INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER

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1 1 INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER Manual del Alumno ASIGNATURA: Simulación y Modelado PROGRAMA: S3C LIMA-PERU

2 2 Indice general SIMULACION 3 1 INTRODUCCION INCONVENIENCIA DE LOS MODELOS ANALITICOS QUÉ ES SIMULACIÓN? 3 2 SITUACIONES EN QUE LA SIMULACION ES ADECUADA 5 3 LAS VARIABLES ALEATORIAS LA VARIABLE ALEATORIA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA GENERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS 9 4 ETAPAS DE LA SIMULACION MÉTODO CIENTÍFICO SEGÚN CHURCHMAN, ACKOFF, ARNOFF 10 5 SIMULACIÓN TIPO MONTECARLO EL MÉTODO DE MONTECARLO SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS MODELOS DE LINEAS DE ESPERA 15 6 TEORÍA DE COLAS DEFINICIÓN DEL PROBLEMA PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE ETIQUETACION DE MODELOS DE LE _ / _ / _ 21

3 7.1 NOTACION DE KENDALL: MODELOS DE LINEAS DE ESPERA MODELO M/M/ MODELO M/M/1/K MODELO M/M/S MODELO M/M/S/K: MODELO DE UNA LINEA DE ESPERA CON N PROCESOS 30 9 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS ETAPAS EN LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DIAGRAMAS CAUSALES DIAGRAMAS DE NIVELES FLUJOS LA ESTRUCTURA MATEMÁTICA PLICACIÓN DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS A LA PLANIFICACIÓN URBANÍSTICA EN UNA MUNICIPALIDAD INTRODUCCION Y OBJETIVOS CONCEPTUALIZACIÓN Y FORMALIZACIÓN DE LOS DIFERENTES SUBMODELOS SUBMODELO DE CONSTRUCCION SUBMODELO DE ACTIVIDAD ECONOMICA ANALISIS DE LOS BUCLES DE REALIMENTACIÓN ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL MODELO BAJO DIFERENTES HIPÓTESIS CONCLUSIONES 46 1

4 4 SIMULACION 1 INTRODUCCION Simulación es un área de estudio que forma parte de la Investigación de Operaciones (IDO), La cual es usada prácticamente en todas las áreas de estudio conocidas. Simulación permite estudiar un sistema sin tener que realizar experimentación sobre el sistema real. Esto presenta muchas ventajas que discutiremos más adelante aquí. Sin embargo, esta no es la única forma de estudiar un sistema; otra posibilidad es construir un modelo análitico conformado por un conjunto de ecuaciones (generalmente diferenciales) que representan al sistema para luego resolverlo para diferentes situaciones, o bien plantear un modelo de optimización que pretende proporcionar la mejor estrategia que el sistema debe adoptar para funcionar mejor de acuerdo con alguna medida de rendimiento establecida en la "función objetivo" y satisfaciendo las diversas condiciones del problema, establecidas en "las restricciones". Los modelos que se obtienen como un conjunto de ecuaciones se denominan con frecuencia modelos analíticos, es decir modelos de ecuaciones diferenciales o de optimización. 1 INCONVENIENCIA DE LOS MODELOS ANALITICOS La construcción de un modelo analítico tiene con frecuencia serios inconvenientes, entre los que podemos citar: 1) La dificultad de encontrar el modelo de ecuaciones que representen al sistema real y 2) La dificultad para resolver el modelo. Por otro lado, con frecuencia se requiere que los individuos que participan en el equipo deben tener una gran capacitación y destreza. De modo que estos equipos de trabajo suelen ser costosos. En contraparte, para obtener modelos de simulación, los equipos de trabajo pueden estar conformados por personas con menor calificación, de modo que la coordinación de estos equipos es en general mas simple y casi siempre más económico. Con esto no se pretende decir que los modelos analíticos sean inútiles, ya que existen cierto tipo de problemas, para los cuales se conoce la forma de obtención del modelo así como la manera de construir un algoritmo eficiente para resolverlo. 2 QUÉ ES SIMULACIÓN? Simulación es una palabra que es familiar a los profesionales de todas las disciplinas e incluso para aquéllos que no han estudiado una carrera profesional. De esta manera el significado de la palabra Simulación se explica casi por sí misma. Entre los significados que podemos obtener de la gente común y corriente para la palabra "Simular", se encuentran los siguientes: "Imitar la realidad", "emular un sistema", "dar la apariencia o efecto de un sistema o situación real". Hay muchas definiciones propuestas sobre lo que significa Simulación, he aquí algunas definiciones:

5 "Una simulación es una imitación de la operación de un proceso del mundo real sobre determinado tiempo" "El comportamiento de un sistema durante determinado tiempo puede ser estudiado por medio de un modelo de simulación. Este modelo usualmente toma su forma a partir de un conjunto de postulados sobre la operación del sistema real". En la primera definición, está implícito un sistema, mismo que contiene un proceso (posiblemente formado por subprocesos). De esta manera se trata de un sistema el cual cambia con el tiempo. Nótese que en esta definición no se señala si las relaciones de las variables del sistema son discretas o continuas, esto depende del modelo que representará al sistema real. Esta división no existe siempre en la realidad, hemos sido los seres humanos quienes lo hemos dividido (para facilitar su estudio) en discreto y continuo. Esto pasa con todas las cosas de la naturaleza; está es única, sin embargo, el hombre se ha encargado en dividirla en física, biología, matemáticas, etc. No importa como dividamos a la naturaleza esta seguirá siendo única y probablemente indivisible. Un modelo es una representación de un objeto de interés. No obstante que el objeto sea único, el número de representaciones es por lo general muy grande, de modo que el número de modelos de un sistema del mundo real lo es también. Puesto que para un sistema del mundo real habrá tantas representaciones como concepciones de la realidad se tengan, el número de modelos es por lo general infinito. El hecho de que se tenga más de un modelo de simulación para un sistema real, no nos debe preocupar demasiado, encontrar un modelo de simulación casi siempre es fácil, mientras que encontrar un modelo analítico con frecuencia es una tarea ardua, independientemente que, para muchos problemas, un modelo analítico, simplemente no existe. Obsérvese que en la segunda definición también se hace incapié de un modelo, dejando entrever la posibilidad de diferentes modelos, lo cual resulta totalmente natural, dada la multiplicidad de modelos para un mismo objeto del mundo real. Nótese también que se propone un objetivo de la simulación: "estudiar sistemas reales a través de modelo". Podríamos agregar aun más que el propósito de estudiar a los sistemas reales es comprender la interacción de los procesos que intervienen en el, con el propósito de modificarlos para obtener un beneficio determinado. En esta definición está implícito que: 1) Un modelo de simulación representa un conjunto de suposiciones (o postulados) sobre la operación de un sistema real. 2) Los postulados de un modelo de simulación se pueden expresar como relaciones entre entidades u objetos de interés del sistema en forma de expresiones matemáticas, lo que llevaría a un modelo analítico. Afortunadamente, es posible reemplazar esas expresiones matemáticas y el cálculo de los valores de las variables de interés, a través de funciones de distribución de probabilidad. Para los problemas de líneas de espera, existen modelos analíticos que pretenden representar los resultados promedio de la utilización de dichas funciones de distribución de probabilidad. Los Modelos de Markov también apuntan en esa dirección. Los Modelos de simulación de eventos discretos (o simulación tipo MonteCarlo), por 5

