Poincaré, Dalí, los 120 dodecaedros y la sonda espacial wmap

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Celia Salazar Torres
hace 5 años
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1 Poincaré, Dalí, los 120 dodecaedros y la sonda espacial wmap Jaume Aguadé, Almería 2009

2 Un contraejemplo a la conjetura de Poincaré Jaume Aguadé, Almería 2009

3 Planck: Vivimos en el pequeño universo que imaginó Poincaré? Jaume Aguadé, Almería 2009

4 El Universo en una pompa de jabón Jaume Aguadé, Almería 2009

5 Quién es esta mujer y qué papel juega en nuestra historia? Jaume Aguadé, Almería 2009

6 Poincaré, Dalí, los 120 dodecaedros Jaume Aguadé, Almería 2009 y la sonda wmap

7 Salvador Dalí: Rapto topológico de Europa: Homenaje a René Thom

8 Henri Poincaré

9 LA CONJETURA La única variedad cerrada que tiene la homología de la esfera es la esfera. Segundo complemento al Analysis Situs, 1900

10 LA CONJETURA La única variedad cerrada que tiene la homología de la esfera es la esfera. Segundo complemento al Analysis Situs, 1900

11 QUÉ ES UNA VARIEDAD?

15 Cómo podemos imaginar la 3-esfera?

16 Dalí: Corpus Hypercubus, 1954

17 Un atlas para la esfera de dimensión 3. Una teselación por 8 cubos de la esfera de dimensión 3. Un poliedro regular en el espacio euclidiano de dimensión 4. Dalí: Corpus Hypercubus, 1954

18 Cómo podemos imaginar la 3-esfera?

19 Cómo podemos imaginar la 3-esfera? Si podemos imaginar que se puede llegar a las Indias navegando hacia el Oeste, deberíamos poder imaginar la 3- esfera.

20 Cómo podemos imaginar la 3-esfera? Si podemos imaginar que se puede llegar a las Indias navegando hacia el Oeste, deberíamos poder imaginar la 3- esfera. Basta imaginar que la 3-esfera es el espacio en que vivimos con un punto extra en el que se cruzan todas las rectas que salen de aquí, para luego regresar aquí.

21 Cómo podemos imaginar la 3-esfera? A pesar de que la experiencia cotidiana nos habla de una Tierra plana, Eratóstenes, sin viajar al espacio exterior, imaginó una Tierra esférica.

viajar al espacio exterior, imaginó una Tierra esférica.

22 Cómo podemos imaginar la 3-esfera? A pesar de que la experiencia cotidiana nos habla de una Tierra plana, Eratóstenes, sin viajar al espacio exterior, imaginó una Tierra esférica. No debería ser más difícil imaginar un universo tridimensional esférico (y no plano) que imaginar una Tierra esférica (y no plana), sin necesidad de un espacio exterior.

23 Variedades cociente

26 a a b b

30 a a b b

31 HOMOLOGÍA?

32 HOMOLOGÍA?

33 HOMOLOGÍA?

34 HOMOLOGÍA En esta superficie (cilindro o esfera), toda curva cerrada es borde de un disco. En esta superficie (toro), hay curvas cerradas que no son borde de discos.

35 HOMOLOGÍA La homología de grado uno detecta la existencia de curvas cerradas (=circunferencias singulares) que no son bordes. La homología de grado uno es cero en la esfera y distinta de cero en el toro.

36 Homología de grado dos En vez de preguntarnos si las curvas cerradas trazadas en X son bordes o no, nos preguntamos si las superficies cerradas ( orientables!) trazadas en X son bordes o no.

37 Homología de grado dos En vez de preguntarnos si las curvas cerradas trazadas en X son bordes o no, nos preguntamos si las superficies cerradas ( orientables!) trazadas en X son bordes o no.

38 Homología de grado tres La misma idea geométrica sirve para definir la homología de dimensión tres.

39 Homología de grado tres La misma idea geométrica sirve para definir la homología de dimensión tres. Según René Thom, esta idea geométrica simple ya no funciona para definir la homología en dimensiones superiores, a menos que admitamos singularidades en nuestras variedades.

40 LA CONJETURA La única variedad cerrada que tiene la homología de la 3-esfera es la 3- esfera. Segundo complemento al Analysis Situs, 1900

41 El CONTRAEJEMPLO:

43 Genial: El contraejemplo lo descubrió el propio Poincaré.

44 Genial: El contraejemplo lo descubrió el propio Poincaré. (A continuación hizo un cambio sutil a su conjetura que la hizo resistir los ataques de los mejores geómetras durante cien años)

aristas, 720 pentágonos y 120 dodecaedros sólidos.

48 120 dodecaedros rellenando una 3-esfera. Un poliedro regular en 4 dimensiones, con 600 vértices, 1200 aristas, 720 pentágonos y 120 dodecaedros sólidos. Ludwig Schläfli ( ) Teólogo y maestro Thorold Gosset ( ) Jurista Alice Boole Stott ( ) Ama de casa

49 EL CONTREAJEMPLO El contraejemplo consiste en uno de los 120 dodecaedros de la 120-celda, con las caras identificadas según un cierto grupo de simetría. La Esfera de Poincaré 3 S, distinta de la 3 esfera ordinaria S, pero con la misma homología.

51 9/10/2003: Nature publica un artículo que sugiere que el Universo podría tener forma de esfera de Poincaré

53 Cómo podríamos saber si nuestro Universo es una esfera ordinaria o una esfera de Poincaré?

54 Cómo podríamos saber si nuestro Universo es una esfera ordinaria o una esfera de Poincaré? VS

55 Cómo podríamos saber si nuestro Universo es una esfera ordinaria o una esfera de Poincaré? La esfera ordinaria es isótropa La esfera de Poincaré es anisótropa

56 2001: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)

59 14 de Mayo de 2009: ESA lanza PLANCK

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