Clase 1 de Problemas. Experimentos: Espacio muestral, eventos, probabilidad, propiedades de la probabilidad.

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1 Clase 1 de Problemas Experimentos: Espacio muestral, eventos, probabilidad, propiedades de la probabilidad. Experimentos-espacio espacio muestral-eventos eventos Si tiramos un dado no trucado, cuál es el espacio muestral? E={1,2,3,4,5,6} (consta de 6 posibles resultados) Algunos posibles eventos serían: Números pares = {2,4,6} Números impares = {1,3,5} Números primos = {1,2,3,5} El número más pequeño = {1} (suceso elemental) Habría 6 sucesos elementales, C(6,2) = 15 sucesos de dos elementos cada uno, C(6,3) = 20 sucesos de tres elementos cada uno, C(6,4) = 15 sucesos de 4 elementos cada uno, C(6,5) = 6 sucesos de 5 elementos cada uno, 1 suceso seguro (todos los elementos, es decir, el espacio muestral E), 1 suceso imposible (el conjunto vacío) Si apostaseis 1 euro al resultado de la tirada de un dado, a qué suceso apostaríais: el nº obtenido es par o el nº obtenido es primo? En principio, a nº primo ya que tiene más posibilidades igualmente probables o equiprobables. 2 Si tiramos dos dados no trucados, cuál es el espacio muestral? E = { (1,1), (1,2),,(1,6) (2,1), (2,2),...,(2,6). (6,1),(6,2),.(6,6)} (consta de 36 posibles resultados) Algunos posibles eventos serían: Los resultados obtenidos tras las dos tiradas suman 5 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} suman 10 = {(6,4), (4,6), (5,5)} suman 15 = Ǿ suman 2 = {(1,1)} (suceso elemental) Si apostaseis 1 euro al resultado obtenidos tras las dos tiradas, a qué apostaríais?: la suma es 4 o la suma es 11? En principio al suceso suman 4 ya que tiene más posibilidades,igualmente probables, que son los sucesos elementales (2,2), (3,1), (1,3). Sin embargo el suceso que suman 11 sólo consta de dos sucesos elementales (5,6) y (6,5). 3 El concepto de probabilidad se originó con la teoría de conjuntos (Kolmogorov, 1933). Proporciona una forma de cuantificar el conocimiento existente sobre los posibles resultados de un experimento con el objetivo de predecir resultados (i) P(E)=1 (100%) (ii) 0 P(A) 1, para cualquier suceso A (iii) P(A 1 UA 2 ) = P(A 1 ), si A 1 y A 2 son disjuntos o incompatibles (es decir con intersección vacía, AחB=Ǿ). Cuando A 1 y A 2 no sean disjuntos, entonces se verificará que: P(A 1 UA 2 ) = P(A 1 ) - P(A 1 Aח 2 ) 4

2 Formas de obtener las probabilidades Equiprobable (Regla de Laplace, combinatoria) Frecuentista (frecuencia relativa probabilidad) Subjetiva Ejemplo de un dado justo (Equiprobabilidad) E={1,2,3,4,5,6} (consta de 6 posibles resultados) Cuando todos los resultados son igualmente probables: 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Vemos que: P(E) = P({1,2,3,4,5,6}) = 1 0 P(A) 1 P({1},{2}) = 1/6+1/6 = 1/3 5 6 Dado trucado Cuál sería la probabilidad de obtener el resultado i, i=1,2,3,4,5,6, si utilizamos un dado trucado? Para determinar una aproximación de dicha probabilidad, tendríamos que realizar el experimento de lanzar el dado y registrar el resultado, un número elevado de veces. Cuanto mayor sea el número de veces n que se realice el experimento, tanto mejor será dicha aproximación. Recordad que la frecuencia relativa de un suceso tiende a su probabilidad a medida que el n tiende a infinito. Supongamos que tiramos un dado 100 veces y contamos el nº de veces que sale cada resultado 1 40 veces 2 10 veces 3 20 veces 4 5 veces 5 20 veces 6 5 veces Ante esta situación, se tiene entonces que: 1 P(1)=0.4 2 P(2)=0.1 3 P(3)=0.2 4 P(4)= P(5)= P(6)= Probabilidad subjetiva Qué probabilidades asignaríamos a los resultados de un Madrid vs. Barcelona? En este caso no podemos repetir el experimento y sólo podemos usar nuestras creencias. 8