6 el contrario, utilizan estas funciones de distribución con el propósito de realizar una experimentación cuyos resultados llevarán, después de un número conveniente de ensayos a lo que se obtendría en el sistema real. Estos modelos de simulación tienen la ventaja que se pueden para muchos tipos de problemas y no sólo para aquéllos de líneas de espera. Existen además modelos del área de teoría de Control que incorporan funciones de distribución de probabilidad y lo que se conoce como estabilidad de sistemas, referidos recientemente como Teoría de Caos que se pueden también usar para una gran variedad de problemas. Los modelos de estabilidad empleados asi son por lo regular difíciles de construir y validar. Por otra parte también existen modelos de optimización que utilizan funciones de distribución y permiten estudiar sistemas del mundo real de alguna manera; ejemplos de ellos son los modelos de redes neuronales y algoritmos genéticos. Otros técnicas empleadas son Redes de petri y Modelos de Regresión. En este curso solamente estudiaremos modelos de líneas de espera y de Markov y, modelos de Simulación de eventos discretos tipo Montecarlo. En lo que sigue usaremos el término "Simulación", para referirnos a "Simulación de Eventos Discretos". En este curso usaremos el Término "Simulación", para referirnos a la Simulación de Eventos Discretos tipo MonteCarlo. 6 2 SITUACIONES EN QUE LA SIMULACION ES ADECUADA La Simulación permite el estudio de, y la experimentación con, las interacciones internas de un sistema real o, entre un subsistema con uno o más sistemas donde las relaciones son de naturaleza estocástica. La simulación es conveniente cuando: * Se requiere analizar diferentes cambios en la información y su efecto. * Se desea experimentar con diferentes diseños o políticas. * Se desea verificar soluciones analíticas. * Un modelo analítico es imposible o difícil de construir. * Se desea estudiar un sistema real y resulta peligroso o costoso hacerlo en el propio sistema real; la posibilidad de hacerlo mediante un modelo analítico resulta imposible ó inconveniente. Además, puede resultar conveniente: Usar la simulación como un instrumento pedagógico para reforzar metodologías analíticas. Determinar cuales son las variables más importantes del modelo de un sistema, mediante el uso de simulación. De esta manera se podrá construir un modelo refinado del sistema real. Esto puede ser útil para la construcción de modelos diferentes a los de simulación.

7 7 Algunas aplicaciones de Simulación que podemos citar son los siguientes: Operaciones de mantenimiento * Simulación del Tráfico de un sistema (Teleproceso, Tráfico aéreo y terrestre, telecomunicaciones, telefonía,...). * Cambios en la configuración de un sistema. * Simulación económica. * Estrategias militares. * Control de inventarios. * Líneas de producción, 1 La variable aleatoria 1 LAS VARIABLES ALEATORIAS Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores {x0, x1, x2,... xn-1}, con probabilidades {p0, p1, p2,... pn-1}. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar monedas, los posibles resultados son {cara, cruz}, y sus probabilidades son {1/2, 1/2}. En la experiencia de lanzar dados, los resultados posibles son {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sus probabilidades respectivas son {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}. Realicemos ahora la experiencia de hacer girar una ruleta y apuntar el número del sector que coincide con la flecha. En la ruleta de la izquierda de la figura los resultados posibles son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, y la probabilidad de cada resultado es 1/8. En la ruleta de la derecha de la figura los posibles resultados son {0, 1, 2, 3}, y las probabilidades respectivas {1/4, 1/2, 1/8, 1/8}, proporcionales al ángulo del sector. En los tres primeros ejemplos, la variable aleatoria X se dice que está uniformemente distribuida, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en el último ejemplo, la variable aleatoria X, no está uniformemente distribuida. El problema crucial de la aplicación de los métodos de Montecarlo es hallar los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribución de probabilidad dada por la función p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1), proporcionada por el ordenador o por una rutina incorporada al programa. Para simular un proceso físico, o hallar la solución de un problema matemático es necesario usar gran cantidad de números aleatorios. El método mecánico de la ruleta sería muy lento, además cualquier aparato físico real genera variables aleatorias cuyas distribuciones difieren, al menos ligeramente de la distribución uniforme ideal. También, se puede hacer uso de tablas de cifras aleatorias uniformemente distribuidas, comprobadas minuciosamente en base a pruebas estadísticas especiales. Se emplean solamente cuando los cálculos correspondientes a la aplicación del método de Montecarlo se realiza a mano, lo que en estos tiempos resulta inimaginable. En la práctica, resulta más conveniente emplear los denominados números pseudoaleatorios, se trata de

8 números que se obtienen a partir de un número denominado semilla, y la aplicación reiterada de una fórmula, obteniéndose una secuencia {x0, x1, x2,... xn} de números que imitan los valores de una variable uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1). 8 2 Variable aleatoria discreta Para simular la ruleta situada a la derecha de la figura, se procede del siguiente modo: se hallan las probabilidades de cada resultado, proporcionales al ángulo de cada sector y se apuntan en la segunda columna, la suma total debe de dar la unidad. En la tercera columna, se escriben las probabilidades acumuladas. Resultado Probabilidad P. acumulada Se sortea un número aleatorio? uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), el resultado del sorteo se muestra en la figura. En el eje X se sitúan los distintos resultados que hemos nombrado x0, x1, x2, x3. En el eje vertical las probabilidades en forma de segmentos verticales de longitud igual a la probabilidad pi de cada uno de los resultados, dichos segmentos se ponen unos a continuación de los otros, encima su respectivo resultado xi. Se obtiene así una función escalonada. Cuando se sortea una variable aleatoria?, se traza una recta horizontal cuya ordenada sea?. Se busca el resultado cuya abscisa sea la intersección de dicha recta horizontal y del segmento vertical, tal como se señala con flechas en la figura. Si el número aleatorio? está comprendido entre 0.25 y 0.75 se obtiene el resultado denominado x1. La tabla describe el sorteo de una variable discreta, siendo?? una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0,1).

