Econometría I (LADE). Curso 2001/2002 PRÁCTICA 08

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1 PRÁCTICA 08 HETEROCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD En el fichero Datos08.wf1 tenemos la renta y consumo anual (en dólares) para 500 familias con el que se pretende estimar el siguiente modelo: C i = β + β R + u i 1,...,500 (1) 1 2 i i = donde C i y R i son el consumo y renta anual de la familia i respectivamente. A partir de esta información resuelve las siguientes cuestiones: 1.- Realiza una nube de puntos para las dos variables en cuestión. Qué conclusiones sacas a la vista de la misma?. Por qué?. 2.- Estima el modelo (1) por MCO. 3.- Contrasta la existencia de heterocedasticidad para la estimación MCO del modelo (1) mediante los siguientes contrastes: (a) Goldfeld-Quant, (b) Breusch-Pagan y (c) White. 4.- Estima eficientemente el modelo (1) mediante la transformación que consideres adecuada de las variables del modelo. Utiliza el contraste de White para comprobar la existencia de heterocedasticidad en la nueva estimación del modelo ponderado. Se refleja esta estimación más eficiente cuando comparas las varianzas muestrales de las estimaciones?. Además, contrasta la normalidad de los residuos del modelo definitivo. 1

2 Resolución 1.- Realiza una nube de puntos para las dos variables en cuestión. Qué conclusiones sacas a la vista de la misma?. Por qué? CONSUMO vs. RENTA CONSUMO RENTA De la figura anterior se desprende la existencia de heterocedasticidad. En la medida que se incrementa la renta de las familias se incrementa igualmente la variación de los errores. 2.- Estima el modelo (1) por MCO. Dependent Variable: CONSUMO Sample(adjusted): after adjusting endpoints RENTA C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 2.71E+10 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

3 3.- Contrasta la existencia de heterocedasticidad para la estimación MCO del modelo (1) mediante los siguientes contrastes: (a) Goldfeld-Quant, (b) Breusch- Pagan y (c) White. (a) Goldfeld-Quant Debemos seguir los siguientes pasos: 1. Ordenar de menor a mayor la base de datos en función de la variable que consideremos produce la heterocedasticidad. En el EViews esto lo podemos hacer mediante la siguiente orden SORT RENTA 2. Dividimos la muestra en tres submuestras de igual tamaño. En nuestro caso, al tener 500 observaciones cada submuestra tendrá observaciones respectivamente. 3. Estimamos el modelo MCO para la primera y la última submuestra, obteniendo de cada una de ellas el sumatorio del cuadrado de los errores. La estimación de la primera submuestra será: Fijarse que en la muestra (sample) aparece Dependent Variable: CONSUMO Sample: Included observations: 167 RENTA C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.23E+09 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

4 La estimación de la última submuestra será: Dependent Variable: CONSUMO Sample: Included observations: 167 RENTA C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.89E+10 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Fijarse que en la muestra (sample) aparece , que coinciden con las 167 últimas observaciones. SCE2 4. Obtenemos el estadístico de contraste mediante el ratio donde SCE1 y SCE1 SCE 2 son el sumatorio del cuadrado de los errores de las estimaciones de la primera y última submuestra respectivamente. Este estadístico se distribuye como una F de [(N-c-2k)/2], [(N-c-2k)/2] grados de libertad, donde N, c y k son el tamaño muestral, el número de observaciones de la submuestra central y el número de parámetros del modelo respectivamente. En nuestro caso [(N-c-2k)/2] = [( *2)/2] = 165. Mientras que el estadístico de contraste es igual a: 1.89* * = Valor que deja una probabilidad nula a la derecha de una distribución F 165,165. Lo que implica rechazar la hipótesis nula de homocedasticidad. Para obtener esta probabilidad en el EViews puedes generar su valor mediante la siguiente línea de comandos GENER P=1-CFDIST(15.35,165,165) 4

5 (b) Breusch-Pagan Debemos seguir los siguientes pasos: 1. Estimamos el modelo (1) por MCO y obtenemos los residuos del mismo. La estimación de este modelo ya la tenemos del punto 2. Podemos obtener los residuos desde la salida de la estimación del modelo mediante la siguiente secuencia PROCS/MAKE RESIDUAL SERIES 2. Obtenemos la serie del cuadrado de los residuos estandarizados. Si en el paso anterior hemos nombrado a la variable residuos por resid01, podemos generar la nueva serie mediante la siguiente línea de comandos: GENR ZRESID2 = (RESID01/@STDEV(RESID01))^2 3. Estimamos una regresión entre el cuadrado de los residuos estandarizados como variable endógena y el resto de las variables explicativas del modelo (1). Recordemos que debemos añadir una constante a este modelo. Su estimación es: Dependent Variable: ZRESID2 RENTA 5.31E E C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) A partir de la regresión del punto anterior, calculamos el estadístico de contraste SCR como siendo SCR el sumatorio del cuadrado de la regresión. Bajo la 2 hipótesis nula de homocedasticidad, este estadístico se distribuye como una chicuadrado de p-1 grados de libertad, siendo p el número de parámetros de la estimación anterior (ZRESID2). A partir de esta salida tenemos que 2 R SCR = SCE 1 R = = Valor que deja una probabilidad nula a su derecha para una distribución χ 1 2. Por tanto, rechazamos la hipótesis nula de homocedasticidad. 5

6 (c) White El EViews tiene como opción la realización del contraste de White. Para obtener sus resultados debemos seguir la siguiente secuencia una vez hemos estimado el modelo (1): VIEW/RESIDUAL TESTS/WHITE HETEROSKEDASTICY TEST (Cross terms) El resultado lo tenemos a continuación: White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 01/08/01 Time: 19:42 C RENTA RENTA^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var 1.07E+08 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 4.24E+18 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Obs*R-squared es el estadístico de contraste de White, que bajo la hipótesis nula de homocedasticidad se distribuye como una χ 2 de p-1 grados de libertad. En nuestro caso, tal y como vemos en la salida del ordenador, es igual a , por lo que se rechaza la hipótesis nula de homocedasticidad. 4.- Estima eficientemente el modelo (1) mediante la transformación que consideres adecuada de las variables del modelo. Utiliza el contraste de White para comprobar la existencia de heterocedasticidad en la nueva estimación del modelo ponderado. Se refleja esta estimación más eficiente cuando comparas las varianzas muestrales de las estimaciones?. El EViews nos permite estimar el modelo ponderado sin necesidad de tener que transformar previamente las variables. Esto se puede realizar en la ventana de especificación de la ecuación (Equation Especification), dentro de options debemos señalar weighted e indicar la transformación que se desea. 6

7 En el caso del modelo (1), en un primer intento podemos ponderar por la inversa de RENTA i. En este caso la estimación del modelo queda como sigue: Dependent Variable: CONSUMO Weighting series: 1/SQR(RENTA) RENTA C Weighted Statistics R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.08E+10 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Unweighted Statistics R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid 2.72E+10 Durbin-Watson stat Tal y como se señala en el enunciado de este punto, utilizamos el contraste de White para comprobar la existencia de heterocedasticidad. Sin embargo, en este caso no podemos usar directamente la opción que de este contraste tiene el Eviews, y fue utilizada en la pregunta anterior, debido a que el programa no guarda los residuos del modelo ponderado (Weighted) sino los del modelo no ponderado (Unweighted). Para realizar el contraste podemos proceder de la siguiente manera: (a) En la ventana del fichero de trabajo señalamos las variables que intervienen en la regresión. (b) Abrimos la ecuación, y en la ventana de especificación de la ecuación (Equation Especification) multiplicamos cada variable por la ponderación correspondiente. Es importante tener en cuenta que en este paso debemos eliminar la constante del modelo que nos ofrece el EViews (recordemos que es la variable C) y sustituirla por la variable que utilizamos para ponderar. Concretamente, en nuestro caso la ecuación quedará definida por la siguiente línea CONSUMO/RENTA^0.5 RENTA/RENTA^0.5 1/RENTA^0.5 (c) Finalmente estimamos el modelo y realizamos el contraste de White tal y como vimos en la pregunta anterior. La salida es la siguiente: 7

8 White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 C RENTA/RENTA^ (RENTA/RENTA^0.5)^ /RENTA^ (1/RENTA^0.5)^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.84E+09 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Se puede comprobar como el modelo sigue presentando heterocedasticidad en sus errores. A continuación intentamos una nueva ponderación a partir de la misma variable explicativa. En este caso, ponderamos por la inversa de la renta. Dependent Variable: CONSUMO Weighting series: 1/RENTA RENTA C Weighted Statistics R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.19E+09 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Unweighted Statistics R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid 2.72E+10 Durbin-Watson stat

9 Econometría I (LADE). Curso 2000/2002 Al igual que en el modelo anterior, procedemos a contrastar la heterocedasticidad mediante el contraste de White. Los resultados los tenemos a continuación White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 C (RENTA/RENTA)*(1/RENTA) (1/RENTA)^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) En este caso, sin embargo, no podemos rechazar la hipótesis nula de existencia de homocedasticidad. Si comparamos las desviaciones típicas de las estimaciones de los coeficientes del modelo (1) por MCO y por MCG, veremos como las de este último método son más pequeñas que las correspondientes al primero. Concretamente para la variable RENTA pasa de a y para la constante de a En la salida de ordenador de las estimaciones de los modelos ponderados, podemos observar como aparecen estadístico para los datos ponderados (Weighted Statistics) y para los datos no ponderados (Unweighted Statistics). La diferencia estriba que en cada caso, el cálculo de los errores se obtiene con las variables ponderadas y no ponderadas respectivamente. Recuerda que las predicciones en este modelo se realizarán utilizando variables no ponderadas, y por tanto, es interesante conocer entre otras medidas la bondad no ponderada del ajuste. 9

10 Contraste de la normalidad de las perturbaciones Estimamos en primer lugar, a través de la línea de comandos del E-views el modelo original pero ponderado por la inversa de la renta y contrastamos previamente la posible existencia de heterocedasticidad para, posteriormente, con los residuos generados por esta estimación contrastar la posible no normalidad de las perturnbaciones. La expresión del modelo estimado vendrá dada por Consumo 1 Re nta Consumo 1 = b 0 * + b1 o, lo que es lo mismo, = b 0 * + b1 Re nta Re nta Re nta Re nta Re nta El resultado de la estimación nos lo proporciona la siguiente salida Dependent Variable: CONSUMO/RENTA Date: 01/18/02 Time: 12:22 C /RENTA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Y el contraste de heterocedasticidad de White nos proporciona el mismo resultado del que dispones en la página anterior tras la estimación ponderada a través de la expresión Weighted. White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 01/18/02 Time: 12:21 C /RENTA (1/RENTA)^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Para realizar el contraste de normalidad de las perturbaciones debes ir, en la opción View de la ecuación a Residual Test Histogram Normality Test 10

11 El resultado del contraste es un estadístico de Jarque Bera que toma el valor , con una probabilidad asociada de , que nos informa acerca de la normalidad de las perturbaciones toda vez que dicho estadístico de prueba se distribuye como una Chicuadrado con 2 grados de libertad, cuyo valor en las tablas para un nvel de significación del 5% es de 5, Series: Residuals Sample Observations 500 Mean -5.06E-15 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability