Unitat 6. Introducció a les funcions

Transcripción

1 Unitat 6. Introducció a les funcions Índex: 6.1. Representació gràfica de punts 6.2. Concepte de funció 6.3. Maneres d expressar una funció 6.4. Interpretació de funcions 6.5. Funcions de proporcionalitat directa 6.6. Funcions afins 6.7. Funcions de proporcionalitat inversa 6.1. Representació gràfica de punts Les coordenades d un punt P en el pla vénen determinades per un parell ordenat de nombres, x i y, anomenats coordenades cartesianes del punt, i que s escriuen P(x, y) o bé P (abscissa, ordenada) - La primera coordenada, x, es mesura sobre l eix d abscisses o horitzontal, OX. S anomena abscissa del punt P. - La segona coordenada, y, es mesura sobre l eix d ordenades o vertical, OY. S anomena ordenada del punt P. El punt de tall dels eixos s anomena origen de coordenades, O. 1.-Representa els punts següents en un sistema de coordenades cartesianes. Indica a quin quadrant pertany cadascun. A( 6, 0) B( 3, 3) C(0, 2) D( 5, 3) E(1, 7) F(3, 5) 2.-Representa els punts següents en un sistema de coordenades cartesianes. Indica a quin quadrant pertany cadascun. A(-5, 3) B(-3, 0) C(4, 7) D( 1, 3) E(8,-2) F(-4, 6) 3.-Digues quines són les coordenades dels punts representats a) b) 4.- Representa els punts següents en un sistema de coordenades cartesianes. Indica a quin quadrant pertany cadascun. A(4,-2) B(6, 6) C(-4,0) D(0,-1) E(-5, -2) F(3, 3) 1

2 5.-Representa els punts següents en un sistema de coordenades cartesianes. Indica a quin quadrant pertany cadascun. A(-4,-3) B(4, 0) C(0,2) D( 1,-3) E(-2,1) F(3, 4) 6.-Digues quines són les coordenades dels punts representats a) b) 7.-Representa els punts següents i digues a quin quadrant pertanyen: A(-2,3) B(-1,0) C(-1/2,3/2) D(0,4) E(3,6) F(1/2,-1) G(2/3,0) H(-4,-2) I(1/5,2) 8.-Digues quines són les coordenades dels punts representats a) b) 6.2. Concepte de funció Una magnitud és tot allò que es pot mesurar. Si dues magnituds estan relacionades quan una varia (variable independent) l altre també ho fa (variable depenent) Una funció és una relació de dependència entre dues variables numèriques, x i y, de manera que a cada valor de x (variable independent) correspon un únic valor de y (variable dependent). La variable dependent y és funció (depèn) de la variable independent x. 9.- Indica quines d aquestes relacions són funcions i quines no ho són. Si són funció, indica quina és la variable depenent i quina la independent. a) Títol d un llibre i nombre de pàgines. b) Velocitat i temps per recórrer un trajecte. c) Hora del dia i longitud d una ombra 10.-Indica quina és la variable independent i quina la variable dependent del parell de variables relacionades en cadascun dels apartats següents: a) L import de la factura de la llum i el nombre de quilovats gastats. 2

3 b) El costat d un quadrat i el seu perímetre. c) Un nombre enter i el valor del seu quadrat. d) Els cost d una trucada telefònica i el temps de durada. e) L espai recorregut i el temps invertit a recórrer-lo Digues, raonant la resposta, si la relació entre els parells de magnituds següents és una funció o no (Si són funció, indica quina és la variable depenent i quina la independent.): a. L altura d una persona i el seu pes. b. El pes d un barril i la quantitat de líquid que conté. c. La longitud dels costat d un rectangle i el seu perímetre. d. La quantitat d hores dedicades a estudiar i la nota obtinguda a un examen. e. El nombre d operaris i el temps que tarden a acabar una feina Digues si aquestes gràfiques corresponen a una funció Aquesta gràfica representa una funció? Raona la teva resposta Maneres d expressar una funció Una funció es pot representar de 4 formes diferents: 1. Mitjançant un enunciat 2. Mitjançant una taula de valors 3. Mitjançant una expressió algebraica 4. Mitjançant una representació gràfica -Una funció és contínua si podem dibuixar-ne la gràfica ab un sol traç -És discontínua si la seva gràfica no es pot dibuixar amb un sol traç 14.- Una botiga ofereix un model de telèfon mòbil a 45 la unitat. Expressa aquesta funció en forma de taula i representa-la gràficament Aquesta gràfica relaciona les hores que han passat des de la inauguració d una exposició amb el nombre de persones que hi han anat. Forma la taula de valors corresponent. 3

4 16.- Aquesta taula de valors relaciona la base amb l àrea d un rectangle de 2 cm d altura. Representa gràficament els valors. Base (cm) Àrea (cm 2 ) Joan dibuixa rectangles en els quals el llarg és tres vegades l'ample. Escriu l'equació que dóna el llarg corresponent a un ample i representa-la. 18.-Escriu l expressió algèbrica (fórmula) de les funcions següents: a) Assigna a cada nombre el seu doble disminuït en cinc unitats. b) Assigna a cada nombre l àrea el quadrat de costat aquest nombre. c) Assigna a cada nombre el seu oposat augmentat en set unitats. d) Assigna a cada nombre el triple del seu quadrat Donada la funció que associa a cada nombre el seu triple menys 7 unitats: a) Troba n l expressió algebraica. b) Calcula f(3) f(-3) f(5) i f(-5). 20.-Donada la funció que associa a cada nombre enter la seva quarta part més 5: a) Troba n l expressió algebraica. b) Calcula f(2) f(-2) i f(0). 21.-Expressa, per mitjà d un enunciat, les funcions següents: a) y = 2x 1 b) y = x Troba l expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre: a) El seu triple b) El seu quadrat c) El seu doble més 5 d) La seva meitat 23.- Troba una taula de valors per a les funcions següents i fes ne la representació gràfica (si et veus amb cor, expressa les també amb un enunciat): a) y = x + 2 b) y = 2x + 3 c) y = x 2 d) y = x 2 + x e) y = 3x 1 f) y = x g) y = 4x 4 h) y = x 24.- Un artesà fabrica rellotges que ven a 600 cadascun. Si dedica una setmana a fabricar cada rellotge, representa les funcions: a. Nombre de rellotges Guany b. Temps Guany 25.- En un magatzem es ven el litre de vi a 2,70. Expressa aquesta situació amb una funció, dibuixa n la gràfica i determina si és contínua Un venedor de mobles té un sou fix de 480 i, per cada moble que ven cobra 10 de comissió. Dibuixa la gràfica que expressa el guany en funció del nombre de mobles venuts i indica si es tracta d una gràfica contínua o no Respon raonadament a les qüestions següents: a) Si el quilo de tomàquets val 1,50, és contínua la funció que expressa la relació entre el pes dels tomàquets i el seu preu? b) Si cada llapis val 0,50, és contínua la funció que relaciona el nombre de llapis amb el seu preu? 4

5 28.- Dibuixa les gràfiques d aquestes funcions: a) A cada nombre natural li fem correspondre el seu doble menys dos. b) A cada nombre enter li fem correspondre el seu doble menys Una ampolla d 1 litre d oli costa 2,5. Construeix una taula de valors que doni l import d 1, 2, 3, 4 i 5 ampolles. Representa la gràfica de la funció i indica si es tracta d una gràfica contínua o no Un cotxe consumeix 6,3 l de benzina cada 100 km. Escriu l expressió algèbrica de la funció que ens dóna el consum segons el nombre de quilòmetres recorreguts, construeix una taula de valors i dibuixa la gràfica de la funció. Indica si es tracta d una funció contínua o no Interpretació de funcions Si coneixem la gràfica d una funció podem obtenir informació molt útil per veure el comportament de les variables que s hi representen. 31.-La gràfica relaciona el temps d una trucada telefònica amb el seu preu. Digues el preu i el temps de les trucades A, B i C. a) Quina unitat agafem en cada eix? b) Quina és la variable independent i quina la dependent? c) Troba la taula de valors que relaciona les dues magnituds. 32.-A partir de la gràfica, encercla segons siguin certes o falses, les afirmacions següents: a) B pesa més que C Cert Fals b) C és més alt que A i B junts Cert Fals c) C medeix el doble que B Cert Fals d) A i B junts, pesen més que C Cert Fals e) B és el més baix i el que pesa menys Cert Fals f) C és el més alt i el que pesa més Cert Fals 5

