ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES y ANÁLISIS DE FACTORES COMUNES

Transcripción

1 Facultad de Psicología y Ciencias Sociales ESTADÍSTICA II (Plan 2008) ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES y ANÁLISIS DE FACTORES COMUNES Prof. Titular Lic. Rubén José Rodríguez 4 de abril de

2 ANTECEDENTES ANÁLISIS FACTORIAL (1) Charles Spearman ( ): Psicólogo inglés. Fue oficial del ejercito británico en la India y a su vuelta, a los 40 años, influido por la lectura de Francis Galton, decidió realizar su tesis doctoral sobre la medición objetiva de la inteligencia. Propuso el primer modelo factorial, basado en un factor común (factor g), y un factor específico (factor s) (1901), conocida como Teoría bifactorialista de la inteligencia. Ocupo la primera Cátedra de Psicología en la University College en Londres. El Análisis Factorial (AF) engloba dos técnicas: Análisis de Componentes Principales (ACP) y Análisis de Factores Comunes (AFC). 2

3 ANTECEDENTES ANÁLISIS FACTORIAL (2) Karl Pearson ( ): Científico inglés, discípulo de Galton. Conocido por sus aplicaciones de la estadística a los problemas biológicos y psicológicos. Cofundador de la revista Biométrika (1902). Fue el que presentó la propuesta del Análisis de Componentes Principales (1901)(ACP) primer paso para el cálculo del Análisis Factorial. El ACP es una técnica descriptiva que intenta condensar la matriz de correlaciones entre las variables en unos componentes principales la variabilidad total que presentan los individuos en las pruebas o variables medidas. 3

4 OBJETIVO DEL ANÁLISIS FACTORIAL (1) El objetivo del AF consiste en identificar un número de factores o componentes, inferior al número de variables observadas (F<V) mediante los cuales se pueda describir el fenómeno observado en forma simplificada. El AF es un método de reducción de la información, identificando los factores que son constructos no directamente observables (variables latentes). A partir de la matriz de datos original se calcula la matriz de correlaciones y el ACP/AFC convierte a ésta en una matriz factorial. El AF es, en fin de cuentas, un estudio de los coeficientes de correlación (Yela, Mariano (1957). La Técnica del Análisis Factorial. Madrid: Biblioteca Nueva, 1997, p. 32 4

5 OBJETIVO DEL ANÁLISIS FACTORIAL (2) El AF al ser un técnica descriptiva o de interdependencia busca resumir, reducir o simplificar la información contenida en una matriz de datos con V variables. Reduce un gran número de variables empíricas a pocas variables fundamentales donde aquellas están altamente saturadas en éstas. E identifica un reducido número de factores o componentes F siendo F < V, de modo que expliquen un máximo de la variabilidad total (ACP), o bien, solamente la variabilidad común (AFC) (Análisis Factorial Común) (Hair, et al., 1999: 90 y 768). El AF debe cumplir los Principios de parsimonia e interpretabilidad. 5

6 DIAGRAMA DE ANÁLISIS CAUSAL VARIABLES ORIGINALES COEFICIENTES FACTORIALES FACTORES EXTRAIDOS NOMBRE FACTOR LATENTE Índice de industrialización Periódicos semanales por hab. U$ por Hab de Ventas al Detalle U$ por Hab del Ventas al Por Mayor % de Mujeres > 14 años que trabajan % de Trabajadoras en agricultura INDUSRI PERIODIC VENTASDE VENTASMA EMPLEOMU AGRICULT F 1 Actividad Económica Índice de Fomento del Nivel de Vida Índice de Salud Gastos en Ayudas a los Niños x Hab. Índice de Paro Laboral (Desocup.) Extensión de las Enferm. Mentales NIVELVID SALUD AYUDASNI PARO MENTALEN F 2 Bienestar Social % de Viviendas Construidas reciént. Estabilidad de la Población Índice de Actividad Migratoria VIVIENDA ESTAPOBL MEGRACIO F 3 Estabilidad Social Bisquerra Alzina, Rafael (1989). Introducción conceptual al Análisis Multivariable. Tomo I. Madrid: PPU-Promociones y Publicaciones Universitarias, 1989, p

