Solución Taller No. 5 Econometría II Prof. Bernal

Transcripción

1 Solución Taller No. 5 Econometría - 7 II Prof. Bernal. a. Los resultados de la estimación son los siguientes (no hay que olvidar que las variables precio hay que transformarlas a logaritmos):. gen lpreciov log(preciov). gen lprecioclog(precioc). reg lpreciov lprecioc edad habitac area dist Source SS df MS Number of obs F( 5, 35) Model Prob > F. Residual R-squared Adj R-squared.9986 Total Root MSE.639 lpreciov Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] lprecioc edad e-6.45 habitac area -6.5e-6.89e e e-6 dist -4.e-9.6e e-7.3e-7 _cons b. Se observa que todos los parámetros, excepto el asociado a la distancia, son significativos al 5%. Por un lado, la relación entre el precio de compra y el precio de venta es elástica, es decir, si el precio de compra aumenta en %, el valor por lo que se vendería la casa aumentaría en promedio.%. El coeficiente asociado a la edad indica que una casa con año de antigüedad en comparación a otra tendrá un precio de venta.774% mayor. Por su parte, el parámetro asociado a área muestra que si esta se incrementa en pie cuadrado, el precio de venta disminuiría en promedio.65%. En este caso, la constante no tiene mucha interpretación económica. c. Para una prueba de significancia global, la hipótesis nula es la siguente:, B,..., B5 Al ser una prueba de múltiples restricciones, se debe construir un estáditico F:

2 F ESS / q RSS /( N k ) 6.97 / /(3 5 ) El valor crítico del estadístico F, con 5 grados de libertad en el numerador y 36 en el denominador al 5% de significancia es.46, por lo que se rechaza la prueba de hipótesis y se puede afirmar que el modelo es conjuntamente significativo. d. Al correr el modelo de regresión en STATA, se observa que el estadístico F que arroja es exactamente el mismo que el calculado manualmente. Inclusive, se puede obtener ese mismo valor por medio de los comandos del programa de la siguiente manera:. test lprecioc edad habitac area dist ( ) lprecioc ( ) edad ( 3) habitac ( 4) area ( 5) dist F( 5, 35) Prob > F. e. La hipótesis a evaluar es la siguiente:, B3,..., B5 El modelo restringido queda así. lpreciov B + B lprecioc + u Los resultados de la estimación de este modelo son los siguientes:. reg lpreciov lprecioc Source SS df MS Number of obs F(, 39). Model Prob > F. Residual R-squared Adj R-squared.9985 Total Root MSE.68 lpreciov Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] lprecioc _cons

3 El valor calculado del estadístico F es el siguiente (se puede construirlo bajo el enfoque de suma de cuadrado de los errores o por el de R-Cuadrado): F ( ) / 4 (.846) /(3 4 ) R.4.69 RSS ) / q ) /( N k ) El valor crítico del estadístico F, con 4 grados de libertad en el numerador y 36 en el denominador, al 5% es de.4, por lo que se rechaza la prueba de hipótesis y se afirma que existe evidencia de que el área construida, la edad y el número de habitaciones son estadísticamente significativas en conjunto para explicar la variación del precio de venta. Igualmente, en STATA se puede realizar directamente esta prueba de hipótesis. Después de haber corrido el modelo original, se efectúa la siguiente línea de comando:. test edad habitac area dist ( ) edad ( ) habitac ( 3) area ( 4) dist F( 4, 35) 5.5 Prob > F.4 f. [Alternativa ] El R-cuadrado del modelo estimado es de.9986, por lo que se puede decir que prácticamente el total de la variación de los precios está explicada por la variación del precio de compra y las características observables de las viviendas. Es decir, tan sólo el.% de la variación de lpreciov se explicaría por factores no incluidos en el modelo, por lo que este presenta un poder de predicción casi perfecto. [Alternativa ] Al estimar el modelo solo con las características observables del inmueble (edad, habitaciones, área, distancia) y excluyendo el precio de compra, se obtiene un R de.579. Esto significa que el 57.% de la variación de los precios de las viviendas está explicada por estas características observables. El restante 4.9% está explicado por la variación del precio de compra y factores no incluidos en el modelo. g. Para la correspondiente prueba de hipótesis, el modelo restringido es el siguiente: lpreciov B + lprecioc + u

4 Sin embargo, para que pueda ser estimado, se debe transformar de la siguiente forma: lpreciov lprecioc B + u Los resultados de la estimación son los siguientes:. gen lventa_lcompra lpreciov - lprecioc. reg lventa_lcompra Source SS df MS Number of obs F(, 3). Model. Prob > F. Residual R-squared Adj R-squared. Total Root MSE.69 lventa_lco~a Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] _cons La construcción del estadistico F sólo se puede realizar bajo el enfoque de suma de cuadrado de los resiudales, debido que la suma de cuadrado total es distinta para cada modelo: F ( ) / 5 (.846) /(3 5 ) R RSS ) / q ) /( N k ) 5.3 El valor crítico del estadístico F, con 5 grados de libertad en el numerador y 35 en el denominador al 5%, es.46, por lo que se rechaza la hipótesis nula. h. Usando el comado test de STATA, después de haber corrido el modelo original, la prueba de hipótesis se realiza de la siguiente forma:. test edad habitac area dist ( ) edad ( ) habitac ( 3) area ( 4) dist F( 4, 35) 5.5 Prob > F.4

5 . test lprecioc, accum ( ) edad ( ) habitac ( 3) area ( 4) dist ( 5) lprecioc F( 5, 35) 5.3 Prob > F. El comando accum es el que permite agrupar los distintos valores de las restricciones. Como se puede observar, los resultados son exactamente los mismos.. Los siguientes resultados se obtuvieron a través de MCO. La variable dependiente es el número de suscripciones a las revistas A y B respectivamente. Las variables explicativas están detalladas en la primera columna: Var. Dependiente -> ln(suscripciones A) ln(suscripciones A) ln(suscripciones B) ln(precio) -.48 (.44) ln(# de fotos por edición).44 (.9) ln(caracteres / millón).6 (.98 Constante 3.4 (.38) (.38) 4.77 (.55) -. (.4).373 (.8).35 (.98) 3.43 (.38) R N 5 Donde ln(precio) es el logaritmo del precio por número, ln(# fotos por edición) es el logaritmo del número de fotos incluidas en cada número de la revista, ln(caracteres / millón) es el logaritmo del número de caracteres en cada número de la revista dividido por un millón. a. La elasticidad precio de la demanda corresponde al cambio porcentual de la demanda de revistas ante cambios porcentuales en el precio. Manteniendo todo lo demás constante: ln( suscr) b ln( precio Δsuscr Δprecio b suscr precio ) Δ % suscr b Δ% precio

6 Así, la elasticidad precio-demanda para la revista A es de -.48 y para la B, -.. Entonces, por más que ambas sean inelásticas (porque el valor absoluto es menor que ), la demanda para la revista B es más inelástica que para la A. Para probar estadísticamente si una demanda es menos elástica que la otra, partamos primero del modelo poblacional: ln( suscra) B ln( suscrb) C Así, la prueba de hipótesis es: + B ln( precio) + B ln( fotos) + B3 ln( caracteres) + u + C ln( precio) + C ln( fotos) + C ln( caracteres) + v C < C Lo que equivale a una prueba de cola izquierda (dado que en efecto b < c entonces tiene sentido evaluar la hipótesis alterna de que B < C). Asumiendo que las muestras son independientes (es decir, que no hay covarianza entre ellas), el t- estadístico calculado es: 3 t.48 (.) (.44) + (.4) 5.4 El valor crítico del t-estadístico al 5% de significancia y con n + n ( k + ) + 5 (3 + ) 49 grados de libertad, es de Por lo cual se rechaza la hipótesis nula en favor de la hipótesis alterna, de tal forma que existe evidencia estadística de que las elasticidades precio-demanda de las revistas A y B son diferentes. aciendo la prueba de dos colas, es decir bajo la hipótesis alterna: C, los valores críticos al 5% de significancia son -.96 y.96 y el valor del estadístico t es el mismo (-5.4). Por tanto, también en este caso se rechaza la hipótesis nula a favor de la hipótesis alterna dado que -5.4<-.96. b. Es posible mostrar si la demanda de una revista es mayor si tiene un mayor número de fotos. La prueba de hipótesis a chequear es: C > C Donde n es el tamaño de muestra del modelo, n es el tamaño de muestra del modelo y k es el número de variables explicativas.

7 Dado que en efecto b > c entonces tiene sentido plantear una prueba de hipótesis de cola derecha. Asumiendo de nuevo que las muestras son independientes (no hay covarianza entre ellas), el t-estadístico calculado es: t (.9) + (.8).343 El valor crítico del t-estadístico al 5% de significancia y con n + n ( k + ) + 5 (3 + ) 49 grados de libertad, es de.645. Así, no se puede rechazar la hipótesis nula y se puede afirmar que estadísticamente no hay evidencia de que la elasticidad de la demanda al número de fotos de la revista A sea mayor que la misma elasticidad en el caso de la revista B. Si hiciéramos una prueba de hipótesis de dos colas, entonces los valores críticos al 5% de significancia serían -.96 y.96. Como -.96<.34<.96 entonces tampoco se puede rechazar la hipótesis nula en este caso (a favor de la hipótesis alterna B. C c. Es posible averiguar si el logaritmo del número de fotos por edición y el logaritmo del número de caracteres dividido por un millón son conjuntamente significativos en la explicación de la demanda de la revista A. La respectiva hipótesis nula es:, B3 El modelo presentado en la segunda columna de la tabla impone exactamente estas dos restricciones, por lo que a partir de los R-Cuadrados del modelo original y éste (el restringido), se puede construir el estadístico F: F ( ) / (.69) /( 3 ) 9.84 El valor crítico del estadístico F al 5% de significancia, con grados de libertad en el numerador y 996 en el denominador, es de 3.. Así, se rechaza la hipótesis nula y se puede asegurar que el logaritmo del número de fotos por edición y el logaritmo del número de caracteres dividido por un millón son conjuntamente significativos estadísticamente.