Departamento de Matemáticas COMBINATORIA. I. COMBINATORIA.

Transcripción

1 I.. 1. INTRODUCCIÓN. La combinatoria es la rama de la Matemática que tiene por objeto el estudio de los diferentes agrupamientos y ordenaciones que pueden recibir los elementos de un conjunto y, a la hora de hacerlos, debemos tener presentes tres criterios: -Decidir el número de elementos que tendrán las agrupaciones. -Considerar, o no, el orden de los elementos dentro de cada agrupación. -Repetir, o no, los elementos dentro de cada agrupación. Según estos criterios, las agrupaciones que aparecen son distintas y se clasifican en: 2. PERMUTACIONES. P1.- Supongamos que organizo una carrera, en la que participan 5 corredores. De cuántas maneras posibles llegarán a la meta? (no se permite el abandono, ni cabe la posibilidad de un empate). Si mis corredores son: Alberto, Benito, Cirilo, Doroteo y Eustaquio (A, B, C, D y E), veamos cómo puedo "montar" el árbol: -Inicialmente, no hay nada. Empieza la carrera y va transcurriendo. -Llega el primer corredor a la meta: podría ser A, o B, o C, también D e incluso E. -Después llega el segundo corredor: si primero llegó A, ahora llegará B, o C, o D, o E. -Pero si primero llegó B, ahora cabe que lleguen A, o C, o D, o E (etc...). -Si pasamos a ver quien llega en tercer lugar, quedarán siempre tres posibilidades, a saber: -Si llegó primero A y luego B, puede ser que llegue a continuación C, o D, o E. -Pero si después de A llegó C, llegará uno cualquiera de entre B, D o E (etc...). Así pues, el diagrama de árbol presentará el siguiente aspecto: 1

2 En total hay 5 A4 A3 A2 A1 posibles caminos desde la raíz hasta las hojas del árbol. Eso es 5! y se lee "5 factorial" o "factorial de 5", que en este caso da 120 caminos posibles. Analicemos la cuestión: -m elementos, (m=5, los 5 corredores) -agrupados de m en m, (miro cómo llegan uno tras otro a la meta, sin dejarme ninguno) -importa el orden, (quiero averiguar las diferentes llegadas a meta posibles. No es igual ABCDE que EDCBA) -sin repetir elementos, (no va a llegar B dos veces en la misma carrera) En estas condiciones, diremos que estamos ante una permutación de m elementos: P m =m! Otros ejemplos: P2.- Cuántos números de 5 cifras distintas pueden hacerse con las cifras {1, 3, 5, 7, 9}? P3.- Con las letras de la palabra "SORTIJA" cuántas palabras distintas, con sentido o sin él, se pueden construir? P4.- Con las letras de la palabra "SORTIJA" cuántas palabras distintas, con sentido o sin él, se pueden construir que empiecen en vocal? P5.- De cuantas formas pueden quedar clasificados los 8 atletas finalistas olímpicos? 3. VARIACIONES. V1.- Supongamos que organizo una carrera, en la que participan 5 corredores. A los que ganan medalla (oro, plata y bronce) les hago una foto subidos al podium. Cuántas fotografías diferentes podría hacer? (Se entiende por diferente que el medallista del oro en una foto fuese plata en otra, o incluso no ganara nada). Si, otra vez, mis corredores son: Alberto, Benito, Cirilo, Doroteo y Eustaquio (A, B, C, D y E), veamos cómo puedo "montar" el árbol: -Inicialmente, no hay nada. Empieza la carrera y va transcurriendo. -Entonces, llega el primer corredor a la meta que podría ser A, o B, o C, o D e incluso E. -Luego llegará el segundo corredor: si primero llegó A, ahora puede llegar B, o C, o D, o E. -Pero si primero llegó B, ahora cabe que lleguen A, o C, o D, o E (etc...). -Si pasamos a ver quien llega en tercer lugar, quedarán siempre tres posibilidades, a saber: -Si llegó primero A y luego B, puede ser que llegue a continuación C, o D, o E. -Pero si después de A llegó C, llegará uno cualquiera de entre B, D o E. 2

3 El árbol queda como sigue: En total hay 5 A4 A3 posibles caminos desde la raíz hasta las hojas. Eso es: 5!/2! que en este caso da 60 caminos posibles. Analicemos la cuestión: -m elementos (m=5, los 5 corredores) -agrupados de n en n (n=3, los tres primeros, que son los que me interesa ver en qué orden llegan) -importa el orden (quiero averiguar cuántas fotos del podium son posibles. No es igual ABC que BCA) -sin repetir elementos, (no va a estar B en el escalón del oro y en el de la plata, a la vez) En estas condiciones, diremos que estamos ante una variación de m elementos tomados de n en n elementos: Otros ejemplos: V m,n = m A(m-1) A...A(m-n+1) = m! / (m-n)! V2.- Cuántos números de 3 cifras distintas pueden hacerse con las cifras {1, 3, 5, 7, 9}? V3.- En una plantilla de 25 jugadores de fútbol, suponiendo que los jugadores son polivalentes, cuántas alineaciones del once titular se pueden hacer? V4.- Se sortean dos premios entre 14 personas, de forma que no pueden tocarle a la misma persona los dos. Cuántos resultados del sorteo son posibles? V5.- Cuántos partidos de Primera División se juegan en una temporada de la liga española de fútbol? (Son 20 equipos que juegan todos contra todos, una en casa y otra fuera) V6.- Disponemos de 7 colores con los que hemos de pintar las tres franjas de una bandera sin repetir ningún color. Cuántas banderas distintas salen? 3

4 4. COMBINACIONES. C1.- Supongamos que organizo una carrera, en la que participan 5 corredores. A los que ganan medalla (oro, plata y bronce) los invito a cenar. Cuántas cenas diferentes podría hacer? Volvemos con los corredores Alberto, Benito, Cirilo, Doroteo y Eustaquio (A, B, C, D y E) y veamos cómo puedo "montar" el árbol: -Inicialmente, no hay nada. Empieza la carrera y va transcurriendo. -Entonces, llega el primer corredor a la meta. Y, cambiamos de estrategia!, esperamos a ver entrar los siguientes: podría ser A el primero, B el segundo y C, D o E el tercero. -Consideremos ahora que el primero fue B: bien pudiera llegar A el segundo y C el tercero, pero voy a contar con esta posibilidad? Qué más me da invitar a cenar a A y a B o a B y a A? Así que no considero el caso B-A porque el caso A-B ya lo contemplé en el primer camino del árbol. Y si B fue primero y C segundo, Tampoco voy a fijarme en el caso que A entre tercero. Invitar a A, B y C a cenar es lo mismo que invitar a cenar a B, C y A! El árbol quedaría: Si contamos el número de caminos del árbol, obtenemos 10 cenas diferentes. Analicemos la cuestión: -m elementos, (m=5, los 5 corredores) -agrupados de n en n, (n=3, los tres primeros, que son los que voy a invitar a cenar) -NO importa el orden, (una cena con A, B y C es como una cena con C, B y A) -sin repetir elementos, (no voy a cenar con A y con A a la vez) En estas condiciones, diremos que estamos ante una combinación de m elementos tomados m de n en n: C m,n = m! / [(m-n)! An!] =. n 4