6 33.- La gràfica representa la quantitat de gasolina que hi ha en un dipòsit durant un viatge. a) Quants litres hi ha al dipòsit en el moment de sortir? I a l arribada? b) En quins quilòmetres es va posar gasolina? c) Quants litres de gasolina es van posar durant el viatge? d) Identifica la variable dependent i la independent La gràfica següent expressa la relació entre el temps (en minuts) i l espai (en quilòmetres) recorregut per una persona durant una hora. a) Expressa-la en una taula de valors. b) Quants quilòmetres ha recorregut? c) Quant temps ha estat aturada? d) Quant temps ha caminat? 35.- La gràfica mostra el preu d una trucada telefònica amb un contracte determinat: a) Identifica les variables. És una funció? b) Esbrina si és una funció creixent o decreixent? c) Té màxims i mínims? d) Quant costarà una trucada de 8 minuts? I una de 7 minuts? I una de 2 minuts? e) Si només vull gastar 1, quant temps podré parlar? f) És una funció contínua? 36.-S ha fet un estudi en una ciutat sobre el nombre de famílies que es connecten a Internet cada any. 6 a) Representa gràficament els parells de valors. b) Interpreta els resultats.

7 37.-Aquesta taula recull les temperatures d una localitat al llarg d un dia. a) Identifica les variables. b) Representa la gràfica. c) Troba n els màxims relatius. d) Troba n els mínims relatius. e) És una funció contínua? f) Durant quantes hores la temperatura ha superat els 0 ºC? g) A quina hora es va mesurar la temperatura mínima? I la màxima? h) A quines hores la temperatura va ser de 0 ºC? 38.- La gràfica registra el nombre de visitants d un museu durant 9 dies. Digues quines de les afirmacions són verdaderes. a) Hi ha un màxim a x = 4, perquè el quart dia es va registrar el nombre de visitants més gran. b) El nombre de visitants va ser diferent cada dia. c) En dos dies hi van anar 250 persones. d) Els últims cinc dies hi va haver en total més visitants que durant els quatre primers dies Fem una excursió en bicicleta fins a un parc situat a 60 km. Per arribar-hi s ha de recórrer un camí amb pujades i baixades. Després, descansem i tornem a casa. a) Quin significat tenen els nombres situats en l eix d abscisses? I els de l eix d ordenades? b) A quina hora hem sortit? c) Quants quilòmetres hi ha des de l inici de la primera pujada fins al cim? d) Quant temps triguem a pujar-la? I a baixar-la? e) Quant temps estem al parc? f) Com és el camí de tornada? g) En quin tram la funció creix? On decreix? h) És una funció contínua? 40.-La gràfica mostra el moviment de dos cotxes. S hi pot observar com varia, a mesura que transcorre el temps, la seva posició respecte d un punt de referència comú a tots dos. Observa la gràfica i contesta les següents preguntes: 7

8 a) Els dos cotxes parteixen del mateix lloc? Es posen en marxa al mateix moment? b) Quan es troben? A on? c) Quina distància recorre cada cotxe des que surt fins que es troba amb l altre? d) Quin dels dos cotxes circula a una velocitat mitjana més gran? 41.- Observa la gràfica de la funció i digues quina de les opcions següents és falsa: a) La funció és creixent de les 0 a les 3h b) La funció és constant de les 3 a les 8h c) La funció és creixent de les 8 a les 10h 42.- A la gràfica es mostra la trajectòria que segueix un objecte que es llança obliquament des del terra a una certa velocitat a) Quina és l alçada màxima que assoleix respecte del terra b) A quants metres del punt de sortida impacta l objecte amb el terra? 43.- El preu que cal pagar per les fotocòpies depèn del nombre que se n faci d un mateix original. Observa la taula: a) Quant costaria fer 60 fotocòpies d un mateix original? I 150 fotocòpies? 44.- En Joan ha portat la targeta de memòria amb les fotografies digitals per fer-ne una còpia en paper. Li cobren 3 pel servei 0,25 per cada fotografia que surti bé. 8

9 a) Completa la taula de valors següent: Nombre de fotos que paga Import ( ) b) Raona si les dues magnituds estudiades són directament proporcionals c) Anomena F el nombre de fotografies que paga en Joan i I l import. Determina l expressió algebraica d aquesta funció 45.-L Aurora ha anat amb taxi des de l estació de tren fins a la biblioteca. Per la baixada de bandera li cobren 5 i per cada quilòmetre que fa el taxi 0,80. a) Completa la taula de valors següent: Quilòmetres que fa el taxi Import ( ) b) Raona si les dues magnituds estudiades són directament proporcionals. c) Anomena x els quilòmetres que fa el taxi i y l import que cobra. Determina l'expressió algèbrica d'aquesta funció. d) Si hi ha 10 quilòmetres des de l estació de tren fins a la biblioteca. Quant li han cobrat a l Aurora? 46.- La gràfica següent mostra la temperatura d un malalt al llarg del dia. Indica: a) En quins intervals va augmentar la seva temperatura. b) En quins intervals va disminuir la seva temperatura. c) En quins intervals es va mantenir constant. d) En quin moment va assolir la temperatura màxima. e) En quin moment va assolir la temperatura mínima La gràfica de sota representa aproximadament com varia la temperatura d un tros de gel extret del congelador a una temperatura de -20 ºC, quan es deixa fora a una temperatura ambient de 20 ºC. Passats 5 minuts, el gel s ha escalfat fins els 0 ºC i comença a desfer-se. Als 10 minuts tot el gel s ha fos i l aigua comença a augmentar de temperatura fins que als 20 minuts d haver-lo tret del congelador l aigua ja es troba a temperatura ambient. 9

10 a) És contínua la gràfica? b) Entre quins valors del temps és constant la temperatura? c) Quin és el valor mínim de la temperatura? d) Quin és el valor màxim de la temperatura? 48.- Aquest gràfic mostra el moviment al llarg d un dia d un transportista que ha sortit de casa seva. S hi pot observar com varia la seva posició a mesura que transcorre el temps. a) A quina hora ha sortit de casa seva? b) A quina hora hi ha arribat? c) A quina distància de casa seva es troba a les 7 del matí? d) A quina distància de casa seva es troba a 2/4 de 6 de la tarda? e) A quines hores ha estat parat? (per carregar, descarregar, dinar o altres). f) A quina hora ha estat més lluny de casa seva? g) A quants quilòmetres de casa estava en aquest moment? h) Quants quilòmetres ha fet en total durant aquest dia? 6.5. Funcions de proporcionalitat directa Dues magnituds són directament proporcionals si, quan en multipliquem (o dividim) una per un nombre, l altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre. Per tant, la DIVISIÓ entre els parells de valors que es corresponen és constant. (k=constant de proporcionalitat) 10

