Per què? a) f (x) 3 b) El seu gràfic passa pel punt P(, 10) f(x) 3x n f() n n Per tant, f(x) 3x 4

32 3 1 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE. Donada la funció x, resol l equació f (x) 0 en. f(x) x f (x) 1 La funció g(x) no és derivable en x 1. Observa a partir de la gràfica que g (1 ) g (1 ). ƒ (x) La funció: f(x) és derivable en x? Per què? f() 3 Per tant, x x x x Com que lim f(x) f(), la funció no és contínua en x. Aleshores, tampoc pot ser derivable en aquest x punt. Avaluació 3. Calcula les equacions de les dues rectes del pla que passen pel punt P(1, 1) i que són tangents a la corba d equació y (x 1). Els punts de la gràfica de y (x 1) són de la forma Q (x, (x 1) ). El pendent de la recta tangent en cada un d aquests punts val y (x) (x 1). El pendent de la recta que uneix P amb un d aquests punts Q serà. Si es vol que una de les rectes PQ sigui tangent a la gràfica de 1. Calcula les derivades de les funcions següents, simplificant al màxim: y (x 1) s ha de complir l equació té com a úniques solucions: a) x 0 i b) x. que a) f f b) f f c) f f d) f f En el cas a) el pendent de la recta ha de ser y (0) i en el cas b) és y (). Les rectes corresponents, que passen per P i tenen pendents i, tindran com a equacions: (y 1) (x 1) x y 1 0 (y 1) (x 1) x y Considera la funció f(x) x 3 3x x. Calcula l equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d abscissa x 3. La imatge del punt d abscissa x 3 de la funció és f(3) P(3, 8) i la derivada de la funció: f (x) 3x 6x. El pendent de la recta tangent en aquest punt és: m f(3) i l equació de la recta: y 8 11(x 3) y 11x 5

33 MATEMÀTIQUES 33 j Unitat. Funcions contínues i derivables Activitats 1. A partir de les funcions f(x) x 1 i g(x) x 3 1, escriu les funcions (f g)(x), (f g)(x), i Raona la teva resposta. (f g)(x) x 1 x 3 1 x 3 x (f g)(x) (x 1)(x 3 1) x 5 x 3 x 1 f x g ( ). Són contínues? Les dues funcions són contínues per ser polinomis. presenta una discontinuïtat asimptòtica a x 1, valor que anul la el denominador.. Descompon la funció f(x) 5x 4 e x en tres factors que siguin funcions contínues. Es poden donar diferents resultats. Per exemple: m(x) 5x, g(x) x 3 i h(x) e x. 3. La funció f(x) tg x és contínua? Recorda que tg x. f(x) tg x cos x 0 x (k 1) no és contínua en els valors de x que fan, amb k un nombre enter. 4. Considera les funcions f(x) x 1 i g(x) x 1. Escriu les f funcions x g ( ), g x f ( ), (f g)(x) i (g f)(x). Raona si les funcions obtingudes són contínues. és contínua. 6. Considera la funció f(x) x 4 14x 14x 1. Explica per què es pot aplicar el teorema de Bolzano en l interval [0, 1]. Troba un valor aproximat a les centèsimes de c tal que f(c) 0 en aquest interval. La funció f(x) és contínua i verifica: f(0) 1 i f(1) 1. Es verifica el teorema de Bolzano en l interval [0,1]. Utilitzant la calculadora per trobar valors numèrics tenim que f(0,1) 0,6, per tant, el valor c buscat es troba entre 0 i 0,1. El valor de c 0,08 dóna f(0,08) Separa les quatre arrels reals de la funció següent: f(x) x 4 13x 15 En la funció tenim: f(1) 4, f() 5 i f(3) 60 igualment per la paritat de les potències de x tenim: f(1) 4, f() 5 i f(3) 60. Els intervals que separen les quatre arrels són: [1,], [,1], [,3] i [3,]. 8. Calcula els valors de f(x) x 7 3x 3 a x 0 i x 1. Pots determinar si la gràfica de la funció talla l eix de les abscisses en algun punt entre 1 i 0? Troba aquest punt amb una aproximació fins a les centèsimes. f(0) 3 i f(1) 1. Pel teorema de Bolzano en l interval [1,0] la gràfica de la funció talla en un punt l eix de les abscisses. Calculant valors numèrics de la funció per a diferents valors de x de l interval, s obté c 0, Considera la funció f(x) x x 1. És una funció contínua que té com a gràfica una paràbola. Existeix un punt c tal que f(c) 0? Explica si en aquesta funció es pot aplicar el teorema de Bolzano en l interval [0, ]. La funció verifica f(1) 0 c 1. No es pot aplicar el teorema de Bolzano en l interval [0, ] ja que f(0) 1 f(). 10. Troba el màxim i el mínim absoluts de la funció f(x) x x en l interval [1, ]. Representa gràficament la funció per ajudar-te a trobar la solució. En l interval [1, ] es verifica: f(1) 3, f() 0 i f(1) 1 que és el màxim absolut i vèrtex de la paràbola. El mínim absolut es troba a x 1, un dels extrems de l interval. La gràfica és: presenta una discontinuïtat a x 0, valor que anul la el denominador. (f g)(x) x 1 1 és contínua. (g f)(x) ( x 1) 1 és contínua. 5. Explica un fet quotidià que posi de manifest el teorema dels valors intermedis. Per exemple, en una etapa ciclista els corredors passen per un quilòmetre determinat. 3

