CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO. 1- Antecedentes de la Investigación. Para la realización de este proyecto se indagaron una serie de

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1 CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO 1- Antecedentes de la Investigación Para la realización de este proyecto se indagaron una serie de investigaciones relacionadas con el mismo, que ayudaron de una u otra forma a desarrollar esta investigación; a continuación se hace referencia a algunas de ellas: Andueza y Aguirre (2008) realizaron el Diseño de un Manipulador Robótico con tres grados de libertad para fines educativos el trabajo se utilizo para fines educativos en el área de automatización industrial, robótica y control de proceso, en el proceso se realizo el cálculo de la cinemática directa e inversa del manipulador robótico y de igual manera el modelo dinámico se realizan pruebas de simulación del comportamiento del manipulador mediante la creación de rutinas en Matlab y se comparan con los resultados obtenidos mediante el uso de la Toolbox de Robótica de Matlab desarrollada por Peter Corke. El proyecto de investigación antes planteado corresponde a un aporte significativo y de gran importancia para esta investigación debido que para llevar a cabo la comprobación del comportamiento del modelo matemático se tomara en cuenta las herramientas y pasos necesarios para llevar a cabo el diseño, desarrollo y comprobación del modelo 13

2 14 matemático. Canga (2007) en su investigación sobre Manipulador Robótico para la fase de pintura de carrocerías en línea de producción automotriz su objetivo principal fue desarrollar un manipulador robótico para la fase de pintura de carrocerías en líneas de producción automotriz, las variables de estudio fueron manipulador robótico y fase de pintura, y siendo una investigación de tipo factible y aplicada. La metodología utilizada fue la propuesta por Angulo (1999) la cual consta de nueve (9) fases descritas de la siguiente manera: definición de las especificaciones, esquema general del hardware, ordinograma general, implementación de hardware, adaptación entre el hardware y el software, ordinogramas modulares y codificación del programa, integración del hardware con el software, depuración del software y finalmente prototipo definitivo con sus respectivas pruebas finales. El resultado de esta investigación, permitió conocer un poco más sobre cómo llevar a cabo la movilidad de las articulaciones del robot, así como los procesos necesarios para el diseño del manipulador robótico, lo que constituye un aporte a esta investigación al momento de llevar a cabo el análisis de los movimientos del robot. Ahora bien, Madrid y otros (2007) realizaron el Diseño y Fabricación de un Brazo Robot de Cinco Grados de Libertad Articulado Verticalmente: Control y Potencia en el 8º Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica en Perú, su objetivo del artículo fue dar a conocer el desarrollo de las etapas de control y potencia. El control fue dividido en

3 15 dos etapas: el control de la cinemática o planificación de trayectorias y el control dinámico o control del movimiento del robot. Con el control del movimiento, el brazo sigue el camino trazado por el planificador de trayectorias, y por ese motivo utilizó el modelo dinámico directo del robot desarrollado en otra etapa del proyecto. Con el modelo dinámico inverso se realizó la selección de los motores tomando en cuenta el par máximo de cada articulación; el diseño del algoritmo de control de posición, se realizó con una estructura PID (Proporcional Integral Derivativo), considerando el método del control desacoplado. Finalmente, con la generación de trayectorias desarrollada se comprobó el sistema en lazo cerrado basándose en simulaciones dinámicas. Por otro lado, para que la etapa de potencia amplificara las señales digitales de control a niveles de corriente adecuadas para activar los motores, se implementó una estructura tipo Puente H y se aplicó la técnica PWM (Pulse With Modulation ó Modulación por Ancho de Pulsos) para el control de velocidad. Para la implementación en tiempo real del control del brazo se utilizaron encoders, conectados en el eje del motor de cada articulación, para medir posición y velocidad. El estudio de esta investigación permitió conocer los procedimientos necesarios para el diseño de un robot y los pasos necesarios para la implementación de algoritmos de control, lo que corresponde un aporte para esta investigación al momento de llevar a cabo el modelado matemático de la cinemática de los manipuladores