9 9 Condición Resultado 0<=?< <=?< <=?< <=?<1 3 Una vez visto un caso particular, el problema general puede formularse del siguiente modo: Si X es una variable aleatoria discreta cuyos posible resultados son {x0, x1, x2,... xn-1} y sean {p0, p1, p2,... pn} sus respectivas probabilidades. Al sortear un número aleatorio?, uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), se obtiene el resultado xi, si se verifica la siguiente condición: (1) 3 Variable aleatoria continua Comprendido el concepto de transformación de una variable discreta, y el procedimiento para obtener un resultado cuando se efectúa el sorteo de una variable aleatoria uniformemente distribuida, no reviste dificultad el estudio de la variable continua. Si X es una variable aleatoria continua, y p(x) es la probabilidad de cada resultado x, construimos la función que se representa en la figura. (2) El resultado del sorteo de una variable? uniformemente distribuida en el intervalo [0,1) se obtiene a partir de la ecuación. (3)

10 10 Gráficamente, se obtiene trazando una recta horizontal de ordenada?. La abscisa x del punto de corte con la función es el resultado obtenido. En la figura se señala mediante flechas. Un ejemplo sencillo es la transformación de una variable aleatoria que está uniformemente distribuida en el intervalo [a, b) si Integrando (2) obtenemos la función que es una línea recta, que vale cero cuando x=a, y uno cuando x=b, tal como puede verse en la figura inferior. Utilizando la fórmula (3) de la transformación de la variable aleatoria continua y despejando x, se obtiene 4 Generador de números aleatorios Existen varias fórmulas para obtener una secuencia de números aleatorios, una de las más sencillas es la denominada fórmula de congruencia: se trata de una fórmula iterativa, en la que el resultado de una iteración se utiliza en la siguiente. x=(a*x+c)%m; donde a, c, m, son constantes cuyos valores elige el creador de la rutina, así por ejemplo tenemos a=24298 c=99491 m= a=899 c=0 m=32768 Basta introducir el valor inicial de x, para obtener una secuencia de números pseudoaleatorios. Dejaremos al lector interesado la codificación de esta rutina.

11 11 2 ETAPAS DE LA SIMULACION 1 Método Científico Según Churchman, Ackoff, Arnoff I. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. En esta fase se define el problema a resolver y los objetivos que se pretenden alcanzar, mostrando las herramientas para hacer uso y mejoramiento de los esfuerzos de los investigadores, divididos en dos aspectos: A) PERÍODO DE ORIENTACIÓN. Denominado también como el primer período de la investigación. El equipo de Investigación de Operaciones ajeno a la empresa tiene la oportunidad de valorar al problema y a la organización. Los promotores que son los críticos científicos y los que ayudan a la organización económicamente (fundaciones, gobierno,...) tienen también una oportunidad similar de tener un acercamiento a la empresa. Así, al final del período de orientación puede especificarse bajo que condiciones se realiza la investigación y puedan tomarse las medidas necesarias que satisfagan tales condiciones. B) LOS COMPONENTES DEL PROBLEMA. Para llegar a la formulación del problema debemos plantear, en que consiste el problema?, o cuáles son sus componentes?. Para lo cual tomaremos en cuenta lo siguiente: 1. La evidencia de que alguien o algún grupo tiene un problema. Este "alguien o grupo" es también llamado CENTRO DE DECISIÓN. Cuando el centro de decisión no está satisfecho con algún aspecto de las actividades tienen la autoridad para implementar, modificar y concluir las políticas vigentes en la organización y del sistema en estudio. Las cuestiones siguientes pueden servir de guía en la adopción de decisiones. i.) Quién es el responsable de emitir las recomendaciones que están en relación a las modificaciones de las políticas?. ii.) De quién depende la aprobación y como es expresada la misma? iii.) Cómo se realiza la aprobación final? P. ej. Por voto mayoritario en deliberación conjunta, por una autoridad final. iv.) Alguien tiene poder de veto absoluto? v.) Quién es el responsable de aplicar las recomendaciones aprobadas? vi.) Quién valorará la acción tomada? 2. Los objetivos que persigue quien toma las decisiones.

12 El ejecutivo de la organización puede desear mantener y obtener algunos objetivos diferentes, tales como: disminuir costos de producción, aumentar su volumen de ventas, mejorar el servicio a clientes,..., 3. El sistema o ambiente. Que es el escenario de los recursos restringidos o inexistentes en relación con quien toma decisiones. El sistema está formado por un conjunto de componentes interrelacionados que buscan un objetivo común, p. ej.: El consejo administrativo, el personal de la empresa, la maquinaria y equipo, los materiales empleados para obtener el producto final, el volumen de ventas, la competencia,..., 4. Los cursos de acción alternativos. Es al menos dos alternativas o políticas planteadas para que el que toma la decisión tenga la opción a elegir. Para obtener una lista de alternativas, se deben de formular y contestar las siguientes preguntas para cada parte del sistema. En que medida afectan la eficacia del sistema hacer ciertos cambios, en el personal, equipo, operaciones, máquinas, materiales,..., en relación con los objetivos señalados? Una vez especificados las acciones y reacciones posibles, está concluída la Identificación de los Componentes del Sistema, y se pasará a la Transformación del Problema de la Toma de Decisiones, a un Problema de Investigación de Operaciones, que según Churchman, Ackoff, Arnoff, implica las siguientes etapas: La selección de la lista de objetivos obtenidos en la formulación del problema. b) La selección de la lista de posibles cursos de acción alternativos. c) La definición de la medida de rendimiento que va a utilizarse. 12 II. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO QUE REPRESENTA AL SISTEMA EN ESTUDIO. La representación de algún objeto que está sujeto a estudio (acontecimientos, procesos, sistemas) es llamado Modelo Científico, que tiende a ser de carácter explicativo y es utilizado con fines de predicción y control. La primera fase de la construcción del modelo donde son expuestas las medidas alternativas a evaluar y la definición de la medida de rendimiento, luego entonces el rendimiento del sistema estará en función de los valores de las variables. Estas variables pueden cambiarse por las decisiones de los directivos; pero otras no. O sea, las primeras serán variables controlables y la siguientes, no controlables. Los valores de las variables controlables se utilizan para definir los cursos de acción posible. Por los directivos de la organización, son los aspectos incontrolables del sistema, p. ej.: la demanda del consumidor ambas están en función (f) y (E) es la medida de rendimiento utilizada.