7 PASOS DEL ANÁLISIS FACTORIAL(1) 1º Exámen de la Matriz de Correlaciones: El requisito es que las variables estén intercorrelacionadas. Los indicadores estadísticos para medir la significación del grado de correlación: Test de Esfericidad de Barlett, Índice de K-M-O de Kaiser, Meyer y Olkin, Coeficiente de Correlación Parcial y Múltiple, y Gráfico de Sedimentación. Si de estos indicadores estadísticos surge que las variables en la matriz de datos están incorrelacionadas, por lo tanto no es posible aplicar el ACP o el AFC, pues, no hay variabilidad o variancia (total o común) que explicar para obtener un componente principal o factor común. 7

8 PASOS DEL ANÁLISIS FACTORIAL(2) 2º Extracción de los Factores o Componentes: Determinar un número reducido de factores que puedan representar a las variables originales. Uno de los métodos de extracción es de Componentes Principales (CP), que a su vez es una técnica estadística del AF: ACP. El método de CP analiza la variancia total y extrae la primera proporción de máxima varianza (primer CP) que explique los datos. El segundo CP extrae la mayor proporción de la varianza residual, y así suce sivamente. Los CP extraídos deben no estar correlacionados entre sí (ortogonales). Los posteriores CP explican cada vez menos de la variancia residual. 8

9 PASOS DEL ANÁLISIS FACTORIAL(3) 3º Rotación de Factores: Consiste en hacer rotar, girar los ejes factoriales hasta que se aproximen al máximo a las a las variables. La finalidad es obtener una representación gráfica fácilmente interpretable. 4º Cálculo de las Puntuaciones Factoriales: Una vez obtenidos los factores donde las variables tienen alta saturación se pueden calcular las puntuaciones que obtendrían los sujetos en esos factores. A partir de la matriz factorial rotada se calculan las puntuaciones factoriales que se transforman en puntuacio es estandarizadas Z ij y expresan al AF como una ecuación de regresión múltiple: F FZ FZ FZ ij i1 i1 i2 i2... i j 9

10 TEST DE ESFERICIDAD DE BARLETT El test pone a prueba la H 0 mediante X 2 que dice que la matriz de correlaciones empírica R es igual a la matriz identidad I (cuya diagonal principal son unos y el resto de los coeficientes son 0): H 0 : R = 1 (Hay incorrelación) H 1 : R 1 (Hay correlación) Si se confirma la H 0 significa que las variables no están intercorrelacionadas, por lo tanto la nube de puntos en el espacio formaría una esfera (esfericidad). 10

11 ÍNDICE KMO de KAISER, MEYER y OLKIN Este índice compara las magnitudes de los coeficientes de correlación observados r r ij con los coeficientes de correlación parcial ij. z. El índice KMO varía entre 0,0 a 1,0. Si el índice r ij r ij. tiende a 1,0 señala la existencia de intercorrelación z entre las variables. Valores de KMO inferiores a 0,50 suponen, por el con trario, la no adecuación del AF, al haber poca correlación. Su fórmula es: KMO N N 2 rij i 1 j 1 N N N N 2 2 rij rij. z i 1 j 1 i 1 i 1 11

12 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables Pérez, César (2004). Técnicas de análisis multivariante de datos con SPSS, Madrid: Pearson, 2004, pp Estadísticos descriptivos Alfabetización (%) Aumento de la población (% anual) Esperanza de vida femenina Mortalidad infantil (muertes por 1000 nacimientos vivos) Número promedio de hijos Tasa de natalidad Log(10) de PIB_CAP Población x1000 Tasa de mortalidad Desviación Media típica N del análisis 78,14 23, ,696 1, ,94 10, ,317 38, ,551 1, ,124 12, ,4086, , , ,62 4,

