Qué son las Matemáticas? Una introducción a la Filosofía de las Matemáticas. Santiago A. Cárdenas Martín

Transcripción

1 Qué son las Matemáticas? Una introducción a la Filosofía de las Matemáticas. Santiago A. Cárdenas Martín

2 Qué son las Matemáticas? El diccionario de la RAE nos dice: matemática. (Del lat. mathematĭca, y este del gr. τ ὰ μαθηματικ ά, der. de μάθημα, conocimiento). f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing. ~s aplicadas. f. pl. Estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos. ~s puras. f. pl. Estudio de la cantidad considerada en abstracto.

3 Las Matemáticas como ciencia. Las Matemáticas no utilizan el método científico. En ese sentido, no son una ciencia. Hay quien las define como una ciencia deductiva, ya que se utiliza la deducción como herramienta para obtener resultados, frente a la inducción del método científico. Las teorías matemáticas pueden ser más o menos útiles o adecuadas, pero una vez probadas, no son discutibles.

4 Qué tipo de cosas estudian las Matemáticas? Las Matemáticas identifican y estudian patrones abstractos de comportamiento. Se inventan objetos matemáticos abstractos para representar estos patrones y Teorías Matemáticas que desarrollan el comportamiento de estos objetos. En un primer nivel se identifican estos patrones en la naturaleza y se crean las correspondientes teorías. En un segundo nivel, se identifican patrones dentro de las propias Teorías Matemáticas y dan lugar a nuevas teorías.

5 Ejemplos: La Aritmética y la Geometría. Podemos crear una teoría que sea la Aritmética de gavillas de trigo. Y otra teoría que sea la Aritmética de vacas. Enseguida nos daremos cuenta de que hay un patrón similar de comportamiento entre ambas teorías y podemos crear la aritmética, dónde manejaremos unos objetos abstractos llamados números. De igual manera, crearemos la geometría, con cuadrados, triángulos, etc.

6 Buscando patrones en Aritmética... Podemos observar que la suma es una operación que a partir de dos números reales genera otro número real y que tiene ciertas propiedades. De igual manera, observamos que la multiplicación es una operación análoga. Ambas son operaciones asociativas, conmutativas, tienen un elemento neutro y elemento simétrico, si consideramos la multiplicación sin el cero.

7 ... y en Geometría. En Geometría, cuando estudiamos las transformaciones de cualquier figura geométrica como un triángulo, nos damos cuenta que podemos pensar en una operación abstracta que consiste en componer dos transformaciones.

8 La teoría de Grupos. A partir de estas observaciones, podemos inventar un nuevo objeto que generaliza estos comportamientos, llamado Grupo. Un Grupo es un conjunto dotado de una operación interna que es asociativa, tiene elemento neutro y elemento simétrico. El estudio abstracto de estos grupos da lugar a la Teoría de Grupos y todo lo que averigüemos sobre ellos, será de aplicación a todos los grupos que nos encontremos en otras teorías matemáticas.

9 El método axiomático Los objetos matemáticos siempre son objetos abstractos, nunca son objetos reales y para definirlos de manera rigurosa, tendremos que partir de objetos previamente definidos o bien, axiomatizar su comportamiento. Los axiomas son reglas de comportamiento de unos objetos matemáticos, que precisan todo lo que podemos utilizar sobre dichos objetos. Si no definimos los objetos matemáticos con conceptos previos, simplemente serán algo que verifica esos axiomas.

10 Las teorías Matemáticas. Un Sistema o Teoría Matemática está formada por un conjunto de axiomas. A partir de estos axiomas, podremos de manera deductiva, obtener otros resultados, a los que llamaremos teoremas. Si en cualquier modelo del mundo real o en cualquiera otra Teoría Matemática aparece un objeto que verifica los axiomas de la Teoría que hemos creado, podremos aplicar todos sus resultados.