13 13 En la construcción del modelo, se estructuran una o más ecuaciones de la forma: En el sistema, hallar la solución, consiste en encontrar los valores de las variables controlables, que harán un máximo de rendimiento del mismo. En algunos casos se utilizará la medida de falta de rendimiento (p. ej.: costos esperados), entonces la solución radica en hacer mínima la medida de eficiencia. Componentes del Sistema. Se empieza por enumerar a todos los componentes del sistema que contribuye al rendimiento o no rendimiento de su funcionamiento. Datos de entrada Resultado Importancia de los componentes. Ya teniendo la lista que completan los componentes del sistema, lo siguiente es identificar cuales de ellos deben tomarse en cuenta, y ver si hay alguno en relación a otro ( o en función de otro) o si el curso de acción es totalmente independiente. Se tendrá que averiguar por que el sistema funciona en la forma en la que lo hace, qué factores producen los efectos que han sido observados?, de qué manera se pueden manipular para que se produzcan los efectos deseados? Combinaciòn y divisiòn de los componentes. Para su buen manejo resulta conveniente agrupar ciertos componentes del sistema. La combinación de éstos pueden dar origen a otro diferente. Sìmbolos de sustituciòn.

14 En la lista modificada será necesario determinar si el componente tiene un valor fijo o variable, se deberá buscar los aspectos del sistema que están afectando al componente variable. Se asignarán a los componentes variables un símbolo para cada subcomponente. 14 Construcción del modelo matemático. Dependiendo de la definición del problema el equipo de Investigación de Operaciones de O decidirá sobre el modelo más adecuado que representará al sistema, el cual especificará las expresiones cuantitativas para el objetivo y sus restricciones, todo en función de las variables de decisión. DERIVACIÓN DE LA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO MATEMÁTICO. Según Prawda, resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes y las no dependientes, asociadas a los componentes controlables del sistema con el fin de optimizar, si no es posible, mejorar la eficiencia del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos establecidos por el grupo de toma de decisiones. Los métodos de solución son: 1. Método Analítico. 2. Método Numérico. 3. Método de Simulación. 1.- EL MÉTODO ANALÍTICO, hace el análisis matemático clásico, es utilizado para obtener soluciones en forma deductiva, (llamadas también soluciones analíticas), o sea, que parte de lo general a lo particular. 2.- EL MÉTODO NUMÉRICO, se aplica cuando la solución no es posible obtenerla de manera deductiva, se utilizará, el análisis numérico, (Iterativo) o solución numérica en forma inductiva, que va de lo particular a lo general. La solución de tipo iterativo se aproxima a la solución óptima con un margen de error permitido, basado en una serie de pruebas sobre la misma lógica de solución, en relación a resultados de una prueba anterior. 3.- Existen los MÉTODOS DE SIMULACIÓN, que son los que imitan al sistema real, es muy útil en la solución de problemas complejos, de riesgo y bajo incertidumbre. La Técnica de Montecarlo, es un método de solución que utiliza los problemas probabilísticos de simulación. Esta técnica es utilizada donde no se puede hacer uso de

15 los métodos de solución numérica o de solución analítica, ya que se generan números aleatorios para obtener valores muéstrales en base a una distribución de probabilidad. La Teoría de Juegos, es un sistema donde existen varios grupos de decisión que reaccionan entre sí. Existen Lenguajes de Programación para la Simulación, como: DYNAMO, FORTRAN, GPSS, SIMSCRIPT, etc. IV. COMPROBACIÓN DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN. El modelo debe probar su validez, antes de ser implantado, observando si los resultados predicen o no, con cierta aproximación o exactitud, los efectos en relación a las diferentes alternativas de solución. Si los resultados del modelo, se alejan bastante de los resultados reales del sistema, se debe tomar en cuenta lo siguiente: Determinar si el modelo señala el rendimiento del sistema según una o más variables que afectan a dicho rendimiento. Corroborar si el modelo no ha omitido alguna variable que tenga efecto importante en el rendimiento del sistema. Comprobar si el modelo expresa realmente la relación real existente entre la medida de rendimiento y la variables - Verificar si los parámetros incluídos en el modelo no estén siendo evaluados adecuadamente. Para comprobar la solución del modelo, deberá recopilarse la información, con el fin de hacer las pruebas necesarias y hacer la verificación según los siguientes pasos: a) Definir científicamente (incluyendo la medida de rendimiento) b) Llevar a cabo el muestreo (incluyendo el diseño de experimentos) c) Reducir el número de datos. d) Utilizar los datos en la prueba de hipótesis e) Evaluar los resultados. Si estos pasos son llevados a cabo recurrentemente cada vez que obtienen resultados del modelo y les son presentados al grupo de toma de decisiones, se empieza a ejecutar un procedimiento sistemático de control que depura y ajusta al mismo, con la realidad. 15 V. ESTABLECIMIENTO DE LOS CONTROLES Y APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN. Los sistemas no suelen ser estables y su estructura está sujeta a cambios, que pueden ser cambios entre las variables que definen al propio sistema, o pueden ser cambios entre los valores de las variables del sistema. El objetivo del establecimiento de controles, es para que no se pierda la efectividad del modelo matemático debido a cambios en los parámetros y la eficacia de la solución puede verse disminuída en consecuencia a:

