FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

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1 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA María Rosa Rodríguez de Estofán, Jesús Alberto Zeballos Universidad Nacional de Tucumán. (Argentina) marosarodriguez@arnet.com.ar, jesuszeballos@tucbbs.com.ar Palabras clave: Sistemas, Paradojas, Consistencia, Completitud Keywords: Systems, Paradoxes, Consistency, Completeness RESUMEN En este curso corto se discurre sobre el objeto, metodología, deductibilidad y validación de los conocimientos matemáticos.seexponelainterrelacióndetresámbitos:ontológico,lingüísticoylógicobformal,sistematizadosen tres grandes líneas: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo. Se desarrolla la historia de la Geometría para mostrarquelosfundamentosdelespaciogeométricosonindependientesdelespaciofísico,talcomoapareceenlas Geometrías euclideanas y no euclideanas. Como cualquier sistema axiomático que contenga a la aritmética elementalderivaenparadojas,secompruebanlosmetateoremasdelaconsistenciaylacompletitud,desarrollados porgödel. ABSTRACT In this short course, it discourses on the purpose, methodology, deductibilidad and validation of mathematical knowledge.theinterrelationshipofthreeareasisexposed:ontological,linguisticandsubsumptive,systematizedon threemainlines:thelogicism,formalismandtheintuitionism.thehistoryofgeometryisdevelopedtoshowthatthe fundamentalsofgeometricspaceareindependentofthephysicalspace,asitappearsinthegeometrieseuclideanas andnoteuclideanas.asanyaxiomaticsystemthatcontainsbasicarithmeticleadstoparadoxes,themetateoremas ofconsistencyandcompleteness,developedbygödelarechecked. 154

2 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Introducción El marco teórico que contiene las digresiones de este curso está constituido por las teorías de los universalesdenominadastradicionalmentecomorealismo,idealismoynominalismo.lametodologíaya supuestaenlafilosofíadelamatemáticaasumedosperspectivas:ladeterminacióndelcampoobjetivo a través de la precisión de sus conceptos y el establecimiento de reglas rigurosas que precisen las relacionesdedeductibilidadentresusproposiciones.laprimeradeestastareasserefierealadefinición delostérminosylasegunda,alaconstruccióndepruebaslógicasdedemostración.aquíconfluyenla Matemática,laLógicaylaFilosofíadelaMatemática,cuyaconjunciónconstituyepartesustancialdelo queenlaactualidadsedenomina EpistemologíadelaMatemática. ExisteunamuysignificativaintersecciónentrelaEpistemología,laFilosofíadelaMatemáticaylaLógica Matemática. Las dos primeras, no son íntegramente formales y abstractas; sus enunciados y argumentacionesseconstruyenconayudadellenguajenatural.laúltimaesunainterpretaciónformal delosprincipiosydemostracionesdelamatemática,quealgunosautoresdenominanmetamatemática. LaEpistemologíaesunametateoríaacercadelasteoríascientíficas.Reflexionasobre:ladeterminación desuobjeto,sumetodología,larelaciónlógicadesusenunciados(sintaxis),lamaneraenquevalidasus conocimientos(semántica)ysuusoeinterpretaciónenlacomunidadcientífica(pragmática). La Filosofía de la Matemática se interesa en su fundamentación y se interroga acerca de ciertas cuestiones filosóficas como: En qué consiste? Acerca de qué trata? Cómo se puede acceder al conocimientomatemático? Cómoselopuedejustificar? Dequémaneraselopuedeampliar? El hilo( conductor del curso consiste en señalar los alcances y limitaciones de las respuestas a las preguntas,quecaracterizanlasdiversasconcepcionesdelamatemática: CuatropreguntasacercadelaMatemática Carácter 1.B De(qué(habla(la(Matemática? Ontológico.( 2.B Por(qué(creer(en(la(Matemática? Epistemológico( 3.B( Cómo(se(investiga(en(Matemática? Metodológico( 4.B Cuál(es(la(relación(entre(Matemática(y(realidad? Pragmático( PitágorasdeSamos(c.582 c.500a.c.)matemático,filósofo,político,músico,fundóunaescuelade cortemística.puedeserconsideradounodelosprimerosracionalistasdelahistoria. RespuestasdelaconcepciónmatemáticadePitágoras: 1. Ademásdelmundoempírico,hayunarealidadquelotrasciendeyaellapertenecenlosnúmerosy otrosobjetosmatemáticos. 2. Elconocimientodelosobjetosmatemáticosprovienedeunaintuición(intelectual.( 3. Lainvestigaciónseejercitadesarrollandolasfacultadesintelectuales:intuiciónyrazón. 4. Larealidadsevinculaconlosentesmatemáticospormediodeunasuertedeisomorfismoestructural (Boyer,1999). 155