11 Ejemplo: Los axiomas de Peano es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío. 2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural, llamado el sucesor de a no es sucesor de ningún número natural. 4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son iguales, entonces a y b son números naturales iguales. 5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

12 La Aritmética axiomatizada. Los axiomas de Peano recogen el comportamiento de los números naturales y de la función sucesor. No definimos lo que es un número natural, ni la función sucesor, pero decimos como se comportan. Pero a partir de sólo estos axiomas podremos definir de manera rigurosa los conceptos de suma, multiplicación, etc. y demostrar teoremas, como 2+2=4. De esta manera creamos una Teoría Matemática (la Aritmética) que es aplicable en muchísimos contextos.

13 Ejemplo: Los axiomas de Euclides de la Geometría. 1. Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección. 3. Se puede trazar una circunferencia que tenga su centro en cualquier punto y con cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y fue enunciado más tarde también de la siguiente manera: por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela).

14 Uso de la Geometría Euclídea. Los axiomas de Euclides, aunque imprecisos para nuestro punto de vista actual, axiomatizan el comportamiento de los puntos y rectas. Con sólo esos axiomas podemos demostrar muchísimas cosas. Los puntos y rectas de los axiomas de Euclides son objetos abstractos y como tales constituyen una teoría matemática. Hay una evidente correspondencia de esta teoría con la geometría física que nos rodea. Podemos utilizar esta correspondencia en cualquier sitio dónde se verifiquen los axiomas.

15 Geometría no-euclídea elíptica. Si cambiamos el quinto axioma por la alternativa: Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta que no la corte también obtenemos una teoría matemática válida. Esta geometría no-euclídea es una nueva teoría matemática que corresponde a la superficie de una hiper-esfera, y que puede que sea la geometría del Universo.

16 Geometría Hipérbolica. Y si cambiamos el quinto axioma de Euclides por la alternativa: Por un punto exterior a una recta siempre pasa más de una recta que no la corta también obtenemos una teoría matemática válida, que en este caso es la geometría Hiperbólica.

17 Las Matemáticas son el estudio de sistemas matemáticos. Desde el punto de vista formal, podemos decir que las Matemáticas son el estudio de las Teorías (o sistemas) Matemáticas. Recordemos que cada Teoría Matemática no es otra cosa que un conjunto de axiomas y todo el desarrollo de teoremas a partir de estos axiomas. Las teorías contendrán definiciones axiomáticas (un objeto x es algo que verifica estos axiomas) o definiciones rigurosas a partir de conceptos previamente definidos en la teoría.

18 Matemáticas: Creatividad y Rigor. Vemos que en las matemáticas se combinan dos facetas en apariencia opuestas. Por una parte la creatividad y el ingenio, para observar, buscar patrones e inventar nuevas teorías. Con una buena parte de búsqueda de la belleza. Y por otra parte, Es indispensable construir las Teorías Matemáticas con un absoluto rigor, sin dejar ningún detalle sin demostrar.

19 La Lógica. Desde los tiempos de Aristóteles, muchos filósofos se han preocupado de estudiar la manera en la que razonamos. Las Matemáticas son, sin lugar a dudas, el campo en el que los razonamientos son más puros y precisos. Por eso, la Lógica es tan importante en la sistematización de las Matemáticas.

20 El lenguaje de la Lógica. La Lógica nos proporciona un lenguaje absolutamente preciso en el que escribir las sentencias matemáticas. Aunque un matemático pueda utilizar expresiones de lenguaje cotidiano para expresar una afirmación matemática, siempre sabrá escribirla de manera precisa utilizando el lenguaje de la Lógica.

21 Qué es una demostración matemática? Una vez que expresamos los axiomas de una Teoría Matemática con el lenguaje de la Lógica, una demostración es una secuencia de transformaciones sobre estos axiomas, para producir una nueva sentencia a la que llamamos Teorema. La Lógica nos dice que tipo de transformaciones son válidas en el transcurso de una demostración. En la práctica, una demostración matemática se expresa con una mezcla de lenguaje formal y lenguaje cotidiano, para hacerla legible, pero un matemático siempre será capaz de traducirla a un lenguaje lógico.

22 El estudio matemático de la Lógica. La Lógica esta formada por objetos abstractos (axiomas y teoremas) y reglas para transformarlas. Enseguida nos damos cuenta de que la Lógica es susceptible de ser estudiada de manera matemática. Es decir, podemos hacer una Teoría Matemática de la Lógica. Esto nos permite profundizar mucho en el desarrollo de la Lógica.

23 La Lógica estudia el razonamiento matemático y las Matemáticas sirven para estudiar la Lógica... Mediante la Lógica Filosófica hacemos una primera justificación del razonamiento matemático. Y, luego aprovechamos la potencia de las Matemáticas para desarrollar y estudiar en profundidad la Lógica, lo que justifica y valida aún más su uso.

24 La Metamatemática. Existe una enorme potencia en el estudio sistemático, (utilizando herramientas matemáticas) de como se desarrollan las teorías matemáticas y que propiedades tienen. Esto da lugar a la Metamatemática, que podríamos decir que es la Teoría Matemática que estudia como objetos abstractos a las propias Teorías Matemáticas, los Axiomas y los Teoremas. Y lo curioso, es que la Metamatemática acaba teniendo muchas aplicaciones directas en las propias Teorías Matemáticas.

25 La definición rigurosa de objetos matemáticos. Como hemos dicho, un objeto matemático puede ser definido de manera rigurosa a partir de otros objetos matemáticos previamente definidos, o podemos no definirlo y precisar su comportamiento de manera axiomática. En las Matemáticas actuales, lo que hacemos es definir de manera precisa absolutamente todo a partir de conceptos previos, excepto dos conceptos. Sólo hay dos cosas que dejamos sin definir y que por tanto tendremos que axiomatizar.

26 La Teoría de Conjuntos. Las dos cosas que dejamos sin definir son el concepto de conjunto y el concepto de pertenencia a un conjunto. La axiomatización de estos dos conceptos es la Teoría de Conjuntos, que tiene suma importancia en la sistematización de los fundamentos de las Matemáticas. No definimos que es un conjunto y que es pertenecer a un conjunto, pero especificamos con unos axiomas, como se comportan los conjuntos.

27 La Teoría de Conjuntos como fundamentos de las Matemáticas. A partir de los conjuntos podemos definir conceptos como pares ordenados, funciones entre conjuntos, etc. E incluso podemos definir de manera rigurosa que son los números (serán ciertos conjuntos, evidentemente) y los axiomas de Peano se obtendrán como teoremas de la Teoría de Conjuntos a partir de esas definiciones.

28 El formalismo de Hilbert El matemático alemán David Hilbert creo a principios del siglo XX una corriente de pensamiento matemático llamada formalismo, que básicamente es la que impera hoy día. La versión actual del formalismo es la definir todos los objetos matemáticos en el seno de la Teoría de Conjuntos y expresarlo todo con el lenguaje de la Lógica. Las Matemáticas se convierten en una enorme colección de Teorías Matemáticas.

29 El infinito. Los cardinales infinitos. Las mayores complicaciones que aparecen en la Teoría de Conjuntos provienen del hecho de considerar conjuntos de tamaño infinito. La teoría de Conjuntos original (no axiomática) fué creada por George Cantor, a finales del siglo XIX. Y una de las cosas más curiosas que obtuvo Cantor es que existen infinitos de diferentes tamaños. La idea básica para comparar el tamaño de diferentes conjuntos infinitos es emparejar los elementos de los dos conjuntos.

30 Diferentes tamaños de infinitos. Por ejemplo, fácilmente vemos que podemos emparejar los números naturales con los números pares (n --> 2n), aunque los números pares sean un subconjunto de los naturales. Este es el infinito más pequeño, el de los números naturales, o el de los racionales. Sin embargo, el infinito de los números reales o el de los puntos que forman un segmento es un infinito mayor, que no puede ser emparejado con el de los naturales.