16 - cambio de los valores - cambio de la relación entre ellos - cambio en ambos factores. En consecuencia, un parámetro que no era significativo puede llegar a serlo o puede dejar de serlo, o tal vez, cambiar su grado de importancia. El diseño de un sistema de control deberá tomar en cuenta lo siguiente: 1. Enumeración de las variables y la relación entre ellas, y la manera en que afecta a la solución el cambio de los valores. 2. Elaboración de un procedimiento para detectar los cambios importantes entre los parámetros (variables) y las relaciones, 3. Especificación de la acción que deberá tomarse o los ajustes que deben llevarse a cabo en el momento de ocurrir un cambio importante. Los parámetros enumerados pueden ser clasificados como: a)valores que se conocen de antemano durante el período correspondiente a una decisión. Como por ejemplo: número de días de trabajo, precio de ventas de un artículo,... b)medidas cuyos valores no se conocen de antemano. P. ejemplo:la cantidad de producto defectuosa, la utilidad anual de la empresa,... La participación entre los investigadores de operaciones y el personal de operación, cuyo trabajo en conjunto, permitirá desarrollar exitosamente el plan de implantación. Ya que ninguna consideración práctica se dejará de analizar, y de esta manera podrán verificarse las modificaciones o ajustes posibles al sistema 16

17 17 3 SIMULACIÓN TIPO MONTECARLO 1 EL MÉTODO DE MONTECARLO 4 El método de Montecarlo consiste en tomar una solución válida, provocar una pequeña variación aleatoria y, si la nueva configuración es mejor que la anterior y cumple las restricciones, nos quedamos con la nueva; si no, nos quedamos con la antigua. Este metodo planteado de esta forma no convege -aunque llege a un mínimo, sigue operando-. Para que converja, se va haciendo cada vez más pequeña la variación aleatoria. El metodo de Montecarlo puede ni converger en un mínimo, pero el coste es razonable y puede ser aceptado para problemas de mucha complejidad. Otra optimización tradicional es provocar la variación aleatoria de forma que la nueva configuración ya sea válida, mas esto no siempre es posible. 1 SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS También llamada simulación de Montecarlo proporciona una visión general teórica y práctica de los conceptos de simulación mediante un estudio avanzado de los aspectos más importantes de sistemas de eventos discretos. El enfoque principal es lograr aplicar la simulación en sistemas de eventos discretos del mundo real usando diferentes lenguajes de simulación. Las bases matemáticas para la simulación de sistemas de eventos discretos son Teoría de probabilidad y Teoría de Líneas de espera. Estas teorías son ampliamente usadas en el campo de investigación de operaciones, manufactura e ingeniería industrial. 2 MODELOS DE LINEAS DE ESPERA Los modelos de líneas de espera (LE) son importantes en la simulación y modulación de sistemas computacionales debido a: Pueden ser usados para entender aspectos estocásticos de las redes de comunicación y redes de cómputo. Pueden ser usados para simular servidores de sistemas diversos tales como: bancarios, sistemas de producción, simulación de vuelos, etc.

18 Los profesionales que típicamente enfrentan estos problemas son, los ingenieros de sistemas, industriales, de sistemas computacionales y de informática; sin embargo, estos son problemas afectan todos los sectores productivos, de manera que las LE's tienen un gran potencial de aplicación. 18 Existen básicamente dos maneras de abordar un problema de LE: Usando modelos matemáticos obtenidos ex profeso para ciertos tipos de LE s que se presentan con frecuencia y Usando un modelo de simulación de eventos discretos. El primer caso consiste básicamente de un conjunto de fórmulas que se aplican para ciertas características de un sistema de espera particular. Cuando se utiliza el término "modelo de líneas de espera", con frecuencia se entiende (correcta o incorrectamente) que se trata de este primer caso. Los modelos de líneas de espera tienen las siguientes características que los hacen atractivos: Son más rápidos, que los modelos de simulación. Son fáciles de utilizar no requiriéndose grandes esfuerzos de programación. Son más baratos que los modelos de simulación Pueden ser usados para validar sistemas de simulación MonteCarlo, mediante condiciones que las LE's consideran. Pueden ser usados para validar sistemas de simulación MonteCarlo, mediante condiciones que las LE's consideran. Aquí presentaremos los modelos de LE más comunes. Para su presentación, mostraremos la forma como se deriva solo para un caso, con lo que pretendemos ilustrar de que manera se obtienen. Esto se hace con el objeto de presentar el grado de complejidad que representa obtener un modelo de Líneas de Espera. Para ello nos basaremos en los modelos de Nacimiento y Muerte, los cuales, suponemos que el alumno conoce al menos de manera superficial.

19 19 1 TEORÍA DE COLAS. 1 Definición del problema. El problema a modelar consiste en el comportamiento dinámico de algunas variables de interés de un sistema de servicio de clientes. Las cantidades de interés que se consideran en el modelo son: S : número de servidores. n : número de clientes en el sistema. N : número máximo de clientes en el sistema. L : número promedio de clientes en el sistema. L Q : número promedio de clientes esperando en la cola. W : tiempo promedio de un cliente en el sistema. W Q : tiempo promedio de un cliente esperando en el sistema. Además se puede definir la razón promedio de llegada de clientes a por: a N(t) lim t t Entonces se pueden plantear las fórmulas Littles: L L Q a W a W Q 2 PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE.