34 34 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 11. Verifica si la funció f(x) tg x té màxim i mínim absoluts en l interval. Raona la teva resposta. La funció f(x) tg x no és contínua a x per la dis- a x 0 f(0) 0. No té màxim absolut a x continuïtat.. Té mínim absolut 1. Troba els punts de la funció en els quals no sigui derivable. La funció no és contínua a x 1 i x 1, valors que no són del domini; per tant, no és derivable en aquests punts. 13. Considera la funció f(x) 3x 4 8x 3 6x. Troba n els punts estacionaris i classifica ls. Calculem la derivada de la funció i la igualem a 0. f (x) 1x 3 4x 1x 1x 3 4x 1x 0 1x(x x 1) 0 Per a x < 0 f (x) < 0, i per a x > 0 f (x) > 0; per tant, a x 0 hi ha un mínim relatiu. La funció presenta una discontinuïtat en el punt x 1; per tant, la funció no és contínua en l interval [0, ] i no es pot aplicar el teorema de Rolle. 18. Considera la funció f(x) x 3 3x en l interval [0, 3] i aplica el teorema de Rolle en aquest interval. Quin és el punt c que prediu el teorema? Hi ha algun altre punt que no pertany a (0, 3) en què també s anul li la derivada? f(0) 0 i f(3) 0 es pot aplicar el teorema de Rolle. f (x) 3x 6x 3x 6x 0 3x(x ) 0 c (0, 3) i 0 (0, 3) 19. Demostra que a la funció f(x) se li pot aplicar el teorema del valor mitjà en l interval (0, 1). Troba el punt c de l interval en què f (c) 1. Troba l equació de la recta tangent a la corba en aquest punt. f (x) és contínua en l interval (0, 1) i f(0) 0 f(1) 1; per tant, es pot aplicar el teorema del valor mitjà. Per a x < 1 f (x) > 0, i per a x > 1 f (x) > 0; per tant, a x 1 hi ha un punt d inflexió de tangent horitzontal. En ambdós casos es consideren valors de l entorn de 0 i 1, respectivament. 14. Interpreta el valor de la derivada de la funció y x 3 1 en el punt x 0. La derivada y 3x. En el punt x 0 s anul la la derivada i per a valors anteriors i posteriors de l entorn de x 0, la derivada és positiva. A x 0 hi ha un punt d inflexió de tangent horitzontal. 15. Troba la derivada de les funcions f(x) e x i de g(x) ln x. Tenen punts estacionaris aquestes funcions? Raona n la resposta. f (x) e x i la funció no té punts estacionaris ja que la derivada no s anul la per a cap valor de x. Igualment passa amb la funció g(x) ln x, ja que la derivada g (x) 1 x no s anul la. Equació de la recta tangent: punt, m 1 0. Demostra que la funció f(x) és decreixent en tot el seu domini.. L expressió de la derivada per a qualsevol valor de x; per tant, la funció és decreixent. 1. Comprova que el punt és el punt on es verifica el teorema de Cauchy per les funcions següents f(x) 3x i g(x) x 1 en l interval [1, 4]. 16. Considera la funció f(x) sin x en l interval [0, ]. Aplicali el teorema de Rolle per trobar un punt c tal que f (c) 0. f(0) 0 i f() 0. El teorema de Rolle afirma que hi ha un punt de l interval (0, ) en el qual la derivada s anul la. 17. Esbrina si la funció verifica les condicions del terorema de Rolle a l interval [0, ].