4 16 robóticos. Para concluir, Vásquez (2005) realizó el Diseño Mecánico de un Brazo Manipulador Industrial Robótico Hidráulico (MIRH1) de Cinco Grados de Libertad, su objetivo general fue desarrollar el diseño de detalle de la estructura mecánica de un manipulador industrial robótico hidráulico (MIRH1) de cinco grados de libertad, sustentado en el análisis cinemático del mismo. El desarrollo del proyecto fue basado en la proyección de modelos virtuales, sistemas computacionales de diseños mecánicos, sistemas informáticos y estructura del manipulador. La investigación de Vásquez se tomara para llevar a cabo el análisis de la cinemática del manipulador, ya que especifica y da detalle de los procedimientos y pasos necesarios para llevar a cabo lo que corresponde al modelo matemático y la estructura del diseño del manipulador. Cada una de las indagaciones anteriormente expuestas, son de gran importancia para la elaboración de este proyecto porque se encuentran directamente relacionadas con las variables de esta investigación, de igual manera presentan un aporte de innovación y teorización, así como de base investigativa para completar de manera satisfactoria el desarrollo de este estudio. 2- Bases Teóricas La utilización de las bases teóricas se basan principalmente en recopilar información necesaria que se relacionen con el tema de estudio,

5 17 éstas sirven como referencia para los diversos factores que se encuentran involucrados directamente con el proyecto a realizar a continuación se muestran las más resaltantes Manipulador Ollero (2001) define manipulador como un instrumento programable multifuncional diseñado para mover materiales, piezas, herramientas o dispositivos especiales, mediante movimientos variados, programados para la ejecución de distintas tareas. Craig (2006) manipulador es un conjunto de cuerpos conectados en una cadena mediante articulaciones. Estos cuerpos se llaman vínculos o segmentos. Las articulaciones forman una conexión entre un par adyacente de vínculos. Pinto (2006), Vehículo, maquina o herramienta a través del cual se realiza el traslado, manejo y diseño de piezas grandes o pequeñas que requieran cierto grado de precisión, generalmente utilizado en la industria metalúrgica. Ahora bien, como lo definen Pinto, Ollero y Craig, manipulador es una máquina o herramienta conectada mediante articulaciones encargada del manejo y diseño de piezas y que puede ser utilizada como un instrumento programable multifuncional para mover piezas, materiales o dispositivos utilizados en la industria Robótica Legendre (1988) define la robótica como un conjunto de métodos y

6 18 medios derivados de la informática cuyo objeto de estudio concierne en la concepción, la programación y la puesta en práctica de mecanismos automáticos que pueden sustituir al ser humano para efectuar operaciones reguladoras de orden intelectual, motor y sensorial. Perez (2001), es el conjunto de conocimientos teóricos y prácticos que permiten concebir, realizar y automatizar sistemas basados en estructuras mecánicas poliarticuladas, dotados de un determinado grado de "inteligencia" y destinados a la producción industrial o al sustitución del hombre en muy diversas tareas. Un sistema robóticos puede describirse, como "Aquel que es capaz de recibir información, de comprender su entorno a través del empleo de modelos, de formular y de ejecutar planes, y de controlar o supervisar su operación". La robótica es esencialmente pluridisciplinaria y se apoya en gran medida en los progresos de la microelectrónica y de la informática, así como en los de nuevas disciplinas tales como el reconocimiento de patrones y de inteligencia artificial. RoboticSpot (2004), la robótica es la ciencia encaminada a diseñar y construir aparatos y sistemas capaces de realizar tareas propias de un ser humano. Según lo planteado por Legendre, Perez y RoboticSpot, robótica es un conjunto de métodos y medios de mecanismos automáticos, basadas en estructuras mecánicas poliarticuladas y destinadas a la sustitución del hombre para ejecutar operaciones y realizar diversas tareas que resulten agotadoras y repetitivas. En general, la robótica cubre muchos términos pero todos giran en torno a la misma idea.

7 Manipulador Robótico Según Ollero (2001) basado en la Asociación de Industrias Robóticas (RIA) define a un robot industrial como un manipulador programable multifuncional diseñado para mover materiales, piezas, herramientas o dispositivos especiales mediante movimientos variados, programados para la ejecución de distintas tareas. En la robótica subyace la idea de sustituir equipos capaces de automatizar operaciones concretas por máquinas de uso más general que puedan realizar distinta tareas. De igual forma, Barrientos (1997) se basa en la RIA y también hace referencia a la Organización Internacional de Estándares (ISO) la cual define a un robot industrial como un manipulador multifuncional reprogramable con varios grados de libertad. Por el mismo modo, la Federación Internacional de Robótica (IFR) en su informe técnico ISO/83737 (1988), concreta que un robot industrial de manipulación se entiende a una máquina de manipulación automática reprogramable y multifuncional con tres o más ejes que pueden proporcionar y orientar materias, piezas, herramientas o dispositivos especiales para la ejecución de trabajos diversos en las diferentes etapas de la producción industrial, ya sea en una posición fija o en movimiento. Por lo anteriormente expuesto, se puede afirmar que un manipulador robótico es un robot industrial que tiene como finalidad la ejecución de diferentes trabajos como es la construcción de piezas y que esta máquina puede ser reprogramable y a la vez multifuncional con tres

8 20 o más ejes Clasificación de los Manipuladores Robóticos Ruíz, Craig y Ollero concuerdan que los manipuladores robóticos se clasifican en función del espacio de trabajo que ellos pueden alcanzar o en el cual se pueden mover o desplazar. Se tiene el espacio cartesiano o rectangular, el espacio de trabajo cilíndrico y el espacio de trabajo polar o esférico. a) Brazo Manipulador Cartesiano, este tipo de brazo manipulador trabaja sobre un espacio que se constriñe únicamente a las coordenadas cartesianas. Es decir, el área de trabajo generada es una caja o cubo. Tiene tres grados de libertad, los cuales corresponderán a los movimientos de los ejes X, Y y Z, de igual forma el desplazamiento que realiza el robot entre un punto y otro es lineal. Figura 1. Brazo Manipulador Robótico Cartesiano. Fuente: Educatrónica (2007). b) Brazo Manipulador Cilíndrico, este tipo de manipulador se envuelve en su mismo espacio geométrico que permite trabajar con coordenadas cilíndricas, es decir, gracias a sus características, permite la

9 21 generación de movimientos que describen cilindros. En otras palabras, el área de trabajo se refiere al espacio generado entre dos cilindros concéntricos de la misma altura. Figura 2. Brazo Manipulador Robótico Cilíndrico. Fuente: Educatrónica (2007). c) Brazo Manipulador Polar, Este robot utiliza la interpolación por articulación para moverse en sus dos primeras movimientos (rotacional y angular) y una interpolación lineal para la extensión y retracción, el área de trabajo es el espacio comprendido entre dos hemisferios concéntricos, permite la generación y el movimiento en un espacio semejante al espacio generado por el movimiento de una escalera como se muestra en la siguiente figura. Figura 3. Brazo Manipulador Robótico Polar. Fuente: Educatrónica (2007).

10 Modelo Pilar (2003) El objetivo de un modelo consiste en reproducir la realidad de la forma más fiel posible tratando de entender cómo se comporta el mundo real y obteniendo las respuestas que pueden esperarse de determinadas acciones. El modelo se define como una función objetivos y restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema Modelo Matemático Pilar (2003) un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos de elementos determinados por la variable decisión, parámetros de decisión y restricciones y función objetivo. A continuación se explica brevemente cada una de ellas: a. Variable Decisión Las variables son las incógnitas o decisiones que deben determinarse según se vaya resolviendo el problema. A las variables de decisiones se les suelen llamar actividad y a sus valores niveles de la actividad. b. Parámetros de Decisión y Restricciones Los parámetros pueden ser determinísticos o probabilísticos y son los valores conocidos que se relacionan con las variables, restricciones y

11 23 la función objetivo. Las restricciones son aquellas limitaciones que se deben tomar en cuenta ya que restringen a la variable decisión en un rango de valores que resulta factible. c. Función Objetivo Define la medida de efectividad que obtiene el sistema cuando los valores de las variables decisión con sus respectivos parámetros y restricciones dan como resultado una mejora del sistema Representación Simbólica de un Robot Spong (2006) define que un robot manipulador está compuesto de enlaces conectados por articulaciones que forman una cadena cinemática. Las articulaciones son generalmente rotatorio (de revolución) o lineal (prismático). Un conjunto de revolución es como bisagra y permite el giro relativo entre dos enlaces. Un conjunto prismático permite un movimiento lineal relativo entre dos enlaces. A un conjunto de revolución se le denota R y al conjunto prismático se le denota P. A continuación se muestra un brazo de tres enlaces y articulaciones de revolución es un brazo RRR. Figura 4. Representación Simbólica de un Robot Fuente: Spong (2006).

