( ) ( ) ( ) Solución:

Transcripción

1 SB- En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0,4, de molinos eólicos con probabilidad 0,6 y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad 0,. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio: a) Por alguna de las dos instalaciones. b) Solamente por una de las dos. (PAU Madrid CCSS Junio 0 FG Opción A) Sean los siguientes sucesos: S: la energía suministrada proviene de placas solares E: la energía suministrada proviene de molinos eólicos Sabemos que: p S = 0.4 p E = 0.6 p S E = 0. a) Probabilidad de que la energía se suministrada por alguna de las dos instalaciones. ( E) = + p( S ) = = = 5 p S p S p E E % b) Probabilidad de que la energía se suministrada solamente por una de las dos. ( S E) + ( S E ) p( S E ) p = p E p S E + p S p S E = p E + p S = = = 0.4 = 4% Iñigo Zunzunegui Monterrubio de 59 sirzunzu@gmail.com

2 SB- En un cierto punto de una autopista está situado un radar que controla la velocidad de los vehículos que pasan por dicho punto. La probabilidad de que el vehículo que pase por el radar sea un coche es 0.5, de que sea un camión es 0.3 y de que sea una motocicleta es 0.. La probabilidad de que cada uno de los tres tipos de vehículos supere al pasar por el radar la velocidad máxima permitida es 0.06 para un coche, 0.0 para un camión y 0. para una motocicleta. En un momento dado un vehículo pasa por el radar. a) Calcúlese la probabilidad de que este vehículo supere la v máx permitida. b) Si el vehículo en cuestión ha superado la velocidad máxima permitida, cuál es la probabilidad de que se trate de una motocicleta? (PAU Madrid CCSS Junio 0 FG Opción B) Sean los sucesos: CO: Pasa un coche por el radar CA: Pasa un camión por el radar MO: Pasa una motocicleta por el radar S: el vehículo supera el límite de velocidad CO CA MO S S S S S S a) p ( S ) = p( CO S ) + p( CA S ) + p( MO S ) = p( CO) p( S CO) p( CA) p( S CA) p( MO) p( S MO) = + + = = = = b) p MO S p( S ) p( S ) p MO S p MO p S MO = = = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio de 59 sirzunzu@gmail.com

3 SB-3 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente es de 6 y la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es igual a 7. Se sabe además que p( A B ) = a) Calcular la probabilidad de que ocurra A o B. b) Calcular la probabilidad de que ocurra A. (PAU Madrid CCSS Modelo 0 Opción A) a) p A 7 p( A B) = p( A B) = p( A B) = 6 ( B) p( A B) = ( A B) = p( A B) = p( A B) = = b) p A ( B) p( B) p A p( A B) = = p( B) = p( A B) = = p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) = p( A) = p( B) + p( A B) = + = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 3 de 59 sirzunzu@gmail.com

4 SB-4 En una cierta población la probabilidad de que un estudiante elegido al azar siga una dieta de adelgazamiento es igual a 0,. Entre los habitantes que siguen dieta de adelgazamiento la probabilidad de que uno de ellos practique deporte regularmente es igual a 0,6. Entre los habitantes que no siguen dieta de adelgazamiento la probabilidad de que uno de ellos elegido al azar practique deporte regularmente es igual a 0.3. Se elige al azar un habitante de la población. a) Calcula la probabilidad de que practique deporte regularmente b) Si se sabe que dicho habitante practica deporte regularmente cuál es la probabilidad de que esté siguiendo dieta de adelgazamiento? (PAU Madrid CCSS Modelo 0 Opción B) Sean los siguientes sucesos: d: Hacer dieta D: Practicar deporte regularmente 0. d D D 0.8 d D D ( D) p( d ) a) p = p d D + p d D = p d p D d + p d D = + = = = 0.36 b) p d D p( D) p( D) p d D p d p D d = = = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 4 de 59 sirzunzu@gmail.com

5 SB-5 Una bolsa contiene diez monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos cruces. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza. a) Calcúlese la probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento. b) Si en el lanzamiento ha salido cara, cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz? (PAU Madrid CCSS Junio 00 FG Opción A) Se definen los siguientes sucesos: CX: Elegir una moneda con cara y cruz CC: Elegir una moneda con dos caras XX: Elegir una moneda con dos cruces C: Salir cara en el lanzamiento X: Salir cruz en el lanzamiento Representamos el diagrama de árbol con las probabilidades de cada suceso en los brazos del mismo CC CC XX 0 0 C X C X C X a) p C = p ( CX C) + p ( CC C) + p ( XX C) = p ( CX ) p ( C CX ) p ( CC) p ( C CC) p ( XX ) p ( C XX ) = + + = = = + = b) p CX C 5 p ( CX C) p ( CX ) p ( C CX ) = = = = = p ( C) p ( C) 4 0 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 5 de 59 sirzunzu@gmail.com

6 SB-6 Sean A y B dos /sucesos de un experimento aleatorio tales que p ( A ) = 0. y p ( B ) = 0.4 a) Si A y B son mutuamente excluyentes, determínese p ( A B) además A y B independientes? Razónese. b) Si A y B son independientes, calcúlese p ( A B) mutuamente excluyentes? Razónese p A B c) Si p ( A B ) = 0, calcúlese. Son. Son A y B. Son A y B mutuamente excluyentes? Son A y B independientes? Razónese. d) Si A B p A B Son A y B independientes? Razónese., calcúlese (PAU Madrid CCSS Junio 00 FG Opción B) a) Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden verificarse al mismo tiempo, p A B p A B = p A + p B esto es, si ( ) = 0. En este caso por tanto Dos sucesos son independientes si el resultado del segundo no depende del resultado del p A B = p A. primero. Esto se expresa diciendo que Definimos la probabilidad condicionada como: p ( A B) p ( A B) = = p A p A B = p A p B p B Pero en nuestro ejercicio p ( A B) =, luego no son independientes. ( ) 0.08 A y B no son mutua b) p A B = = 0 mente excluyentes c) p A B ( B) p ( B) p A = = 0 p A = 0 A y B son mutuamente excluyentes Si fuesen independientes p ( B) ( A B) p ( A) p ( A) =, pero = 0. 0 A y B no son independientes d) Si A B p A B = p A = A y B no son independientes Iñigo Zunzunegui Monterrubio 6 de 59 sirzunzu@gmail.com

7 SB-7 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: p A B = p ( A ) = 0.5 ; p ( B ) = 0.4 ; 0. a) p ( A B) p A B c) b) (PAU Madrid CCSS Junio 00 FE Opción A) p A B d) p ( A B) ( ) p ( A) + p ( B) p ( A B) = = 0.8 a) p A B = ( ) p ( A B) p ( A B) b) p A B = = = 0. = 0.9 c) p A B d) p A ( B) p ( B) p A 0. = = = ( B) p ( B) p ( A B) = = = 0.3 Visto de otra manera: p ( A B) ( B) p B = p A B + p A B = p B p A = = 0. 3 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 7 de 59 sirzunzu@gmail.com

8 SB-8 Se dispone de un dado equilibrado de seis caras, que se lanza seis veces con independencia. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes: a) Obtener al menos un seis en el total de los seis lanzamientos. b) Obtener un seis en el primer y último lanzamientos y en los restantes lanzamientos un número distinto de seis. (PAU Madrid CCSS Junio 00 FE Opción B) a) p VR = = = = = 6 6 5, "No obtener ningún 6" 6 VR ("Obtener al menos un 6" ) p = = = 66.5% b) p ( 6xxxx 6) = = = =.34% Iñigo Zunzunegui Monterrubio 8 de 59 sirzunzu@gmail.com

9 SB-9 Se consideran los sucesos A, B y C de un experimento aleatorio, tales que: p ( B C) p A C ; p ( A C ) p ( B C ) Razónese cuál de las siguientes desigualdades es siempre cierta. a) p ( A) < p ( B) b) p ( A) p ( B) (PAU Madrid CCSS Septiembre 00 FG Opción A) = + p A p A C p C p A C p C p ( A C) p ( B C) p ( A) p ( B C) p ( C) + p ( B C ) p ( C ) p ( A C ) p ( B C ) p( B) p A Iñigo Zunzunegui Monterrubio 9 de 59 sirzunzu@gmail.com

10 SB-0 Se consideran los siguientes sucesos: Suceso A: La economía de un cierto país está en recesión. Suceso B: Un indicador económico muestra que la economía de dicho país está en recesión. Se sabe que: p ( A ) = ; p ( B A ) = 0.95 ; p ( B A ) = 0.96 a) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la economía del país no está en recesión y además la economía del país esté en recesión. b) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la economía del país está en recesión. (PAU Madrid CCSS Septiembre 00 FG Opción B) A B B a) p B ( A) ( A) p( A) p B p B A = p B A = p B A p A = = ( B A) ( B A) p( A) p ( B A) p A = p B A + p p = = = b) p B = ( ) + ( ) p B p A B p A B ( B) p A = Del apartado anterior tenemos que: p( A B) = ( p( A B) ) = p( A) ( ) = = = p( A B) = p( A B) + p( A B) = = = 4, 45% p B A p A B p B A p A p A B + p A B + p A B + p A B = p A B = = p B B A B Iñigo Zunzunegui Monterrubio 0 de 59 sirzunzu@gmail.com

11 SB- En una residencia universitaria viven 83 estudiantes de los cuales 30 utilizan la biblioteca. De estos últimos, 70 estudiantes hacen uso de la lavandería, mientras que sólo 0 de los que no usan la biblioteca utilizan la lavandería. Se elige un estudiante de la residencia al azar. a) Cuál es la probabilidad de que utilice la lavandería? b) Si el estudiante elegido no utiliza la lavandería, cuál es la probabilidad de que utilice la biblioteca? (PAU Madrid CCSS Septiembre 00 FE Opción A) Sean los sucesos: L: Usar la lavandería B: Usar la biblioteca Como nos dan datos de alumnos (y no probabilidades) haremos una tabla de contingencias en donde pondremos los datos y completaremos el resto: Biblioteca ( B ) No Biblioteca ( B ) Lavandería ( L ) No Lavandería ( L ) Total a) Total nº alumnos que usan la lavandería 90 p L = = = = 49.8% nº total de alumnos 83 b) p( B L ) ( L ) p( L ) p B 60 = = = = 64.5% 93 Iñigo Zunzunegui Monterrubio de 59 sirzunzu@gmail.com

12 SB- Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatoria, tales que p( A ) = 0.6. Calcúlese p( A B) en cada uno de los siguientes casos: a) A y B son mutuamente excluyentes. b) A B c) B A p A B = y p( B ) = 0.3 d) 0. (PAU Madrid CCSS Septiembre 00 FE Opción B) a) Si A y B son mutuamente excluyentes B = A p( A B) = p( A A) = p( A) = 0.6 = 60% A A B B b) Si A B A B = B ( B) = 0 p A A B c) Si B A A B = A B p ( A) p ( A B) p ( A) p ( B) p A B = = = = = 0.3 = 30% B A B B d) Si p( A B) = 0. p( A B) = p( A) p( A B) = = 0.5 = 50% B A B Iñigo Zunzunegui Monterrubio de 59 sirzunzu@gmail.com

13 SB-3 Según cierto estudio el 40% de los hogares europeos tiene contratado el acceso a Internet, el 33% tiene contratada la televisión por cable, y el 0% dispone de ambos servicios. Se selecciona al azar un hogar europeo. a) Cuál es la probabilidad de que sólo tenga contratada la televisión por cable? b) Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (PAU Madrid CCSS Modelo 00 Opción A Junio 007 Opción A) p I = 0.4 p C = 0.33 p I C = 0. ( ) p ( C) p ( I C) 0. 0 a) p C I = = 0.33 =.3 ( ) p ( I C) p ( I C) p ( I ) p ( C) p ( I ) b) p I C = = = + C = = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 3 de 59 sirzunzu@gmail.com

14 SB-4 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: 3 p ( A ) = ; p ( B ) = ; p ( A B) = 4 0 Calcúlese: p A B p A B a) ( ) b) c) p ( A B ) d) p B A. (PAU Madrid CCSS Modelo 00 Opción B Septiembre 007 Opción B) 9 a) p ( A B) = p ( A B) = p ( A B) = = 0 0 b) p ( A B) p ( A B) ( B) p A B = p A + p B p A B = p A + p B p A = c) p d) p ( A B) ( B A) 3 p ( A B) p ( B) p ( A B ) 0 4 = = = = = = p ( B) p ( B) p ( A B) p ( A) p ( A B ) = = = = = p ( A) p ( A) = + = = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 4 de 59 sirzunzu@gmail.com