35 MATEMÀTIQUES 35. Troba els punts de la funció f(x) x 3 4x 1 que verifiquen f (x) 0. Classifica ls i expressa els intervals de monotonia i concavitat. b) f(x) x (x 1) (x ) 3 La funció és: f(x) x(x 1) (x ) 3 f (x) (x ) (x 1) (6x 10x ) f (x) 0 x x 1 f (x) 6x Mínim relatiu a x Màxim relatiu a A x hi ha un mínim relatiu i absolut; a x 1, un f (0) 0 x 0 és un punt d inflexió. màxim relatiu; a x un punt d inflexió., un mínim relatiu; i a x, f(x) és creixent: decreixent: i c) f(x) e x x f (x) e x x e x e x (x 1) x 1 0 x 1 f (x) e x (x 1) e x e x (x ) x 0 x convexa: (,0); còncava: (0, ) 3. Estudia la primera i la segona derivada de la funció f(x) ln (x 1) per trobar possibles màxims o mínims relatius i punts d inflexió. Vés amb compte a l hora d interpretar els valors que anul len la segona derivada. f (1) e 1 > 0 a x 1 hi ha un mínim relatiu i a x hi ha un punt d inflexió. d) f(x) cos x amb x [0, ] f (x) sin x sin x 0 x f (x) cos x 0 f (0) < 0 a x 0 hi ha un màxim relatiu. f () > 0 a x hi ha un mínim relatiu. f () < 0 a x hi ha un màxim relatiu. f (0) > 0 a x 0 hi ha un mínim relatiu. Els punts x ±1 són punts d inflexió, encara que no de tangent horitzontal. 5. Calcula els límits següents: a) 4. Troba els extrems relatius i els punts d inflexió de les funcions: a) f(x) f (x) x 1 0 x ±1 b) f (x) f (1) > 0, a x 1 hi ha un mínim relatiu. tg x f (1) < 0, a x 1 hi ha un màxim relatiu. No hi ha punts d inflexió ja que: c)

36 36 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE d) b) f(x) sin x e x1 f(x) (sin x) e x 1 és contínua ja que és el producte de dues funcions contínues. c) f(x) 6. Calcula els límits següents aplicant la regla de l Hôpital sabent que són una potència del nombre e. f(x) Cal trobar l exponent k de e k en cada cas. és contínua per a tot x 1. Per a x 1 presenta una discontinuïtat asimptòtica. a) d) f(x) cos x cos x 1 f(x) cos x cos x 1 és contínua per ser suma de tres funcions contínues. b) Derivant numerador i denominador tot aplicant la regla de L Hôpital, s obté k. Per tant, e és el resultat.. La funció f(x) x x 1 és contínua. Explica si es pot aplicar el teorema de Bolzano en algun interval. Té alguna arrel l equació f(x) 0? L expressió x x 1 > 0 per a tot x i, per tant, no es pot aplicar el teorema de Bolzano i l equació f(x) 0 no té cap arrel. e 3 3. Raona si la funció f(x) x 6 6x 3 té alguna arrel entre 0 i 1. Troba aquest valor amb una aproximació fins a les centèsimes. c) d) e 1 e Apliquem el teorema de Bolzano ja que: f(0) 3; f(1) i la funció és contínua. Existeix un c [0, 1] tal que f(c) 0. Utilitzant la calculadora per trobar valors numèrics de la funció per a valors de x de l interval, s obté com a valor aproximat c 0,7. 4. Troba els extrems absoluts de f(x) e x 1 en l interval [1, 1]. f(1) e 1 1 0,63; f(1) 1,718 e 6 f (x) e x f(x) no té extrems relatius ja que e x 0, per tant, els extrems absoluts es troben en els extrems de l interval: a x 1 hi ha el mínim absolut i a x 1 el màxim absolut. Activitats finals 1. Raona la continuïtat de les funcions: a) f(x) ln (x 1) f(x) ln(x 1) és contínua per a tot x del domini, ja que x 1 > Estudia la derivabilitat de la funció f(x) en el punt x 0. f(x) és contínua per a tot x del domini: D f [1, ). no està definida a x 1, per tant, no és derivable en aquest punt. A x 0 no és derivable.