11 49.- Un cotxe circula a una velocitat constant de 120 km/h. Estudia i representa la funció que relaciona el temps transcorregut i l espai recorregut pel vehicle L Elena surt del quilòmetre 0 d una cursa amb una velocitat de 3 km/h. a) Completa la taula i dibuixa n la gràfica. b) Troba l expressió algebraica d aquesta funció. c) En el moment en què passa pel quilòmetre 11, quant temps fa que ha sortit? 51.- Les dades de la taula són mesures d espais i temps que es triguen a recórrer-los. a) Completa les dades de la taula. b) Representa les dades gràficament. c) Troba l expressió algebraica d aquesta funció Determina l equació de la funció de proporcionalitat directa que passa per: a) (1, 1) b) (2, 4) c) ( 2, 1) Alguna d aquestes funcions passa pel punt (7, 2)? I pel punt (0, 2)? 53.- Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades. Explica les diferències que trobis entre elles. a) y = x b) y = x c) y = 3x d) y = x 54.-Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades. Explica les diferències que trobis entre elles. a) y = x b) y = x c) y = 2x d) y = 5x 6.6. Funcions afins Funció afí és del tipus: y = m x + n On, m és la pendent de la recta i indica el grau d inclinació n és la ordenada a l origen (i per tant indica l alçada o punt de tall de la recta amb l eix Y) 55.- Representa gràficament les funcions: a) y = 2x 3 b) y = 3x + 2 c) y = 2x + 3 d) y = 3x Representa gràficament les funcions: a) y = 2x b) y = x 2 c) y = x +4 d) y = x+ 1/2 57. Representa gràficament en els mateixos eixos de coordenades les funcions següents, observa i contesta: a) y = 2x 1 b) y = 2x + 2 c) y = 3x+1 d) y = 2x+3 11

12 - Quina posició relativa tenen la recta a) i b)? - Quina recta té més inclinació (pendent) de totes? I quina menys? - Quina relació veus entre la inclinació de la recta d) i la b)? - Quina recta talla a una major alçada l eix Y? - A partir del que has après, dibuixa la recta y = 3x 1 i la recta y = -2x Representa les següents funcions afins sense fer taules de valors (a partir del que has après a l exercici anterior): a. y = 3x + 6 b. y = x + 1 c. y = - x + 1 d. y = 3x Representa les següents funcions afins sense fer taules de valors (a partir del que has après amb anterioritat): a. y = x + 3 b. y = 2x + 3 c. y = 3x + 3 d. y = 3x Representa x = 3. Que hi observes? En quins punts talla els eixos? 61.- Representa la funció y = 3. Que hi observes? En quins punts talla els eixos? 62.- Associa cadascuna de les expressions algebraiques amb el seu gràfic corresponent: 63.- Una piscina de 2500 l de capacitat té un desguàs que la buida a raó de 15 l/min. Si representem com a x el temps transcorregut en minuts i com a y els litres d aigua que queden a la piscina quan han transcorregut x minuts des de l obertura del desguàs, escriu l expressió algèbrica de la funció que relaciona x i y Pensa i digues quina és l'equació de cada funció: a) b) c) 12

13 6.7. Funcions de proporcionalitat inversa Dues magnituds són inversament proporcionals si quan en multipliquem(o en dividim) una per un nombre, l altra queda dividida (o multiplicada)pel mateix nombre. Per tant, la MULTIPLICACIÓ entre els parells de valors que es corresponen és constant. (k=constant de proporcionalitat inversa): - La seva expressió algebraica és del tipus Y = k/x, on k és la constant de proporcionalitat inversa. - La gràfica d una funció de proporcionalitat inversa és una corba anomenada hipèrbola, i no talla els eixos Un vehicle recorre 360 km. Estudia i representa la funció que relaciona la velocitat constant a què pot circular i el temps necessari per recórrer els 360 km Representa les funcions següents: a) b) c) 67.- En un trajecte, a una velocitat de 2 km/h, trigo 1,5 h. Quant trigaré a 15 km/h? 68.- La taula següent correspon a una funció de proporcionalitat inversa. a) Completa la taula. b) Escriu l expressió algebraica de la funció. c) Representa la funció La relació entre dos nombres positius ve donada per la taula següent: a) Quina és l expressió algebraica d aquesta relació? b) Representa-la gràficament. c) Dóna valors a x molt propers a zero. Què passa amb els valors de y? 70.- Donades les funcions i. a) Representa-les gràficament. b) Escriu les característiques que les diferencien. 13