13 Correlación EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables Sig. (Unilateral) Alfabetización (%) Aumento de la población (% anual) Esperanza de vida femenina Mortalidad infantil (muertes por 1000 nacimientos vivos) Número promedio de hijos Tasa de natalidad Log(10) de PIB_CAP Población x1000 Tasa de mortalidad Alfabetización (%) Aumento de la población (% anual) Esperanza de vida femenina Mortalidad infantil (muertes por 1000 nacimientos vivos) Número promedio de hijos Tasa de natalidad Log(10) de PIB_CAP Población x1000 Tasa de mortalidad a. Determinante = 5,065E-07 Matriz de correlaciones a Mortalidad infantil (muertes por 1000 nacimientos Aumento de Número Alfabetización la población Esperanza de promedio Log(10) de Población (%) (% anual) vida femenina vivos) de hijos habitantes) PIB_CAP x1000 habitantes) 1,000 -,698,865 -,901 -,866 -,870,731 -,062 -,485 -,698 1,000 -,579,603,835,856 -,571 -,054 -,029,865 -,579 1,000 -,962 -,847 -,865,833 -,067 -,703 -,901,603 -,962 1,000,844,870 -,824,082,636 -,866,835 -,847,844 1,000,975 -,713 -,067,424 -,870,856 -,865,870,975 1,000 -,783 -,043,384,731 -,571,833 -,824 -,713 -,783 1,000 -,198 -,401 -,062 -,054 -,067,082 -,067 -,043 -,198 1,000 -,053 -,485 -,029 -,703,636,424,384 -,401 -,053 1,000,000,000,000,000,000,000,266,000,000,000,000,000,000,000,293,386,000,000,000,000,000,000,249,000,000,000,000,000,000,000,203,000,000,000,000,000,000,000,247,000,000,000,000,000,000,000,331,000,000,000,000,000,000,000,021,000,266,293,249,203,247,331,021,295,000,386,000,000,000,000,000,295 Tasa de natalidad (por Tasa de mortalidad (por

14 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables KMO y prueba de Bartlett Medida de adecuación muestral de Kaiser-Meyer-Olkin.,841 Prueba de esfericidad de Bartlett Chi-cuadrado aproximado gl Sig. 1451,999 36,000 ÏNDICE KMO: 0,841 Alta intercorrelación entre los indicadores TEST DE ESFERICIDAD DE BARLETT: X 2 = 1451,999 Sig. 0,000 Rechazo de H 0 Hay intercorrelación entre las variables 14

15 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables Alfabetización (%) Aumento de la población (% anual) Esperanza de vida femenina Mortalidad infantil (muertes por 1000 nacimientos vivos) Número promedio de hijos Tasa de natalidad Log(10) de PIB_CAP Población x1000 Tasa de mortalidad Comunalidades Inicial Extracción 1,000,868 1,000,955 1,000,972 1,000,952 1,000,940 1,000,974 1,000,782 1,000,973 1,000,956 Método de extracción: Análisis de Componentes principales. Los Componentes extraídos varían entre 0,782 y 0,974 indicando una alta comunalidad (h 2 ). Estas indican la proporción de varianza explicada por todos los factores (resultantes de la extracción). La comunalidad de cada variable es igual a la suma de cuadrados de los coeficiente factoriales de cada variable k j j kj kj h F1 F2... F F 15

16 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables Componente Los Autovalores o Eigenvalores (Valores propios: Lmbda) son el cuadrado del Coeficiente Factorial e indican la proporción de I la variancia total de una variable explicada por ese factor. Se convierte en el % explicado por el Factor I, II, etc., dividiendo el Autovalor por el nº de variables y multiplicado por 100. Se observa que el FI explica el 67,95% de la variancia total, el FII el 13,23% y FIII el 11,83%. Los tres primeros factores explican el 93,01% de la variancia total, pues sus Autovalores son > que 1 (1,065 a 6,116). Varianza total explicada Sumas de las saturaciones al cuadrado Suma de Autovalores iniciales de la extracción las % de la % de la Total varianza % acumulado Total varianza % acumulado Total 6,116 67,954 67,954 6,116 67,954 67,954 5,967 1,190 13,227 81,182 1,190 13,227 81,182 2,060 1,065 11,830 93,011 1,065 11,830 93,011 1,126,305 3,389 96,401,162 1,797 98,198,067,744 98,942,056,622 99,564,025,280 99,845,014, ,000 Método de extracción: Análisis de Componentes principales. a. Cuando los componentes están correlacionados, las sumas de los cuadrados de las saturaciones no se pueden añadir para obtener una varianza total. 16

17 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables 7 Gráfico de sedimentación Autovalor I Número de componente Los Autovalores mayores a 1 son los tres primeros componentes (1,065; 1,190; 6,116) y que sintetizan el 93% de la explicación de la variancia total. 17

