Regresión con Datos de Panel (SW Ch. 8)

Transcripción

1 Regresión con Datos de Panel (SW Ch. 8) Un conjunto de datos de panel contiene observaciones de múltiples unidades individuales (individuos), en el que cada unidad se observa en dos ó más momentos del tiempo. Ejemplos: Datos de los 420 distritos escolares de California en 1999 y de nuevo en el año 2000, es decir 840 observaciones en total. 8-1

2 Datos de los 50 estados de EE.UU, cada estado observado durante 3 años, con un total de 150 observaciones. Datos de 1000 individuos, en cuatro meses diferentes, con 4000 observaciones en total. Notación para datos de panel Un subíndice doble distingue unidades individuales (individuos, empresas, países, etc..) y períodos de tiempo (años, meses, etc..) i = unidad (individual), n = número de unidades individuales, de manera que i = 1,,n 8-2

3 t = período de tiempo (año, mes, etc ), T = número de períodos de tiempo de manera que t =1,,T Datos: Supongamos que tenemos 1 regresor. Los datos son: (X it, Y it ), i = 1,,n, t = 1,,T Notación en Datos de Panel, ctd. Datos de Panel con k regresores: (X 1it, X 2it,,X kit, Y it ), i = 1,,n, t = 1,,T 8-3

4 n = número de unidades individuales (individuos, empresas, etc.. T = número de períodos de tiempo (años, meses, etc ) Alguna jerga: Otro término utilizado para datos de panel es datos longitudinales Panel balanceado: sin observaciones perdidas Panel no balanceado: algunas unidades (individuales) no se observan en algunos períodos de tiempo (años, meses, etc..) 8-4

5 Por qué son útiles los datos de panel? Con los datos de panel, podemos controlar factores que: Varían entre unidades individuales (individuos, empresas, etc..) que no varían en el tiempo Podrían causar sesgo de variable omitida si los omitiésemos No son observables ó medibles y por tanto no pueden incluirse en la regresión utilizando la regresión múltiple. 8-5

6 Esta es la idea clave: Si una variable omitida no cambia en el tiempo, entonces cualquier cambio en Y en el tiempo no podrá venir causado por la variable omitida. Ejemplo de un conjunto de datos de panel: Muertes en accidentes de tráfico e impuestos sobre el alcohol Unidad de observación: un año en un estado de EE.UU 48 estados de EE.UU, de manera que n = número de unidades =

7 7 años (1982,, 1988), de manera que T = # de períodos de tiempo = 7 Panel balanceado, de manera que el número total de observaciones = 7 48 = 336 Variables: Tasa de muertos en accidentes de tráfico (# de muertos en accidentes de tráfico en ese estado en ese año, por cada 10,000 residentes en el estado) Impuestos sobre la cerveza Otras variables (edad legal para conducir, legislación sobre la conducción en estado de embriaguez, etc.) 8-7

8 Datos de los muertos por accidente de tráfico en 1982 Mayores impuestos sobre el alcohol, más muertos por accidente de tráfico? 8-8

9 Datos de los muertos por accidente de tráfico en 1988 Mayores impuestos sobre el alcohol, más muertos por accidente de tráfico? 8-9

10 Por qué puede ocurrir que haya mayor número de muertos en accidente de tráfico en estados en los que hay mayores impuestos sobre el alcohol? Otros factores que determinan la tasa de muertos por accidente de tráfico: Calidad (años) de los automóviles Calidad de las carreteras Cultura sobre la bebida y la conducción Densidad de coches en la carretera 8-10

11 Estos factores omitidos podrían causar el sesgo de variable omitida. Ejemplo #1: densidad de tráfico. Supongamos: (i) Mayor densidad de tráfico significa más muertos en accidentes de tráfico (ii) Estados (Oeste) con menor densidad de tráfico tienen menores impuestos sobre el alcohol Entonces las dos condiciones para el sesgo de variable omitida se satisfacen. Específicamente, impuestos elevados podría reflejar elevada densidad de tráfico (de manera que el coeficiente MCO estaría sesgado positivamente impuestos elevados, más muertos) 8-11