3 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR La Epistemología y la Filosofía de la Matemática, junto con la Lógica Matemática persiguen el ideal matemático:lafundamentaciónyelesclarecimientodelademostración. EnrelaciónalplanológicoBformaldeladeduccióndelosteoremas,sehanseñaladoparadojassurgidas delaconstruccióndesistemasenlafundamentacióndelasteorías. Paradojasignifica másalládelocreíble yesunconceptofilosóficoparanombrarasituacionesque resultancontradictorias,peroqueseconsideranvalidasoreales. Unaparadoja(delgriegoparadoxa)esunaideaextrañaopuestaaloqueseconsideraverdaderooala opinión general. En otras palabras, es una proposición en apariencia verdadera que conlleva a una contradicciónlógicaoaunasituaciónqueinfringeelsentidocomún.unaparadojaesuncontrasentido consentido. Lasparadojasseclasificanenlógicas,matemáticasysemánticas. Ejemplodeparadoja(lógica:Laparadojadelaimplicaciónmaterial. Cómo de una proposición falsa se puede deducir una proposición verdadera y cómo una proposición verdaderapuedeserinferidatantodeunafalsacomodeunaverdadera. p q ~(p.~q)(frege,1974). Ejemplodeparadojamatemática:ParadojadeRussell: El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros. Consta de elementosquenosonmiembrosdesímismos.unejemplodescritoeselquesuponeunconjuntoque constade"ideasabstractas".dichoconjuntoesmiembrodesímismoporqueelpropioconjuntoesuna ideaabstracta,mientrasqueunconjuntoqueconstade"libros"noesmiembrodesímismoporqueel conjuntoensínoesunlibro.laparadojaconsisteenquesinoformapartedesímismo,perteneceal tipodeconjuntosquenoformanpartedesímismosyporlotantoformapartedesímismo.esdecir, formarápartedesímismosólosinoformapartedesímismo. Llamemos al"conjuntodetodoslosconjuntosquenosecontienenasímismoscomomiembros".es decir ={x:x x} SegúnlateoríadeconjuntosdeCantor,sepuededecir xxє x x esdecir"cadaconjuntoeselementode síysólosinoeselementodesímismo". Ahora,envistadeque esunconjunto,sepuedesubstituirxpor enelenunciado,dedondese obtiene Є (Russell,1919). esunelementode síysólosi noesunelementode,locualesabsurdo. Ejemplo de paradoja( semántica:( Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos".sabiendoqueélmismoeracretense, decíaepiménideslaverdad? 156

4 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Actividad1:Darejemplosdeparadojasdelavidarealydematemática. Suelenpresentarsefrasesqueparecenparadojasquedicenmuchosobrelavidaengeneral,peronolo son.estassellamanpseudoparadojas( 1. Elsilencioeselgritomásfuerte. 2. Sufrimosporlopocoquenosfaltaynogozamoslomuchoquetenemos. 3. Quiensabemuchoescucha,quiensabepocohabla,quiensabemuchopreguntayquiensabepoco sentencia. 4. Elhombrebuscarespuestasyencuentrapreguntas. 5. Elcorazóntienerazonesquelarazónnoentiende. 6. Latecnologíanosacercaalosmáslejanosynosdistanciadelosmáspróximos. 7. Sideseasquealguientehagauntrabajo,pídeseloalqueesteocupado,yaqueelqueestasinhacer nadatediráquenotienetiempo. 8. Mientrasestamosmejorquenunca,nosencontramosprofundamenteinsatisfechos. 9. Lamejorimprovisacióneslaadecuadamentepreparada. 10. Cuantomásdamosmasrecibimos. Actividad2:DecidirsisonPseudoparadojasoParadojasauténticas. 1. Sienunapeluqueríavemoselcartel:"yoafeitoaquienesnoseafeitanasímismos,ysolamentea estos" quiénafeitaalbarbero? 2. Sealafrase:"Estafraseesfalsa.".Silafraseesfalsa,esfalsoque"Estafraseesfalsa.",esdecir,la fraseesverdadera.siencambiolafraseesverdadera,esciertoque"estafraseesfalsa.",esdecir,la fraseesfalsa. 3. ParadojadeZenóndeElea:Aquilesyunatortugajueganunacarrera.Ladistanciaarecorreresde200 m.comoaquilescorre10vecesmásrápidoquelatortuga,arreglanqueledará100mdeventaja. Aquilesempiezaacorreryavanzalos100mquelediodeventajaalatortuga.Peroenesetiempo,la tortuga ya avanzó 10 m, de modo que todavía lo aventaja. Cuando Aquiles recorre esos 10 m, la tortugayaavanzo1mmás.aquilessiguecorriendoyavanzaesemetro,perolatortugaenelmismo tiempoyahaavanzado10cm.asísiguencorriendo,sinqueaquilespuedaalcanzarnuncaalatortuga (Lakatos,1978). Lasparadojasseresuelven,peronolasantinomias. Antinomia(delgriegoanti,contraynomos,ley)esuntérminoempleadoenlalógicaylaepistemología que,ensentidolaxo,significaparadojaocontradicciónirresoluble. Manuel Kant sostuvo que cuando la razón rebasa la experiencia posible, a menudo cae en varias antinomias; es decir, perspectivas igualmente racionales pero contradictorias. Sostenía que se podía llegar,apartirdelasuposicióndequeelmundotieneuncomienzoeneltiempo,alaconclusióndeque nolotenía,yviceversa. 157

5 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Dehecho,lasantinomiasnotienenencuentalaslimitacionesdealcancedelrazonamientológico,como amenudosecree.estosedebeaquelaconclusióndequehayunalimitaciónsederiva(supuestamente) deunaantinomiaporrazonamientológico;porlotanto,todalimitacióndelavalidezdelrazonamiento lógicoimponeunalimitaciónalaconclusióndequeelrazonamientológicotieneunalimitación(kant, 1770). Elidealdelasistematización En toda la Historia de la Matemática, filósofos, lógicos y matemáticos se interesaron en precisar los conceptos matemáticos, con definiciones claras y distintas, y a construir pruebas rigurosas de demostración.enlossiglosxixyxxseacentúaesteinterés,recurriendoalaabstracciónyformalización del lenguaje matemático. Se obtienen dos efectos: el afinamiento riguroso de los razonamientos matemáticos y el desarrollo de la LógicaBMatemática, que en algunos campos se confunde con la Metamatemática. A partir de entonces, tanto la Lógica como la Matemática se estructuraron en sistemas axiomáticos deductivos,consistentes,completos,decidibleseindependientes.loquesignificaenprimertérminola eliminacióndeparadojasy/ocontradicciones;ensegundolugar,lademostracióncompletadetodoslos teoremasenbasealospropiosaxiomasdelsistema;luego,quecontengaalgoritmosparadeterminarsi unafórmulacualquieradentrodelsistemaesválidaono;yporúltimo,queningunodelosaxiomaso supuestospuedaderivarsecomoteoremaapartirdelosrestantes. PropiedadesyRequisitosdelosSistemasAxiomáticos PropiedadesSintácticas Consistencia CompletitudSintáctica Saturación Independenciadeuna Cuasiproposición DecidibilidadSintáctica Sinopuedehaberenél,alavez,unteorematalquesunegación(tambiénsea teorema. Dada una cuasiproposición cualquiera del sistema, el desarrollo del mismo permitedemostrarlaobiendemostrarsunegación. Sinoexistelaposibilidaddeampliarloconunnuevoaxiomaquenoseateorema delsistemadadonitampocoloseasunegación. Unacuasiproposiciónesindependientedelosaxiomassiellanoesteoremadel sistemanitampocoloessunegación. Si existe un método tal que, para toda cuasiproposición, permite poner en evidenciasiellaesteoremaonoenelsistema. 158

6 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR PropiedadesSemánticas Satisfactibilidad Categoricidad Semántica Completitud Semántica Decidibilidad Semántica Siposeealmenosunmodelo. Sitodossusmodelossonisomórficos. Con relación a todos sus modelos, si toda propiedad que se cumple para todos sus modelospuedeserdemostradaenelsistemacomoteorema. Con relación a un determinado modelo del sistema, si existe un método para poner en evidencia, para toda proposición verdadera en tal modelo, si ella es deducible en el sistemadado. Unsistemaaxiomáticosintácticamentecompletoestásaturado,yviceversa. Si un sistema axiomático es satisfactible, debe ser consistente. Pero no a la inversa (Klimovsky y Boido,2005). Formalizacióngeométrica Desde el siglo III ac se consideró como un modelo de sistema axiomáticobdeductivo a la Geometría euclidiana. Efectivamente, en base a unos pocos principios, que Euclides denomina Postulados y NocionesComunes,sededucentodoslosteoremasdelaGeometría. En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones, 5 postulados y 5 nocionescomunes. Lospostuladosson: I. Unalínearectapuedeserdibujadauniendodospuntoscualesquiera. II. Todarectapuedeprolongarseindefinidamente. III. Dadocualquiercentroycualquierradio,puedeconstruirseuncírculo. IV. Todoslosángulosrectossonigualesentresí. V. Postuladodelasparalelas.Siunalínearectacortaaotrasdos,detalmaneraquelasumadelosdos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas,porelladoenelqueestánlosángulosmenoresquedosrectos. Este últimopostuladotieneunequivalente, que es el más usado en los libros de geometría: Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela (Geometría plana) y un solo plano paraleloaotrodado(geometríadelespacio). 159

7 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR GráficoN 1:Postulados Siempresesospechódelaindependenciadesusaxiomas.Concretamenteelpostulado5ºfuesiempre cuestionado,nodesdeelpuntodevistadesuverdadsinodesuevidenciay,porlotanto,seintentó demostrarlocomoteoremaapartirdeloscuatroaxiomasrestantes. Muchosmatemáticoslograrondemostrarloagregandounanuevasuposición;perotodasresultaronser equivalentesal5topostuladodeeuclides. CabeseñalarquenegandoestepostuladoseobtienenlasgeometríasnoBeuclidianas. GirolamoSaccherideMilán( )matemáticoysacerdotejesuita,publicaellibroEuclides(ab( omni(naevo(vindicatus,(dondedemostrabaporreducciónalabsurdoqueelpostuladodelasparalelasera unaxioma.siaceptamoscomoverdaderoslospostulados1,2,3,4yademáslaverdaddelanegación del 5to, y de allí obtuviésemos una contradicción, ello significaría que el 5to postulado debe ser verdadero,locualbastaríaparaafirmarqueesindependientedelosanteriores. 160

8 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR GráficoN 2:CuadriláteroABCDdeSaccheri: Los(ángulos(C(y(D(son(rectos:DeaquíSaccheridemuestralaverdaddel5topostulado,loqueinvolucra unacontradicciónconelsupuestooriginalquedichopostuladoerafalso. Los(ángulos(C(y(D(son(obtusos:AquíSaccheriarribaalanegacióndelpostulado2,queafirmaquetodo segmentoderectasepuedeprolongarenambasdirecciones. Los(ángulos(C(y(D(son(agudos:AquíSaccherinoarribaaningunacontradicción.Sihubiesecontinuadosus desarrolloshabríasidoelcreadordelaprimerageometríano(euclideana. En la demostración para los ángulos agudos, Saccheri logró demostrar todos los teoremas, fueron absolutamenteconsistentesaunquealgunosteoremasresultaroncontraintuitivos.loqueestimócomo absurdo porque tenía la convicción de que la única geometría verdadera era la euclídea. Saccheri identificabaelespaciogeométricoeuclidianoconelespaciofísico. NofuehastaelsigloXIX,queungrupodematemáticosusaronlareducciónalabsurdo,considerandolas dosnegacionesdel5ºpostulado: 5*BPorunpuntoexterioraunarectanopasaningunarectaparalelaalarectadada. 5**BPorunpuntoexterioraunarectapasandosomásrectasparalelasalarectadada. A partir de los cuatro axiomas de Euclides y una de las negaciones surgían teoremas sin llegar a contradicciónalguna.porlotanto(nacía(un(nuevo(tipo(de(geometría. Enelaño1829,LobachewskyNicolaiIvanovitch(1793B1856)publicóenelKazan(Messenger(unartículo titulado SobrelosPrincipiosdelaGeometría,quemarcaeliniciodelasGeometríasnoeuclideanas.En élsedemuestraqueelpostulado5ºnopodíaserderivadoapartirdelosotroscuatroyconstruyeuna geometríasobreunahipótesisquecontradecíadichopostulado: PorunpuntoCexterioraunarectaAB puede trazarse más de una recta contenida en el plano ABC que no corta a la recta AB. Con este postulado dedujo una teoría geométrica consistente, sin contradicciones lógicas. Pero esta geometría parecíatanopuestaalsentidocomúnqueelmismolobachewskylaconsideróungedanke(experiment(y ladenominó GeometríaImaginaria. 161

9 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR RiemannGeorgFriedichBernhard(1826B1866)noseinteresósóloenlacuestióndecuántasparalelas podíantrazarseporunpuntoexterioraunarecta.sosteníaquelageometríanonecesariamentedebiera referirse a puntos, rectas y otros conceptos espaciales. Entre las reglas más importantes está la métrica adefinir,quedeterminaráapriorilaspropiedadesdelespacioaconsiderar.unmodelodela geometríariemanniana,porejemplo,tomaal plano comolasuperficiedeunaesferayuna línearecta comolacircunferenciadeuncírculomáximoendichaesferayenestecasolasumadelosángulosdeun triánguloessiempremayorquedosrectos. LobachevskyyanteriormenteelalemánGauss(1777B1855),juntoconBolyaiconcibieronunavariedad de Geometría no Euclideana, a partir de la negación del 5to postulado, llamada hiperbólica,( que se correspondeconlasuposicióndelosángulosagudosdesaccheri.estanuevageometríapresuponeque por( un( punto( exterior( a( una( recta( pasa( más( de( una( paralela.( En contraposición, Bernhard Riemann presuponequepor(un(punto(exterior(a(una(recta(no(pasa(paralela(alguna.(estageometríanoeuclideana, fuedenominadaelíptica.( Las Geometrías no Euclideanas confirmaron que un sistema geométrico axiomático es válido por su consistencialógicainternaaunquesearribena teoremascontraintuitivos. LaGeometríasupuestaenlamecánicanewtonianaeseuclideanaoparabólica. LaGeometríasupuestaenlateoríadelarelatividadesriemannianaoelíptica. La Geometría supuesta en los modelos del alemán Felix Klein ( ) y del francés Henri Poincaré( )esdeLobachevskyohiperbólica. GráficoN 3:TriángulosenlasDistintasGeometrías Estosnosontriángulos,susladosnoson"rectos"Efectivamente,nosontriánguloseuclídeosy nohay maneraderepresentarestageometríaelconceptodedistanciayelderectahancambiadoconelpaso aunageometríanoeuclídea(caminocañón,1993). Inconsistenciasdelasistematización En1931,aparecióenlarevistaMonatshefte(für(Mathematik(und(PhysikunartículoconeltítuloUber( formal( unentscheidbare( Sätze( der( Principia( Matemática( und( verwandter( Systeme (Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Matemática y Sistemas afines) que es imposible demostrar la 162

10 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR completitudylaconsistenciadeunsistemaaxiomático.suautorfuekurtgödel(1906b1978)matemático austríacoradicadoenusa. Gödeltomalaexpresión,digamosa(aritmetizadaporundeterminadonúmerogödeliano,queenuncia queellamismanoesdemostrabledentrodelsistema.delaautoreferenciadea((seinfierequenose puededemostrara(nitampocosunegación.conlocualsepruebalógicamentelaincompletitudde cualquier sistema que contenga la aritmética elemental y que es imposible deducir una fórmula que pruebelaconsistenciadelsistema. Primer Metateorema de Gödel: Cualquier( sistema( axiomático( que( contenga( a( la( aritmética( (Peano,( Zermelo,(Principia(Matemática,(etc.)(es(incompleto.( Segundo Metateorema de Gödel: Ningún( sistema( axiomático( que( contenga( a( la( aritmética( (Peano,( Zermelo,(Principia(Matemática,(etc.)(puede(demostrar(su(propia(consistencia.( Conclusión:Sielsistemaesconsistentenoescompletoysiescompletonoesconsistente(Gödel,1931). Actividad:Construirlasdemostracionesdelosdosmetateoremas. Conclusiones EldesarrolloformalyabstractodelaMatemáticacobragranrelevanciaenelsigloXIX,enfatizandola Fundamentación( de( la( Matemática para dotarla de rigor metodológico, epistemológico y filosófico; exigenciaqueperdurahastanuestrosdías. Laspropiedadesmásrelevantesdeunsistemasonlaconsistenciaylacompletitud.Desdeunpuntode vistaaxiomáticonosepuededemostrarsimultáneamentesuconsistenciaycompletitud,peroalmenos sepuedesuponerhipotéticamentesuconsistencia,acentuandolaimportanciadelascienciasfácticas, dondelamatemáticasiguesiendoimprescindible. Alasintaxis,sedebeagregarunasemánticaquetienequeverconelsignificadodelasreglasoperativas yunapragmática,queesclareceloapropiadodesuinterpretación. ComososteníaPoincaré,lossistemasformalesnosonestériles,yaqueengendranparadojas.Enesta constituciónparadojaloantinómicadelossistemasformalesseocultaeldinamismoyelespíritucreador delamatemática.permiteafirmarqueelquehacermatemáticonosóloesdescubrimientoeinvención, sinotambién,retroalimentación. Unaalternativadesoluciónalproblemadelaconsistenciaylacompletitudpodríaseranalizadaporla LógicaDialéctica,queasumelasignificacióndelasparadojascomounmotorquedinamizaelprogreso delsabermatemático 163

11 SECCIÓN 1 ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Referenciasbibliográficas Boyer,C.B.(1999)Historia(de(la(Matemática.Madrid:Alianza. Camino Cañón, L. (1993) La( Matemática( Creación( y( Descubrimiento. Madrid: Universidad Pontificia Comillas. Frege,G.(1974)Escritos(LógicodSemánticos.(Madrid:Tecnos. Gödel,K.(1981)Obras(Completas.(Madrid:Alianza. Kant,M.(1770).Kritik(der(reinen(Vernunft.Könisberg:Verlag. Klimovsky, G. y Boido, G. (2005) Las( Desventuras( del( Conocimiento( Matemático. Buenos Aires: abz Editora. Lakatos,I.(1978)Pruebas(y(Refutaciones.(Madrid:Alianza. Russell,B.(1967)Los(Principios(de(la(Matemática.(Madrid:EspasaBCalpe. 164