15 SB-5 Se consideran tres sucesos A, B, C de un experimento aleatorio tales que: 3 p ( A ) = p ( B ) = p ( C ) = p ( A B C) a) Calcúlese p ( C B) p ( A B C) = 0 p ( A B) p ( C A). 4 = = = b) Calcúlese p ( A B C ). La notación A representa al suceso complementario de A. (PAU Madrid CCSS Junio 009 Opción A) 3 a) p C ( B) p ( A B) = = p A B p A C 3 6 p ( A B) = p ( C A) = = = p ( B) p ( A) p ( A C) = = 4 p A B C = p A + p B + p C p A B p B C p A C + p A B C = + + p ( B C) + 0 p ( B C) = + + = ( C ) = p ( A B C) = ( C) = 0 = b) p A B p A B Iñigo Zunzunegui Monterrubio 5 de 59 sirzunzu@gmail.com

16 SB-6 Para la construcción de un luminoso de feria se dispone de un contenedor con 00 bombillas blancas, 0 bombillas azules y 80 bombillas rojas. La probabilidad de que una bombilla del contenedor no funcione es igual a 0.0 si la bombilla es blanca, es igual a 0.0 si la bombilla es azul e igual a 0.03 si la bombilla es roja. Se elige al azar una bombilla del contenedor. a) Calcúlese la probabilidad de que la bombilla elegida no funcione. b) Sabiendo que la bombilla elegida no funciona calcule la probabilidad de que dicha bombilla sea azul. (PAU Madrid CCSS Junio 009 Opción B) p ( B) = = p ( A) = = p ( R) = = B A R F F F F F F a) p F p ( B F ) p ( A F ) p ( R F ) = + + = 3 = = 0.07 =.7% 0 5 b) p A F 3 p A 0.0 = = 0 = = 35.9% ( F ) p( F ) Iñigo Zunzunegui Monterrubio 6 de 59 sirzunzu@gmail.com

17 SB-7 En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se destinan a empresas y el 0% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 0% resultan impagados, de los créditos concedidos a empresas son impagados el 0% y de los créditos concedidos para consumo resultan impagados el 0%. a) Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado. b) Cuál es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo, sabiendo que se ha pagado? (PAU Madrid CCSS Septiembre 009 Opción A) Hacemos un diagrama de árbol en donde ponemos en cada rama la probabilidad del suceso a que afecta. De este modo la probabilidad de cada camino es el producto de las probabilidades de las ramas. 50% 30% 0% V E C 90% 0% 80% 0% 90% 0% P I P I P I a) p P = p ( V P) + p ( E P) + p ( C P) = p ( P V ) p ( V ) + p ( P E) p ( E) + + p ( P C) p ( C) = = = 0.85 = 85% b) p ( C P) ( C P) p ( P) p = = = = 0.7 =. 7% Iñigo Zunzunegui Monterrubio 7 de 59 sirzunzu@gmail.com

18 SB-8 La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la Comunidad de Madrid le guste la música moderna es igual a 0.55: la probabilidad de que le guste la música clásica es igual a 0.40 y la probabilidad de que no le guste ninguna de las dos es igual a 0.5. Se elige al azar un habitante de dicho pueblo. Calcúlese la probabilidad de que le guste: a) Al menos uno de los dos tipos de música. b) La música clásica y también la música moderna... c) Sólo la música clásica. d) Sólo la música moderna. (PAU Madrid CCSS Septiembre 009 Opción B) Sean los siguientes sucesos: M: Gustar la música moderna C: Gustar la música clásica p ( M ) = ( C ) p ( C M ) p ( M ) p C = 0.5 a) p M = = C = 0. 5 = p C M = ( ) = + ( ) ( C M ) = p ( C) + p ( M ) p ( C M ) = = 0.0 b) p C M p C p M p C M p c) p ( C M ) = p ( C) p ( C M ) = = 0.0 d) p ( M C ) = p ( M ) p ( C M ) = = 0.35 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 8 de 59 sirzunzu@gmail.com

19 SB-9 En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de seis caras equilibrado, un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado. a) Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane. b) Se sabe que una persona ha ganado. Cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas? (PAU Madrid CCSS Junio 008 Opción A) p ( C C Pa ) ( " 5" ) ( " 5" ) a) p Ganar = r + p C X + p X C = = + + = + + = = ( ) a) p C C Ganar p ( Ganar) p ( Ganar ) p C C Ganar p C C Par = = = = = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 9 de 59 sirzunzu@gmail.com

20 SB-0 Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que: 4 3 a) Son A y B sucesos independientes? Razónese p ( A ) = p ( B) = p ( A B) b) Calcúlese p ( A B ) (PAU Madrid CCSS Junio 008 Opción B) = p( A B) a) p A B = p A + p B p A B = p A + p B p A B = = + = 4 3 Para que dos sucesos sean independientes debe cumplirse que: Sucesos = = = 4 3 independientes p( A) p( A B) p( A) p( B) p A B b) p A B p( A B) p( A B) p ( A B ) 3 = = = = = = = 0.75 p( B) p( B) p( B) Iñigo Zunzunegui Monterrubio 0 de 59 sirzunzu@gmail.com

21 SB- Se consideran dos actividades de ocio: A: ver televisión y B: visitar centros comerciales. En una ciudad la probabilidad de que un adulto practique A es igual a 0.46; la probabilidad de que practique B es igual a 0.33 y la probabilidad de que practique A y B es igual a 0.5 a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. Cuál es la probabilidad de que no practique ninguna de las dos actividades anteriores? b) Se elige al azar un individuo de entre los que practican alguna de las dos actividades. Cuál es la probabilidad de que practique las dos actividades? (PAU Madrid CCSS Septiembre 008 Opción A) p A = 0.46 p B = 0.33 p A B = 0.5 ( ) p ( A B) p ( A B) p ( A) p ( B) a) p A B = = = + p A B = b) p A ( B A B) = = = ( A B) ( A B) A B 0.5 = = = = 0.34 A B A B Iñigo Zunzunegui Monterrubio de 59 sirzunzu@gmail.com

22 SB- Se supone que las señales que emite un determinado telégrafo son punto y raya y que el telégrafo envía un punto con probabilidad 3 7 y una raya con probabilidad 4 7. Los errores en la transmisión pueden hacer que cuando se envíe un punto se reciba una raya con probabilidad 4 y que cuando se envíe una raya se reciba un punto con probabilidad 3. a) Si se recibe una raya, cuál es la probabilidad de que se hubiera enviado realmente una raya? b) Suponiendo que las señales se envían con independencia, cuál es la probabilidad de que si se recibe punto-punto se hubiera enviado raya-raya? (PAU Madrid CCSS Septiembre 008 Opción B) Sean los siguientes sucesos: P: Enviar punto R: Enviar raya p: Recibir punto r: Recibir raya a) p R r p ( R r ) = = = = = = 0.78 p ( r) P R p r p r 4 p ( R p) 7 3 = = = = = p ( p) p ( r) ( p) p ( R p) ( R p) p ( R p) p ( R p) b) p RR p = = == = Iñigo Zunzunegui Monterrubio de 59 sirzunzu@gmail.com

23 SB-3 Los pianistas de Isla Sordina se forman en tres conservatorios, C, C y C 3, que forman al 40%, 35% Y 5% de los pianistas, respectivamente. Los porcentajes de pianistas virtuosos que producen estos conservatorios son del 5%, 3% y 4%, respectivamente. Se selecciona un pianista al azar. a) Calcular la probabilidad de que sea virtuoso. b) El pianista resulta ser virtuoso. Calcular la probabilidad de que se haya formado en el primer conservatorio C. (PAU Madrid CCSS Junio 007 Opción B) 35% 40% 5% C C C 3 5% 95% 3% 97% 4% 96% V V V V V V p ( C ) p ( V C ) p ( C ) p ( V C ) p ( C ) p ( V C ) a) p V = + + = 3 3 = = = 4. 05% b) p C V ( V ) p ( V ) p C = = = = 49.38% Iñigo Zunzunegui Monterrubio 3 de 59 sirzunzu@gmail.com

24 SB-4 En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran mezclados y a la venta 00 yogures de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur esté caducado es 0.0 para la marca A, 0.0 para la marca B y 0.03 para la marca C. Un comprador elige un yogur al azar. a) Calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado. b) Sabiendo que el yogur elegido está caducado, Cuál es la probabilidad de que sea de la marca B? (PAU Madrid CCSS Septiembre 007 Opción A) p A p B p C 00 = = = = = = A B C c c c c c c a) p c p( A) p( c A) p( B) p( c B) p( C) p( c B) = + + = + + = = 0.07 =. 7% ( c) b) p B p ( C) p ( C) p B c p B p c B = = = = = 35.9% 0.07 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 4 de 59 sirzunzu@gmail.com

25 SB-5 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: 3 4 B p ( A ) = B Calcular: p ( A ) p B = p ( A B) = 0 p A p ( A B ) p ( B A ) (PAU Madrid CCSS Septiembre 007 Opción B) 9 a) p ( A B) = p ( A B) = p ( A B) = = 0 0 b) p ( A B) p ( A B) ( B) p A B = p A + p B p A B = p A + p B p A = c) p d) p ( A B) ( B A) 3 p ( A B) p ( B) p ( A B ) 0 4 = = = = = = p ( B) p ( B) p ( A B) p ( A) p ( A B ) = = = = = p ( A) p ( A) = + = = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 5 de 59 sirzunzu@gmail.com

26 SB-6 Una persona cuida de su jardín, pero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es 3. El jardín no está en muy buenas condiciones, así que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se riega es de 0 5. Si el jardín se ha estropeado cuál es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo? (PAU Madrid CCSS Junio 006 Opción A) Sean los sucesos: O: la persona olvida regar el jardín P: el jardín progresa I: la peritación da lugar a indemnización 3 O P P 3 O P P p ( O P) p( O P) p( O) p( P O) = = = = p( P) p( O) p( P O) + p( O) p( P O) Iñigo Zunzunegui Monterrubio 6 de 59 sirzunzu@gmail.com

27 SB-7 Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equilibrada y un dado equilibrado. Se pide: a) Describir el espacio muestral de este experimento. b) Determinar la probabilidad del suceso: Obtener una cara en la moneda y un número paren el dado. (PAU Madrid CCSS Junio 006 Opción B) {(,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6),(,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6)} a) E = C C C C C C X X X X X X Sucesos independientes b) p( C Pa r) ====== p( C) p( Par) = = 4 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 7 de 59 sirzunzu@gmail.com

28 SB-8 Los tigres de cierto país proceden de tres reservas: el 30% de la primera, el 5% de la segunda y el 45% de la tercera. La proporción de tigres albinos de la primera reserva es 0 %, mientras que dicha proporción es 0 5% en la segunda y 0 % en la tercera. Cuál es la probabilidad de que un tigre de ese país sea albino? (PAU Madrid CCSS Septiembre 006 Opción A) Sean los sucesos: R i : Pertenecer a la reserva i A: ser albino 5% 30% 45% R R R 3 0.% 99.8% 0.5% 99.5% 0.% 99.9% A A A A A A p Incompatibles pq un tigre no puede ser de dos zonas a la vez = ======= + + = ( A) p ( R A) ( R A) ( R3 A) p ( R A) p ( R A) p ( R3 A) = p ( R ) p ( A R ) + p ( R ) p ( A R ) + p ( R ) p ( A R ) = 3 3 = = = 0.3% Iñigo Zunzunegui Monterrubio 8 de 59 sirzunzu@gmail.com

29 SB-9 Una urna contiene 0 bolas blancas y 5 bolas negras. Se extraen dos bolas al azar sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? (PAU Madrid CCSS Septiembre 006 Opción B) Sean los sucesos: B: extraer bola blanca N: extraer bola negra Dos bolas del p = p ( B B ) ( N N ) p( B B ) p( N N ) mismo color = + = p( B ) p( B B ) + p( N ) p( N N ) = + = = = 0 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 9 de 59 sirzunzu@gmail.com

30 SB-30 Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlos después y de manera consecutiva) cuatro huevos. a) Calcular la probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado. b) Calcular la probabilidad de extraer de entre los cuatro exactamente un huevo roto. (PAU Madrid CCSS Junio 005 Opción A) Sean los sucesos: R: el huevo extraído está roto R : el huevo extraído está en buen estado ( R R R 3 4 ) = p ( R ) p ( R R ) p ( R3 R R ) p ( R4 R 3 ) a) p R R R = 0 9 = = = 0.44 = 4.4% 33 Exactamente b) p = p( R R R3 R4 ) + p( R R R3 R4 ) + p( R R R3 R4 ) + huevo roto p( R R R3 R4 ) = 4 p( R R R3 R4 ) = 4 8 = = 4 = = 48.48% 33 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 30 de 59 sirzunzu@gmail.com