5 Otros ejemplos: C2.- Entre un conjunto de 13 candidatos, cuántos equipos diferentes de 4 personas se pueden contratar? C3.- Entre un conjunto de 9 candidatos y 11 candidatas, cuántos equipos diferentes de 4 hombres y 5 mujeres se pueden contratar? C4.- Dados 8 puntos no alineados tres a tres, Cuántas rectas diferentes determinan? C5.- Dados 8 puntos no alineados tres a tres, Cuántos triángulos diferentes determinan? C6.- Cuántos triángulos pueden formarse al unir tres vértices de un polígono regular de 20 lados? 5. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. PR1.- Tengo 3 caramelos de piña, dos de menta y uno de fresa. Los voy a repartir entre mis 6 amigos. De cuántas maneras puedo hacerlo? Analicemos el problema: -Tenemos un conjunto de m elementos (en nuestro ejemplo m = 6 caramelos) -agrupados de m en m (los reparto todos entre todos mis amigos) -importa el orden (quiero averiguar las diferentes formas de dar los caramelos: no es igual, una vez fijados mis amigos, dar M-M-F-P-P-P que P-P-P-F-M-M) -sin repetir elementos... (no voy a dar el MISMO caramelo a dos amigos)...excepto aquellos que son indistinguibles (como los 3 de piña, y los 2 de menta) En estas condiciones, diremos que estamos ante una permutación con repetición de m elementos con grupos de a, b,..., k elementos indistinguibles: PR a,b,...k m = m! a! b!... k! Otros ejemplos: PR2.- Cuántas palabras diferentes de 7 letras puedo hacer con las letras A, A, B, B, C, E, F? PR3.- Además de la locomotora, un tren lleva 3 vagones de segunda clase y 2 de primera clase, que pueden ordenarse de cualquier forma. Un día su posición era así: 21122; otro así: De cuantas formas pueden ordenarse los vagones? PR4.- Hay que repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre 6 chicos. De cuantas formas se puede hacer? PR5.- De cuantas formas se pueden ordenar 6 monedas iguales en hilera de forma que siempre se vean 3 caras y tres cruces? 5

6 6. VARIACIONES CON REPETICIÓN. VR1.- Tengo un caramelo de piña, otro de menta y otro de fresa. Voy a sortearlos entre cinco de mis amigos, de forma que a uno solo de ellos, con suerte, le podrían tocar los tres. Cuántos repartos diferentes podrían suceder? La cosa queda como en el árbol adjunto: El número total de posibles repartos es 5 A5 A5 = 5 3. Fijemos las condiciones para tener variaciones con repetición: -m elementos (m=5, los 5 amigos) -agrupados de n en n (formo grupos de 3 para asignar los 3 caramelos) -importa el orden, (quiero averiguar las diferentes formas de dar los caramelos: no es igual, una vez fijados los caramelos en piña, menta, fresa, dárselos a Ana, Benito y Carlos que a Carlos, Ana y Benito) -repitiendo los elementos (si sorteo los caramelos, puedo dar a la misma persona dos, o incluso los tres caramelos) En estas condiciones, diremos que estamos ante una variación con repetición de m elementos tomados de n en n: VR m,n = m n. Otros ejemplos: VR2.- Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con las cifras {1, 3, 5, 7, 9}? VR3.- Con tres colores, cuántas banderas diferentes de 5 franjas podemos confeccionar? VR4.- Cuántas quinielas futbolísticas diferentes, sin dobles ni triples, de 14 resultados pueden rellenarse? Y de 15? VR5.- Cuántos números de 5 cifras pueden hacerse con las cifras {1, 3, 5, 7, 9}? VR6.- Tengo que confeccionar un collar con perlas negras y perlas blancas. En total, el collar tendrá 35 perlas. De cuántas maneras distintas lo puedo hacer? 6

7 7. COMBINACIONES CON REPETICIÓN. CR1.- Supongamos que tengo un montón de caramelos de menta, de fresa y de piña, y que quiero confeccionar bolsitas de 5 caramelos cada una para repartirlas entre mis amigos el día de mi cumpleaños. Cuántas bolsitas diferentes puedo hacer? Para resolver este problema, empezaremos directamente por montar el árbol: Por lo tanto, para calcular las combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de 5 en 5, tengo que calcular C 7,5 y eso da 21. Es decir, tengo 21 maneras diferentes de llenar una bolsa de 5 caramelos de entre un montón de caramelos de fresa, de menta y de piña. Analicemos la cuestión: -m elementos (m=3, los 3 tipos de caramelos) -agrupados de n en n (n=5, el número de caramelos que meteré en cada bolsita) -NO importa el orden (una bolsa que contiene M, M, P, F, F, es igual que una bolsa con F, M, P, F, M) -repitiendo elementos (en la misma bolsa puedo poner más de un caramelo del mismo tipo y, además, con sólo tres tipos de caramelos, para llenar una bolsa de 5 deberé repetir alguno de los tipos). En estas condiciones, diremos que estamos ante una combinación con repetición de m m + n 1 elementos tomados de n en n: CR m,n = C m+n-1,n =. n 7