12 Configuración del Espacio Spong (2006) La configuración del manipulador es una especificación completa de la localización de cualquier punto del manipulador. El conjunto de todas las posibles configuraciones es llamado el espacio de configuración. Un objeto se dice que tiene n grados de libertad, si su configuración puede ser mínima especificada por n parámetros. Así, el número de grados de libertad (GDL) es igual a la dimensión del espacio de configuración. Para un robot manipulador, el número de las articulaciones determina el número de GDL. Un objeto rígido en tres dimensiones en el espacio tiene seis grados de libertad: tres para el posicionamiento y tres para la orientación (por ejemplo, rodar, ángulos de cabeceo y guiñada). Por lo tanto, un manipulador típicamente debe poseer al menos seis grados de libertad independiente. Con menos de seis grados de libertad del brazo no puede llegar a cada punto de su entorno de trabajo con orientación arbitraria. Algunas aplicaciones como alcanzar alrededor o detrás de los obstáculos pueden requerir más de seis GDL. Un manipulador que tenga más de seis enlaces se conoce cinemáticamente como un manipulador redundante. La dificultad de controlar un manipulador aumenta rápidamente con el número de enlaces Dispositivo Mecánico de un Robot Spong (2006) considera que hay una serie de aspectos físicos

13 25 de manipuladores robóticos que no se toman en cuenta necesariamente al desarrollar los modelos matemáticos. Estos incluyen aspectos mecánicos (por ejemplo, cómo son las uniones de hecho implementadas), la precisión y las herramientas que se adjunta al final del efector. Estos elementos son la fuente de poder, área de aplicación, método de control, geometría y sistema del robot Cinemática de los Manipuladores Spong (2006) especifica que aunque hay muchas maneras posibles de usar las articulaciones prismáticas y de revolución para construir cadenas cinemáticas, en la práctica sólo son utilizados comúnmente unos pocos de estos. Se describen brevemente los más utilizados típicamente a continuación: 1. Manipulador Articulado (RRR) El manipulador articulado también se le llama de revolución o manipulador antropomorfo. El manipulador de revolución establece la libertad de movimiento relativamente grande en un espacio compacto la articulación de paralelogramo, aunque típicamente menos diestro que el manipulador de codo, sin embargo, tiene varias ventajas que lo convierten en un diseño atractivo y popular. Es conveniente decir que este tipo de manipuladores es comúnmente llamado manipulador codo. La característica más notable del ligamento de un manipulador paralelogramo es que el actuador para tres conjuntos se encuentra en un

14 26 enlace, este tipo de manipuladores es más simple que los manipuladores tipo codo por lo cual hace que sea más fácil de controlar. A continuación se muestra la estructura de un manipulador tipo articulado figura 5 y en la figura 6 el espacio de trabajo del mismo: Figura 5. Estructura de un manipulador Articulado. Fuente: Spong (2006). Figura 6. Espacio de trabajo de un manipulador tipo Articulado. Fuente: Spong (2006). 2. Manipulador Esférico (RRP) Si se reemplaza o sustituye el tercer codo del manipulador antes descrito, el manipulador de revolución por un prisma se transformaría en

15 27 una articulación esférica, el termino se deriva del hecho de que las coordenadas esféricas define la posición del efector final con respecto a un marco cuyo origen se encuentra en la intersección de los tres ejes z son los mismos que las tres primeras variables articulares. En la figura 7 se muestra la estructura de dicho brazo y en la figura 8 el espacio de trabajo del mismo. Figura 7. Estructura del manipulador Esférico. Fuente: Spong (2006). Figura 8. Espacio de trabajo del manipulador Esférico. Fuente: Spong (2006). 3. Manipulador SCARA (RRP) Este tipo de manipuladores es utilizado para operaciones de

16 28 montaje adaptadas. Este tipo de manipuladores es bastante diferente al manipulador esférico, en su aspecto exterior y en su gama de aplicaciones, este tipo posee las articulaciones Z0, Z1 y Z2 mutuamente en paralelo. En las figuras 9 y 10 se muestran la estructura de dicho brazo y el espacio de trabajo del mismo. Figura 9. Estructura del manipulador SCARA. Fuente: Spong (2006). Figura 10. Espacio de trabajo del manipulador SCARA. Fuente: Spong (2006). 4. Manipulador Cilíndrico (RPP) En este tipo de manipulador la primera articulación es de revolución

17 29 y produce una rotación alrededor de la base, mientras que las articulaciones segunda y tercera son prismáticas. Como su nombre lo indica, las variables comunes son las coordenadas cilíndricas del efector final con respecto a la base. En la figura 11 se muestra la estructura de dicho manipulador y en la figura 12 se muestra el espacio de trabajo del mismo. Figura 11. Estructura del manipulador Cilíndrico. Fuente: Spong (2006). Figura 12. Espacio de trabajo del manipulador Cilíndrico. Fuente: Spong (2006). 5. Manipulador Cartesiano Este es un tipo de manipulador cuya primera tres articulaciones son

18 30 prismáticas se conoce como un manipulador cartesiano. Para el manipulador cartesiano las variables conjuntas son las coordenadas cartesianas del efector final con respecto a la base. La descripción cinemática de este tipo de manipuladores es el más simple de todos. Son útiles para aplicaciones de montaje en mesa y, como los robots de pórtico, para las transferencias de material o de carga. Figura 13. Estructura del manipulador Cartesiano. Fuente: Spong (2006). Figura14. Espacio de trabajo del manipulador Cartesiano. Fuente: Spong (2006). 6. Manipulador Paralelo Es aquel en donde un subconjunto de los enlaces forman una

19 31 cadena cerrada. Más específicamente, este tipo de manipuladores, tiene dos o más cadenas cinemáticas independientes que conectan la base con el efector. La descripción cinemática de los robots paralelos es fundamentalmente diferente de la de los robots enlace serie y por lo tanto requiere de diferentes métodos de análisis Cinemática de un Robot Craig (2006) La cinemática de un robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia, sin considerar las fuerzas que la ocasionan. Se interesa en la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación de la herramienta del robot con los valores que toman las coordenadas de sus articulaciones. Existen dos problemas fundamentales para resolver la cinemática de un robot, se explican a continuación: Cinemática Directa El método utilizado para la cinemática directa, consistirá en las propiedades geométricas y temporales del movimiento del robot especificando posición y orientación del mismo. Se tomara como sistema de referencia del manipulador siguiendo la notación Denavit-Hartenberg (1955). Método Denavit-Hartenberg El problema de la cinemática directa se reduce a encontrar la

20 32 matriz de transformación homogénea (T) que relacione la posición y orientación del extremo del robot respecto a su sistema de referencia fijo (base del robot). La matriz T está en función de los parámetros de las articulaciones del robot. Para un robot de n grados de libertad tenemos. X= f x (q 1, q 2,q 3, q 4,.q n ) Y= f y (q 1, q 2,q 3, q 4,.q n ) Z= f z (q 1, q 2,q 3, q 4,.q n ) a= f a (q 1, q 2,q 3, q 4,.q n ) ß= f ß (q 1, q 2,q 3, q 4,.q n )? = f? (q 1, q 2,q 3, q 4,.q n ) Donde: q 1 n = Son las variables de las articulaciones. Para articulaciones revolutas las variables son ángulos. Para articulaciones prismáticas las variables son distancias. x, y,z = Coordenadas de la posición del extremo del robot. a, ß,? = Ángulos de la orientación del extremo del robot. Debido a que el sistema explicado anteriormente solo podía ser utilizado sin que fuera complicado para manipuladores de dos (2) grados, Denavit y Hartenberg (D-H) en 1955, propusieron un método matricial, este método establece en forma sistemática un sistema coordenado para cada elemento de la cadena cinemática, es decir, con este método se pretende identificar los parámetros que describen un eslabón y los que describen la conexión entre eslabones. La representación de D-H da como resultado una matriz de transformación homogénea 4x4 que

21 33 representa cada uno de los sistemas coordenados de los elementos en la articulación con respecto al sistema de coordenadas del elemento previo. Mediante transformaciones secuénciales, el efector final se puede expresar en las coordenadas de la base que constituye el sistema inercial. Según la representación propuesta se escoge los sistemas de coordenadas asociados a cada par, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del par. Estos parámetros se definen para representar las relaciones de traslación y rotación en los enlaces adyacentes y se identifican como: longitud del eslabón o distancia medida a lo largo del eje X i (a i ), ángulo de torsión del eslabón o ángulo entre Z i-1 y Z i medido en torno al eje X i entre la intersección de los ejes X i y Z i-1 y el origen {S i } (a i ), offset del eslabón o distancia medida a lo largo de Zi-1 entre el origen del {Si-1} y la intersección de los ejes X i y Z i-1 (d i ) y el ángulo de la unión o ángulo entre X i-1 y X i, medido en torno a Z i-1 (? i ).????????????????????????????????????? donde i= número de eslabones y? = transformada homogénea. Para que la matriz A i i-1 se relacione con los sistemas de coordenadas O i y O i-1 es necesario que los sistemas de coordenadas se determine n mediante los siguientes pasos: 1- Numerar y etiquetar el eslabón fijo (base) como Numerar y etiquetar los eslabones móviles desde 1 hasta el n eslabón móvil.