31 SB-3 En un experimento aleatorio consistente en lanzar simultáneamente tres dados equilibrados de seis caras, se pide calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: Obtener tres unos, Obtener al menos un dos Obtener tres números distintos y Obtener una suma de 4. (PAU Madrid CCSS Junio 005 Opción B) Sucesos independientes p( 3 ) ======= p( ) p( ) p( 3 ) = = Sucesos independientes Al menos Ningún p = p = p( 3 ) ======= p( ) p( ) p( 3 ) = un = = = Tres números Cualquier Cualquier cara Cualquier cara p = p p p a a a = dist int os cara menos la menos la y la = = Obtener p = p( 3 ) + p( 3 ) + p( 3 ) = 3 p( 3 ) = suma de 4 = 3 = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 3 de 59 sirzunzu@gmail.com

32 SB-3 En un colectivo de inversores bursátiles, el 0% realiza operaciones vía Internet. De los inversores que realizan operaciones vía Internet, un 80% usa InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía Internet, sólo un 0% consulta InfoBolsaWeb. Se pide. a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb. b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb. Cuál es la probabilidad de que realice operaciones por Internet? (PAU Madrid CCSS Septiembre 005 Opción A) Sean los sucesos: I: el inversor opera en Internet B: el inversor consulta InfoBolsa 0. I B B 0.8 I B B = p( I B) + p( I B) = p( I ) p( B I ) + = = 0.3 a) p B p I p B I b) p I ( B) p( B) p( B) p I B p I p B I = = = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 3 de 59 sirzunzu@gmail.com

33 = = = SB-33 Sean A y B dos sucesos tales que p( A), p( B), p( A B) Calcular: p B A a) b) p ( A B ) (PAU Madrid CCSS Septiembre 005 Opción B) a) p B A = ( B) p( A) p A 3 3 p( A B) = p( A B) = p( A B) = p( A B) = = p( B A) = = b) p ( A B) 3 p( B) = p( B) = 3 5 p( A B) p( B) p( A B) = = =========== = = p( B) p( B) Iñigo Zunzunegui Monterrubio 33 de 59 sirzunzu@gmail.com

34 SB-34 Dos expertos, E y E, realizan peritaciones para una cierta compañía de seguros. La probabilidad de que una peritación haya sido realizada por E es de 0 55 y por E es de Si una peritación ha sido realizada por E, la probabilidad de que de lugar al pago de una indemnización es 0 98 y si ha sido realizada por E la probabilidad de que dé lugar a una indemnización es Un siniestro ha supuesto a la compañía el pago de una indemnización. Hallar la probabilidad de que la peritación haya sido realizada por E. (PAU Madrid CCSS Junio 004 Opción A) Sean los sucesos: E : la peritación la realiza E E : la peritación la realiza E I: la peritación da lugar a indemnización 0.55 E I I 0.45 E I I p ( E I ) ( E ) p( E ) p E I p E I p E p I E = = = = p I p E I + p E I p E p I E + p I = = 0.49 = 4. 9% Iñigo Zunzunegui Monterrubio 34 de 59 sirzunzu@gmail.com

35 SB-35 En una empresa se producen dos tipos de bombillas: halógenas y de bajo consumo, en una proporción de 3 a 4, respectivamente. La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es 0 0 y de que una de bajo consumo sea defectuosa es Se escoge al azar una bombilla y resulta no defectuosa. Cuál es la probabilidad de que sea halógena? (PAU Madrid CCSS Junio 004 Opción B) Sean los sucesos: H: la bombilla es halógena B: la bombilla es de bajo consumo D: la bombilla es defectuosa 3 7 H D D ( 4 7 B D D p ( H D) ( D) = 7 = = 44.68% ( B) p H D p H D p H p D H = = = = p p H D + p B D p H p D H + p B p D Iñigo Zunzunegui Monterrubio 35 de 59 sirzunzu@gmail.com

36 SB-36 Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active le primer indicador es 0 95 y de que se active el segundo es a) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active solo uno de los dos indicadores. b) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active al menos uno de los dos indicadores. (PAU Madrid CCSS Septiembre 004 Opción A) Sean los sucesos: A: se activa el indicador nº p( A) = 0.95 A: se activa el indicador nº p( B) = 0.90 Sucesos independientes Se activa solo p = p( A B) + p( A B) ========= p( A) p( B) + p( A) p( B) = un indicador = = 0.4 = 4% = = = 99.5% Sucesos independientes Se activa al menos No se activa p = = p( A B) ====== p( A) p( B) = un indicador ningún indicador Iñigo Zunzunegui Monterrubio 36 de 59 sirzunzu@gmail.com

37 SB-37 En una población, el 40% son hombres y el 60% mujeres. En esa población, el 80% de los hombres y el 0% de las mujeres son aficionados al fútbol. a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol. b) Elegida al azar una persona resulta ser aficionada al fútbol, cuál es la probabilidad de que sea mujer? (PAU Madrid CCSS Septiembre 004 Opción B) Sean los sucesos: H: ser hombre M: ser mujer F: la persona es aficionada al fútbol 0.4 H F F 0.6 M F F p( H ) p( M ) p( H ) p( H ) p( M ) p( M ) a) p F = F + F = F + F = +. = = = 44% b) p M ( F ) ( F ) p ( F ) ( F ) p ( F ) p M p M p M = = = = 0.77 = 7.7 % 0.44 = 0.44 = 44% Iñigo Zunzunegui Monterrubio 37 de 59 sirzunzu@gmail.com

38 SB-38 El 45% del censo de cierta ciudad vota al candidato A, el 35% al candidato B y el resto se abstiene. Se elige al azar tres personas del censo. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Las tres personas votan al candidato A b) Dos personas votan al candidato A y la otra al candidato B c) Al menos una de las tres personas se abstiene. (PAU Madrid CCSS Junio 003 Opción A) Sean los sucesos: A: Votar al candidato A V: Votar B: Votar al candidato B N: Abstenerse Los tres sucesos son incompatibles entres sí. El voto de una persona es independiente al de las demás. 3 ( ) p ( A) p ( A) p a) p A A A = A = 0.45 = 0.09 Dos votan A b) p = p (( A A B) ( A B A) ( B A A) ) = p ( A A B) + Una vota B + p A B A + p B A A = 3 p A A = = ( B) = 0.6 ( Votan las tres) Al menos una c) p = p V V V = = V V V = se abstiene p( V ) = p( A) + ( B) = = 0.8 = p V p V p V ============ ==== = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 38 de 59 sirzunzu@gmail.com

