APAGADO DE FUENTES INDEPENDIENTES

Transcripción

1 Clase Semana TEOREMAS Los ingenieros han desarrollado algunos teoremas para simplificar el análisis de circuitos complejos. En los siguientes teoremas las técnicas implican apagar las fuentes independientes para efectos de cálculos entonces veamos a que se refieren con apagar las fuentes: APAGADO DE FUENTES INDEPENDIENTES Fuentes de voltaje: Las fuentes de tensión se apagan reemplazando la fuente por un conductor, ó lo que es lo mismo poner en cortocircuito. La característica es que permite el paso de corriente pero no hay tensión en los terminales donde se encuentra la fuente. Figura 1 Apagado de fuentes de voltaje Al cortocircuitar los terminales, cortocircuita todo lo que esté en paralelo con él. 1

2 2 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Fuentes de corriente: Las fuentes de corriente se apagan eliminando la fuente, ó lo que es lo mismo ponerla en circuito abierto. La característica es que no hay paso de corriente. Figura 2 Apagado de fuentes de corriente Al quedar como circuito abierto, la corriente de cualquier elemento que este en serie con ella es cero, que es lo mismo como si se eliminara. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

3 0.1. TEOREMAS 3 Example: Ejercicio: Dibuje el circuito resultante luego de apagar las fuentes independientes. Example-fin: Figura 3 Solución: Aplicando lo que vimos sobre el apagado de fuentes independientes, se tiene: Figura 4 Verifique cada paso con lo visto. Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

4 4 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS TEOREMA DE THEVENIN El teorema de Thevenin es una técnica que permite hallar el equivalente de un circuito en dos de sus terminales representado con una fuente V T h en serie con una impedancia Z T h. Fue desarrollado en 1883 por el ingeniero de telégrafos León Thevenin ( ). Si en un circuito determinado la carga entre dos terminales es la variable de interés, el resto del circuito puede ser reemplazado por su equivalente de Thevenin y se evita analizar todo el circuito cada vez que la carga cambie. Figura 5 Equivalente de Thevenin Donde: Z T h : Impedancia de Thevenin. V T h : Voltaje de Thevenin. Pasos: Para hallar la tensión V T h, se retira la carga que este en los terminales de interés y por cualquier técnica se calcula la tensión en los terminales a-b (V ab ), siendo V T h = V ab Para el cálculo de la impedancia de Thevenin Z T h, se deben considerar dos casos: a) Cuando no hay fuentes dependientes: Se apagan todas las fuentes independientes y se obtiene la impedancia equivalente vista en los terminales a-b. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

5 0.1. TEOREMAS 5 b) Cuando hay fuentes dependientes: Se apagan las fuentes independientes y se tienen dos alternativas: Se instala una fuente de voltaje de prueba V p en los términales a-b y se calcula la corriente que entrega al circuito I p. Se instala una fuente de corriente de prueba I p en los términales a-b y se calcula el voltaje V p en los terminales. En cualquiera de los casos, la impedancia de Thevenin es la relacion entre V p e I p. Example: Ejemplo 01: Obtenga el circuito equivalente de Thevenin en los terminales a-b, para el circuito de la figura. Example-fin: Figura 6 Usando el concepto de divisor de tensión para hallar V T h = V ab V ab = V a V b = ( ) (8 6j) (12j ) (4 + 12j) = 37,95 139,7 V = V T h Para calcular Z T h se apaga la fuente de tensión y se halla Z (eq ab) El circuito queda: Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

6 6 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 7 Z ad = (8 ( j6)) (8 j6) = 2,88 3,84j Ω Z bd = (4 12j) (4 + 12j) = 3,6 + 1,2j Ω Z ab = Z T h = 2,88 3,84j + 3,6 + 1,2j = 6,48 2,64jΩ El circuito equivalente de Thevenin es: Figura 8 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

7 0.1. TEOREMAS 7 Example: Ejemplo 02: Encuentre el equivalente de Thevenin en los terminales a-b en el circuito. Example-fin: Figura 9 Desarrollo: Para hallar V T h = V ab : Aplicando ley de corrientes en el nodo c. LCK c : 15 0 = I o + 0,5I o = 1,5I o I o = 10 0 A Aplicando ley de tensiones evadiendo la fuente de corriente o en la supermalla LT K B : I o (2 4j) + 0,5I o (4 + 3j) + V ab = 0 Despejando: V T h = V ab = 55j = [V ] Para hallar Z T h : Como tiene fuentes dependientes debemos colocar una fuente de prueba ya sea de corriente o de tensión y hallar la relación Z T h = Vp I p ; veamos los dos casos. Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