8 Otros ejemplos: CR2.- Tengo un saco lleno de huevos de pascua rojos, verdes, amarillos y azules. Cuántas cajas diferentes de 5 huevos de pascua puedo llenar? CR3.- Tengo que llenar una caja con 10 bombones. Si puedo meter en la caja bombones grandes, medianos y pequeños, De cuántas maneras distintas lo puedo hacer? CR4.- Se dispone de tres tipos de polos y un chico desea guardarlos en cajas de 6. Cuántas cajas distintas puede llenar? 8. PROBLEMAS. 1.- Cuantos resultados distintos podemos obtener al: a) lanzar un dado rojo y otro verde b) lanzar un dado y extraer una carta de una baraja c) lanzar tres dados d) lanzar un dado, extraer una carta de una baraja y lanzar una moneda. 2.- Cuántos números de 6 cifras pueden hacerse con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6}? 3.- Cuántos números de 6 cifras pueden hacerse con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sin repetir ninguna cifra? 4.- Cuántos números de 6 cifras pueden hacerse con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que sean mayores que ? 5.- Cuántos números de 4 cifras pueden hacerse con los dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}? 6.- Tenemos 5 libros iguales de matemáticas y 3 iguales de lengua. De cuántas maneras se pueden ordenar? 7.- En un polígono de 8 lados, cuántas diagonales hay? 8.- Con cuatro números positivos y seis negativos, cuántos productos de 4 factores distintos se pueden hacer? cuántos son positivos y cuántos son negativos? 9.- En una carrera hay que superar los obstáculos X, X, O, O, O, O, U, U, U. De cuántas maneras se pueden colocar los obstáculos uno tras otro? 10.- En una plantilla de fútbol hay 3 porteros, 7 defensas, 11 centrales, y 4 delanteros. Cuántas alineaciones posibles hay para una táctica 4-3-3? 11.- Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(b) y otro de cálculo(c), y se quiere saber de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de palabra BONDAD? 8

9 14.- De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS? 15.- Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. Cuántas ternas se podrán formar? 16.- De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas? 17.- Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3,4,5, y 6? 18.- Cuántos capicúas de tres cifras se pueden escribir? 19.- Cuántos números naturales se pueden escribir con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5, sin que se repita ninguno? Cuántos terminan en 5? Cuántos comienzan por 3? (pueden ser números con 1 a 5 dígitos) 20.- De cuántos modos distintos pueden presentarse diez cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases, 3 reyes, 2 caballos y una sota? 21.- Cuántos elementos hay que tomar de dos en dos para que el número de combinaciones sea 190? 22.- Le damos una carta de una baraja española a cada uno de tres jugadores. Cuántos posibles repartos existen? 23.- En un monte hay 7 puestos de vigilancia contra incendios y cada uno de ellos está unido a los demás por un camino. Cuántos caminos habrá en total? 24.- Un amigo le quiere regalar a otro 3 discos y los quiere elegir entre los 10 que más le gustan. De cuantas formas puede hacerlo? 25.- Vas a preparar un batido de frutas de tres sabores. Tienes 6 clases de fruta que vas a utilizar en cantidades iguales. Cuántos batidos diferentes podrás hacer? 26.- En un aula hay 6 ventanas que pueden estar abiertas (A) o cerradas (C) indistintamente. Esta mañana su posición era: ACAACA, es decir estaban abiertas la 1ª, 3ª, 4ª y 6ª y cerradas la 2ª y 5ª. Cuántas posiciones distintas pueden tener las ventanas? 27.- Cuántos resultados distintos podemos obtener si tiramos una moneda 10 veces? 28.- En cada uno de los siguientes problemas debes responder a la siguiente pregunta: de cuántas formas se puede hacer?: a) Tres amigos van a comprar un polo para cada uno a una heladería en la que hay 6 clases de polos. b) Seis amigos van a comprar un polo para cada uno a una heladería en la que hay 3 clases de polos. c) Queremos repartir 3 polos distintos entre 6 chicos sin que pueda tocarle más de un polo al mismo chico. d) Queremos repartir 3 polos iguales entre 6 chicos sin que pueda tocarle más de un polo al mismo chico. e) Un chico quiere elegir 3 polos entre 6 distintos. f) Queremos introducir 6 polos en una caja eligiéndolos de entre tres sabores diferentes. g) Queremos repartir 6 polos distintos entre 6 chicos. h) Hay que repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre 6 chicos. 9