39 SB-39 De una baraja española de 40 cartas se extraen sucesivamente tres cartas al azar. Determinar la probabilidad de obtener: a) Tres reyes b) Una figura con la primera carta, un cinco con la segunda y un seis con la tercera. c) Un as, un tres y un seis, en cualquier orden. (PAU Madrid CCSS Junio 003 Opción B) Se trata de la extracción de tres cartas consecutivas de una baraja sin reemplazamiento, por lo que el resultado de la segunda extracción estará condicionado por el de la primera. Igualmente sucederá con la tercera extracción. 4 3 a) p( R R R 3 ) = p( R ) p( R R ) p( R3 R R ) = = b) p F = = = ( 5 6 ) p ( F ) p ( 5 F ) p ( 6 F 5 ) 3 3 ( A 3 6) P p( A 3 6 ) 3! p( A ) p( 3 ) ( 6 A 3 ) c) p = = A p = = 3 = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 39 de 59 sirzunzu@gmail.com

40 SB-40 Un test para detectar una sustancia contaminante en el agua, presenta los siguientes resultados: si el agua no está contaminada, suceso que ocurre con una probabilidad igual a 0 99, el resultado del test es que el agua está contaminada con una probabilidad de Cuando el agua está contaminada el test lo detecta con una probabilidad igual a Se ha realizado una prueba y el test indica que hay contaminación. Calcular la probabilidad de que el agua no esté realmente contaminada. Interpretar el valor numérico obtenido. (PAU Madrid CCSS Septiembre 003 Opción A) Se definen los siguientes sucesos: C: El agua está contaminada c: El test detecta que el agua está contaminada 0.0 C c c 0.99 C c c ( C ) + p ( C ) p C c p C c p ( C c) = = = = = 83.33% p c p c c Si el test da positivo existe una probabilidad del 83.3% de que esté equivocado, es decir, el test da un 83.3% de falsos positivos, estando el agua libre de contaminación (el test revela que está contaminada). Iñigo Zunzunegui Monterrubio 40 de 59 sirzunzu@gmail.com

41 SB-4 Se elige un número natural entre el y el 0 de manera que todos tengan la misma probabilidad de ser escogidos. a) Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible por ó por 3? b) Cuál el la probabilidad de que sea divisible por 3 y no por 6? (PAU Madrid CCSS Septiembre 003 Opción B) Sean los sucesos: { } { } II "ser divisible por " =,4,6,8,0,,4,6,8,0 III "ser divisible por 3" = 3,6,9,,5,8 { } II III "ser divisible por y por 3" = VI "ser divisible por 6" = 6,,8 III: ser divisible por a) p( II III ) = p( II ) + p( III ) p( II III ) = + = ( I ) p ( III ) p ( II ) 6 3 b) p III V = I VI = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 4 de 59 sirzunzu@gmail.com

42 SB-4 Se tiene tres cajas iguales. La primera contiene 3 bolas blancas y 4 negras; la segunda contiene 5 bolas negras y, la tercera, 4 blancas y 3 negras. a) Si se elige una caja al azar y luego se extrae una bola, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra? b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas, cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda caja? (PAU Madrid CCSS Junio 00 Opción A) 3 C B N 3 C N 3 C B 3 7 N a) p ( N ) = p ( C N ) + p ( C N ) + p ( C3 N ) = + + = = b) p C ( N ) p ( C N ) = = 3 = p ( N ) 3 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 4 de 59 sirzunzu@gmail.com

43 SB-43 Se lanzan dos dados equilibrados de seis caras tres veces consecutivas: a) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga el seis doble. b) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga un doble distinto del seis doble. (PAU Madrid CCSS Junio 00 Opción B) Sean los siguientes sucesos: A: Al lanzar dos dados sacar seis doble B: Al lanzar dos dados sacar un doble distinto del seis doble 5 5 = = = = p ( B) p A Sucesos independientes a) p ( A A A ) ===== p ( A) p ( A) p ( A) = = Sucesos independientes b) p ( B B B ) ===== p ( B) p ( B) p ( B) = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 43 de 59 sirzunzu@gmail.com

44 SB-44 Una persona desea jugar en una atracción de feria, donde regalan un peluche si al tirar un dardo se acierta en un blanco. Si solo se permite tirar tres dardos y la probabilidad de acertar en cada tirada es de 0 3. a) Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche? b) Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche exactamente en el tercer intento? y de llevárselo exactamente en el segundo? (PAU Madrid CCSS Septiembre 00 Opción A) Sea el suceso: D: Hacer diana p D = 0.3 p D = 0.7 Su probabilidad es p( ) ( ) ( 3 ) = = = 65. 7% Sucesos independientes a) p Ganar el peluche = D + p D D + p D D D ====== Sucesos independientes Ganar el peluche b) p ( 3 ) % er = p D D D ====== = = en el 3 int ento Ganar el peluche p = p( D D ) = = 0. = % en el º int ento Iñigo Zunzunegui Monterrubio 44 de 59 sirzunzu@gmail.com

45 SB-45 Un día determinado, en una tienda de ropa joven, se han realizado 400 ventas pagadas con la tarjeta de crédito V y 350 pagadas con la tarjeta MC. Las ventas restantes del día han sido abonadas en metálico. Se comprueba que 50 de las ventas pagadas con la tarjeta de crédito V superan los 50 euros, mientras que 300 de las compras pagadas con MC superan esa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de las ventas del día pagadas con tarjeta de crédito a) Cuál es la probabilidad de que corresponda a una venta superior a 50? b) Si la compra es inferior a 50 euros, cuál es la probabilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC? (PAU Madrid CCSS Septiembre 00 Opción B) V: "Pagar con la tarjeta V" p( V ) = = Sean los sucesos: M: "Pagar con la tarjeta MC" p( M ) = = p( P V ) = = P: "Pagar una cantidad superior a 50 " p( P M ) = = V P P 7 5 M P P a) p( P ) = p( V P) + p( M P) = p( V ) p( P V ) + p( M ) ( P M ) = + = = b) p M ( P) 7 p( M P) p( M ) p( P M ) 5 7 = = = = p( P) p( P) Iñigo Zunzunegui Monterrubio 45 de 59 sirzunzu@gmail.com