12 Los datos de panel nos permiten eliminar el sesgo de variable omitida cuando las variables omitidas son constantes en el tiempo en un estado dado. Ejemplo #2: actitudes culturales sobre la embriaguez y la conducción (i) Posiblemente son un determinante de las muertes por accidente de tráfico, y (ii) potencialmente están correlacionadas con el impuesto sobre la cerveza, de manera que los impuestos sobre la cerveza podrían recoger las diferencias culturales (sesgo de variable omitida). 8-12

13 Entonces las dos condiciones para el sesgo de variable omitida se satisfacen. Específicamente, impuestos elevados podría reflejar actitudes culturales hacia la embriaguez (así el coeficiente MCO sería sesgado) Los datos de panel nos permiten eliminar el sesgo de variable omitida cuando las variables omitidas son constantes en el tiempo dentro de un estado dado. 8-13

14 Datos de Panel con dos períodos de tiempo (SW Sección 8.2) Consideremos el modelo de datos de panel, TasadeMuertos it = β 0 + β 1 ImpuestoCerveza it + β 2 Z i + u it Z i es un factor que no cambia en el tiempo (densidad), al menos durante los años para los que disponemos de datos. Supongamos que Z i no se observa, de manera que su omisión podría provocar el sesgo de variable omitida. El efecto de Z i puede eliminarse utilizando T = 2 años. 8-14

15 La idea clave: Cualquier cambio en la tasa de muertos desde 1982 a 1988 no puede venir causado por Z i, porque Z i (por hipótesis) no cambia entre 1982 y La matemática: consideremos las tasas de muertos en 1988 y 1982: TasadeMuertos i1988 = β 0 + β 1 Imp.Cerv i β 2 Z i + u i1988 TasadeMuertos i1982 = β 0 + β 1 Imp.Cerv i β 2 Z i + u i1982 Supongamos que E(u it ImpuestoCerveza it, Z i ) =

16 Restar (esto es, calculando el cambio), elimina el efecto of Z i TasadeMuertos i1988 = β 0 + β 1 Imp.Cerv i β 2 Z i + u i1988 TasadeMuertos i1982 = β 0 + β 1 ImpCerv i β 2 Z i + u i1982 así TasadeMuertos i1988 TasadeMuertos i1982 = β 1 (Imp.Cerv i1988 Imp.Cerv i1982 ) + (u i1988 u i1982 ) El nuevo término de error, (u i1988 u i1982 ), no está correlacionado ni con Imp.Cerv i1988 ni con Imp.Cerv i

17 Esta ecuación de diferencias puede estimarse por MCO, aunque Z i no se pueda observar La variable omitida Z i no cambia, de manera que no puede ser un determinante del cambio en Y 8-17

18 Ejemplo: Muertos en accidentes de tráfico e impuesto sobre la cerveza Datos de 1982: TasadeMuertos = Imp.Cerv (n = 48) (.15) (.13) Datos de 1988: TasadeMuertos = Imp.Cerv (n = 48) (.11) (.13) Regresión de la diferencia (n = 48) TM TM = (Imp.Cerv 1988 Imp.Cerv 1982 ) (.065) (.36) 8-18

19 8-19

20 Regresión de efectos fijos (SW Sección 8.3) Qué ocurre si se tienen más de dos períodos de tiempo (T > 2)? Y it = β 0 + β 1 X it + β 2 Z i + u i, i =1,,n, T = 1,,T Podemos reescribirlo de dos formas más útiles: 1. modelo de regresión de n-1 regresores binarios 2. modelo de regresión de Efectos Fijos 8-20

21 Primero lo reescribimos bajo la forma de efectos fijos. Supongamos que tenemos n = 3 estados: California, Texas, Massachusetts. Y it = β 0 + β 1 X it + β 2 Z i + u i, i =1,,n, T = 1,,T La regresión poblacional para California (es decir, i = CA): Y CA,t = β 0 + β 1 X CA,t + β 2 Z CA + u CA,t ó = (β 0 + β 2 Z CA ) + β 1 X CA,t + u CA,t Y CA,t = α CA + β 1 X CA,t + u CA,t α CA = β 0 + β 2 Z CA no cambia en el tiempo 8-21

22 α CA es la constante para CA, y β 1 es la pendiente El término constante es único para CA, pero la pendiente es la misma en todos los estados: líneas paralelas. 8-22

