Análisis de Varianza Factorial y MANOVA

Transcripción

1 0 Introducción origen y características (1869 Galton Genio Hereditario) Parsimonia Informativa 1 Tipos de Análisis Factorial 2 El modelo de Análisis Factorial: Teoremas 3 Pasos del Análisis Factorial: Cálculo y examen de la matriz de correlaciones, varianzas o covarianzas Extracción de factores comunes: selección del procedimiento del cálculo y del número concreto: Rotación factorial Cálculo de Puntuaciones Factoriales

2 Análisis de Varianza Factorial y MANOVA Parsimonia informativa: Todo modelo debe de ser más Simple que los datos en los que se basa OBJETIVO del Análisis Factorial: Obtención de un conjunto de factores o componentes latentes K, que expliquen la Covariación existente en las n variables, siendo K < n Nivel de Medición: VARIABLES CONTINUAS Cada variable puede ser expresada como una combinación Lineal de los factores no directamente observables y Cada factor puede ser expresado como una combinación Lineal de las variables originales

3 Teorema 1: La varianza de una variable puede ser entendida como la suma varios componentes o tipos de varianza (no relacionados entre sí): La varianza común o varianza explicada por los factores comunes La varianza de unicidad que se descompone a su vez en: específica Varianza específica propia de la variable Varianza de error debida a errores aleatorio

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6 Teorema 2: De este modo la COMUNALIDAD h2 representa la Proporción de varianza explicada por los factores comunes Siendo h 2 i el tanto por uno de varianza total de la variable Explicada por los factores comunes. Es decir la parte de la Varianza total de la variable que se relaciona con otras Variables

7 Teorema 2: Y S 2 u la UNICIDAD o tanto por uno de la varianza de la variable que no logra explicarse por los factores comunes y que se atribuye a características propias de la variable y al Azar. Es decir, la parte de la varianza total que no se relaciona con ninguna otra variable y que a su vez está compuesta de dos elementos: Especificidad E 2 i : Parte de la varianza total de la varianza atribuible a sus propias características Varianza de error e 2 i : Parte de la varianza total de la variable que se debe en general al azar

8 Si extraemos la raíz cuadrada, obtenemos

9 Teorema 3: La proporción de varianza total de una variable que se explicada por cada uno de los factores puede ser entendida y expresada como un coeficiente de determinación r2. De modo que si se extrae la raíz cuadrada del mismo resultado Puede considerarse como un coeficiente entre el factor y la Variable que recibe el nombre de factor loading, factor de saturación o números peso De este modo la correlación entre dos variables es igual a la suma de los productos de sus números peso para cada uno de los factores comunes

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11 INDICADORES DE IDONEIDAD DE LA PALICACIÓN DEL ANÁLISIS FACTORIAL Análisis de la matriz de correlaciones Coeficientes de Correlación múltiple Determinante de la matriz de correlaciones Test de esfericidad de Bartlett Índice de Kaise Meyer Olkin NUMERO DE FACTORES A CONSERVAR Eigenvalues superiores a 1 Scree Plot o gráfico del pie de la montaña o guijarros

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13 Análisis de Varianza Factorial y MANOVA 1 ROTACION FACTORIAL 2 INTERPRETACION FACTORIAL 3 CÁLCULO DE LAS PUNTUACIONES FACTORIALES

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15 El objetivo de la rotación consiste en la obtención de una matriz factorial equivalente a la original pero más fácil de interpretar Esta se obtiene multiplicando la matriz factorial por la matriz de Transformación. (Aquella que multiplicada por la matriz factorial, produce l Matriz factorial rotada) La matriz factorial rotada es una combinación lineal de la matriz sin rotar y explica la misma cantidad de la varianza total del mismo modo que se Mantienen las COMUNALIDADES, lo único que varía son los EIGENVALUES es decir, la parte explicada por cada factor del total de la Varianza. Por ello la rotación no afecta a la BONDAD DE AJUSTE del modelo

16 Criterios técnicos de la Rotación Positividad múltiple Estructura Simple de Thurstone (1947): a) Cada factor debe tener pesos altos y otros próximos a Cero b) Cada variable debe de estar satura en un solo factor c) No deben existir factores con la misma distribución de Los factores distintos deben presentar distribuciones distintas de cargas altas y bajas

17 TIPOS DE ROTACION ORTOGONAL ángulo resultante entre factores = 90º Varimax: minimiza el número de variables con pesos altos en cada factor (simplifica la Interpretación de los factores, columnas d la matriz factorial) Quartimax: minimiza el número de factores necesarios para explicar cada variable (simplifica la Interpretación de las variables, filas de la matriz factorial) Equamax: es una combinación de los dos métodos o criterios anteriores OBLICUA ángulo resultante entre factores >ó< 90º Factor Pattern Matrix: Pesos de los factores sobre las variables (Coeficientes De correlación parcial) Factor Structure Matrix: Coeficientes de correlación entre factores y variables Factor Correlation Matrix: Coeficientes de correlación entre los factores

18 2 INTERPRETACIÓN FACTORIAL 1.- Estudiar la composición de las saturaciones factoriales significativas de cada factor 2.- Para ello es práctico ordenar las variables en función del peso de los factores sobre éstas. Se pueden ordenar con SPSS a través del comando SORT, así las variables con ponderaciones más altas para el mismo factor aparecerán juntas 3.- Eliminar saturaciones bajas, convirtiéndolas en blancos BLANK también ayuda a la interpretación de resultados. Las dos estrategias pueden utilizarse conjuntamente de cara a una mayor facilidad interpretativa

19 Industria Periodic Ventasde Ventasmay Empleofem Agricult Nivelvid Salud Ayudasinf Paro Vivienda Estabpobl Migración Enfmental Análisis Factorial Matriz Factorial Rotada Factor Factor Factor

20 1º factor: ACTIVIDAD ECONÓMICA ( Industria, Circulación de Periódicos, ventas al por mayor, ventas al por menor, tasa de manos de obra femenina y negativamente con mano de obra Agrícola) 2º factor: BIENESTAR SOCIAL (nivel sanitario, Fomento de altos estándares de vida, y en sentido negativo con ayuda A la infancia, desempleo e índice de enfermedades mentales) 3º factor: ESTABILIDAD SOCIAL ( % de viviendas de reciente construcción, nivel de inmigración/emigración, y en sentido negativo con estabilidad de la población)

21 3 OBTENCION DE LAS PUNTIACIONES FACTORIALES 1 Obtención de la matriz de coeficientes de puntuaciones factoriales 2 Multilicada por la matriz de datos original 3 Resultado: matriz de PUNTUACIONES FACTORIALES

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23 Interesal destacar que si los factores obtenidos son factores ortogonales Pueden utilizarse en diferentes análisis posteriores. Como señalan los autores en el ejemplo: seleccionando el índice de desarrollo tecnológico como variable dependiente de los factores obtenidos Industrialización, Bienestar social y Estabilidad Social