37 MATEMÀTIQUES Demostra que f(x) és decreixent en tot el seu domini. per a tot x del domini. Si la derivada és negativa, la funció és decreixent. 7. Calcula les tres primeres derivades de f(x). Troba una expressió per a la derivada enèsima x 3 x 3 x a a... a n n n x amb a n 3n 4 8 x 3 ; 8. Troba l equació de la recta tangent a la corba següent: y x 3 3x en el punt d abscissa 1. Punt de tangència: P(1, ); pendent: m y (1). Equació de la recta: y. 1. Estudia la monotonia i dóna els intervals de creixement i decreixement de les funcions: a) f(x) 1 x 3x f (x) 6x 6x > 0 Per a x < la funció és creixent; per a x >, la funció és decreixent: (, ) i (, ), respectivament. b) f(x) x sin x f (x) 1 cos x [0, ]. c) f(x) x ln x f (x) x 0, la funció és creixent per a tot x en f(x) és creixent en (1, 0) i (1, ) i decreixent en (, 1) i (0, 1). d) f(x) x 4 x És la funció de l activitat 14 d). Aprofitant els extrems relatius establim que f(x) és: 9. Esbrina si f(x) és creixent en tot el seu domini. Què passa en el punt x 1?. La derivada és positiva i la funció és creixent Creixent: Decreixent: i i per a x > 1; és negativa i la funció és decreixent per a x < 1. En el punt x 1 hi ha una discontinuïtat asimptòtica. 10. Calcula la derivada de les funcions següents: a) y 13. Dóna un raonament per tal de justificar que la funció f(x) x 5 5x 3 x talla l eix de les abscisses en un sol punt. f(x) x (x 4 5x ) f(x) 0 x 0, que és el punt on talla l eix de les abscisses; x 4 5x > 0 per a tot x i, per tant, la gràfica no talla a cap altre punt l eix de les abscisses. 14. Classifica els possibles extrems relatius de les funcions: b) y sin 3x tg 3x y sin 3x tg 3x y 3 cos 3x tg 3x sin 3x a) f(x) sin x cos x f (x) cos x sin x cos x sin x 0 cos x sin x cos x 0 cos x (1 sin x) 0 3 sin 3x 11. Raona per què la funció f(x) x cos x no pot tenir màxims ni mínims relatius. f (x) sin x > 0 ja que 1 sin x 1 i la derivada no s anul la per a cap valor de x. x 1 x x 3 x 4 f (x) sin x 4 cos x hi ha un mínim relatiu.

38 38 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 15. Determina la concavitat i els punts d inflexió de les funcions: hi ha un mínim relatiu. En cada cas cal trobar els punts en els que s anul len les derivades primera i segona. a) f(x) x 3 x 4x 8 hi ha un màxim relatiu. f (x) 3x 4x 4 3x 4x 4 0 x 1 i x f (x) 6x 4 0 x és un punt d inflexió. hi ha un màxim relatiu. b) f(x) x 4 e x f (x) 4x 3 e x x 4 e x (1) x 3 e x (4 x) x 3 e x (4 x) 0 f () < 0 hi ha un màxim relaitu a x. f > 0 hi ha un mínim relatiu a x. f(x) és convexa en, i còncava en,. f (x) 3x e x (4 x) x 3 e x (4 x) x 3 e x f (0) 0, a x 0 hi ha un punt d inflexió. f (4) < 0, a x 4 hi ha un màxim relatiu. c) f(x) x 3 5x 6x f (x) 3x 10x 6 3x 10x 6 0 x f (x) 6x 10 b) f(x) x 3 f (x) 3x ; f (x) 6x x 0 és un punt d inflexió de tangent horitzontal i de canvi de concavitat. f(x) és convexa en (, 0) i còncava en (0, ). c) f(x) x cos x f (x) 1 sin x i f (x) cos x hi ha un mínim relatiu. cos x 0 hi ha un màxim relatiu. f(x) és convexa a (0, ) i (, ) i còncava a (, ). d) f(x) x 4 x f (x) 4x 3 x 4x 3 x 0 x(x 1) 0 x 1 0 x x 3 f (x) 1x f (0) < 0, a x 0 hi ha un màxim relatiu. d) f(x) x 4 x f (x) 4x 3 x f (x) 1x 1x 0 x tenint en compte els extremes relatius de la funció trobats a l activitat 14 d) podem establir: f(x) és còncava a, i,, ; a x i x hi ha mínims relatius. i convexa a.

