en Física Avanzada Trabajo Fin de Máster Especialidad teórica Joaquín Santos Blasco LA UNITARIEDAD DEL SECTOR ESCALAR DEL MODELO ESTÁNDAR

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1 Máster en Física Avanzada Especialidad teórica Trabajo Fin de Máster ANÁLISIS DE LA UNITARIEDAD DEL SECTOR ESCALAR DEL MODELO ESTÁNDAR Joaquín Santos Blasco Tutor: Antonio Pich Zardoya Curso académico 01/13

2 La simetría gauge que fija las interacciones electrodébiles impide que las partículas que conforman el Modelo Estándar tengan masa. El mecanismo de Higgs junto con la rotura espontánea de la simetría resuelven estos problemas mediante la introducción del campo de Higgs y de tres bosones de Goldstone sin masa, que implementan las polarizaciones longitudinales de los bosones gauge W ± y Z. Se fundamentan estos mecanismos en base a argumentos de conservación de la unitariedad. A partir de la construcción de teorías de campos efectivas se analizan procesos de dispersión de bosones de Goldstone desarrollando un formalismo escalar equivalente. El estudio de la unitariedad de estas teorías nos permite conocer los límites energéticos del Modelo Estándar sin Higgs. Finalmente, se plantea un escenario similar para estudiar la sensibilidad del acoplamiento del Higgs del Modelo Estándar. 1

3 Índice 1. Teoría electrodébil en el Modelo Estándar Teoría SU() L U(1) Y Rotura espontánea de la simetría. Mecanismo de Higgs Construcción de la teoría electrodébil en base a argumentos de unitariedad Conceptos básicos Construcción de teorías unitarias ν e + ν e W + L + W L W L + W + L W L + W + L W L + W + L Z L + Z L Formalismo con bosones Goldstone Teorías de campos efectivas Teoría efectiva electrodébil quiral Lagrangiano efectivo general de la teoría electrodébil Interacción de bosones Goldstone (sin Higgs) Interacción de bosones Goldstone (con Higgs) Estudio de la unitariedad de las teorías efectivas Amplitudes de isospín Descomposición en ondas parciales Unitariedad Unitariedad en colisiones de partículas sin espín Límites de unitariedad de los procesos con bosones Goldstone Acoplamiento escalar a los bosones gauge Conclusiones Proyecto de tesis doctoral 47

4 Tras el gran éxito de la electrodinámica cuántica como teoría fundamental de las interacciones electromagnéticas durante la década de los 50, se trató de obtener también una teoría fundamental para las interacciones débiles. El resultado fue la teoría electrodébil, que no sólo describe las interacciones débiles sino que las unifica con el electromagnetismo en una única teoría de campos. Paralelamente, la cromodinámica cuántica se establece como la teoría de las interacciones fuertes. Estas teorías conforman el Modelo Estándar y describen todas las partículas conocidas hasta el momento y las interacciones que ocurren entre ellas (salvo la interacción gravitatoria). El desarrollo de la teoría electrodébil se explica en gran parte debido a los avances tecnológicos, que permitieron la realización de numerosos experimentos. Son especialmente destacables el estudio de la desintegración β y los experimentos con neutrinos. Estas observaciones permitieron entender la naturaleza quiral de la teoría electrodébil, de forma que sólo la componente levógira (dextrógira) de los campos fermiónicos (antifermiónicos) es relevante para estas interacciones. En consecuencia, al formular una teoría asimétrica en este sentido, las simetrías discretas (paridad, conjugación de carga e inversión temporal) adquirieron un papel esencial para el entendimiento de la teoría [1]. Por otro lado, la pretensión de construir teorías con un buen comportamiento para altas energías, es decir, unitarias y renormalizables, llevó a postular la existencia de los bosones masivos mediadores de la interacción débil, los bosones W ± y Z. En la sección se explica con detalle cómo construir teorías que preservan unitariedad. Actualmente, el desarrollo de la teoría y las observaciones de estas partículas han permitido explicar propiedades tales como la conservación del sabor en las corrientes neutras o la violación de CP. Estructuramos la memoria del siguiente modo: dedicamos la sección 1 a realizar una breve revisión del Modelo Estándar y el Mecanismo de Higgs. En la sección analizamos distintos procesos de dispersión de bosones gauge longitudinales desde la perspectiva de la construcción de teorías unitarias. Se desarrolla un formalismo escalar equivalente con bosones de Goldstone en la sección 3, a partir de la técnica de las teorías de campos efectivas. Finalmente, en la sección 4, se hace un estudio de los límites de unitariedad de los modelos planteados. 3

5 1. Teoría electrodébil en el Modelo Estándar 1.1. Teoría SU() L U(1) Y Se formula la teoría electrodébil aplicando el principio de simetría gauge y atendiendo a los requerimientos de quiralidad de la teoría. Se ha de construir una teoría con fermiones levógiros dispuestos en dobletes y con tres bosones masivos, además del fotón. El grupo de simetría más simple que satisface estas características es G SU() L U(1) Y (1) donde el subíndice L hace referencia a los campos levógiros y el subíndice Y, a la hipercarga. Al estar considerando representaciones de tipo doblete para campos de Dirac levógiros y singlete para dextrógiros, se requiere un mínimo de tres campos distintos para abordar sistemas en los que haya transiciones débiles. De esta manera, denominamos ψ 1 (x) al estado doblete y ψ (x) y ψ 3 (x) a los dos singletes. Por motivos de simplicidad se aplica la simetría gauge sobre una única familia de fermiones, aunque este principio es claramente extensible a varias. Por ejemplo, para quarks de tipo u y d: ψ 1 (x) = ( u d ), ψ (x) = u R, ψ 3 (x) = d R. () L Una vez fijadas las bases de la simetría se construye el Lagrangiano, L 0 = 3 i ψ j (x)γ µ µ ψ j (x), (3) j=1 donde los distintos campos se transforman de acuerdo al grupo de simetría G ψ 1 (x) G ψ 1(x) exp {iy 1 β}u L ψ 1 (x), ψ (x) G ψ (x) exp {iy β}ψ (x), (4) ψ 3 (x) G ψ 3(x) exp {iy 3 β}ψ 3 (x), siendo y j las hipercargas (análogas a las cargas en electrodinámica) y U L exp { i σ i αi}, con σ i los tres generadores del grupo de simetría SU() L (matrices de Pauli). α i y β parametrizan la transformación. 4

6 Se impone el principio de simetría gauge empleando las derivadas covariantes D µ ψ 1 (x) [ µ + ig W µ (x) + ig y 1 B µ (x)] ψ 1 (x), D µ ψ (x) [ µ + ig y B µ (x)] ψ (x), (5) D µ ψ 3 (x) [ µ + ig y 3 B µ (x)] ψ 3 (x), donde los campos W µ (x) σ i W i µ(x) y B µ (x) se transforman, respectivamente, W G µ W µ U L (x) W µ U L (x) + i g µu L (x)u L (x), (6) B µ (x) G B µ(x) B µ (x) 1 g µβ(x), (7) siendo g la constante de acoplamiento de SU() L y g la de U(1) Y (que se puede tomar como unidad de la hipercarga al igual que ocurre con la carga eléctrica en electrodinámica). Una vez construido un Lagrangiano invariante bajo transformaciones locales, 3 L = i ψ j (x)γ µ D µ ψ j (x), (8) j=1 se construye un Lagrangiano cinético para los campos bosónicos L EW = 1 4 B µνb µν 1 Tr[ W µν Wµν ], (9) donde se han introducido los tensores de campo W µν µ Wν ν Wµ + ig[ W µ, W ν ], Wµν G U L Wµν U L ; (10) B µν µ B ν ν B µ, B µν G B µν. (11) Las interacciones de los fermiones con los mediadores W i µ(x) y B µ (x) aparecen de forma natural al imponer la simetría gauge local en el Lagrangiano (8), dando lugar a acoplamientos con corrientes cargadas (W ± ) y con corrientes neutras (Z y γ). Reexpresando los campos W i µ(x) según W µ = σi W i µ = 1 ( ) W 3 µ W µ Wµ Wµ 3, W µ W 1 µ + iw µ, (1) 5

7 la interacción por corrientes cargadas tiene la siguiente forma (conecta fermiones que difieren en una unidad de carga): L CC = g {W µ[ūγ µ (1 γ 5 )d] + c.c.}. (13) Por otra parte, para las corrientes neutras, introduciendo el fotón A µ y el bosón neutro Z µ según ( ) ( ) ( ) W 3 µ cos θw sin θ W Zµ, (14) sin θ W cos θ W A µ B µ con θ W el parámetro de mezcla, la densidad Lagrangiana de las corrientes neutras en términos de estos campos es L CN = j ψ j γ µ {A µ [g T 3 sin θ W + g y j cos θ W ] +Z µ [g T 3 cos θ W g y j sin θ W ]} ψ j. (15) A continuación, se pretende obtener el Lagrangiano de la electrodinámica a partir de la expresión anterior. Para ello se ha de imponer ciertas restricciones sobre los parámetros de la teoría. En primer lugar, se relacionan las constantes de acoplamiento de SU() L y U(1) Y con la de la electrodinámica, g sin θ W = g cos θ W = e. En segundo lugar, se establece una relación entre las hipercargas, las cargas eléctricas y el isospín débil, Y = Q T 3. Asumiendo estas consideraciones, el Lagrangiano de las corrientes neutras se reexpresa como L CN = L QED + LCN Z, (16) L QED = ea µ ψ j γ µ Q j ψ j ea µ J em µ, (17) j LCN Z = e ψ j γ µ (T 3 sin θ W Q j )ψ j Z µ sin θ W j e J µ Z sin θ Z µ, (18) W donde J em µ y J µ Z son las corrientes conservadas electromagnéticas y neutras, respectivamente. Cabe subrayar que en los términos de interacción anteriores: las corrientes neutras conservan el sabor (es decir, el tipo de quark), las corrientes cargadas son las únicas que inducen cambios de sabor. 6

8 1.. Rotura espontánea de la simetría. Mecanismo de Higgs Atendiendo a las ecuaciones de transformación de los campos mediadores de las interacciones electrodébiles, ecs.(6) y (7), los términos de masa de los bosones gauge, 1 m W W µ W µ y 1 m B B µ B µ, son incompatibles con la simetría impuesta: la simetría requerida prescribe partículas mediadoras sin masa y, por lo tanto, una interacción de largo alcance (potencial r 1 ). Esta predicción teórica está en clara contradicción con las evidencias experimentales (bosones W ± y Z masivos y fotón sin masa). El mecanismo que permite dar masa a los bosones mediadores manteniendo la estructura gauge de las interacciones es la rotura espontánea de la simetría. Particularmente, se dice que la simetría del sistema se rompe de forma espontánea cuando en un Lagrangiano que tiene un conjunto degenerado de estados de mínima energía relacionados por una simetría se escoge uno de ellos como fundamental. Consideramos el siguiente Lagrangiano, dado por el campo escalar complejo φ(x) y el potencial V (φ), L = µ φ µ φ V (φ), V (φ) = µ φ φ + λ(φ φ). (19) Para ser un potencial físico λ > 0, ya que ha de tener estados de mínima energía. Tomando µ < 0 se obtiene un conjunto degenerado de estados de energía mínima, µ φ 0 (x) = λ eiθ v e iθ (0) con v = µ /λ, de acuerdo con la invariancia de fase U(1) del Lagrangiano. Si se parametrizan las excitaciones sobre el estado fundamental escogido, θ = 0, en términos de los campos reales φ 1, φ se obtiene φ(x) = 1 [v + φ 1 (x) + iφ (x)], (1) V (φ) = λ 4 v4 µ φ 1 + λvφ 1 (φ 1 + φ ) + λ 4 (φ 1 + φ ), () siendo, por tanto, φ 1 un campo de masa m φ 1 = µ y φ un campo sin masa. El hecho de que haya excitaciones sin masa asociadas con el mecanismo de rotura espontánea de la simetría es un resultado general, conocido como el teorema de Goldstone. Este teorema prueba que si un Lagrangiano es invariante bajo un grupo de simetría continuo G, siendo el estado fundamental (o estado vacío ) invariante únicamente frente a un subgrupo H G, entonces existen tantas partículas escalares sin masa (bosones de Goldstone) como generadores rotos (generadores de G que no lo son de H) []. 7

9 Para incorporar este mecanismo al modelo electrodébil, que es invariante bajo una simetría local SU() L U(1) Y, se considera el doblete SU() L de campos escalares complejos ( ) φ φ(x) (+) (x) φ (0), (3) (x) con un Lagrangiano equivalente al propuesto en el modelo anterior, L S = (D µ φ) D µ φ µ φ φ λ(φ φ), D µ φ = [ µ + ig W µ + ig y φ B µ ] φ, (4) invariante frente a la simetría local SU() L U(1) Y y siendo y φ = Q φ T 3 = 1/ el valor de la hipercarga. De nuevo, se obtienen infinitos estados de mínima energía. Identificando el estado de mínima energía 0 con el estado fundamental y requiriendo que no tenga carga eléctrica, únicamente φ (0) (x) puede tomar un valor de expectación en el vacío no nulo. Por tanto, con µ 0 φ (0) 0 = λ = v, (5) se rompe de manera espontánea la simetría SU() L U(1) Y y se mantiene el subgrupo de la electrodinámica, U(1) QED. Al parametrizar el campo φ(x) en torno al estado de vacío, { φ(x) = exp i σ } ( ) i 1 ϕ 0 i(x), (6) v + H(x) se obtienen tres campos reales, ϕ i (x), que involucran a tres bosones sin masa (teorema de Goldstone); y un cuarto campo real con masa, H(x), llamado campo de Higgs. Debido a la invariancia gauge local del Lagrangiano, se escoge el gauge unitario y se obtienen nuevos términos de interacción de los campos Wµ(x) i y Z µ (x) con el campo de Higgs, que aparecen al haber roto la simetría: (D µ φ) D µ φ ϕ i=0 1 µh µ H + (v + H) { g 4 W µw µ + } g Z 8 cos µ θ W. (7) La imposición de la simetría gauge sobre los bosones W ± y Z impide que estas partículas tengan masa. Esta condición fija también las polarizaciones transversales de los tres bosones (6 grados de libertad). Por otra parte, la implementación del mecanismo de Higgs dota al estado de vacío de un valor 8

10 de expectación φ (0) (x) no nulo, por lo que aparecen de forma natural términos de masa para los bosones W ± y Z, satisfaciendo M Z cos θ W = M W = 1 vg. (8) En consecuencia, se requieren tres grados de libertad adicionales para las polarizaciones longitudinales de los campos bosónicos. Son precisamente los tres bosones de Goldstone las polarizaciones longitudinales de los bosones gauge W ± y Z. En resumen, al añadir un campo escalar φ(x) al Lagrangiano electrodébil junto con la invariancia gauge local SU() L U(1) Y, se obtiene un modelo que explica la teoría electrodébil de manera consistente. Esta simetría en presencia de vacío se rompe de manera espontánea y da lugar a la electrodinámica (que es una buena simetría de vacío). Adicionalmente, este campo escalar hace adquirir masa a los bosones propagadores de la interacción débil, W ± y Z, a través de la implementación de los bosones de Goldstone como sus polarizaciones longitudinales. Por otra parte, al incluir el campo φ(x) en el Lagrangiano aparece una nueva partícula escalar en el modelo: el bosón de Higgs, H. Recientemente, en los experimentos ATLAS y CMS, realizados en el LHC, hay claros indicios de que podría haber sido descubierta esta partícula. En efecto, los experimentos realizados muestran que la partícula encontrada es un bosón con una masa de 16 GeV, compatible con el bosón de Higgs. De confirmarse este descubrimiento, completaría el Modelo Estándar. 9

11 . Construcción de la teoría electrodébil en base a argumentos de unitariedad..1. Conceptos básicos La ecuación del movimiento más sencilla que describe partículas de espín 1 y masa m es la ecuación de Proca: µ F µν + m A ν = 0, F µν = µ A ν ν A µ. (9) La divergencia de esta ecuación, m ν A ν = 0, pone de manifiesto la condición de invariancia Lorentz, restringiendo a tres los grados de libertad del campo A µ, como corresponde a una partícula de spin 1. A partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange es fácil comprobar que el Lagrangiano que da lugar a esta ecuación es L P = 1 4 F µν F µν + 1 m A µ A µ, (30) conocido como Lagrangiano de Proca. La solución más general de esta ecuación puede escribirse en términos de operadores de creación y destrucción: A µ = d 3 k (π) 3 E k 3 λ=1 ( ɛ µ ( k, λ)e ikx a( k, λ) + ɛ µ( k, λ)e ikx a ( ) k, λ), (31) siendo ɛ µ ( k, λ) los cuadrivectores que describen las tres polarizaciones posibles del campo y E k = k + m. Escogiendo un conjunto de vectores de polarización ortonormales y recordando la condición de divergencia nula se obtienen las siguientes propiedades: k µ ɛ µ ( k, λ) = 0, ɛ µ ( k, λ)ɛ µ ( k, λ ) = δ λλ, λ = 1,, 3 ; (3) 3 λ=1 ɛ µ ( k, λ)ɛ ν ( k, λ) = g µν + k µk ν m (33) Convencionalmente, se elige un sistema de referencia tal que el vector de polarización longitudinal, ɛ µ L ( k) ɛ µ ( k, 3), esté orientado en ( la dirección) del eje Z. De acuerdo con esta configuración, en el sistema k µ = k 0, 0, 0, k se escoge la base: 10

12 ɛ µ ( k, 1) = (0, 1, 0, 0), ɛ µ ( k, ) = (0, 0, 1, 0), (34) ɛ µ L ( k) = 1 m ( k, 0, 0, k 0 ), En general, una posible base de vectores de polarización es ɛ 0 ( k, λ) = 1 k 0 k ɛ( k, λ), ɛ i ( k, λ) = δ λi + que satisface k λ k i m(m + k 0 ), λ = 1,, 3 ; (35) ɛ 0 ( k, λ) = ɛ 0 ( k, λ), ɛ i ( k, λ) = ɛ i ( k, λ). (36) Para el cálculo de procesos de tipo perturbativo que involucran partículas polarizadas longitudinalmente resulta de gran utilidad el uso de ɛ L ( k) ɛ L ( k) = 1, ɛ L ( k) k = 0 ; (37) así como el desarrollo del vector de polarización en serie de potencias de E/m: ɛ µ L ( k) = kµ m + 1 Q µ γ m +, Qµ = ( E, k). (38) donde γ = (1 β ) 1/ y β = k/e... Construcción de teorías unitarias Una de las principales consideraciones que se han de tomar para dar consistencia a una teoría de campos es su comportamiento en un régimen de altas energías. En particular, dado un proceso de colisión a dos cuerpos, , aparecen de forma natural restricciones sobre la amplitud del proceso, M. En efecto, al considerar la sección eficaz en el sistema de referencia centro de masas, dσ dω = 1 p f 64π s p i M, (39) es fácil reconocer que el término dominante de la amplitud no puede ser proporcional a una potencia positiva de la energía, s, ya que la sección eficaz sería divergente. En otras palabras, el orden de la amplitud ha de ser O [( s/m) 0 ] O(1). 11

13 El incumplimiento de esta ecuación está directamente relacionado con la violación de unitariedad del operador de dispersión (operador de scattering), S, que relaciona los estados de partícula iniciales y finales. Un proceso físico o una teoría que no satisface esta condición se dice que viola unitariedad. En la sección 4 se realiza un estudio detallado de esta propiedad. La consideración de que las teorías físicas han de ser unitarias constituye un argumento de gran importancia para su validez. Para comprender la repercusión de esta propiedad estudiamos, en primer lugar, la colisión ν e + ν e W + L + W L. Históricamente, el análisis de este proceso fue esencial para predecir la existencia del bosón gauge Z. Posteriormente, en la cámara de burbujas Gargamelle en el año 1973 se observaron por primera vez los efectos de este bosón. Finalmente, en 1983 en los colisionadores del CERN se produjo esta partícula por primera vez..3. ν e + ν e W + L + W L El proceso que consideramos es ν e (p 1 ) + ν e (p ) W + L (q 1) + W L (q ). (40) Los diagramas de Feynman asociados se muestran en la figura 1. El primer diagrama, M ν, representa una teoría de la interacción débil ya obsoleta, en la que no existe el bosón Z. Al considerar también el segundo diagrama, M Z, se recuperan los resultados que predice el Modelo Estándar. Aplicando las ν e (p 1 ) W + L (q 1 ) ν e (p 1 ) W + L (q 1 ) e Z ν e (p ) W L (q ) ν e (p ) W L (q ) Figura 1: Diagramas de Feynman de ν e + ν e W + L + W L. 1

14 reglas de Feynman, se construyen sendas amplitudes: M ν = g t ɛ Lµ( q 1 )ɛ Lν( q ) v r ( p )γ ν P L (/p 1 /q 1 )γ µ u r ( p 1 ), (41) ( M Z = g ɛ Lµ( q 1 )ɛ Lν( q ) v r ( p )γ α P L u r ( p 1 ) g αβ + (p ) 1 + p ) α (p1 + p) β MZ Γµνβ ( q 1, q, q 1 + q ) s M Z = g ɛ Lµ( q 1 )ɛ Lν( q ) v r ( p )γ β P L u r ( p 1 ) Γµνβ ( q 1, q, q 1 + q ) s M Z, (4) siendo Γ µνρ (p, k, q) g µν (p k) ρ +g νρ (k q) µ +g ρµ (q p) ν. Se ha simplificado la segunda amplitud haciendo uso de la ecuación de Dirac sobre los espínores y considerando despreciable la masa de los neutrinos, de forma que /k u r ( k) = 0, v r ( k)/k = 0. (43) A continuación, se sustituyen los vectores de polarización empleando la ecuación (38) en primera aproximación, ɛ Lµ ( k) = k µ /M W, y se simplifica el resultado debido a la conservación del cuadrimomento, q 1 = p 1 + p q, y a la ecuación de Dirac: M ν = 1 v MW r ( p )/q P L u r ( p 1 ) + O(1), (44) M Z = 1 v MW r ( p )/q P L u r ( p 1 ) + O(1). (45) Si se omite la existencia del bosón Z y se considera únicamente el primer diagrama, la amplitud resultante es proporcional a ( s/m W ) por lo que el proceso viola unitariedad. En cambio, al sumar las dos contribuciones se obtiene M = M ν + M Z = O(1), (46) de manera que el término dominante de la amplitud global es una constante. Por lo tanto, el proceso estudiado ya no presenta un comportamiento divergente para altas energías. Cabe destacar que es la simetría gauge la que explica esta cancelación, ya que es la responsable de fijar el acoplamiento de autointeracción de los bosones gauge (ZWW). Por otra parte, para calcular la sección eficaz de ν e + ν e W + L W L, cuyo cálculo se omite en este trabajo, se ha de considerar una mejor aproximación para el vector de polarización, ec.(38). El resultado es σ CM = g4 (M W M Z ) 9 3πM 4 W 13 1 s + O(s ). (47)

15 En efecto, se aprecia de forma explícita cómo el término dominante decrece con la energía y se evitan las divergencias..4. W L + W + L W L + W + L El proceso que se estudia en esta sección es la colisión elástica de W W + : W L (p 1) + W + L (p ) W L (q 1) + W + L (q ). (48) W L (p 1 ) W L (q 1 ) W L (p 1 ) W L (q 1 ) γ, Z W + L (p ) W + L (q ) W + L (p ) W + L (q ) W L (p 1 ) W L (q 1 ) γ, Z W + L (p ) W + L (q ) Figura : Diagramas de Feynman de W L + W + L W L + W + L sin Higgs. En primer lugar, se aborda su estudio sin considerar la contribución del bosón de Higgs. Posteriormente, se incorpora esta partícula y se valora su efecto en la teoría. Los diagramas de Feynman del proceso en un modelo sin bosón de Higgs se muestran en la figura. Nos referimos a sus amplitudes como M 4 para el diagrama que involucra el vértice cuártico; M sγ y M sz, para los diagramas de canal s; y M tγ y M tz, para el canal t. Denotamos M 0 a la suma de sus contribuciones (sin Higgs). 14

16 M 4 = g ɛ α L( p 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) (g αδ g βδ g αγ g βδ g αβ g γδ ), (49) M sγ = e s ɛα L( p 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) g µν Γ αβµ (p 1, p, p 1 p ) Γ γδν ( q 1, q, q 1 + q ), (50) ) M sz = g cos θ W t M Z ɛ α L( p 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) (g µν p 1 + p ) µ (p 1 + p ) ν Γ αβµ (p 1, p, p 1 p ) Γ γδν ( q 1, q, q 1 + q ), (51) M tγ = e t ɛα L( p 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) g µν Γ αγµ (p 1, q 1, p 1 + q 1 ) Γ βδν (p, q, p + q ), (5) (g µν p ) 1 q 1 ) µ (p 1 q 1 ) ν M tz = g cos θ W t M Z ɛ α L( p 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) Γ αγµ (p 1, q 1, p 1 + q 1 ) Γ βδν (p, q, p + q ), (53) Las amplitudes resultantes tienen términos dominantes proporcionales a s a nivel árbol, como cabe esperar en un proceso que involucra a cuatro bosones gauge. En consecuencia, la aproximación de los vectores de polarización por su término dominante es insuficiente para poder estudiar la unitariedad de la interacción. En su lugar, se emplea la siguiente configuración cinemática: s p 1 = (1, 0, 0, β), p = (p 0 1, p 1 ), s q 1 = (1, β sin φ, 0, β cos φ), q = (q1, 0 q 1 ) ; (54) s ɛ L ( p 1 ) = (β, 0, 0, 1), ɛ L ( p ) = (ɛ 0 M L( p 1 ), ɛ L ( p 1 )), W s ɛ L ( q 1 ) = (β, sin φ, 0, cos φ), ɛ L ( q ) = (ɛ 0 M L( q 1 ), ɛ L ( q 1 )) ; (55) W siendo φ el ángulo característico de la dispersión en el centro de masas (figura 3). A continuación, se sustituyen las expresiones de los vectores de polarización en el cálculo de las amplitudes y se desarrolla el resultado en serie de potencias de la energía, despreciando términos de orden ( s/m W ) e inferiores. Se utilizan las relaciones g = e/ sin θ W y M Z = M W / cos θ W. Los resultados se expresan en términos de la energía y del ángulo φ: M Z M Z 15

17 [ 1 M 4 = g 16 ( cos φ + cos φ) s + 1 ] s (1 3 cos φ), (56) MW 4 MW ] M sγ = g s 14 s W [ cos φ + 3 cos φ, (57) MW 4 M sz = g c 14 s W [ cos φ 1 ( cos φ s ) ] cos φ, (58) MW 4 4 c W MW 4c 4 W [ 1 M tγ = g s W 8 (3 + cos φ) φ s sin + cos φ s MW 4 MW ] 1 ( + cos φ + cos φ), (59) cos φ 1 [ 1 M tz = g c W 8 (3 + cos φ) φ s sin + 1 ( 3 + ( c MW 4 W ) cos φ ) s 8 c W MW 1 ( + (3 5c 4c 4 W (cos φ 1) W + 8c 4 W ) + (1 1c W + 4c 4 W ) cos φ + (c W + 4c 4 W ) cos φ )]. (60) con c W cos θ W y s W sin θ W. Al sumar todas las contribuciones, los términos dominantes de cada una de ellas se cancelan y dan lugar a [ 1 M 0 = g s (1 + cos φ) 8 M W (7 6 cos θ W ) + 8 cos θ W cos φ + (1 cos θ W ) cos φ 8 cos θ W (cos φ 1) ]. (61) La amplitud resultante ya no es proporcional a s /MW 4, sino que esta dependencia se ha reducido en un orden. De nuevo, esta cancelación es debida q 1 p 1 p φ q Figura 3: Esquema cinemático de una colisión en el sistema de referencia centro de masas. 16

18 a la simetría gauge, pero en este caso no es suficiente ya que la amplitud aún tiene un comportamiento divergente a altas energías. La unitariedad se restaura al incorporar una nueva partícula a la teoría, el bosón de Higgs, que da lugar a nuevas interacciones. Esta propiedad, junto con la capacidad de dotar de masa al resto de partículas del Modelo Estándar, fueron los principales argumentos que llevaron a postular la existencia de esta partícula escalar. Los diagramas de Feynman debidos al bosón de Higgs para el proceso que estamos considerando se muestran en la figura 4. De nuevo, nos referimos a estos según su canal de interacción, M sh y M th respectivamente. Para el cálculo de las amplitudes se expande el propagador de Higgs en serie de potencias. Se obtiene W L (p 1 ) W L (q 1 ) W L (p 1 ) W L (q 1 ) H H W + L (p ) W + L (q ) W + L (p ) W + L (q ) Figura 4: Contribuciones adicionales a W L + W + L W L + W + L bosón de Higgs. debidas al [ M sh = g 1 s 1 MH 4M ] W, (6) 4 MW 4 MW [ 1 M th = g φ s 4 sin 1 MH + (1 + cos φ)m ] W. (63) MW 4 MW La suma de ambos resultados, M H, representa la amplitud debida a esta partícula: [ M H = g 1 s (1 + cos φ) M H (1 cos φ)m ] W. (64) 8 MW MW Al añadir esta contribución a las obtenidas anteriormente se obtiene la amplitud resultante del proceso de colisión: M = g cosec (φ/) ( ) 4(cos φ 1) cos θ 16 cos θ W MW W MH + (7 + cos φ)mw = O(1). (65) 17

19 W L (p 1 ) Z L (q 1 ) W L (p 1 ) Z L (q 1 ) W W + L (p ) Z L (q ) W + L (p ) Z L (q ) W L (p 1 ) Z L (q 1 ) W W + L (p ) Z L (q ) Figura 5: Diagramas de Feynman de W L + W + L Z L + Z L sin Higgs. El resultado obtenido es consistente con la conservación de la unitariedad. Con la adición del bosón de Higgs se ha eliminado la dependencia con la energía del término dominante de la amplitud..5. W L + W + L Z L + Z L A continuación, analizamos otro proceso de colisión de bosones vectoriales. De nuevo, consideramos primero la interacción sin tener en cuenta los acoplamientos con el bosón de Higgs (figura 5). W L (p 1) + W + L (p ) Z L (q 1 ) + Z L (q ). (66) Al igual que en la sección anterior nos referimos a cada uno de los posibles diagramas de Feynman según su canal de interacción. De esta manera, denotamos M 4 a la amplitud resultante término con el vértice cuártico y M t y M u a los diagramas referidos a los canales t y u, respectivamente. 18

20 M 4 = g c W ɛ α L( p 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) (g αβ g γδ g αγ g βδ g αδ g βγ ), (67) M t = g c W ɛ α t M L( p W 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) (g µν (p ) 1 q 1 ) µ (q p ) ν MW Γ αγµ (p 1, q 1, p 1 + q 1 ) Γ βδν (p, q, p + q ), (68) M u = g c W ɛ α u M L( p W 1 )ɛ β L ( p )ɛ γ L ( q 1)ɛ δ L ( q ) (g µν (p ) 1 q ) µ (q 1 p ) ν MW Γ αγµ (p 1, q, p 1 + q ) Γ βδν (p, q 1, p + q 1 ). (69) Como en el caso anterior, no se pueden tomar las expresiones aproximadas para los vectores de polarización debido a que los términos dominantes de las amplitudes resultantes son proporcionales a s a nivel árbol. En consecuencia, se ha de emplear la misma configuración cinemática que en la colisión previa (figura 3) y unas expresiones para los vectores de polarización análogas, ecs.(54) y ec.(55), con la salvedad de que en este caso las partículas iniciales y finales no son las mismas. Se obtienen los siguientes resultados, expresados en serie de potencias de energía, M 4 = g [ c 4 W 16 ( 5 + cos φ) s M 4 W + c W (1 + c W ) s M W [ c M t = g 4 W 8 (3 + cos φ) φ sin MW ( (1 c 8 W c 4 W ) + ( c W + 6c 4 W ) cos φ ) s s s ], (70) M W ], (71) [ c M u = g 4 W 8 (3 cos φ) φ cos MW ( (1 c 8 W c 4 W ) ( c W + 6c 4 W ) cos φ ) ] s, (7) MW en los que se desprecian los términos de orden O(1) e inferiores. A continuación, se suman las tres contribuciones y se calcula la amplitud resultante sin tener en cuenta la presencia del Higgs, [ 1 M 0 = g s + ( 1 + 6c W ) + (1 + ] c W ) cos φ + O(1). (73) 4 4c W sin φ M W La cancelación obtenida en M 0 es insuficiente, ya que el término dominante aún es de orden s/mw y viola unitariedad. Para solventar este inconveniente 19

21 se considera el acoplamiento del bosón de Higgs (figura 6). La amplitud que se deriva de esta incorporación es: M H = g [ 1 4 s M W + M W + (M W M H )c W 4M W c W ] + O[(s/MW ) 1 ], (74) Al añadir el cálculo de este diagrama se obtiene la amplitud final del proceso: M = g cosec (φ) ( ( M 8MW H + 14MW ) + (MH + MW ) cos φ ) + O[(s/MW ) 1 ] = O(1). (75) En resumen, los dos procesos estudiados de colisión de bosones gauge vectoriales polarizados longitudinalmente han requerido la adición de un acoplamiento escalar a la teoría para poder restaurar la unitariedad de la misma. En ausencia de esta partícula, los dos procesos mostrarían un comportamiento divergente para altas energías. Además de las colisiones estudiadas, existen otras muchas que requieren la existencia de este acoplamiento escalar para anular problemas de unitariedad y que omitimos en la memoria. No obstante, los procesos analizados nos permiten captar la relevancia de construir teorías que preservan esta propiedad, ya sea en el caso del bosón gauge Z en la sección.3 como con el bosón de Higgs en los apartados.4 y.5. W L (p 1 ) H Z L (q 1 ) W + L (p ) Z L (q ) Figura 6: Contribución adicional a W L + W + L de Higgs. Z L + Z L debida al bosón 0

22 3. Formalismo con bosones Goldstone 3.1. Teorías de campos efectivas. Las teorías de campos efectivas (Effective Field Theories, EFTs) son el marco teórico adecuado para describir el régimen de bajas energías de una teoría subyacente. Estas teorías únicamente tienen en cuenta los grados de libertad de la teoría por debajo de una determinada escala, siendo que las excitaciones de mayor energía son eliminadas de la acción y quedan ocultas en las constantes de acoplamiento. Para que una teoría efectiva sea consistente, debe existir una separación considerable en el espectro energético entre los estados ligeros y los pesados. Por otra parte, al existir una escala en la energía, es posible organizar las interacciones del Lagrangiano efectivo en serie de potencias de su energía en relación a esta escala. Esto establece un orden natural que permite que la teoría sea renormalizable orden a orden []. La principal finalidad de las teorías de campos efectivas es la construcción de teorías desconocidas en su nivel fundamental a través del estudio de las simetrías que presentan los estados ligeros. Este formalismo permite parametrizar la nueva física en términos de las constantes de acoplamiento. Ejemplos de teorías efectivas basadas en esta idea son la teoría electrodébil quiral, que desarrollamos en el siguiente apartado, o la teoría de Fermi, que reduce las interacciones entre los bosones mediadores W ± a una interacción de contacto parametrizada en la constante de Fermi, G F. Sin embargo, el uso de las teorías efectivas no siempre se debe al desconocimiento de las teorías subyacentes. En muchos casos, este formalismo se emplea porque la teoría fundamental no es directamente aplicable en el régimen de bajas energías. El ejemplo paradigmático es QCD ya que, debido al confinamiento, no tiene estados asintóticos de quarks y gluones. En cambio, al conocer las simetrías de la interacción fuerte es posible construir una teoría efectiva en términos de hadrones. 3.. Teoría efectiva electrodébil quiral El estudio de la teoría electrodébil en base a principios de simetría gauge y la rotura espontánea de la simetría junto con el mecanismo de Higgs nos han permitido elaborar una teoría unitaria que está de acuerdo con los resultados experimentales. A pesar de este gran éxito, el formalismo del Modelo Estándar no es el más adecuado para estudiar directamente este mecanismo ni la dinámica subyacente a la rotura de la simetría. Por este motivo, es particularmente interesante desarrollar teorías efectivas referidas al sector 1

23 escalar del Modelo Estándar, con el propósito de estudiar esta dinámica y, a su vez, comprobar la consistencia del Modelo. Para elaborar una teoría efectiva quiral de las interacciones electrodébiles conviene reexpresar el campo de Higgs en términos de la matriz ( ) φ (0) φ Σ (+) φ ( ) φ (0), (76) de forma que el Lagrangiano escalar, ec.(4), se reescribe como L S = 1 Tr[(D µσ) D µ Σ] 1 µ Tr[Σ Σ] 1 λ Tr[(Σ Σ)(Σ Σ)] = 1 Tr[(D µσ) D µ Σ] 1 16 λ ( Tr[Σ Σ] v ), (77) siendo D µ la derivada covariante: D µ Σ µ Σ ig W µ Σ + i g B µ Σ σ 3. (78) La notación matricial muestra de forma explícita que el potencial de Higgs es función de Tr[Σ Σ],. En consecuencia, es invariante bajo transformaciones del grupo de simetría quiral G SU() L SU() R : Σ G U L Σ U R, U L, U R SU(), (79) Al efectuar la misma transformación sobre el Lagrangiano completo el término de la derivada covariante con σ 3 rompe esta simetría. Así pues, en el límite g 0 el Lagrangiano es invariante bajo G, de forma que los campos gauge W µ se transforman como un triplete bajo SU() L y como un singlete bajo SU() R [3]. El valor de expectación en el vacío adquiere la forma ( ) v Σ (0) 0 =. (80) 0 v Parametrizando las excitaciones de los campos en torno a esta configuración de mínima energía, se realiza una descomposición polar del campo Σ(x), Σ(x) = 1 { [v + H(x)] U(Φ(x)), U(Φ(x)) = exp i Φ(x) }, (81) v con ( ) ϕ 0 ϕ Φ(x) = σ i ϕ i (x) = ϕ + ϕ 0 ; (8)

24 en términos del campo de Higgs, H(x), y los bosones Goldstone, ϕ i (x). Hemos reescrito estos últimos estados en términos de sus estados físicos ϕ ± (x) y ϕ 0 (x), definidos como ϕ ± ϕ 1 ± iϕ, ϕ 0 = ϕ 3. (83) Atendiendo a esta descomposición, la simetría inducida por el grupo G queda espontáneamente rota: SU() L SU() R SU() L+R SU() C, (84) donde el subíndice C se refiere al grupo de simetría llamado generalmente grupo custodial. Este mecanismo se denomina rotura espontánea de la simetría quiral (SCSB). Al tomar el límite λ 1 (aproximación de Higgs pesado), se reexpresa el Lagrangiano escalar, ec.(77), en función de U(Φ). Cabe destacar que, aunque el Lagrangiano es invariante bajo la acción del grupo de simetría quiral, es altamente no lineal con los bosones Goldstone. No obstante, se puede realizar una expansión de esta matriz exponencial en términos de Φ(x)/v, apareciendo de forma natural el valor de expectación del vacío, v, como escala natural para la energía. En consecuencia, esto nos permite formular un Lagrangiano quiral efectivo de bajas energías de la teoría electrodébil organizado en potencias crecientes de momento: L ef (U(Φ)) = n L (n). (85) Esta estructura del Lagrangiano es equivalente a considerar el número de derivadas: necesariamente par debido a la conservación de paridad. Además, debido a la unitariedad de U(Φ), se requieren al menos dos derivadas para generar una interacción no trivial, de manera que L () 0 = v 4 Tr[(D µu) D µ U], (86) con D µ U µ U ig W µ U + i g B µ U σ 3. Esta ecuación representa el orden más bajo del Lagrangiano quiral efectivo, que empleamos como referencia en secciones posteriores. Al considerar el límite de masa infinita para el bosón de Higgs, se puede apreciar cómo el Lagrangiano escalar se reduce a un Lagrangiano Goldstone. En general, utilizamos el subíndice 0 para indicar que un modelo no incluye explícitamente al bosón de Higgs. Efectivamente, al tomar el gauge unitario, L () 0 U=1 M W W µw µ + 1 M ZZ µ Z µ, (87) 3

25 se recuperan los términos de masa asociados a las componentes longitudinales de los bosones gauge. En resumen, el formalismo escalar desarrollado se manifiesta como el más idóneo para estudiar la interacción de los bosones gauge, a través de procesos de dispersión de bosones Goldstone (sección 3.4). Por otra parte, este Lagrangiano no permite analizar los efectos producidos por la interacción con el bosón de Higgs. Para ello, es preciso estudiar los efectos de las contribuciones inherentes al modelo a través de órdenes superiores. Para este propósito, es necesario construir una teoría efectiva electrodébil más general Lagrangiano efectivo general de la teoría electrodébil La rotura espontánea de la simetría quiral (SCSB) de la teoría electrodébil ocurre de forma lineal a través de la presencia de un campo escalar, el campo de Higgs, el cual adquiere un valor de expectación de vacío no nulo. Partiendo de un planteamiento más general, pretendemos construir un Lagrangiano efectivo de la teoría electrodébil en el cual los únicos estados ligeros producidos por la rotura de la simetría global son los bosones Goldstone y en el que no aparece el bosón de Higgs. Así pues, los leptones, quarks y los bosones gauge son las únicas partículas que conforman esta teoría efectiva. Como contrapartida, al no aparecer ningún campo de Higgs, la rotura de la simetría tiene lugar de manera no lineal a través de la matriz U(Φ), que incluye los bosones Goldstone. Debido a este hecho, la composición de este Lagrangiano involucra numerosas constantes de acoplamiento que se han de obtener experimentalmente partiendo de teorías más fundamentales. Si se escogen ciertas constantes de acoplamiento y se trabaja en un régimen de energías bajas en relación a la masa del Higgs, se puede comprobar que este Lagrangiano efectivo reproduce el Modelo Estándar [, 4]. El Lagrangiano efectivo de orden más bajo que se obtiene es L EW = L ψ + L Y + L B. (88) L ψ representa al Lagrangiano cinético usual. El término L Y describe las interacciones entre los distintos fermiones (quarks y leptones) a través de las matrices M q y M l : L Y = q L UM q q R l L UM l l R + h.c.. (89) Por último, L B es el Lagrangiano bosónico, definido como L B = 1 Tr[ W µν W µν + B µν B µν ] + v 4 Tr[D µu D µ U], (90) 4

26 siendo W µν y B µν los tensores introducidos en las expresiones (10) y (11), con sus respectivas reglas de transformación. Debido a las simitiludes que presenta este Lagrangiano efectivo generalizado con el Lagrangiano efectivo quiral el apartado previo, ec.(86), en muchas ocasiones se le conoce como la representación quiral del Modelo Estándar. No obstante, no obedecen al mismo grupo de simetría local: este Lagrangiano es invariante bajo el grupo G SU() L U(1) Y (Modelo Estándar). Al igual que en el apartado anterior, la conservación de paridad permite expandir el Lagrangiano en serie de potencias de momento pares (número par de derivadas). Además, para el orden más bajo se obtiene el mismo resultado que en la sección previa (86). No obstante, esta coincidencia no es casual, ya que es el Lagrangiano más general posible, consistente con la simetría quiral, con derivadas. Para poder estudiar la consistencia del Lagrangiano formulado es preciso estudiar el siguiente orden, a partir del cual es posible extraer nueva información física. Su expresión más general requiere de 15 constantes de acoplamiento independientes, tales que 14 L (4) EW = a i O i. (91) i=0 A continuación, se muestra cada uno de los términos que compone este Lagrangiano efectivo []: O 0 = v 4 Tr{T V µ} O 1 = igg B µν Tr{T W µν } O = ig B µν Tr{T [V µ, V ν ]}, O 3 = g Tr{ W µν [V µ, V ν ]}, O 4 = Tr{V µ V ν } Tr{V µ V ν } O 5 = Tr{V µ V µ }, O 6 = Tr{V µ V ν } Tr{T V µ } Tr{T V ν }, O 7 = Tr{V µ V µ } Tr{T V ν }, O 8 = g 4 Tr{T W µν }, (9) O 9 = g Tr{T W µν } Tr{T [V µ, V ν ]}, O 10 = (Tr{T V µ } Tr{T V ν }), O 11 = Tr{(D µ V µ ) }, O 1 = Tr{T D µ D ν V ν } Tr{T V µ }, O 13 = 1 Tr{T D µv ν }, O 14 = igɛ µνρσ Tr{ W µν V ρ } Tr{T V σ }, donde se han empleado las variables T Uσ 3 U, V µ D µ U U, D µ V ν µ ig [ W µ, V ν ], (93) 5

27 que se transforman bajo G como: T G g L T g L V G µ g L V µ g L, D µv G ν g L D µ V ν g L, g L SU() L. (94) La rotura explícita de la simetría quiral se manifiesta a través de T, que incluye la interacción gauge U(1) Y. Efectivamente, es el término σ 3 el que rompe esta simetría, al igual que en el Modelo Estándar Interacción de bosones Goldstone (sin Higgs) Una de las posibilidades de mayor interés que proporcionan los Lagrangianos efectivos de los dos apartados anteriores es el estudio de la interacción de bosones Goldstone. En ambos casos es posible analizar estos procesos empleando el orden más bajo de la teoría, L () 0. Atendiendo a las ecuaciones (81) y (8), desarrollamos el Lagrangiano efectivo en serie de potencias de Φ(x)/v, de forma que el valor de expectación del vacío, v, adquiere el rol de escala de energía de la teoría efectiva. Al expandir la matriz U(Φ) hasta O(Φ 4 ), U(Φ(x)) U(Φ) = 1 + i Φ v 1 Φ v i Φ 3 6 v + 1 Φ v +..., (95) 4 el Lagrangiano efectivo queda en términos de campos de bosones de Goldstone, haciendo posible realizar teoría de perturbaciones con estas partículas (ϕϕ ϕϕ, ϕϕ 4ϕ... ). Por otra parte, al estar construyendo una teoría de bosones Goldstone, las correcciones gauge de la derivada covariante no aparecen en el Lagrangiano, de manera que solo actúa la derivada parcial. Se obtiene L () 0 = 1 4 Tr[ µφ µ Φ] v Tr {[Φ, µφ] [Φ, µ Φ]}. (96) El término cuadrático del Lagrangiano da lugar al propagador del campo. Para obtener este resultado se ha transformado la expresión anterior al espacio de momentos y se ha tomado la inversa del resultado. Realizando el mismo procedimiento para el segundo sumando, se obtienen las expresiones para los vértices de 4 bosones Goldstone y sus respectivas reglas de Feynman. A continuación, analizamos la colisión de bosones Goldstone a nivel árbol (figuras 7 y 8) a partir del estudio de los procesos ϕ (p 1 ) + ϕ + (p ) ϕ (q 1 ) + ϕ + (q ), (97) ϕ (p 1 ) + ϕ + (p ) ϕ 0 (q 1 ) + ϕ 0 (q ). (98) 6

28 ϕ (p 1 ) ϕ (q 1 ) ϕ + (p ) ϕ + (q ) Figura 7: Diagrama de Feynman de ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + en ausencia del bosón de Higgs. ϕ (p 1 ) ϕ 0 (q 1 ) ϕ + (p ) ϕ 0 (q ) Figura 8: Diagrama de Feynman de ϕ + ϕ + ϕ 0 + ϕ 0 en ausencia del bosón de Higgs. Para el cálculo de las amplitudes es necesario realizar un cambio de base debido a que el Lagrangiano está descrito en términos de ϕ i (i = 1,, 3), mientras que los estados de la colisión corresponden a los estados físicos, ϕ a (a = ±, 0). Por simplicidad, se escoge realizar la transformación sobre los estados. Esto permite hacer un estudio de estas colisiones a partir de un planteamiento más general, ϕ i (p 1 ) + ϕ j (p ) ϕ i (q 1 ) + ϕ j (q ), (99) haciendo uso de las siguientes expresiones del álgebra de SU(): [ϕ i σ i, µ ϕ j σ j ] = iɛ ijk ϕ i µ ϕ j σ k, ɛ ijk ɛ i j k = δ ii δ jj δ ij δ ji, (100) Tr(σ i σ j ) = δ ij. Una vez aplicadas estas relaciones sobre el término de interacción del Lagrangiano efectivo, se calcula la amplitud de una colisión de bosones Golds- 7

29 tone general: M 0 = 1 [ ( ) ( ) δii δ 3v jj (p1 + p ) + 4p 1 p + δij δ i j (p1 q 1 ) 4p 1 q 1 ( ) ] + δ ij δ ji (p1 q ) 4p 1 q (101) = 1 [ δii δ 3v jj (3s 4MW ) + δ ij δ i j (3t 4M W ) + δ ij δ ji (3u 4MW ) ], donde se han empleado las variables de Mandelstam s (p 1 + p ) = (q 1 + q ), t (p 1 q 1 ) = (p q ), (10) u (p 1 q ) = (p q 1 ). A partir de las ecuaciones de cambio de base, ec.(83), se reescriben los estados físicos en función de los estados ϕ i (i = 1,, 3). Por completidud, se muestran todas las combinaciones posibles para los estados producto: ϕ ± ϕ ± = 1 { ϕ 1 ϕ 1 ϕ ϕ i( ϕ 1 ϕ + ϕ ϕ 1 )}, ϕ ± ϕ = 1 { ϕ 1 ϕ 1 + ϕ ϕ ± i( ϕ 1 ϕ ϕ ϕ 1 )}, ϕ ± ϕ 0 = 1 { ϕ 1 ϕ 3 i ϕ ϕ 3 }, (103) ϕ 0 ϕ 0 = ϕ 3 ϕ 3. Las amplitudes resultantes de los procesos (97) y (98) son respectivamente M (±) 0 M(ϕ ϕ + ϕ ϕ + ) = 1 v ( s + t M W ) = g 8 (1 + cos φ) s M W M (0) 0 M(ϕ ϕ + ϕ 0 ϕ 0 ) = 1 v (s 4 3 M W + O(1), (104) ) = g s + O(1), (105) 4 habiendo sido reescritas en términos de s y φ, de acuerdo con la configuración cinemática de la figura 3. Los resultados obtenidos para las amplitudes evidencian una dependencia lineal con la energía, como era previsible. En efecto, los bosones de Goldstone siempre interaccionan con potencias del momento (son partículas libres a momento cero). No obstante, la violación de unitariedad de estos procesos no es un problema ya que se está operando con un Lagrangiano efectivo 8 M W

30 de bajas energías. El hecho singular de estos cálculos es que se reproducen las amplitudes de las colisiones de bosones gauge longitudinales sin Higgs a primer orden, ecs.(61) y (73). Este resultado es consecuencia del Teorema de Equivalencia. Dado un proceso de colisión entre los bosones gauge WL a (a = ±, 0) polarizados longitudinalmente, el Teorema de Equivalencia establece que la amplitud de dispersión, o equivalentemente los elementos de la matriz S, de las componentes longitudinales de los bosones vectoriales masivos se pueden aproximar por los bosones Goldstone ϕ a (a = ±, 0), para energías tales que s M W. Esta relación es válida para todos los órdenes de teoría de perturbaciones. La aproximación efectuada por el Teorema de Equivalencia es exacta si se consideran únicamente los términos dominantes en la expansión de las amplitudes en potencias de la energía. Equivalentemente, la relación es una identidad en el régimen de altas energías una la teoría efectiva. De esta manera ( ) M{WL(p a 1 ), WL(p b ),... } = M{ϕ a (p 1 ), ϕ b MW (p ),... } + O s. (106) Efectivamente, este teorema pone de manifiesto que los bosones de Goldstone implementan las polarizaciones longitudinales de los bosones gauge W ± y Z. En consecuencia, construir una teoría escalar que conserve la unitariedad y sea renormalizable recobra sentido. En la siguiente sección estudiamos cómo la incorporación del bosón de Higgs en la colisión de bosones Goldstone restablece la unitariedad, de forma análoga a los bosones gauge longitudinales en los apartados.4 y Interacción de bosones Goldstone (con Higgs) La manera más sencilla de incorporar el bosón de Higgs en una teoría con bosones Goldstone es a través del formalismo quiral introducido en la sección 3.. En este modelo, el campo de Higgs, H(x), es un campo escalar de m H = 16 GeV que actúa como singlete bajo el grupo de simetría SU() L SU() R. Para incorporar esta partícula a la teoría, se realiza un procedimiento análogo al llevado a cabo con L () 0, con la salvedad de que no se aplica ninguna aproximación sobre el campo de Higgs. Se expande el Lagrangiano escalar, ec.(77), en términos de la matriz U(x) y se considera únicamente el orden más bajo de la teoría. Se obtiene una expresión análoga [5]: L () = 1 (D µh) + v 4 Tr[(D µu) (D µ U) ] (1 + 9 ) Hv H +. (107) v

31 El primer término de la ecuación da lugar al propagador del bosón de Higgs, mientras que el segundo constituye una generalización del Lagrangiano sin Higgs, al que se incorporan los acoplamientos de los bosones Goldstone con esta partícula. Para calcular este Lagrangiano se emplea nuevamente el desarrollo de la matriz U(Φ) en serie de potencias de los bosones Goldstone. El resultado es L () = L () (D µh) + 1 v Tr[( µφ)( µ Φ)] H. (108) Una vez establecido el Lagrangiano que incluye el bosón de Higgs, se calculan las nuevas contribuciones asociadas al acoplamiento de esta partícula para los procesos de colisión analizados en el apartado anterior, (97) y (98). De nuevo, es preciso realizar un cambio de base debido a que los campos que constituyen los estados iniciales y finales están transformados con respecto a los que componen el Lagrangiano. En este caso se prefiere realizar el cambio de base directamente sobre el Lagrangiano: L () H L () L () 0 = 1 (D µh) + 1 v µϕ 0 µ ϕ 0 + v µϕ µ ϕ +. (109) Seguidamente, se calculan los diagramas de Feynman asociados al acoplamiento con el bosón de Higgs para estos procesos (figuras 9 y 10). Las amplitudes debidas al acoplamiento de esta partícula con los bosones de Goldstone son, respectivamente, M (±) H = 1 ( s + v s MH t MH = g 8 (1 + cos φ) s M (0) H = 1 v ( s s M H M W t ) + O(1) + O(1), (110) ) + O(1) = g 4 s M W + O(1). (111) ϕ (p 1 ) ϕ (q 1 ) ϕ (p 1 ) ϕ (q 1 ) H H ϕ + (p ) ϕ + (q ) ϕ + (p ) ϕ + (q ) Figura 9: Contribuciones adicionales a ϕ +ϕ + ϕ +ϕ + debidas al bosón de Higgs. 30

32 ϕ (p 1 ) H ϕ 0 (q 1 ) ϕ + (p ) ϕ 0 (q ) Figura 10: Contribuciones adicionales a ϕ +ϕ + ϕ 0 +ϕ 0 debidas al bosón de Higgs. Los términos dominantes de las amplitudes en ausencia del Higgs, ecs.(104) y (105), son iguales a las amplitudes anteriores salvo un signo global. A su vez, también coinciden con las contribuciones calculadas en las ecuaciones (64) y (74) para el acoplamiento de los bosones gauge longitudinales del Modelo Estándar con el Higgs, como establece el Teorema de Equivalencia. En consecuencia, las amplitudes resultantes de considerar todas las contribuciones, M (±) = M (±) 0 + M (±) H = O(1), (11) M (0) = M (0) 0 + M (0) H = O(1), (113) restauran la unitariedad de la teoría. Hemos visto cómo la formulación realizada con bosones Goldstone reproduce con exactitud los resultados obtenidos para bosones gauge polarizados longitudinalmente (sección ). Esto supone una gran ventaja técnica para estudiar la teoría, ya que se pueden tratar indistintamente los formalismos vectorial de los bosones gauge y escalar de los bosones Goldstone. Además, la elaboración de una teoría escalar es la mejor herramienta para acceder a los fundamentos de la teoría electrodébil a través de los bosones Goldstone y es la manera natural de estudiar la dinámica de la rotura espontánea de la simetría. 31

33 4. Estudio de la unitariedad de las teorías efectivas 4.1. Amplitudes de isospín La utilización de una teoría efectiva para la descripción de las interacciones electrodébiles permite el estudio de las interacciones de bosones gauge de una manera mucho más simplificada con del Modelo Estándar. Se ha estudiado (sección 3.) cómo al desactivar la constante de acoplamiento g, la teoría es invariante bajo el grupo de simetría quiral G SU() L SU() R. Una vez rota la simetría de manera espontánea a través del mecanismo de Higgs, aparecen de manera natural tres bosones Goldstone, que adquieren el rol de las polarizaciones longitudinales de los bosones gauge (Teorema de Equivalencia). De este procedimiento se deduce que los tres bosones gauge masivos son invariantes bajo el grupo custodial, SU() L+R, y pueden ser tratados como un triplete de manera exacta bajo esta simetría. En consecuencia, cualquier interacción entre estas partículas conserva el número cuántico de isospín débil, I. Esta descripción efectiva no es exclusiva de la teoría electrodébil. Uno de los ejemplos más representativos de esta simetría son las colisiones elásticas de piones, que presentan el mismo Lagrangiano efectivo y forman también un triplete (π ±, π 0 ), de forma completamente análoga. No obstante, QCD es una teoría unitaria por lo que no requiere de elementos adicionales como la teoría electrodébil con la incorporación del mecanismo de Higgs. En resumen, el formalismo que desarrollamos en este apartado es válido para cualquier teoría invariante bajo SU(). En esta sección se pretende descomponer los procesos calculados en los apartados anteriores en términos sus amplitudes propias de isospín débil. Atendiendo al álgebra de isospín se obtienen tres estados propios a los que corresponden tres diferentes amplitudes de isospín: I = 1 1 = 0 1. (114) Asignamos los valores I 3 = ±1 para las terceras componentes de isospín de los estados W ± L e I 3 = 0 para el estado Z L. Para el cálculo de las amplitudes de isospín nos fijamos en la amplitud general de un proceso arbitrario entre bosones Goldstone (sin Higgs), ec.(101). Se puede apreciar que este resultado está compuesto por tres contribuciones que sólo difieren en el canal de interacción. Así pues, es posible reexpresar cualquier amplitud en términos de M(c) = c + O(1), c = s, t, u, (115) v 3