31 El teorema de incompletitud de Gödel. En 1.930, Kurt Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud de la Lógica. En principio, estos teoremas supusieron un jarro de agua fría al logicismo de Hilbert. El primer teorema de incompletud nos dice que cualquier Teoría Matemática en la que se pueda definir la Aritmética es incompleta. Es decir, que siempre habrá sentencias matemáticas que no sean demostrables ni la propia sentencia ni su negación. Esto implica que en toda Teoría siempre habrá afirmaciones que no serán ni verdaderas ni falsas.

32 La independencia de resultados. En 1.963, Paul J. Cohen consiguió la primera demostración de independencia, mediante una técnica metamatemática muy potente que inventó, llamada Forcing. Cohen demostró que la Hipótesis del Continuo es independiente. Esta era una cuestión a la que se habían enfrentado infructuosamente Cantor y otros muchos matemáticos. Por el teorema de incompletitud de Gödel sabíamos que tenían que existir casos así, pero este era el primero que se encontraba.

33 La Hipótesis del Continuo. La Hipótesis del Continuo afirma que no existe ningún infinito entre el del conjunto de los números naturales (N) y el del conjunto de los números reales (R). Es decir, que todo subconjunto de R es biyectable o bien con el propio R o con N. Pues bien, Cohen demostró que esto no es ni verdadero ni falso, sino todo lo contrario.

34 Formalismo vs Platonismo El Formalismo es una visión de las Matemáticas desde el punto de vista de la Lógica. Al final, los teoremas no son otra cosa que una cadena de símbolos. Sin embargo, el Platonismo como corriente de pensamiento matemático es la concepción de que los objetos matemáticos tienen una existencia real, aunque sea una existencia abstracta.

35 Significado de los resultados independientes para formalistas y platonistas. Para un formalista, la Hipótesis del Continuo no es verdadera ni falsa, ni tiene sentido preguntarse por ello una vez demostrada su independencia. Para un platonista a pesar de su independencia de los axiomas de la Teoría de Conjuntos, tiene sentido preguntarse todavía por su veracidad o falsedad. Para un platonista, los conjuntos existen como objetos abstractos y debemos ampliar nuestros axiomas todo lo que hagan falta para captar su esencia.

36 Otras corrientes matemáticas: finitistas, intuicionistas Probablemente, el infinito como tal no exista en el universo. El infinito es, básicamente, una creación de la mente humana. Por ello, han surgido algunas corrientes que en mayor o menor medida eliminan el uso del infinito en el desarrollo de las Matemáticas. Las principales son el Finitismo y el Intuicionismo. Pero en las Matemáticas actuales el uso del infinito está en todas partes y es esencial en casi todas las Teorías Matemáticas. Por ello, estas corrientes se han vuelto bastante marginales en la actualidad.

37 Matemáticas teóricas y aplicadas. A pesar de lo abstracto de las Matemáticas actuales y de lo alejadas de la realidad que parecen algunas de sus teorías, al final la motivación principal de las Matemáticas es su aplicación en el estudio del mundo real. Lo que ocurre es que para poder tener la potencia que han alcanzado en la actualidad ha sido imprescindible llegar a ese nivel de abstracción. Por eso, no existe ni existirá una frontera clara entre Matemáticas aplicadas y no aplicadas.

38 Aplicaciones de las Matemáticas Hoy en día, más que nunca, las aplicaciones de las Matemáticas están por todas partes. Sin Matemáticas no tendríamos Arquitectura, ni por supuesto tendríamos ordenadores, ni Aviación comercial. Pero, además, ahora más que nunca estamos viendo como se aplican cotidianamente resultados matemáticos muy avanzados, como en la codificación de las comunicaciones móviles, en los GPS, en la encriptación para compras seguras en Internet, etc.