23 Para TX: Y TX,t = β 0 + β 1 X TX,t + β 2 Z TX + u TX,t ó = (β 0 + β 2 Z TX ) + β 1 X TX,t + u TX,t Y TX,t = α TX + β 1 X TX,t + u TX,t, donde α TX = β 0 + β 2 Z TX Escribiendo las líneas para los tres estados: Y CA,t = α CA + β 1 X CA,t + u CA,t Y TX,t = α TX + β 1 X TX,t + u TX,t ó Y MA,t = α MA + β 1 X MA,t + u MA,t Y it = α i + β 1 X it + u it, i = CA, TX, MA, T = 1,,T 8-23

24 Las rectas de regresión para cada estado en un gráfico Y Y = α CA + β 1 X α CA CA Y = α TX + β 1 X α TX α MA TX MA Y = α MA + β 1 X X 8-24

25 Recuérdese (Fig. 6.8a) que los cambios en la constante pueden representarse utilizando regresores binarios. Y Y = α CA + β 1 X α CA CA Y = α TX + β 1 X α TX α MA TX MA Y = α MA + β 1 X En forma de regresores binarios: X Y it = β 0 + γ CA DCA i + γ TX DTX i + β 1 X it + u it DCA i = 1 si estado es CA, = 0 resto de los casos 8-25

26 DTX t = 1 si estado es TX, = 0 resto de los casos Dejamos fuera DMA i ( por qué?) Resumen: Dos formas de escribir el modelo de efectos fijos en la forma de n-1 regresores binarios Y it = β 0 + β 1 X it + γ 2 D2 i + + γ n Dn i + u i donde D2 i = 1 para i=2 (estado #2), etc. 0 resto de los casos Forma de Efectos Fijos : Y it = β 1 X it + α i + u i 8-26

27 α i se llama efecto de estado fijo ó efecto de estado es el efecto (fijo) constante de estar en el estado i 8-27

28 Regresión de Efectos Fijos: Estimación Tres métodos de estimación: 1. Regresión MCO de n-1 regresores binarios 2. Regresión MCO en el modelo en desviaciones con respecto a la media 3. Especificación de Cambios (solo para T = 2) Estos tres métodos producen estimaciones idénticas de los coeficientes de regresión, y errores estándar idénticos. Ya se realizó la especificación de cambios (1988 menos 1982) pero esto sólo funciona para T = 2 años Los métodos #1 y #2 funcionan para T general 8-28

29 El método #1 sólo es práctico cuando n no es demasiado grande 8-29

30 1. Regresión MCO de n-1 regresores binarios Y it = β 0 + β 1 X it + γ 2 D2 i + + γ n Dn i + u i (1) donde D2 i = 1 para i=2 (estado #2) 0 resto de los casos etc. Primero se crean las variables binarias D2 i,,dn i Entonces se estima (1) por MCO La inferencia (contraste de hipótesis, intervalos de confianza) se realiza de la forma habitual (utilizando los errores estándar robustos a la heterocedasticidad) Esto no es práctico cuando n es muy grande (por ejemplo si n = 1000 trabajadores) 8-30

31 2. Regresión MCO en el modelo en desviaciones con respecto a la media El modelo de regresión de efectos fijos: Y it = β 1 X it + α i + u i La media de las unidades individuales satisface: 1 T 1 Yit = α i + β T 1 X it T t = 1 t 1 T = + 1 T uit t 1 T = La desviación con respecto a la media de las unidades individuales: Y it 1 T 1 Yit = β T 1 T X it X it t = 1 T + t = 1 u it 1 T T t = 1 u it 8-31

32 Regresión MCO en desviaciones con respecto a la media, ctd. ó Y it 1 T 1 Yit = β T 1 T X it X it t = 1 T + t = 1 donde Y it = Y it Y it = β 1 X it + ũ it 1 T Yit t 1 T = y X it = X it u it 1 T X it t 1 T = 1 T T t = 1 Para i =1 y t = 1982, Y it es la diferencia entre la tasa de muertos en Alabama en 1982, y el valor medio en Alabama promediado en todos los 7 años (de 1982 a 1988). u it 8-32

33 Regresión MCO en desviaciones con respecto a la media ctd. donde Y it = Y it Y it = β 1 X it + ũ it (2) 1 T Yit t 1 T =, etc. Primero se construyen las variables en desviaciones con respecto a la media Y it y X it Entonces se estima (2), haciendo la regresión de Y it sobre X it usando MCO La inferencia (contraste de hipótesis, intervalos de confianza) se hacen como siempre (utilizando errores estándar robustos a la heterocedasticidad) 8-33

34 Esto es como la aproximación de cambios, pero Y it está en desviaciones con respecto al valor medio individual en vez de con respecto a Y i1. Esto se puede realizar con un simple comando en STATA 8-34

35 Ejemplo: Muertos por accidente de tráfico e impuestos sobre la cerveza en STATA. areg vfrall beertax, absorb(state) r; Regression with robust standard errors Number of obs = 336 F( 1, 287) = Prob > F = R-squared = Adj R-squared = Root MSE = Robust vfrall Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] beertax _cons state absorbed (48 categories) areg automáticamente resta la media individual a los datos esto es específicamente útil cuando n es grande la constante incluida es arbitraria 8-35

36 Ejemplo, ctd. Para n = 48, T = 7: TasadeMuertos =.66Imp.Cerv + Efectos Fijos de Estado (.20) Debería presentarse la constante? Cuántos regresores binarios debería incluir para estimar esto usando el método de regresor binario? Compare la pendiente, el error estándar con la estimación de la especificación de cambios de 1988 vs (T = 2, n = 48): TM TM = (Imp.Cer 1988 Imp.Cer 1982 ) (.065) (.36) 8-36

37 Regresión con Efectos Fijos Temporales (SW Sección 8.4) Una variable omitida puede variar en el tiempo pero no entre estados: Coches seguros (airbags, etc.); cambios en las leyes nacionales Estos pueden producir regresores binarios que varíen en el tiempo Denotemos estos cambios ( coches seguros ) por la variable S t, que cambia en el tiempo pero no entre unidades individuales (estados, etc..). El modelo de regresión poblacional resultante es: Y it = β 0 + β 1 X it + β 2 Z i + β 3 S t + u it 8-37

38 Sólo efectos fijos temporales Y it = β 0 + β 1 X it + β 3 S t + u it En efecto, la ordenada en el origen varía de un año a otro: Y i,1982 = β 0 + β 1 X i, β 3 S u i,1982 ó = (β 0 + β 3 S 1982 ) + β 1 X i, u i,1982 Y i,1982 = µ β 1 X i, u i,1982, µ 1982 = β 0 + β 3 S 1982 De forma similar, Y i,1983 = µ β 1 X i, u i,1983, µ 1983 = β 0 + β 3 S 1983 etc. 8-38

39 Dos formulaciones para los efectos fijos temporales 1. Formulación de Regresores Binarios : Y it = β 0 + β 1 X it + δ 2 B2 t + δ T BT t + u it donde B2 t = 1 cuando t=2 (año #2), etc. 0 resto de los casos 2. Formulación de Efectos Temporales : Y it = β 1 X it + µ t + u it 8-39

40 Efectos fijos temporales: métodos de estimación 1. Regresión MCO de T-1 regresores binarios Y it = β 0 + β 1 X it + δ 2 B2 it + δ T BT it + u it Se crean las variables binarias B2,,BT B2 = 1 si t = año #2, = 0 resto de los casos Hacer la regresión de Y sobre X, B2,,BT por MCO Dónde está B1? 8-40

41 2. Regresión MCO en desviaciones con respecto a las medias temporales (no individuales) Calcular las desviaciones Y it, X it con respecto a las medias de un año (no de un estado) Estimar por MCO utilizando los datos en desviaciones con respecto a las medias temporales 8-41

42 Efectos fijos de estado y temporales Y it = β 0 + β 1 X it + β 2 Z i + β 3 S t + u it 1. Formulación de Regresores Binarios : Y it = β 0 + β 1 X it + γ 2 D2 i + + γ n Dn i + δ 2 B2 t + δ T BT t + u it 2. Formulación de efectos de estado y temporales : Y it = β 1 X it + α i + µ t + u it 8-42

43 Efectos de estado y temporales: métodos de estimación 1. Regresión MCO n-1 y T-1 regresores binarios Crear las variables binarias D2,,Dn Crear las variables binarias B2,,BT Hacer la regresión de Y sobre X, D2,,Dn, B2,,BT utilizando MCO Qué pasa con D1 y B1? 2. Regresión MCO en desviaciones con respecto a las medias individuales y temporales Calcular las desviaciones de Y it, X it con respecto a las medias anuales y de estado 8-43