46 SB-46 En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, las Matemáticas las aprueban de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, Calcula la probabilidad de que: a) Suspenda esas tres asignaturas. b) Suspenda sólo una de ellas. Si definimos los siguientes sucesos: B: "Aprobar Biología" 4 P( B) = 5 M: "Aprobar Matemáticas" P( M ) = 3 L: "Aprobar Lengua" 3 P( L) = 5 Sucesos independientes a) p ( Suspender las tres asignaturas ) = p( B M L) ===== p( B) p( M ) p( L) = = = = ( a asignatura) p ( B M L) ( B M L) ( B ) p( B M L) p( B M L) p( B M L ) b) p Suspender sólo un = M L = = + + = = + + = + + = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 46 de 59 sirzunzu@gmail.com

47 SB-47 Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: de color azul y 3 de color verde. Se extrae un lápiz del estuche y a continuación, sin reemplazamiento, se extrae otro lápiz. Se pide: a) Escribir los sucesos elementales que definen los sucesos M = Sólo ha salido un lápiz de color verde y N = El segundo lápiz extraído es de color azul b) Calcula las probabilidades de los sucesos M, N y M N. c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razona la respuesta. Sean los sucesos: A: Extraer lápiz azul V: Extraer lápiz verde a) El espacio muestral sería, {(, ), (, ), (, ), (, )} {(, ), (, )} {(, ), (, )} E = A A A V V A V V M = A V V A N = A A V A b) Las probabilidades de los sucesos M, N y M N son: p( ( A V ) ( V A )) p( A V ) p( V A ) p( A ) p( V A ) p M = = + = p( V ) p( A V ) = + = p( ( A A ) ( V A )) p( A A ) p( V A ) p( A ) p( A A ) p N p = = + = p( V ) p( A V ) = + = N = = = = ( M ) p( V A ) p( V ) p( A V ) c) Son M y N independientes? Dos sucesos M y N son independientes si p ( M N ) p ( M ) mismo, p ( M N ) = p ( M ) p ( N ). Y como independientes. = o, lo que es lo 3 3 M y N no son Iñigo Zunzunegui Monterrubio 47 de 59 sirzunzu@gmail.com

48 SB-48 Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente preferencia referente a su participación en distintos tipos de carreras. El 70% suele participar en carreras de maratón (4 km 95 m) El 75% suele participar en carreras de media maratón ( km 97,5 m) El 3% no suele participar en estos tipos de carreras. Se elige al azar uno de estos atletas. Calcula la probabilidad de que: a) Suela participar en carreras de maratón o de media maratón. b) Suela participar en carreras de maratón y de media maratón. c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en carreras de media maratón. a) Llamamos: M= participar en la maratón Se tienen las siguientes probabilidades: N= participar en la media maratón p ( M ) = 0. 7 ( N ) = p p( M N ) = 0.3 a) La probabilidad de que participen en carreras de maratón o media maratón es la probabilidad del suceso M N. ( ) p( M N ) p M N = = = b) La probabilidad de que suela participar en carreras de maratón y media maratón es la probabilidad del suceso M N : p M N = p M + p N p M N p M N = p M + p N p M N = = = 0.58 c) La probabilidad de que participe únicamente en carreras de maratón o de media maratón es la diferencia simétrica, la probabilidad del suceso ( M N ) ( M N ) ( ) ( M N ) p( M N ) p( M N ) p( M ) p( M N ) p( N ) p( M N ) p M N = + = + = = p M + = p( N ) p( M N ) + = 0 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 48 de 59 sirzunzu@gmail.com

49 SB-49 Se dispone de tres monedas. La primera de ellas está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 0,4. La ª moneda tiene dos cruces y la 3ª también está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Se pide: a) Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente, y en el orden indicado. b) Probabilidad de que se obtengan exactamente dos cruces. c) Probabilidad del suceso A = (cara, cruz, cara) 4º) Probabilidad de obtener, al menos, una cara. Si llamamos a los sucesos: C: salir cara X: salir cruz Tendremos las siguientes probabilidades en cada moneda: ( ) p( X ) ( ) p( X ) p( X ) Moneda : p C = 0.4 = 0.6 Moneda : p C = 0 = Moneda 3: p C = 0.6 = 0.4 a) Espacio muestral: 3 3 {(,, 3 ), (,, 3 ), (,, 3 ), (,, 3 )} E = C X C C X X X X C X X X b) Sacar exactamente dos cruces = {( C, X, X 3 ), ( X, X, C3 )} ( ) ( ) p( C X X ) p( X X ) p C X X X X C = + C = + = = = 0.5 = 5% c) Suceso cara-cruz-cara = {( C, X, C3 )} ( ) p C X C 3 = = 0.4 = 4% d) Obtener, al menos, una cara = {( C, X, C3 ), ( C, X, X 3 ), ( X, X, C3 )} Al menos Ninguna p = p = p( X X X 3 ) = = 0.4 = 0.76 = 76% una cara cara Iñigo Zunzunegui Monterrubio 49 de 59 sirzunzu@gmail.com

50 SB-50 En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario de B es,3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,8. Calcular la probabilidad de que: a) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B. b) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B. c) Son independientes los sucesos A y B? Del enunciado tenemos que: p A = p B p A + p B =.3 p A B = 0.8 Si cogemos la segunda ecuación: p A + p B =.3 p B + p B =.3 p B = 0.3 p A = 0.6 a) Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B. ( B) = + ( B) = = 0.7 p A p A p B p A b) Se verifique el contrario de A o el contrario de B Por las leyes de Morgan: ( A B ) = ( ) = ( A ) = = 0 p p A B p B c) Son independientes A y B? p A B = p A p B Para que sean independientes p( A B) = 0.8 Como p( A) p( B) = = 0.8 los sucesos A y B son independientes. Iñigo Zunzunegui Monterrubio 50 de 59 sirzunzu@gmail.com

51 SB-5 En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B. La probabilidad de que no se verifique A es 0,. La probabilidad de que no se verifique B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es 0,04. Hallar la probabilidad de que: a) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B. b) Se verifique el suceso A y se verifique el suceso B. Son independientes los sucesos A y B? Se tiene: p A = 0. p A = p A = 0. = 0.9 ( B) = 0.04 p B = 0.4 p B = p B = 0.4 = 0.6 p A a) p A ( B) ( ) = ( ) = ( ) p( A B) = ( A B) = = 0 p A B p A B p A B p b) p A ( B) ( ) = + ( ) p ( A B) = ( A) + p ( B) p ( A B) = = p A B p A p B p A B p Dos sucesos son independientes si p( A B) = p( A) p( B) ( B) p( B) p A = 0.54 p A = = 0.54 Los sucesos A y B son independientes Iñigo Zunzunegui Monterrubio 5 de 59 sirzunzu@gmail.com