20 Los modelos de Líneas de Espera (LE), se derivan generalmente a partir de los procesos de Nacimiento y Muerte, los cuales son procesos de Markov con "Entradas Poisson y Tiempos de Servicio Exponencial". Esto significa que la situación de espera en la cual el número de llegadas y salidas del sistema, durante un intervalo de tiempo, esta controlado por las siguientes condiciones: 20 La Probabilidad de que un evento (es decir llegada o salida) ocurra entre los instantes de tiempo t y t+h, depende únicamente de la longitud del intervalo de tiempo entre esos dos instantes, esto es depende solamente de h. Esto quiere decir que la probabilidad de ocurrencia de un evento durante el intervalo t y t+h no depende del número de eventos ocurridos antes de t ni tampoco del valor de t. Si h es intervalo de tiempo muy pequeño, la probabilidad de que ocurra un evento durante ese intervalo nunca es mayor que la unidad y siempre es positiva. Durante el intervalo h solo puede ocurrir un evento, es decir lo que puede variar es la probabilidad de que ocurra un evento durante ese intervalo. Para determinar si se tiene un proceso tipo Poisson, se pueden realizar pruebas estadísticas, tales como la prueba Xi Cuadrada, sin embargo, una manera más sencilla y utilizada con frecuencia en la práctica es observar el proceso durante un cierto tiempo y registrar el número de eventos que ocurren cada h unidades de tiempo; acto seguido se calcula la media y la desviación estándar, sí estas son aproximadamente iguales, entonces se dice que el número de ocurrencias sigue una distribución de Poisson. Si un proceso es Poisson, entonces las probabilidad del tiempo entre ocurrencias de eventos es exponencial. Un sistema de nacimiento y muerte, se puede representar como sigue: 1 2 3

21 21 n-2 n-1 n n+1 Sea: 0, 1, n, la media de llegadas cuando hay 0.1, n clientes en el sistema y 1, 2,, n, n+1, la tasa media de servicio cuando hay 1,2, n, n+1 clientes en el sistema. Sean Po, P1, Pn, las probabilidades de estado estable. Entonces usamos las ecuaciones de balance de flujos: Suma de flujos de entrada = Suma de flujos de salida Para determinar cada Pi mediante este método, escribimos las ecuaciones para cada nodo: Estado Ecuación Despejes de Pi en términos de P0 0 1 P1 = 0 P0 P1= ( 0/ 1)P0 1 0 P0 + 2 P2 = ( 1+ 1)P1 P2= ( 1 0/ 2 1)P0 2 1 P1 + 3P3 = ( 1+ 1)P1 P3= ( 2 1 0/ 3 2 1)P0

22 22... n-1 Pn=( n-1 n-2.. 0/ n n-1.. 1)P0 Utilizamos ahora: Cn = ( n-1 n-2. 0) / { n n-1. 1}..(1) Escribimos ahora la ecuación del renglón n-1 usando Cn: Pn = Cn P0 (2) Podemos generar un sistema de ecuaciones para determinar P0,P1, Pn; sin embargo, recuerda que una de las ecuaciones (2) es redundante y debe se reemplazada por: 0 Pn =1 o bien P0 + Pn = 1.(3) 1 Esto se consigue haciendo variar n desde 1 hasta infinito. Significa que la ecuación (2) con la (3) formará un sistema consistente.

23 23 Sustituyendo (2) en (3) P0 + CnP0 =1 1 Entonces P0 es igual a: 1 P0 = (4) 1 + Cn 1 La ecuación (4) converge si Cn < 1, esto es un resultado que resulta del área de Series y Sucesiones, y que se estudia normalmente en los cursos elementales de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra o Matemáticas Discretas. Note que se puede calcular P0 de la ecuación (4) ya que las tasas de llegadas y de servicios son por lo regular conocidas. Nótese también que con la ecuación (2) podemos calcular todas las Pi's, puesto que P0 es ahora conocida. Recordamos el concepto de valor esperado de una variable aleatoria xi, que se define como: 0 Xi Pi

24 24 Entonces el número esperado de clientes en el sistema L y el número esperado de clientes en la línea de espera Lq es: Ahora vamos a definir los siguientes valores esperados: L = n Pn 0 Lq = (n-s) Pn n=s Donde s es el número de servidores en el sistema. Primera Practica Calificada

25 25 1 ETIQUETACION DE MODELOS DE LE _ / _ / _ Estos modelos se etiquetan como sigue: / / Distribución Distribución Número de servidores Del tiempo Entre Llegadas Del tiempo de servicio Con frecuencia se usan las letras: M = Distribución exponencial (Markoviana) Ek = Distribución Erlang D = Distribución degenerada (tiempos constantes) G = Distribución General 1 NOTACION DE KENDALL: Se utilizan dos notaciones de Kendall: a) A/B/S/K/m/Z b) A/B/S/Z/m/K

26 Es una notación extendida de la anterior (es decir el caso anterior es un caso particular) donde: 26 A= Distribución del tiempo entre llegadas B= Distribución del tiempo de servicio S= Número de servidores K=Número de clientes potenciales en el sistema o tamaño de la fuente (Capacidad del sistema) m= Número de clientes en el sistema Z= Disciplina de atención de la línea de espera A y B pueden ser: GI = Distribución general independiente G = Distribución general Ek =Distribución Erlang M = Distribución Exponencial (Markoviana) D = Distribución degenerada o determinística (tiempos constantes) Hk = Distribución Hiperexponencial con k etapas Los otros índices de la notación de Kendall pueden ser: K: Puede ser Finita ó infinita m: Puede ser Finito ó infinito Z: Puede ser FIFO, LIFO, etc. Es común usar la notación de Kendall simplificada A/B/S, cuando:

27 27 La LE es infinita La fuente es infinita La disciplina es FIFO

28 28 1 MODELOS DE LINEAS DE ESPERA 1 MODELO M/M/1 Una cola un servidor En este modelo se considera que las tasas medias de llegadas y de servicio no cambian con el número de clientes en el sistema, es decir: =...(1)... Coeficiente de atención W= 1...(2)... Tiempo total de atención del cliente - L= (3) Longitud promedio de la cola del sistema 1- Ademas:

29 29 Probabilidad en ser atendido en "t" unidades de tiempo W(t) = e-t/w Probabilidad de estar "t" unidades de tiempo en la cola Wq(t) = e-t/w Pn = n(1 - ) = (1 - Pn)...promedio de clientes no llegados Lq = L - / Wq = Lq / Ejemplo: Un vigilante atiende a los visitantes, los cuales van llegando a razón de 16 por hora, el vigilante atiende a razón de 20 clientes por hora, se pide: a) Longitud promedio de la cola del sistema. b) El tiempo total que demora cada cliente desde que llega hasta que salede la cola. c) El tiempo que demora en la cola. Solución Datos: = 16 clientes/hora

30 30 = 20 clientes/hora Aplicando (1) = 16 = a) Aplicando (3) L= 4/5 = 4 clientes 1-4/5 a) Aplicando (2) W= 1 = 1/4 hora o 15 minutos a) Si se atienden 20 clientes en una hora entonces se puede deducir que un cliente es atendido en 3 minutos por cliente. El tiempo que demora en la cola = L - 3 minutos por cliente = 15-3 = 12 minutos

31 31 2 MODELO M/M/1/K Similar a la anterior pero con una longitud limite "K" para la cola = Para n = 0, 1, 2,...K-1 0 Para n = K, K+1,... Pn Probabilidad de que exista "n" elementos en la cola: Pn = n(1 - ) ( 1)...1a 1 - K+1 K ( = 1)...1b 2 L Longitud de la cola: L = - (K+1) k+ 1 ( 1)...2a K+1 K ( = 1)...2b 2

32 32 Ejemplo: En una estación de servicio se cuenta con solo un grifo para la atención. Los clientes llegan en un proceso de poisson a razón de 10 vehículos por hora mientras que son atendidos bajo un proceso exponencial con una media de 3 minutos, además se sabe que la venta promedio es de 18 dollares. Debido a que la estación es pequeña, solo puede mantener 4 autos en espera, si llegan mas cuando esta llena debe buscar otro grifo. Determinar: a) El numero promedio de vehículos en la cola. b) El tiempo que los clientes deben esperar para esperar la atencion. c) Las perdidas por la no atención de clientes. Solución: Datos: = 10 clientes/hora = 3 minutos o 20 clientes/hora k = 4 = 10 = a) Se utilizara 2a para el calculo de "L": L= 1/2 - (4+1)(1/2) /2 1 - (1/2) 4+1 L= 1 - (5)(1/2) 5

33 (1/2) 5 L= 1 - (5)(1/2) (1/2) 5 L= 1-5/32 = 0.16 autos 31/32 b) Pk= (1/2)4(1-1/3) = (1/2)5 = (1-Pk) = 10 ( ) = L= (1/2) - (4+1)(1/2)4+1 = (1/2) 1-(1/2)4+1 Lq = /20 = Wq = /9.678 = c) Vehículos que no son atendidos:

34 34 - = = Perdidas por hora = 0.322*18 = $ 5.796

35 35 Examen Parcial 3 MODELO M/M/S Una cola Varios servidores En este modelo se considera que: n = n 0 n= n n 0 s n s Po= n=s- 1 n + s -1

36 36 n! s!(1 - /s) n=0 Pn= npo = ( n/n!)po,,,,,,,n s n! n s!sn-s n = ( n/s!ssns)po...n s Lq= s+1 Po (s+1)!(s- )2 Wq = Lq/ W = Wq + 1/ Ejemplo: En una empresa se tiene 2 vendedores de mostrador los cuales atienden a razón de 15 clientes por hora. Los vendedores atienden es de 3 minutos por cliente. Se pide calcular la probabilidad de que haya 3 clientes en espera de ser atendidos. Solución: S = 2

37 37 n = 3 = = 3 minutos o 20 clientes por hora = 3/4 Po = (3/4)0/0! + (3/4)2 /(2!(1-(3/4)/2)) + (3/4)1 / 1! + (3/4)2/(2!(1-(3/4)/2) -1 Po = (53/20) -1 Po = 20/53 P3 = ((3/4)3/2!*23-2)*(20/53) = MODELO M/M/S/K: En los modelos de LE infinita, no se permite que el número de clientes en el sistema exceda un número especificado por "K". A cualquier cliente que llegue cuando la LE este llena se le niega la entrada y este cliente lo deja para siempre. Entonces: n = n = 0,1,2,3,...k-1 0 n = k, k+1, k+2,... n= n n = 0,1,2,3,...k-1 s n =s+1, s+2, s+3,.. = /s

38 38 Po = ss s+1 (1- k-s) + s (s )n -1 1 s!(1- ) n! n=0 ss s+1 (1- k-s) + s (s )n -1 = 1 s!(1- ) n! n=0 Pn = (s )n Po n=1, 2, 3,,,,,,s n! (1- k-s) + n=s+1, s+2, s+3,...k s!(1- )

39 39 0 n=k+1, k+2, k+3,... Lq= ss s+1 (1- k+s-(1- )(k-s) k+s)po s!(1- )2 Wq = Lq/ Problema: En un taller de mecanica existen 4 mecanicos que atienden a los los clientes. El taller solo cuenta con espacio para 3 automoviles en espera. Los clientes llegan en promedio de 15 por hora bajo una tendencia de poison y son atendidos con una media de 12 minutos por auto bajo una tendencia exponencial, se pide: a) Promedio de clientes en cualquier momento. a) Promedio de autos que se retiran si no hallan espacio Solucion: S = 4 K = 7 = 15 autos hora = 60/12 = 5 autos por hora = 15/4*5 = 3/4

40 Cola 3 40 Po = 44(3/4)4+1(1-(3/4)7-4)/4!(1-3/4)+1/0!+(4(3/4))1/(2!)+(4(3/4))2/(2!)+(4(3/4))3/(3!)+(4(3/4))4/(4!)) -1 Po = P7 = 44(3/4)7( )/4! = = (1-P7) = 15( ) = Lq = 44(3/4)5*(1-(3/4))7-4-(1-3/4)(7-4)(3/4)7-4)( )/(4!(1-(3/4))2) Lq = Wq = / = W =Wq+1/ = /5 = L = *W = * = b) - = = autos. 5 MODELO DE UNA LINEA DE ESPERA CON N PROCESOS Cola 1 Cola 2