44 Estimar por MCO utilizando los datos en desviaciones con respecto a las medias individuales y temporales Estos dos métodos se pueden también combinar Ejemplo de STATA: Muertes por accidente de trafico. gen y83=(year==1983);. gen y84=(year==1984);. gen y85=(year==1985);. gen y86=(year==1986);. gen y87=(year==1987);. gen y88=(year==1988);. areg vfrall beertax y83 y84 y85 y86 y87 y88, absorb(state) r; 8-44

45 Regression with robust standard errors Number of obs = 336 F( 7, 281) = 3.70 Prob > F = R-squared = Adj R-squared = Root MSE = Robust vfrall Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] beertax y y y y y y _cons state absorbed (48 categories) Ir a la sección para ver otra forma de hacer esto con STATA! 8-45

46 Algo de Teoría: Las hipótesis de la regresión de Efectos Fijos (SW Ap. 8.2) Para una única X: Y it = β 1 X it + α i + u it, i = 1,,n, t = 1,, T 1. E(u it X i1,,x it,α i ) = (X i1,,x it,y i1,,y it ), i =1,,n, son extracciones i.i.d. de su distribución conjunta. 3. (X it, u it ) tienen momentos de orden 4 finitos. 4. No hay multicolinealidad perfecta (múltiples X s) 5. corr(u it,u is X it,x is,α i ) = 0 para t s. 8-46

47 Las hipótesis 3&4 son idénticas a las vistas en sección cruzada; 1, 2, difieren; 5 es nueva Hipótesis #1: E(u it X i1,,x it,α i ) = 0 u it tiene media cero, dado el efecto fijo individual y la historia entera de las X s para ese estado Esta es una extensión de la hipótesis #1 del modelo de regresión múltiple Esto significa que no hay efectos retardados omitidos (cualesquiera efectos retardados de las X deben entrar explícitamente) También, no hay realimentación (feedback) de u a la X futura: 8-47

48 o Si un estado tiene una tasa de muertos particularmente elevada este año no afecta subsecuentemente si se incrementa el impuesto sobre la cerveza. o Volveremos sobre este punto cuando veamos datos de series temporales 8-48

49 Hipótesis #2: (X i1,,x it,y i1,,y it ), i =1,,n, son extracciones i.i.d. de su distribución conjunta. Esta es una extensión de la hipótesis #2 del modelo de regresión múltiple con datos de sección cruzada Se satisface si las unidades (estados, individuos) se muestrean aleatoriamente de sus poblaciones mediante el muestreo aleatorio simple, de manera que los datos para estas unidades se recogen en el tiempo. Esto no requiere que las observaciones sean i.i.d. en el tiempo para la misma unidad eso sería poco realista (si un estado tiene DWI obligatorio que sentencia leyes este año se encuentra fuertemente relacionado con si tendrá esa ley el año siguiente). 8-49

50 Hipótesis #5: corr(u it,u is X it,x is,α i ) = 0 para t s Esta hipótesis es nueva. Dice que (dado X), los términos de error no están correlacionados en el tiempo dentro de un estado. Por ejemplo, u CA,1982 y u CA,1983 no están correlacionados Es esto plausible? Qué incluye el término de error? o Invierno especialmente nevado o Apertura de nuevas autopistas o Fluctuaciones en la densidad de tráfico a partir de las condiciones económicas 8-50

51 La hipótesis #5 requiere que estos factores omitidos que entran en u it estén incorrelados en el tiempo, dentro de un estado. 8-51

52 Qué ocurre si la hipótesis #5 no se cumple: corr(u it,u is X it,x is,α i ) 0? Una analogía útil es la heterocedasticidad. Los estimadores MCO con datos de panel de β 1 son insesgados, consistentes Los errores estándar MCO serán erróneos usualmente los errores estándar MCO infraestima la verdadera varianza Intuición: si u it está correlacionado en el tiempo, no se tiene tanta información (tanta variación aleatoria) como se tendría si u it estuviese incorrelada. 8-52

53 Este problema se soluciona utilizando errores estándar consistentes a la heterocedasticidad y la autocorrelación volveremos sobre esto cuando veamos la regresión de series temporales 8-53

54 Aplicación: Leyes sobre la conducción en estado de embriaguez y los muertos por accidente de tráfico (SW Sección 8.5) Algunos hechos 40,000 muertos por accidente de tráfico anuales en EE.UU. 1/3 de los muertos por accidente de tráfico implican a un conductor bebido 25% de los conductores por carretera entre la 1 y las 3 de la madrugada habían bebido (estimación) Un conductor bebido puede causar 13 veces más un accidente mortal que un conductor no bebido (estimación) 8-54