18 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables Alfabetización (%) Aumento de la población (% anual) Esperanza de vida femenina Mortalidad infantil (muertes por 1000 nacimientos vivos) Número promedio de hijos Tasa de natalidad Log(10) de PIB_CAP Población x1000 Tasa de mortalidad Matriz de componentes a Componente ,931 -,009 -,025,755,608,125 -,957,232,051,958 -,181 -,010,944,210 -,063,961,225 -,010 -,851,096 -,220,038 -,355,919,551 -,710 -,385 Método de extracción: Análisis de componentes principales. Componente 1: Alfabet (-,931), Inc_pob (,755), Espvidaf (,957), Mortinf,958), Fertilid (,944), Tasa_nat (,961) Componente 2: Tasa_mor (-,710) Componente Autor: Prof. Rubén 3: J. Poblac Rodríguez(,919) 18

19 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables Matriz rotada según el Método OBLIMIN con KAISER Matriz de estructura Alfabetización (%) Aumento de la población (% anual) Esperanza de vida femenina Mortalidad infantil (muertes por 1000 nacimientos vivos) Número promedio de hijos Tasa de natalidad Log(10) de PIB_CAP Población x1000 Tasa de mortalidad Componente ,920,378 -,097,851,234 -,097 -,901,618 -,139,913 -,562,153,963 -,244 -,070,984 -,221 -,029 -,831,367 -,311,016 -,005,981,407 -,960,021 Método de extracción: Análisis de componentes principales. Metodo de rotación: Normalización Oblimin con Kaiser. 19

20 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL AF - MUNDO Países X 26 Variables Gráfico de componentes en espacio rotad nte 2 1,0,5 0,0 aumento de la poblac población x1000 tasa de natalidad (p esperanza de vida fe número promedio de h log(10) alfabetización de pib_cap(%) mortalidad infantil -,5 tasa de mortalidad ( 1,0,5 0,0 Componente 1 -,5 -,5 1,0,5 0,0 Componente 3 El Gráfico de componentes visualiza la ubicación en el espacio tridimensional de los 3 factores los coeficiente factoriales que mejor saturan a cada indicador. 20

21 ESCALA DE NACIONALISMO - MATRIZ FACTORIAL COEFICIENTES FACTORIALES F j (Cargas o Saturaciones Factoriales) Me gusta ser peruano Estoy orgulloso de ser peruano En general me agradan los peruanos Prefiero ser peruano más que de cualquier otro país Los peruanos no debemos mezclarnos con gente de otros países En el Perú solamente debería vivir la gente que es peruana Todos los peruanos deberían vivir en el Perú y no irse al extranjero Se debe cerrar las fronteras a productos de afuera No hay que confiar mucho en los países vecinos Las empresas norteamericanas vienen y se llevan la plata Todos los problemas del Perú surgen con la venida de los españoles durante la conquista Las inversiones chilenas en el Perú son un peligro para el país Siento que formo parte de una familia peruana Siento que comparto un mismo pasado con todos los peruanos Siento que tengo sangre chola A pesar de que hay excepciones, está claro que los peruanos somos más capaces que los habitantes de los países vecinos Los peruanos son más valientes y patriotas que las personas de los países vecinos. Los peruanos somos mejores que las personas de otros países 0, F1 0,800 0,790 0,651 0,620 F2 0,811 0,808 0,528 0,478 F3 0,702 0,671 0,653 0,625 F4 0,723 0,682 0,626 F5 0,766 0,719

22 DENOMINACIÓN DE LAS DIMENSIONES FACTORIALES Promedio en las Escalas Likert ORGULLO (4.24 de promedio) PERTENENCIA GRUPAL (4.01 de promedio) DIMENSIONES INCLUYENTES ENDOGAMIA (2.89 de promedio) ANIMOSIDAD (3.68 de promedio) DIMENSIONES DE CONFRONTACION SENTIMIENTO DE SUPERIORIDAD (3.42 de prom) De los 66 ítems iniciales se obtiene una escala de 18 ítems Las dimensiones que mejor explican los cambios en puntuaciones generales son la Endogamia, la Animosidad y Superioridad. Es ahí donde hay mayor varianza. 22