52 SB-5 En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 0 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7 nuevas. a) Tomada una silla al azar, cuál es la probabilidad de que sea nueva? b) Si se coge una silla que no es nueva, cuál es la probabilidad de que no tenga respaldo? (PAU Andalucía 006 Opción A) Podemos resolverlo de dos formas. La primera de ellas es haciendo una tabla de contingencia que nos ayude a reflejar los datos del problema, la segunda es con el teorema de la probabilidad total. Con respaldo ( R ) Sin respaldo ( R ) Total Nuevas ( N ) Viejas ( N ) Total Sean los siguientes sucesos: R: Tener respaldo N: Ser una silla nueva a) Tomada una silla al azar, cuál es la probabilidad de que sea nueva? nº sillas nuevas 0 p( N ) = = = = 0.5 = 5% total sillas 40 4 Lo podemos hacer también por el Teorema de la probabilidad total p( N ) = p( N R) p( R) + p( N R) p( R) = + = = = = 0.5 = 5% b) Si se coge una silla que no es nueva, cuál es la probabilidad de que no tenga respaldo? p( R N ) p( R N ) = = = p N N.B./ El teorema de Bayes o de la probabilidad total nos es muy útil cuando lo que nos dan son probabilidades de los sucesos. Cuando nos dan números es muchísimo más fácil e intuitivo optar por la tabla de contingencias. Iñigo Zunzunegui Monterrubio 5 de 59 sirzunzu@gmail.com

53 SB-53 Una empresa tiene dos fábricas, en la primera son mujeres el 60% de los trabajadores y en la segunda son hombres el 55% de los trabajadores. Se elige al azar, un trabajador de cada fábrica para pertenecer al comité de empresa. a) Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: A = Ambos son hombres. B = Solo uno es mujer. C = Ambos son mujeres. b) Razone si el suceso contrario del suceso C es el A, el B, el A B, el A B o algún otro suceso y calcule su probabilidad. Sean F y F las dos fábricas, y M y H los sucesos ser mujer y ser hombre, respectivamente. 0.5 E M H 0.5 E En F se tiene: p( M F ) = 0.6 y p( H F ) = En F se tiene: p( M F ) = 0.45 y p H F = 0.55 M H a) Las probabilidades de los sucesos pedidos son: b) p A = p H F p H F = = 0. ( ) ( ) p( M F ) p( H F ) p( H F ) p( M F ) = p( M F ) p( M F ) = = 0.7 p B p C = + = = = 0.5 b) El espacio muestral del experimento consistente en elegir dos personas al azar de las E = HH, HM, MH, MM, siendo los sucesos: fábricas es [ ] A = { H H } B = { H M, M H } C = { M M } A Luego el suceso contrario del C es el B = { } A B = { H H, H M, M H } p ( C) p C A B, y por tanto: = = 0.7 = 0.73 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 53 de 59 sirzunzu@gmail.com

54 SB-54 En el lanzamiento de un dado se consideran los tres sucesos siguientes: A= Sale un número impar B= Sale un número par C= Sale el o el Se pide: a) Son independientes A y B? b) Son independientes A y C? c) Calcular p(a/c) 3 ( A ) = = 6 3 = = p p ( B ) = p ( C ) = a) Son independientes A y B? Dos sucesos son independientes si se cumple que: p( A B) = p( A) p( B) A B = { } p( A B) = 0 p 4 ( A) p( B) = = p( A B) b) Son independientes A y C?, luego A y B no son independientes A C = { } p( A C) = 6 p( A) p( C) = = = p( A C), luego A y C sí son independientes 3 6 c) Calcular p( A C ) ( C ) p( C ) p A 6 p( A C ) = = = 3 Iñigo Zunzunegui Monterrubio 54 de 59 sirzunzu@gmail.com

55 SB-55 Sean A, B y C tres sucesos incompatibles tales que p ( A) =, ( B) p ( C) = 4 5, se pide calcular la probabilidad de los sucesos siguientes: p = y 4 a) El suceso consistente en que no se dé el suceso A y no se dé el suceso B. b) El suceso consistente en que no se dé el suceso A y no se dé el suceso B y sí tenga lugar C. Sucesos incompatibles a) p( A B) = p( A B) = p( A B) ====== p( A) + p( B) = + = = + + = Sucesos incompatibles b) p( A B C ) = p( A B C) = p( A B C) ====== p( A) + p( B) + p( C) = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 55 de 59 sirzunzu@gmail.com

56 SB-56 Sea Ω un espacio muestral, A y B sucesos de Ω y p una medida de probabilidad 3 3 en Ω. Sabiendo que p ( A) =, p ( B) =, p( A B) p( A B) =, se pide hallar: a) p( A B) p A B b) a) p A ( B) 3 3 p( A B) p( A B) = p( A B) = p( A B) p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) = + p( A B) p( A B) 5 5 = p( A B) = p( A B) = 5 5 b) p A ( B) p A B p A B = p A B = p A B = = Iñigo Zunzunegui Monterrubio 56 de 59 sirzunzu@gmail.com

57 SB-57 Dados tres sucesos A, B y C relativos a un determinado experimento aleatorio, se consideran los sucesos S = A B C y S = ( A B) C º) Decir si son incompatibles los sucesos S y S º) Interpretar qué significado tienen respecto a los sucesos A, B y C. Iñigo Zunzunegui Monterrubio 57 de 59 sirzunzu@gmail.com

58 SB-58 La probabilidad de que un alumno apruebe matemáticas es de 0.6, la de aprobar lengua es de 0.5 y la probabilidad de aprobar las dos es de 0.. a) Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una asignatura? c) Y de que no apruebe ninguna? c) Cuál es la probabilidad de que apruebe matemáticas y no lengua? Iñigo Zunzunegui Monterrubio 58 de 59 sirzunzu@gmail.com

59 SB-59 Una empresa revela que el 35% de los habitantes de una ciudad oye la emisora A, el 8% oye la B y el 0% ambas emisoras. Se elige al azar uno de esos ciudadanos. Calcula la probabilidad de que escuche: º Algunas de esas emisoras. º Ninguna de ellas. 3º La emisora A sabiendo que escucha B. 4º La emisora A sabiendo que no escucha B. Iñigo Zunzunegui Monterrubio 59 de 59 sirzunzu@gmail.com