22 34 3- Localizar y numerar el eje de cada articulación y etiquetarla comenzando desde z 0 hasta z n-1. Si la articulación es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si la articulación es prismática, el eje será a lo largo del cual se produce el desplazamiento. Para establecer el sistema de coordenadas de base: 4- Establecer el sistema coordenada de la base estableciendo el origen como O 0 en cualquier punto de Z 0. Arbitrariamente establecer los ejes X 0 y Y 0 respetando la regla de la mano derecha. Para establecer los sistemas coordenados de las demás articulaciones. 5- Localizar el origen O i. - En la intersección del eje Z i con la línea normal común a la intersección de Z i y Z i-1. - En la intersección de Zi y Zi-1, si es que Zi y Zi-1 se interceptan. - En la articulación i, si Z i y Z i-1 son paralelos. 6- Establecer X i. - A lo largo de la línea normal común entre los ejes Z i y Z i-1 que pasa por O i. - En la dirección normal al plano formado por Z i y Z i-1, si es que estos dos ejes se interceptan. 7- Establecer Y i de acuerdo a la regla de la mano derecha. Para realizar el establecimiento del sistema coordenado de la herramienta. 8- localizar el sistema coordenado n-ésimo en el extremo del robot.

23 35 Si es una articulación rotacional, establecer Z n a lo largo de la dirección Z n-1 y establecer el origen O n de la manera que más convenga a lo largo de Z n preferente en el centro de la pinza o la punta de cualquier herramienta que el robot tenga montada. 9- Establecer X n y Y n de acuerdo a la regla de la mano derecha. Si la herramienta es una pinza, es común establecer el eje Y n entre los dedos de la pinza y X n será orto normal a Z n y Y n. Por último, obtener las Matrices de Transformación Homogéneas. 10- Crear una tabla con los parámetros D-H de los eslabones: Eslabón i????? i?? Realizar la matriz D-H de transformación homogénea A i i-1 para cada eslabón de acuerdo a los datos de la tabla del punto anterior. 11- Obtener la matriz de transformación que relacione el sistema coordenado de la base con el sistema coordenado del extremo del robot, resultando en la posición y orientación del sistema coordenado de la herramienta expresada en coordenadas de la base.???????????????? Las cadenas cinemáticas se describirán indicando los cuatro parámetros de D-H de las articulaciones. En la primera articulación de la cadena, el valor de los parámetros a 0, a 0, es arbitrario y se toma como

24 36 cero. Si la articulación es de rotación, el parámetro d i correspondiente se considera también cero. Cuando la articulación es prismática, el parámetro? i se hace igual a cero. Así, la variable de una articulación i de rotación se representara mediante el ángulo? i y la de una prismática mediante el desplazamiento d i. Los otros dos parámetros de la articulación son la distancia a i-1 entre el eje de la articulación i-1 y el eje de la articulación i, medida sobre la línea perpendicular común, y el ángulo a i-1 entre estos dos ejes (ángulo entre las proyecciones de los dos ejes en un plano cuya normal es la perpendicular común), medido como rotación alrededor de la perpendicular común hasta hacer coincidir las direcciones de los ejes. Cuando el eje i-1 y el i interceptan, el valor del parámetro a i-1 es cero. Método de Euler Otra manera de determinar la cinemática directa es utilizando el método de Leonhard Euler. Para llevar a cabo la evaluación del diseño cuando se presenta un ángulo de rotación se utilizara lo que se llama como ángulos de Euler, este científico propuso que se podría emplear una secuencia especifica de rotaciones para especificar la orientación de un cuerpo rotando con respecto a un punto fijo. Para explicar cómo se llevo a cabo esta serie de ecuaciones se tomara en cuenta el experimento del científico F. Klein que estudio el movimiento de un trompo pesado. En la figura 15 se muestran los movimientos del experimentó de Klein y como fue analizado por Euler. Primeramente se considera un ángulo F con respecto al eje Z, y se emplea la regla de la mano derecha,