10 9. SOLUCIONES. P1.- P 5 = 5! = 120 P2.- P 5 = 5! = 120 P3.- P 7 = 7! = 5040 P4.- 3 A P 6 = 3 A 6! = 3 A 720 = 2160 P5.- P 8 = 8! = V1.- V 5,3 = 5 A 4 A 3 = 5! / 2! = 60 V2.- V 5,3 = 60 V3.- V 25,11 = V4.- V 14,2 = 182 V5.- V 20,2 =380 V6.- V 7,3 = 210 C1.- C 5,3 = 5! / (2! A 3!) = 10 C2.- C 13,4 = 715 C3.- C 9,4 AC 11,5 = C4.- C 8,2 = 28 C5.- C 8,3 = 56 C6.- C 20,3 = 1140 PR1.- PR 3,2,1 6 = 6! / (3! A 2! A 1!) = 60 PR2.- PR 2,2,1,1,1 7 = 1260 PR3.- 8 AP3 + 6 APR 2,1 3 = = 66 PR4.- PR 2,3 5 = 10 (también se puede hacer por combinaciones: C 5,3 ó C 5,2 ) PR5.- PR 3,3 6 = 20 (también sale por C 6,3 ) VR1.- VR 5,3 = 5 3 = 125 VR2.- VR 5,3 = 5 3 = 125 VR3.- VR 3,5 = 3 5 = 243 VR4.- VR 3,14 = 3 14 = ; VR3,15 = 3 15 = VR5.- VR 5,5 = 5 5 = 3125 VR6.- VR 2,35 = 2 35 = = A10 10 CR1.- CR 3,5 = C 5+3-1,5 = C 7,5 = 21 CR2.- CR 4,5 = C 8,5 = 56 CR3.- CR 3,10 = C 12,10 = 66 CR4.- CR 3,6 = C 8,6 = 28 10

11 1.- a) 6 A 6 =36 ; b) 6 A 40 = 240 ; c) 6 A 6 A 6 =216 ; d) 6 A 40 A 2 = VR 6,6 = P 6 = VR 6,5 + VR 6,5 = 2 A 65 = VR 7,4 = PR 5,3 8 = 56, o también C 8,5 ó C 8,3 = C 8,2-8 = 20 diagonales 8.- C 10,4 = PR 2,4,3 9 = 1260 ; 10.- C 3,1 A C 7,4 A C 11,3 A C 4,3 = 3 A 35 A 165 A 4 = P 3 = 3! = V 7,3 = 7!/(7-3)! = 7A6A5A4!/4! = 7A6A5 = PR 2 6 = 6!/ 2! = PR 2,3 6 = C 21,3 = 21!/ [3!A(21-3)!] = CR 3,4 = C 3+4-1,4 = C 6,4 = 6 A5 A4 A3/(4 A3 A2 A1) = Se pueden escribir VR 4,3 = 64 números 18.- Suponiendo que aunque la primera cifra sea 0 se trata de un número de tres cifras y como la primera y la tercera cifra deben ser iguales (capicúas) tenemos: VR 10,2 = Como pueden tener desde 1 hasta 5 cifras tenemos: V 5,1 +V 5,2 +V 5,3 +V 5,4 +V 5,5 = V 4,1 +V 4,2 +V 4,3 +V 4,4 =65. Idem que el anterior PR 4,3,2 10 = C 2 x x xx 1 = 190 ( ) = 2 2 = 190 x = 20 y x = V 40,3 = C 7,2 = C 10, 3 = C 6, 3 = VR 2,6 = 2 6 = VR 2,10 = a) VR 6,3 = 216 ; b) VR 3,6 = 729 ; c) V 6,3 = 120 ; d) C 6,3 = 40 e) C 6,3 = 40 ; f) CR 3,6 =28 ; g) P 6 =720 ; h) PR 3,3 6 = 20 11