8 8 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS *Colocando una fuente de prueba de tensión V p = 1 0 V : Ubicamos la fuente de prueba y apagamos las fuentes dependientes, obteniendo el siguiente circuito. Y debemos hallar la corriente I p que sale de la fuente. Figura 10 Colocando fuente de voltaje de prueba Aplicando ley de tensiones evadiendo la fuente de corriente o en la supermalla LT K B 1 0 = I o (4 + 3j + 2 4j) I o = (1 0 ) (6 j) = 0,1644 9,4623 A Aplicando Ley de Corrientes en el nodo a. Por tanto: LCK C I p = I o + 0,5I o = 1,5I o = 0,2466 9,4623A Z T h = V p I p = (1 0 ) (0,2466 9,4623) = 4,0552 9,4323Ω *Colocando una fuente de prueba de corriente I p = 3 0 : Apagamos las fuentes independientes, ubicamos la fuente de prueba debemos hallar el voltaje V p = V ab Aplicando Ley de Corrientes en el nodo a. LCK C 3 0 = I o + 0,5I o = 1,5I o I o = 2 0 A UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

9 0.1. TEOREMAS 9 Figura 11 Colocando fuente de corriente de prueba Aplicando ley de tensiones evadiendo la fuente de corriente o en la supermalla LT K B : Hallando la impedancia de Thevenin Z T h = V p I p = V ab = I o (4 + 3j + 2 4j) = 2 0 (6 j) = 12 2j (12 j) (3 0 ) = 4 0,6667j = 4,0552 9,4323 Ω Se observa que se llega a la misma respuesta Z T h, siempre y cuando la dirección de la fuente de corriente de prueba salga por el lado positivo de la fuente de voltaje. El circuito equivalente de Thevenin en los terminales es: Figura 12 Circuito equivalente de Thevenin Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

10 10 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Example: Ejercicio para taller de clase: Halle el voltaje v o (t) usando el teorema de Thevenin. Example-fin: Figura 13 Example: Ejercicio propuesto 01: Encuentre el equivalente de Thevenin en los terminales a-b en el circuito de la figura. Example-fin: Figura 14 Respuesta: Z T h = 12,4 3,2jΩ; V T h = 47,42 51,7 V Example: Ejercicio propuesto 02: Determine el equivalente de Thevenin del circuito de la figura vista desde los terminales a-b Example-fin: Respuesta: Z T h = 4,473 7,64 Ω; V T h = 29,4 72,9 V UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

11 0.1. TEOREMAS 11 Figura TEOREMA DE NORTON En 1926, E.L Norton un ingeniero Americano de Laboratorios Bell, propuso un teorema similar al de Thevenin. El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales puede ser reemplazado por un circuito equivalente que consiste de una fuente de corriente I N, en paralelo con una impedancia Z N, donde I N es la corriente de cortocircuito a través de los terminales y Z N es la impedancia equivalente en los terminales cuando las fuentes independientes están apagadas. Si en un circuito determinado la carga entre dos terminales es la variable de interés, el resto del circuito puede ser reemplazado por su equivalente de Norton y se evita analizar todo el circuito cada vez que la carga cambie. Donde: Z N : Impedancia de Norton. I N : Corriente de Norton. Pasos: Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

12 12 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 16 Teorema de Norton Para hallar la corriente I N, se retira la carga que este en los terminales de interés y por cualquier técnica se calcula la corriente de cortocircuito en los terminales a-b, siendo la dirección de la corriente saliendo por el terminal. a ". Para el cálculo de la impedancia de Norton Z N, se siguen los mismos pasos para calcular la impedancia de Thevenenin Z T h, siendo Z T h = Z N. Example: Ejemplo 01: Obtenga la corriente I o usando el circuito equivalente de Norton. Example-fin: Figura 17 Desarrollo: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

13 0.1. TEOREMAS 13 Para calcular la impedancia de Norton, se apagan las fuentes y se halla la Z ab. Al apagar las fuentes independientes el circuito resultante es: Figura 18 Observemos como la fuente de voltaje cortocircuita el serie (8 2j j4) y solo se ve la de 5 Ω. Z ab = Z n = 5 Ω Para calcular la I N, se retira la carga que este en los terminales de interés y por cualquier técnica se calcula la corriente de cortocircuito en los terminales a-b, siendo la dirección de la corriente pasando del terminal a al b. Se resuelve utilizando mallas. LT K 1 : j40 + (18 + 2j)I 1 (8 2j)I 2 (10 + 4j)I 3 = 0 Ec 01 LT K SM : (13 2j)I 2 + (10 + 4j)I 3 (18 + 2j)I 1 = 0 Ec 02 LCK A : I 3 = I Ec 03 Sumando la ecuación Ec1 y Ec 2, da como resultado j40 + 5I 2 = 0 I 2 = 8 90 [A] Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

