Teoría Electrodébil. Sector bosónico: Higgs y mediadores. Sector leptónico. Sector de quarks. Comentarios finales

Transcripción

1 Teoría Electrodébil Ver.N. Cottingham and D.A. Greenwood. Cap.11 y Secs.1.1,14.1, 14. F. Halzen and A.D. Martin. Sec a 15.5 D. Griffiths. Sec.1.7 Sector bosónico: Higgs y mediadores Sector leptónico Sector de quarks Comentarios finales Nota: respecto de lo mostrado en clase se corrigieron algunos errores tipográficos y en algunos lugares se modifico el texto para tratar de mejorar la descripción del punto en cuestión. Finalmente en la 1ra transparencia correspondiente al sector de quarks se agregaron dos figuras asociadas a los decaimientos mencionados con la idea de que se vea más claramente la semejanza entre ellos.

2 Sector Bosonico: Higgs y Mediadores El sector electrodébil del Modelo Standard se basa en el llamado modelo de einberg-salam (Premio Nobel 1979). Dicho modelo posee una simetría de gauge U(1) x SU(). Es decir que incluye 1 bosón de gauge sin masa correspondiente a U(1) 3 bosones de gauge sin masa correspondientes a SU() El mecanismo de ruptura espontánea de simetría permite que 3 de dichos bosones de gauge adquieran masa. Este se logra haciendo interactuar los campos de gauge con un doblete de campos escalares complejos (campo de Higgs) Φ ( x) Φ = φ + iφ Φ x = Φ = + A A 1 ( ) donde siendo φi campos reales Φ B( x) B φ3 iφ4

3 Comencemos por el lagrangiano libre para el campo de Higgs = Φ ΦV ( Φ Φ) Este lagrangiano es invariante frente a transformaciones U(1) x SU() globales del tipo UU (1) = exp ig1α T Φ Φ = UU(1) USU() Φ donde k k USU () = exp ig β T Aquí hemos usado k k T T k 1 = = 1 τ τ τ = ; = con = 1,,3 donde τ k son las matrices de Pauli y además, teniendo en cuenta que Φ es un objeto de dos componentes, hemos introducido la matriz τ

4 Deseamos que promover estas simetrías globales a simetrías de gauge, es decir a simetrías locales. Para ello debemos proceder de la siguiente manera: Para el caso de la simetría U(1) debemos introducir 1 campo de gauge B que transforme según B B ' = B + α y efectuar el reemplazo donde = T B + ig 1 Para el caso de la simetría SU() debemos introducir 3 campos de gauge k, que ante transformaciones U(x) pertenecientes al grupo transforme según 1 = ( ) ' U( x) U ( x) U( x) U ( x) ig donde hemos definido = T k k. Además debemos efectuar el reemplazo + ig T = + ig k k

5 De manera que el lagrangiano invariante, incluyendo los términos dinámicos para los campos de gauge, resulta ser ( ) D D V = Φ Φ ( ΦΦ) + din donde hemos introducido las derivada covariante D = + i g + i g 1 y, además, 1 ν 1 ν = din Tr ν Tr ν con = ν ν ν = + ig [, ] ν ν ν ν

6 Es conveniente en este punto definir i i 1 1 ± ± ν ν = y, de forma similar, ν = En términos de estas combinaciones se obtiene din B B ν ν + = ν ν ν ν donde B = B B ν ν ν = ( + + ) ν ν ν ig ν ν ( 3 3 ) ν = + ig ± ± ± ± ± ν ν ν ν

7 Para utilizar el mecanismo de Higgs introduciremos la siguiente forma específica para el potencial V(Φ + Φ) m m V ( ΦΦ ) = ΦΦ φ = φ φ φ φ φ ( ) φ φ os infinitos vacíos equivalentes corresponden a puntos en una hiper-esfera en 4 dimensiones. Elegimos uno de ellos de manera de romper la simetría SU(). Tenemos a nuestra disposición los tres parámetros β k que especifican un elemento de SU(). Utilizamos esto para elegir un gauge en que Φ A = (dos condiciones) y Φ B real (una condición). El estado fundamental elegido corresponde a φ 3 = φ, φ 1 = φ = φ 3 =. Bajo las condiciones anteriores tenemos que el campo escalar alrededor de dicho vacío resulta Φ ( x) = φ + hx ( )/ Se debe notar que este Φ aún es invariante frente a transformaciones pertenecientes a un U(1) local incluido en el grupo original U(1) x SU(). Esta transformaciones son de la forma iθ ( x) 3 e UU(1) USU() = exp iθ( x) T exp iθ( x) T = 1 Es decir que, luego de la ruptura espontánea, subsiste una U(1) residual que, según veremos, esta asociada al electromagnetismo.

8 Reemplazando en el lagrangiano se obtiene donde Φ = = + Φ din 1 g + h h h+ φ + + g 3 3 g1 g 3 g1 h B B B φ V( h) mh mh con V( h) = mh + +. φ φ 8 Notemos la presencia de un término que mezcla 3 y B a orden cuadrático. Para eliminarlo hacemos una rotación, es decir una redefinición de estos campos 3 Z = cosθ sinθ B 3 A = sinθ + cosθ B donde θ tanθ = g g ángulo de einberg 1

9 Finalmente en términos de los campos redefinidos se obtiene para el sector bosónico de la teoría electrodébil donde 1 + bos = 1 1 = h hm h 1 ν 1 Zν Z + φ ( g1 + g) Z Z ν Aν A 4 1 * * 1 ν ( D ) ( D ) ( ) ( ) + φ g D D ν + + ν ν Aquí hemos utilizado Interpretación D = ig sin + θ A ν ν ν Primera línea corresponde a un escalar (Bosón de Higgs) de masa mh = m Segunda línea corresponde a un vector masivo (neutro) de masa M = φ g + g z / 1 Tercera línea corresponde a un vector sin masa (neutro) que se identifica con fotón Cuarta línea corresponde a dos vectores masivos (cargados) de masa M = φ / g

10 contiene el resto de los términos de interacción. Su forma, que si bien se puede obtener en forma directa, resulta relativamente complicada h h g ( g1 g ) = φ Z Z m h m h g + ig 3 4 φ 8φ ν ν + ( ν ν )( ) + ν ν + ( Aν sinθ Z ν cosθ )( ) + g ig cos θ cosθ + ν ν + ( Z Z ν Z Z ν ) + ν ν + ( Z ν Zν )( D D ) ( * ) ν * ( Z ν Z ) ( ) ( ) ν ν D D

11 Tenemos entonces que los tres campos masivos Z, corresponden a los mediadores de la interacción débil. Ellos fueron detectados experimentalmente en el CERN en 1983 ( C. Rubbia y S. Van der Meer, Premio Nobel 1984). Sus masas son (PDG 7) M M A partir de estos valores y utilizando se obtiene Z = 8.43 ±.9 GeV = ±.1 GeV M / M = g / g + g = 1/ 1+ tan θ sin θ =.315 ±.4 z 1 Recordando que + se acopla al campo electromagnético según D = + ig sin θ A ν ν ν y sabiendo que + tiene carga eléctrica e identificamos e= g sinθ = g 1 cosθ Finalmente, de la relación M = φ g / = φ e/ sinθ resulta φ = 18 GeV ( ) Para la masa del Higgs no hay predicción, (si existe) se cree que m H ~ 8- GeV

12 Sector eptonico Debemos construir un lagrangiano que contenga el acoplamiento de los leptones con los campos de gauge de la teoría electrodébil, es decir que sea invariante ante U(1) x SU(). Consideremos por el momento solamente la primera familia de leptones. Tenemos a nuestra disposición los campos leptónicos e, e R, ν Recordando que las interacciones débiles mezclan e con ν es natural pensar que estos campos deben estar en un doblete de SU(). Es decir que transforman como el campo de Higgs que también es un doblete. Por otro lado, e R no tiene compañero por lo que es de esperar que transforme como un singlete. Es decir, ν e = ; R = e e ' = USU () R R' = R Ante transformaciones U SU() resulta SU() left

13 Introduciendo de la manera usual las derivadas covariantes en términos de los campos de gauge B y k, y re-escribiendo la expresión resultante en términos de los campos físicos ±, Z y A se obtiene D ( / sin ) ( / sin ) + i e θ Z i e θ ν = + e i e iea i e Z e ( ) / sinθ ( cotθ) ( θ ) DR = iea + i etan Z e R

14 Antes de escribir el lagrangiano para estos leptones hay que notar que en espacio de Dirac cada uno de los campos e, e R, ν tiene solo dos componentes. Por ejemplo, para el campo de electrones tenemos ψ e e 1 + ( ) γ 5 = donde e R() ψ e e = R a correspondiente ecuación de Dirac i σ e σ ie σ e ( i m) ψ e = i i m i σ e + = R σ ie R σ e R Definiendo σ = (, σ, σ, σ ) ; σ = (, σ, σ, σ ) Estas ecuaciones pueden expresarse como y ser obtenidas a partir de i σ e me = ; i σ e me = R R ( ) = i e σ e + i e σ e m e e + e e Dirac R R R R Notar que el término de masa mezcla y R. No puede estar presente!

15 Tomando todo esto en cuenta el lagrangiano del sector fermiónico correspondiente a la primera generación de leptones es (( ) ( )) = i σ D + i e σ D e c e Φ e + e Φ e ( e, ν e ) R R R R Este lagrangiano es invariante frente a transformaciones U(1) x SU(). Notar que en lugar de un término de masa para el electrón aparece un acoplamiento con el campo de Higgs. Cuando se rompe espontáneamente la simetría SU() de manera que dicho campo adquiere un valor de vacío no nulo el electrón adquiere masa m e = cφ e Para las restantes dos familias la construcción es similar. Se obtiene finalmente ν ν ν ; ; ; e ; ; τ ( eν ) ( ν ) e ( τντ ) en términos e τ lept = + + de los campos e τ Conociendo los valores experimentales φ y de las masas de los leptones se obtiene c e =.84 x 1-4, c = 5.87 x 1-4 y c τ = 9.87 x 1-3. Estos valores no se pueden predecir dentro del Modelo Standard, son parámetros del mismo. a teoría electrodébil es renormalizable (t Hooft, 1974, Premio Nobel 1999)

16 Sector de quarks A nivel de quarks el decaimiento β - corresponde a d u+ e + ν e Este decaimiento esta mediado por un. a comparación con el decaimiento leptónico ν + e + ν e que también esta mediado por un sugiere que las componentes left de los quarks u y d deben ponerse en un doblete y las right en dos singletes, al igual a lo que se hizo con los leptones u = ; R u = u R ; R d = dr d

17 Esto es correcto si existiera una sola familia. Sin embargo como existen (al menos) tres esto debe modificarse. De lo contrario no existirían acoplamiento inter-familia. Por ejemplo no existiría s u+ que es necesario para explicar los proceso de decaimiento semileptónico ΔS=1 del tipo Λ p+ e + ν e Ya a principios de los 6 Cabbibo sugirió que una manera de solucionar este inconveniente es pensar que para las interacciones débiles los sabores d y s estén mezclados de manera que el vértice d u+ venga acompañado de un factor cos θ c y el vértice s u+ de un factor sin θ c.. Este ángulo θ c se conoce hoy en día como ángulo de Cabbibo. Con la aparición de la tercera generación de quarks esta mezcla se generalizó a d' Vud Vus Vub d s' = Vcd Vcs V cb s b' Vtd Vts V tb b a matriz V se denomina matriz de Kobayashi-Maskawa y se puede parametrizar en términos de tres ángulos y una fase. El Modelo Standard no predice los valores de estos parámetros. Se deben determinar experimentalmente. Son estos campos rotados los que se acoplan con los bosones

18 Comentarios finales a teoría electrodébil junto con QCD forman el llamado Modelo Standard (MS) que describe las interacciones fuertes, débiles y electromagnéticas. Existen numerosas evidencias experimentales en todos los sectores del MS que muestran la validez del mismo, al menos hasta el rango de energías que hemos sido capaces de testearlo. El modelo contiene una veintena de parámetros (masas de fermiónes, parámetros de la matriz de Kobayashi-Maskawa, etc). Esto hace pensar que debe existir una teoría más profunda que permita predecirlos. Recientemente se ha confirmado que los ν tiene masa no nula (R. Davis Jr., and M.Koshiba, Premio Nobel ). Hay que extender el MS para incluir dichas masas. El MS esta basado en una simetría U(1) x SU() x SU(3) con tres constantes de acoplamiento diferentes. Es posible pensar en un grupo de simetría más grande que las unifique? Que pasa con la gravitación? Es de notar que aún dentro del MS hay sectores rebeldes como por ejemplo QCD en el rango del GeV.