3 Cuáles de las siguientes funciones podrían usarse como función de probabilidad? Diagramas de Venn AUB AחB E = {a 1,a 2,a 3,a 4 } (i) P(a 1 ) = 0.2, P(a 2 ) = 0.5, P(a 3 ) = 0.1, P(a 4 ) = 0.3 (ii) P(a 1 ) = 0.2, P(a 2 ) = 0.5, P(a 3 ) = 0, P(a 4 ) = 0.3 (iii) P(a 1 ) = 0.3, P(a 2 ) = 0.5, P(a 3 ) = -0.1, P(a 4 ) = 0.3 (iv) P(a 1 ) = 0.2, P(a 2 ) = 0.5, P(a 3 ) = 0.1, P(a 4 ) = 0.2 A-B A C Ejemplo. Si A={1,2,3,4} y B={3,4,5,6}, determina AUB, AחB, A-B, A C Se lanza una moneda 3 veces y se observa si sale cara o cruz. a) Escribe el espacio muestral asociado a este experimento. b) Escribe los elementos que constituyen estos sucesos: A = Por lo menos han salido dos caras B = Las primeras dos tiradas han sido caras C = Las dos últimas tiradas han sido cruces c) Escribe los elementos que constituyen estos sucesos: A C, AUB, AחC 2. Se tiran dos dados, uno detrás de otro y se recogen las puntuaciones. a) Escribe el espacio muestral asociado a este experimento. b) Escribe los elementos que constituyen estos sucesos: A = La suma de los dos valores es por lo menos 5 B = El valor del primer dado es mayor que el valor del segundo C = El valor del primer dado es 4 c) Escribe los elementos que constituyen estos sucesos: AחC, BUC, Aח(BUC) 11 12

4 3. Ejercicio 1 del Nivel 2 (Boletín de ). Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En caso de que sean verdaderas demostrarlo, y en caso de que sean falsas dar un contraejemplo. a) P(A C ) = 1 P(A). b) Si se define la diferencia de dos sucesos A y B como A-B= AחB C, entonces se verifica que P(A-B)=P(A)-P(B). c) P(AUB)=P(A-B)+P(B). d) Si A B, entonces P(A) P(B). 4. Ejercicio 4 del Nivel 2 (Boletín de ). Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En caso de que sean verdaderas demostrarlo, y en caso de que sean falsas dar un contraejemplo. b) P((AUB) ח (A C UB C ) ח (AUB C )) = P(A C U B C ). c) P((A C U B C ) C )=P(AUB). e) P( (A C U B C U (AחB)) C ) = Ejercicio 5 del Nivel 2 (Boletín de ). Demuestra que: a) P(AUB) P(A) + P(B). b) Utilizando a) prueba que P(AUBUC) P(A) + P(B) + P(C). c) Utilizando inducción probar que: P(A 1 U A 2 U U A n ) P(A 1 ) + + P(A n ). 7. Dados tres sucesos, A, B y C, expresa con operaciones los siguientes sucesos: De los tres sucesos sólo ocurre A Los tres sucesos ocurren Ocurren A y B, pero no C Por lo menos dos de los tres sucesos ocurren Ocurren dos de los tres sucesos y ninguno más No ocurren más de dos sucesos de esos tres sucesos 6. Simplifica el suceso (AUB)ח(BUC C ) C y represéntalo mediante un diagrama de Venn. Ocurre por lo menos uno de los tres sucesos Ocurre exactamente uno de los tres sucesos No ocurre ninguno de los tres sucesos 15 16

5 de Examen Ex. Febrero 2006 Ingeniería de Telecomunicación, C4 a) Decir si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo, y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo. a) Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces la probabilidad de que ocurra exactamente uno de ellos es P(A) + P(B) 2P(AחB). Ex. Junio 2007 Ingeniería Técnica de Telecomunicación, C2 b) Responde verdadero o falso a la siguiente afirmación, justificando en cada caso tu respuesta. b) En general, si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces siempre: P(A C ח B C ) = 1 P(A) P(B) + P(AחB). Ex. Junio 2005 Ingeniería Informática, Grupo 2, Ejercicio 1 Sean A, B y C sucesos cualesquiera, no necesariamente disjuntos. Obtener P(AUBUC). Sugerencia: ayúdate del suceso D = BUC. 17