55 Leyes sobre la conducción en estado de embriaguez y los muertos por accidente de tráfico, ctd. Cuestiones de política pública La conducción en estado de embriaguez causa externalidades importantes (conductores sobrios son asesinados, etc..) Hay una amplia justificación para la intervención gubernamental Hay caminos efectivos para reducir la conducción en estado de embriaguez? Si es así, qué? Cuáles son los efectos de leyes específicas: o castigo obligatorio o edad minima legal para beber o intervenciones económicas (impuestos sobre el alcohol)? 8-55

56 El conjunto de datos de panel de la conducción en estado de embriaguez n = 48 estados EE.UU, T = 7 años (1982,,1988) (balanceado) Variables Tasa de muertos por accidente de tráfico (muertos por 10,000 residentes) Impuesto sobre la cerveza (Imp.Cerv) Edad legal mínima para beber Leyes sancionadoras para la primera violación DWI: o Prisión obligatoria o Servicios a la Comunidad Obligatorios 8-56

57 o Otros casos, la sentencia sería sólo una multa monetaria Millas de los vehículos por conductor (US DOT) Datos económicos del estado (renta real per cápita, etc.) 8-57

58 Por qué nos pueden ayudar los datos de panel? Potencial sesgo de variable omitida (VO) por las variables que varían entre estados pero que son constantes en el tiempo o Cultura de beber y conducir o Calidad de las carreteras o Cantidad de coches en la carretera usar efectos fijos de estado Potencial sesgo de VO por las variables que varían en el tiempo pero que son constantes entre estados: o Mejoras en la seguridad de los coches en el tiempo o Cambios en las actitudes nacionales sobre la conducción en estado de embriaguez usar efectos fijos en el tiempo 8-58

59 8-59

60 8-60

61 Análisis Empírico: Principales Resultados El signo del coeficiente del impuesto sobre la cerveza cambia cuando se incluyen los efectos fijos de estado Los efectos fijos temporales son estadísticamente significativos pero no tienen un fuerte impacto sobre los coeficientes estimados El efecto estimado del impuesto sobre la cerveza baja cuando se incluyen otras leyes como regresor La única variable política que parece tener un impacto es la del impuesto sobre la cerveza ni la edad mínima para beber, ni la condena obligatoria, etc. Las otras variables económicas tienen coeficientes elevados: más renta, más conducción, más muertos 8-61

62 Extensiones de la aproximación de n-1 regresores binarios La idea de utilizar diversos indicadores binarios para eliminar el sesgo de variable omitida puede extenderse a datos que no sean de panel la clave es si la variable omitida es constante para un grupo de observaciones, de manera que en efecto significa que cada grupo tiene su propia ordenada en el origen. Ejemplo: problema del tamaño de clase. Suponga que los asuntos financieros y curriculares se determinan a nivel de condado, y que cada condado tiene diferentes distritos. El sesgo de variable omitida 8-62

63 podría tenerse en cuenta incluyendo indicadores binarios, uno para cada condado (omitir uno para evitar la multicolinealidad perfecta). 8-63

64 Resumen: Regresión con datos de panel (SW Sección 8.6) Ventajas y limitaciones de la regresión de efectos fijos Ventajas Podemos controlar las variables omitidas que: o Varían entre estados pero no en el tiempo, y/ó o Varían en el tiempo pero no entre estados Más observaciones proporcionan más información La estimación supone extensiones relativamente sencillas de la regresión múltiple. 8-64

65 La estimación de efectos fijos puede hacerse de 3 formas: 1. Método de los Cambios cuando T = 2 2. Método de n-1 regresores binarios cuando n es pequeño 3. Regresión en desviaciones con respecto a las medias individuales Métodos similares se aplican a la regresión con efectos temporales fijos y a los efectos fijos tanto temporales como individuales La inferencia estadística: como en regresión múltiple. 8-65

66 Limitaciones/desafíos Necesita variación en X en el tiempo dentro de las unidades individuales Efectos temporales retardados pueden ser importantes Los errores estándar pueden ser muy reducidos (los errores pueden estar correlacionados en el tiempo) 8-66