39 MATEMÀTIQUES Determina els punts d inflexió de la funció següent: 0. Analitza la continuïtat i la derivabilitat de la funció f(x) si x 0 i f(0) 0. La funció presenta una discontinuïtat de salt a x 0. No és derivable a x 0 ja que no és contínua en aquest punt. 1. Calcula: a) (1 cos x) x 6x 0 x ± És un limit del tipus e K. Hi ha dos punts d inflexió. 17. Calcula la primera i la segona derivada de la funció f(x) (x 1) 3. S anul len les dues derivades en un mateix punt? Troba aquest punt i explica de quin tipus és. f (x) 3(x 1) f (x) 6(x 1) Les dues derivades s anul len per a x 1. En aquest punt hi ha una inflexió de tangent horitzontal i de canvi de concavitat. 18. Considera la funció f(x) x 3 ax bx 7. Troba a i b de manera que la gràfica de la funció tingui a x 1 un punt d inflexió de tangent horitzontal. Els punts estacionaris anul len la primera derivada: f (x) 3x ax b f (1) 3 a b 0 a b 3 Els punts d inflexió anul len la segona derivada: f (x) 6x a f (1) 6 a 0 a 3 b 3 La funció té un punt d inflexió a x 1 per a b Determina f(x) sabent que la derivada tercera és f (x) 4x, f(0) 0, f (0) 1 i f (0). f(x) és un polinomi de quart grau ja que la tercera derivada és de primer grau: f(x) ax 4 bx 3 cx dx e f(0) 0 e 10 f (x) 4ax 3 3bx cx d f (0) 1 d 1 f (x) 1ax 6bx c f (0) c c 1 f (x) 4ax 6b 4x a 1 i b 0 Substituint: f(x) x 4 x x x 0 lim( 1cos x) e 1 x0 b) (sin x) tg x És del tipus e K. lim(sin x) x tg x x 3 x e e c) lim x0 ln( 1 x ) 0 e 1 x 3 x x e e e 3e lim lim x0 ln( 1 x ) x0 1 1 x x 3 x lim( 1 x)( e 3e ) 4 x0 d) (x 4 ln x) (x 4 ln x) 3 x

40 40 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE Avaluació 1. (Curs ) Considera la funció on a és un nombre real. a) Calcula el valor del nombre real a sabent que f(x) té un extrem relatiu en el punt d abscissa x 3. Hem de tenir f (3) 0. Ara, f (x) f (3). Igualant a 0, tenim a O sigui que b) Aquest extrem relatiu, es tracta d un màxim o d un mínim? Raona la resposta. Per veure el caràcter de l extrem, calculem la derivada segona, f (x) f (3) > 0, per tant, l extrem és un mínim relatiu.. La gràfica següent correspon a una funció f :[, 6] derivable i amb derivada contínua. Fes un esbós de la gràfica de f :(, 6) i justifica n el per què. 3. Considera la funció definida per si si on a és un nombre real. a) Calcula f(x) i comprova que f(x) és contínua en x 0. Com que f(0) 1 i e ax 1 independentment del valor que tingui a, la funció f(x) és contínua. b) Per a quin valor del nombre a, la funció f(x) és derivable en x 0? Com que la derivada de e ax és ae ax, que en x 0 val a, i la derivada de x 1 és constant i igual a, la funció f(x) és derivable només quan a. 4. (Curs 00 03) Com a resultat del test efectuat amb un nou model d automòbil per determinar-ne el consum de benzina, s ha observat que, per a velocitats compreses entre 5 i 175 km/h, el consum C(x) de gasolina, expressat en litres consumits en 100 km, fets a la velocitat constant de x km/h, es pot aproximar per la funció C(x) 7,5 0,05x 0,0005x. a) Determina el consum a les velocitats de 50 km/h i de 150 km/h. C(50) 7,5 0, , ,65 litres en 100 km C(150) 7,5 0, , ,65 litres en 100 km b) A quina velocitat s obté el mínim consum? Quin és aquest consum mínim? La gràfica de C(x) és una paràbola que té un mínim absolut. Per determinar-lo igualem la derivada C (x) 0,05 0,0005x a 0 i obtenim x 100 km/h. Per a aquesta velocitat el consum és C(100) 5 litres en 100 km, que serà el consum mínim. c) Fes un estudi del creixement i decreixement de la funció C(x) a l interval [5,175]. Determina les velocitats que corresponen a consum màxim, així com aquest consum. És la gràfica d una funció més o menys en forma de paràbola decreixent a i creixent a ; que s anul la a 3 i a 5 i amb un mínim a 4. La funció derivada C (x) s anul la per a x 100, on té el mínim. Per a valors de x inferiors, esdevé negativa, ja que el coeficient de la x és positiu i per tant, al disminuir la x a partir del valor que anul la la derivada, aquesta esdevindrà negativa. A l inrevés passa quan x s incrementa a partir d aquest valor. Per tant la funció és decreixent en l interval (, 100) i creixent en l interval (100, ), i assoleix el mínim absolut i relatiu en el punt (100, 5). El màxim absolut en l interval [5, 175] s assolirà en un dels dos extrems de l interval (o en tots dos). Obtenim els valors C(5) C(175) 6,41 en 100 km, que és el consum màxim que s assolirà per a les dues velocitats de 5 i 175 km/h.