25 37 para emplear de esta manera la regla de la mano derecha y rotación positiva. Esto sigue con una rotación? con respecto al eje X en el que empleo nuevamente la regla de la mano derecha. Figura 15. Método de Euler secuencia ( Z, X ). Fuente: Soutas (2008). De esta manera, se demuestra la orientación de un cuerpo en el espacio se puede definir en términos de transformaciones rotacionales ortogonales sucesivas, definidas por las siguientes transformaciones:???????? [????????????????? El 1 en la diagonal corresponde al coseno del ángulo entre los ejes Z y Z lo que indica que hay una rotación con respecto al eje Z. Los otros elementos en la misma fila o columna son cero ya que la suma de los cuadrados de los elementos de cualquier fila o columna de una matriz de transformación de rotación ortogonal debe ser igual a uno. Por otro lado, la segunda transformación de las coordenadas (X,Y,Z ) a las coordenadas (X,Y,Z ) es una rotación con respecto al eje X y está

26 38 dada por la siguiente matriz.??????????????????????????? Quedando de esta manera explicado cómo se lleva a cabo el análisis de los ángulos de rotación Cinemática Inversa El objetivo que se alcanza mediante el estudio de la cinemática inversa, permite formular expresiones que permiten determinar los valores adoptados por las coordenadas articulares del manipulador, para que su extremo se posicione y se oriente según una determinada localización espacial. Para ello se ha utilizado una resolución no sistemática, ya que la misma depende de la configuración del robot y en consecuencia pueden existir múltiples soluciones, por lo que se ha planteado una solución cerrada basada en relaciones geométricas. Determina los valores de las articulaciones que satisfagan condiciones deseadas de posición, velocidad o aceleración en el espacio. Para resolver el problema de encontrar los ángulos de articulación requeridos para colocar la trama de la herramienta??? relativa a la trama estación??? se divide en dos partes. Primero se realizan transformaciones de trama para encontrar la trama de la muñeca??? relativa a la trama base??? y después se utiliza la cinemática inversa para resolver de esta manera los ángulos de articulación.

27 Método de la Jacobiana El jacobiano es una forma multidimensional de la derivada. También puede usar notación vectorial para escribir estas ecuaciones:?????? Considerada de otra manera esta notación se puede denotar como:????????? Es decir, las Jacobianas son transformaciones lineales que varían en el tiempo. En el campo de la robótica el método jacobiano se utiliza para relacionar velocidades de articulaciones con velocidades cartesianas en la punta del brazo, es decir, a través de la Jacobiana directa se conoce lo relacionado con las velocidades del extremo del robot, conociendo como base las velocidades de cada articulación, por otro lado, la Jacobiana inversa obtiene las velocidades articulares si se conoce la velocidad del extremo del robot cada una se analiza tomando en cuenta las ecuaciones características de la cinemática directa y inversa Sistema de Coordenadas Serway (2008) para definir el sistema de coordenadas primeramente se definirá la posición de un punto en el espacio, lo cual se hace por medio de coordenadas. Un punto en una recta se puede localizar con una coordenada, un punto en un plano se localiza con dos coordenadas y tres coordenadas se requieren para localizar un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas para especificar ubicaciones en el

28 40 espacio consta de un punto fijo de referencia 0 llamado origen. Un conjunto de ejes especificados, o direcciones, con una escala apropiada y leyendas en los ejes. Instrucciones que nos digan como marcar un punto en el espacio con respecto al origen y ejes. Un sistema de coordenadas cómodo que se utiliza con frecuencia, es el sistema de coordenadas cartesianas o a veces llamado coordenadas rectangulares. Para localizar un punto en el espacio se utiliza las coordenadas polares planas (r,?) en este tipo de coordenadas se selecciona un punto en el origen y una línea de referencia, donde se especifica entonces la distancia r del origen al punto y el ángulo? entre la línea de referencia y una línea trazada del origen al punto (frecuentemente se considera como línea de referencia el eje x positivo de un sistema de coordenadas cartesianas). El ángulo? se considera positivo cuando se mide en sentido contrario al giro de las agujas del reloj y negativa en sentido contrario desde la línea de referencia. 3- Definición de Términos Básicos A continuación se definen los términos que se consideran son importantes para el mejor entendimiento del proyecto de investigación: Angulo: Stanley (1998) es la unión de dos rayos no colineales, los cuales tienen el mismo extremo. Articulaciones: Larousse (2007) es la unión entre dos piezas rígidas que permite cierto movimiento entre ellas.