41 41 Practica calificada 1 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS Esta breve introducción sobre construcción de modelos a través de la Dinámica de Sistemas incluye primero algunas consideraciones sobre los pasos para construir un modelo. El primer paso es la Determinación de las Variables. A este le puede seguir la construcción de diagramas causales, es decir la búsqueda de las relaciones entre las variables generadas en el primer paso. El diagrama causal de un modelo puede ser trasformado fácilmente en un diagrama del tipo niveles - flujos. La obtención del sistema de ecuaciones es un proceso automático, usando normalmente el diagrama niveles - flujo, si se usa un software de la dinámica de sistemas. Los últimos pasos son la Validación y Experimentación. 1 Etapas en la Construcción de Modelos En la construcción de un modelos de simulación usando la dinámica de sistemas se pueden identificar las siguientes etapas: 1. Determinación de las variables a usar en el modelo y de las relaciones entre las variables. 2. Construcción de diagramas (causales y/o de flujo-tasa). 3. Determinación de la estructura matemática del modelo (ecuaciones). 4. Validación y Experimentación (que no se discutirá aquí). El primer paso (y parte del segundo) se puede realizar sin la necesidad de construir la estructura matemática del modelo. La determinación de variables se puede hacer usando técnicas de generación de ideas y/o recurriendo a los conocimientos de expertos sobre el problema en estudio. En el caso del modelo de Caparo se hizo un estudio exhaustivo de los trabajos que se publicaron en el pasado sobre el tema y se pudo contar con sugerencia y consejos de expertos. De esas lecturas y discusiones se obtuvieron alrededor de unas 50 variables. El proceso puede continuar con la determinación de una manera cualitativa de las posibles relaciones entre las variables. En otras palabras, determinar si existen o no relaciones entre pares de variables. Esto se puede hacer usando matrices de interacciones, de alcanzabilidad, etc. o usando grafos como los de los diagramas causales. A veces el proceso puede terminar con un análisis de la estructura cualitativa conseguida en esta primera etapa sin la necesidad de pasar a la determinación de la estructura matemática. Para estos análisis, durante las décadas de los setenta y ochenta, se elaboraron muchas técnicas, conocidas con el nombre general de modelado estructural (Tonella, 1984). Una vez obtenida la estructura cualitativa se puede pasar a la determinación de la estructura matemática. En el caso de la Dinámica de Sistemas este paso es facilitado por el uso de los Diagramas Causales y de los Diagramas de Niveles - Flujos.

42 2 Diagramas Causales Existe una discusión abierta si en la dinámica de sistemas es mejor iniciar la construcción de un modelo con diagramas causales o directamente con diagramas de niveles - flujo. El modelo del presente estudio fue elaborado casi totalmente usando diagramas causales, por varias razones que no se indicarán aquí. Los diagramas causales sirven para hacer un bosquejo de todos los elementos de una problemática sin entrar en los detalles matemáticos del posible modelo. Para obtener un diagrama causal de un problema hay que considerar los siguientes aspectos: 1. Pensar en términos de relaciones causa efecto. Si se tienen dos variables A, B y si A es capaz de influenciar a B, se representa la relación de la siguiente manera: 42 Para denotar si la influencia causa variación en el mismo sentido (es decir, si a un aumento de A se genera un aumento de B, y si a una disminución de A se genera un riducción de B) se coloca el signo + sobre la flecha: Por otro lado, si a un aumento / disminución de A se corresponde una disminución / aumento de B, entonces se denota: 2. Centrarse en las relaciones de retroalimentación entre los componentes del sistema.

43 43 Si se agrega una nueva variable C al sistema anterior, la cual esté influenciada por B en el mismo sentido, y que sea capaz de influenciar a A de manera positiva, se denotará: Si A aumenta, inmediatamente B aumentará, ocasionándose entonces un incremento en C, lo cual aumentará nuevamente a A, y así sucesivamente. En este caso, la variación de un elemento se propaga a lo largo del bucle de manera que se refuerza la variación inicial. Este efecto se conoce como lazo de retroalimentación positiva; se presenta cuando todas las relaciones son positivas (como en el ejemplo anterior) o cuando existe un número par de relaciones negativas. Por ejemplo, supóngase que un aumento de A genera una disminución en B, y que una disminución en B causa un aumento en C,

44 44 todo el sistema se representará: Resumiendo, si A aumenta, se produce una disminución en B que genera un incremento en C, lo que causa un nuevo incremento en A. Si el número de relaciones negativas fuese impar, se tienen bucles de retroalimentación negativa, los cuales tienden a autorregularse: si la variable C afecta a la variable A negativamente, a un aumento de A se corresponde una disminución en B que genera un aumento en C, causando una disminución en A. 3. Determinar los límites apropiados para decidir los elementos a incluir en el estudio. El establecimiento de la relación causa efecto entre 2 variables se obtiene del conocimiento de expertos en el área, de estudios realizados o de datos históricos sobre el comportamiento del sistema. De toda manera durante este proceso puede ser que algunas de las variables que se seleccionaron al inicio son eliminadas y otras nuevas son introducidas. El proceso a pesar que se presenta de una manera lineal es un proceso iterativo, ya que continuamente se pasa de la primera a la segunda fase del proceso, hasta conseguir la lista definitiva de las variables y las ideas básicas sobre sus interrelaciones, que se pueden presentar a través de los ciclos causales. 3 Diagramas de Niveles Flujos La realización de estos diagramas se puede hacer sin pasar por los diagramas causales. Se analizan las variables en términos de acumuladores y de tasas de variación de los acumuladores.

45 Por ejemplo, supóngase que en una ciudad existen 3000 habitantes que la tasa anual de natalidad es del 10% de la población y la mortalidad del 2% anual. Si se quiere representar lo que ocurriría en la ciudad al cabo de diez años, es necesaria una variable que refleje los cambios en el transcurso del tiempo: un acumulador denominado "Población". La tasa de natalidad incrementa anualmente el nivel "Población", es decir, incrementa el material contenido en el acumulador (en este caso personas); por ello se debe reflejar un flujo de personas que entra al nivel: 45 A su vez, la tasa de mortalidad, disminuye la totalidad de personas en la ciudad; por tanto, se debe representar un flujo de salida del acumulador: Resumiendo, las variables que acumulan (que se llaman niveles o "stocks") representan la acumulación de distintas entidades del sistema, tales como cantidad de empleados, kilogramos de trigo, pedidos no cubiertos, artículos en inventario, etc. Mientras que las tasas son las variables que determinan las variaciones en los niveles del sistema. Además de los dos símbolos vistos arriba para las tasas (símbolo de una válvola) y los niveles (símbolos de un rectángulo), en la dinámica de sistemas se usan también los siguientes símbolos: La nube que puede representar una fuente o un pozo; puede interpretarse como un nivel que es prácticamente inagotable o que no es de interés del científico. Por ejemplo, cuando se representó la tasa de natalidad de la población, se debió haber colocado: ya que no interesa representar de dónde provienen los niños. Las variables auxiliares se utilizan para efectuar cálculos intermedios entre variables.