12 10. RESUMEN. VARIACIONES PERMUTACIONES Ejemplo Definición Fórmula Ejemplo Definición Sin repetición Con repetición Permutaciones de m elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces,..., el Permutaciones de m elementos son los distintos último k veces, son los distintos grupos que se grupos que se pueden formar de manera que: pueden formar con los m elementos de manera que: -En cada grupo están los m elementos -El primero se repite a veces -Dos grupos se diferencian únicamente en el orden -El segundo se repite b veces... de colocación de sus elementos. -El último se repite k veces -Dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de sus elementos. Tengo 3 caramelos de piña, 2 de menta y uno de De cuántas formas pueden llegar a la meta 5 fresa. De cuántas formas puedo repartirlos entre 6 corredores si no se puede empatar ni abandonar?. amigos?. Pm = m! PR m a! b!... k! ab,,..., k! m = Variaciones de m elementos tomados de n en n Variaciones con repetición de m elementos tomados (n<m) son los distintos grupos que se pueden de n en n son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos de manera que: formar con los m elementos de manera que: -En cada grupo hay n elementos distintos -En cada grupo hay n elementos -Dos grupos son distintos si se diferencian en algún -Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos. elemento o en el orden de colocación de éstos. Cuántas banderas de tres franjas diferentes puedo Cuántos números de tres cifras pueden formarse hacer con los siete colores del arcoiris?. con los dígitos impares? COMBINACIONES Fórmula Ejemplo Definición Fórmula Vmn, = m ( m )... ( m n + ) = m! ( m n)! 1 1 VR m mn, = Combinaciones de m elementos tomados de n en n Combinaciones con repetición de m elementos (n<m) son los distintos grupos que se pueden tomados de n en n son los distintos grupos que se formar con los m elementos de manera que: pueden formar con los m elementos de manera que: -En cada grupo hay n elementos distintos -En cada grupo hay n elementos -Dos grupos son distintos si se diferencian en algún -Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento. elemento. Cuántos equipos de tres jugadores puedo formar Cuántas fichas tiene un dominó tradicional? con los veinticuatro alumnos de una clase? C mn, m = = n m! Vmn, m+ n 1 = CRmn, = Cm+ n 1, n = n! ( m n)! P n n n 12

13 Criterios para decidir la agrupación de elementos. Se No PERMUTACIONES ORDINARIAS Influye el orden? Sí Intervienen todos los elementos? Sí No repiten elementos? Se repiten elementos? Sí No Sí PERMUTACIONES con REPETICIÓN VARIACIONES ORDINARIAS VARIACIONES con REPETICÓN No Intervienen todos los elementos? No Se repiten elementos? No Sí COMBINACIONES ORDINARIAS COMBINACIONES con REPETICIÓN Otras fórmulas útiles. * Factorial de un número: 0! = 1 n! = n ( n 1) n N * Número combinatorio: m = n m! n! ( m n)! mn, N; n m Propiedades: m m = 0 = m 1 m m = = 1 m 1 m m = n m m n m + n m = n + 1 m + 1 n