29 41 Conexión: Larousse (2007) es la acción de conectar un aparato, una máquina u otro sistema eléctrico a su fuente de energía o dos aparatos o partes de un sistema eléctrico entre sí. Diseño: Larousse (2007) define diseño como la actividad creativa que tiene por fin proyectar objetos, tipografías, logotipos, etc. para después fabricarlos. Eje: Larousse (2007) es una barra cilíndrica que atraviesa un cuerpo giratorio y le sirve de sostén en un movimiento libre o le transmite una energía mecánica de giro. Función: Stewart (2010) una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto de dominio (D), exactamente un elemento, llamado f(x) que es el valor de f en función de x, de un conjunto E. Jacobiano: Larousse (2007) es la matriz que describe la relación entre la velocidad de las articulaciones y el efector final. Máquina: Larousse (2007) define la maquina como un conjunto de piezas acopladas entre sí que transforma una forma de energía en otra para hacer un trabajo determinado. MATLAB: Gilat (2005) MaTrix LABoratory, "laboratorio de matrices" puede ser utilizado en computación matemática, modelado y simulación, análisis y procesamiento de datos visualización y representación de gráficos, así como para el desarrollo de algoritmos. Método de Gauss: Campos (2003) consiste en obtener un sistema equivalente a partir de una matriz dado, utilizando operaciones

30 42 fundamentales en los renglones de la matriz ampliada, con el propósito de llegar a una matriz triangular superior donde la diagonal está formada por la identidad. Método de Gauss-Jordán: Campos (2003) es una modificación de la matriz de Gauss consiste en transformar a la matriz de coeficientes en la matriz identidad, lo que cual evita que se realice una sustitución hacia atrás, ya que las soluciones son directas. Piezas: Larousse (2007) cada una de las partes que, unidas con otras, forman un objeto. Puede referirse a un objeto intangible o abstracto. Es un elemento individual considerado generalmente indivisible. Robot: López (1995) es un manipulador reprogramable y multifuncional diseñado para mover material, partes, herramientas o dispositivos especializados mediante movimientos programables variables para ejecución de diversas tareas. Traslado: Larousse (2007) significa cambiar objetos o cosas de un lugar. Movilizar de un lugar a otro una pieza u objeto. Vínculo: Larousse (2007) es hacer que una cosa dependa de otra, es decir, es utilizado para interconectar dos o más objetos. 4- Sistema de Variables El Sistema de Variable estará definido por medio de su forma conceptual y operacional con el fin de representar las diferentes condiciones en las que los objetos de estudio serán asumidos desde el inicio de la investigación, a continuación se muestran las dos (2)

31 43 variables que corresponden a las más significativas para realizar dicho proyecto investigativo: Modelo Matemático y Manipulador Robótico Modelo Matemático Concepto Stewart (2010) define que el modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia por medio de una función o una ecuación) de un fenómeno real como lo es el tamaño de una población, la demanda para un producto, la rapidez de un cuerpo en caída, la concentración de un producto en una reacción química, entre otros. El propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá hacer predicciones acerca de su futuro comportamiento. Un modelo matemático, nunca es una representación completamente precisa de una situación física: es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad suficiente para permitir cálculos matemáticos pero es bastante preciso como para dar conclusiones valiosas Definición Operacional El modelo matemático se desarrollará tomando en cuenta la dimensión de este proyecto el manipulador robótico y considerando que los indicadores del mismo, está formado por los elementos y las características que esté posee, es decir, el modelo se determinara considerando la estructura, las trayectorias y ángulos de movilidad del

32 44 manipulador robótico de tres ejes. De igual forma, será desarrollado por medio del estudio analítico de la geometría del movimiento del manipulador, utilizando como procedimientos esenciales la cinemática directa e inversa. Para entender el procedimiento, es importante identificar los elementos que conforman al manipulador robótico, considerando las articulaciones y los grados de movilidad (área de trabajo) que esté presente, ya que de esta manera, se puede idealizar con mayor exactitud, las ecuaciones matemáticas que lo conforman, aspecto fundamental para desarrollar el objetivo principal de esta investigación.