14 14 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 19 Entonces: El circuito equivalente es de Norton es: I N = I 3 = I = (3 + j8) [A] Figura 20 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

15 0.1. TEOREMAS 15 Luego ponemos de nuevo la carga a la cual se le calculara la corriente I o Figura 21 Usando el concepto de divisor de corriente: I o = (5 I N ) ( j15) = (5 (3 + j8)) ( j15) = 1, , 48 A Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

16 16 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Example: Ejemplo: Determine el equivalente de Norton del circuito de la figura vista desde los terminales a-b. Example-fin: Figura 22 Desarrollo: Para hallar la I N, se cortocircuitan los terminales a b y se halla la corriente de cortocircuito. Figura 23 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

17 0.1. TEOREMAS 17 Resolvemos por voltajes de nodo: V c V d = 2V x = 2V d LCK SN : V d ( 1 4 V c = 3V d Ec 1 ) ( + V c 1 j6 + 1 ) = Reemplazando (1) en (2): V d (0,25) + V c (0,5 + j0,1667) = 5 0 Ec 2 V c (0, j0,1667) = 5 0 Por tanto: V c = 5 0 (0, j0,1667) = 8,24 15,945 I N = 4,22 15,945 Ahora se calcula la impedancia de Norton Z N : Se apaga la fuente independiente y se instala una fuente de voltaje de prueba V p, y se halla I p, usando el método de nodos. V c V d = 2V x = 2V d LCK SN : V d ( 1 4 V c = 3V d Ec 1 ) ( + V c 1 j6 + 1 ) = V d (0,25) + V c (0,5 + j0,1667) = V p 2 Ec 2 Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

18 18 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 24 Hallando Z N Reemplazando (1) en (2) y V p = 10 0 V : V c (0, j0,1667) = 5 0 Por tanto: V c = 5 0 (0, j0,1667) = 2,74 15,945 Z N = ,24 15,945 = 1,21 15,945 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

19 0.1. TEOREMAS 19 Example: Ejercicio propuesto 01: Determine el equivalente de Norton del circuito de la figura vista desde los terminales a-b. Use el equivalente para hallar I o. Example-fin: Figura 25 Respuesta: Z N = 3,176+j0,706Ω; I N = 4,198 32,68 A; I o = 985,5 2,101 ma Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

20 20 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN En un circuito lineal, el teorema de superposición aplica de la misma forma que en circuito DC. El teorema toma importancia si el circuito es alimentado con fuentes de diferentes frecuencias. La respuesta total se hace con la suma de las respuestas en el dominio del tiempo. 1 Example: Ejemplo: Determine v o usando el teorema de superposicíon. Examplefin: Figura 26 Desarrollo: Se revisan los aportes de cada fuente de forma individual y se superponen las respuestas: Apagando la primera fuente: v 0 = v 1 + v 3 + v 3 Figura 27 Apagando la primera fuente 1 Pagina 421 Sadiku 4Ed UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

21 0.1. TEOREMAS 21 Por divisor de tension: Apagando la segunda fuente: v 1 = = 1 V Figura 28 Apagando la segunda fuente fuente Por divisor de tension: Z p = 4 ( j5) 4 j5 = 2,44 j1,95 Ω V 2 = ,44 j1,94 + 4j + 1 = 2,49 30,78 V Apagando la tercera fuente: v 2 = 2,49 cos(2t 30,78 ) V Figura 29 Apagando la tercera fuente fuente Por divisor de corriente: Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

22 22 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Z p = 4 ( j2) 4 j2 = 0,8 j1,6 Ω I 1 = 2 90 j10 j ,8 j1,6 = 2, A V 3 = I 1 1 = 2, V Por tanto, por superposición: v 3 = 2,328 cos(2t 78 ) V v o (t) = 1 + 2,49 cos(2t 30,78 ) + 2,328 cos(5t 78 ) V Example: Ejercicio propuesto: Calcule I o Example-fin: usando el teorema de superposicíon. Figura 30 Respuesta: I o = 6,12 144,78 Example: Ejercicio propuesto: Calcule v o (t) usando el teorema de superposicíon. Example-fin: Respuesta: 7,71 sin(5t 81,12) + 2,102 cos(10t 86,24) UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

23 0.1. TEOREMAS 23 Figura 31 Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA