+ E + E. 5 = = 2499 ceros. Los 8000 números entre 1 y que no son divisibles por 5 son

Transcripción

1 Problema. Hallar el último dígito no nulo de 10000! Solución. Seguiremos las indicaciones de Demetres Christofides en el foro Ask NRICH : En primer lugar, hallamos el número de ceros que hay al final de 10000! Para ello tenemos en cuenta que habrá un cero por cada factor 5 que se halle en la descomposición factorial de 10000!. Tendremos un total de E 5 = = 2499 ceros Entonces queremos hallar x (mód 10, siendo x = 10000!/ Para ello hallaremos x (mód 2 y x (mód 5. Es claro que x 0 (mód 2, ya que en la descomposición factorial de 10000! hay muchos más factores 2 que factores 5 y no todos los factores 2 se han consumido para producir los ceros del final de 10000! Por tanto x es par. Ahora sea y = 10000!/ y calculemos y (mód 5. Para ello, tengamos en cuenta que y es el resultado de multiplicar los números del 1 al 10000, pero eliminando todos los factores 5 de estos números. Haciendo divisiones de por 1, 5, 25, 125, 625, 3125, obtenemos 10000, 2000, 400, 80, 16, 3, 0 y haciendo las diferencias entre cada número y el siguiente obtenemos 8000, 1600, 320, 64, 13, 3, es decir, hay 8000 números entre 1 y que no son divisibles por 5, 1600 que son divisibles por 5 y no por 25, 320 que son divisibles por 25 pero no por 125, etc. = Los 8000 números entre 1 y que no son divisibles por 5 son 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,..., 9996, 9997, 9998, 9999 }{{}}{{}}{{}. que se pueden agrupar de cuatro en cuatro en 2000 grupos, siendo en cada uno de ellos el producto de los cuatro números congruente con = 1 (mód 5. Como es un número par de grupos, el resultado es 1 (mód 5. En general, resultará una serie de números que módulo 5 son congruentes con los de la sucesión 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. Anotemos el producto de cada uno de estos números y los que le preceden, módulo 5, en la siguiente tabla: 1

2 lugar numero producto Seguimos: como a los 1600 números entre 1 y que son divisibles por 5 pero no por 25 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 45,..., 1980, 1985, 1990, 1995 }{{}}{{}}{{} les hemos quitado todos los factores 5 para construir y nos hemos quedado con los números 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,..., 396, 397, 398, 399 }{{}}{{}}{{} que de forma parecida a lo que ocurría antes, podemos agrupar en productos congruentes con 1 (mód 5 y como, de nuevo, hay un número par de grupos, el producto de todos estos números será congruente con 1 (mód 5. El proceso sigue lo mismo, ahora con los 320 números entre 1 y que son múltiplos de 25 pero no de 125. Representamos el proceso en una tabla: En la tabla k es la potencia de 5 por la que dividimos, m 1 es el número de múltiplos de 5 k menores o iguales que 10000, m 2 es el número de estos múltiplos que no lo son también de 5 k+1, r es el resto que queda al agrupar los m 2 números en grupos de 8 (nos conviene, ya que = 1 (mód 5 y p es el producto que corresponde al lugar r en la tabla anterior. En nuestro caso al multiplicar los p de la última columna obtenemos que y = 10000!/ = 4 (mód 5. Entonces, y = x = ( x 1 3 x (mód 5 = 3x (mód 5, así que 3x = 4 (mód 5 y x = 3 (mód 5. Finalmente, de x = 0 (mód 2 y x = 3 (mód 5 resulta x = 8 (mód 10. 2

3 Cálculo de la última cifra no nula de 50! En primer lugar calculamos que 50! acaba en E( ( 5 25 = = 12 ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 50!/10 12, es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 50!/ Πp = 2 Entonces es 50!/5 12 = 2 (mód 5 y como 2 12 = 2 0 = 1(mód 5, entonces 1x = 2 (mód 5, x = 2 (mód 5 y x = 2 (mód 10. Cálculo de la última cifra no nula de 77! En primer lugar calculamos que 77! acaba en E( ( 5 25 = = 18 ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 77!/10 18, es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 77!/ Πp = 2 Entonces es 77!/5 18 = 2 (mód 5 y como 2 18 = 2 2 = 4(mód 5, entonces 4x = 2 (mód 5, x = 3 (mód 5 y x = 8 (mód 10. 3

4 Cálculo de la última cifra no nula de 500! En primer lugar calculamos que 500! acaba en E( ( ( = = 124 ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 500!/10 124, es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 500!/ Entonces es 500!/5 124 = 4 (mód 5 y como = 2 0 = 1(mód 5, entonces 1x = 4 (mód 5, x = 4 (mód 5 y x = 4 (mód 10. Cálculo de la última cifra no nula de 777! En primer lugar calculamos que 777! acaba en E( ( ( ( = = 193 ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 777!/10 193, es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 777!/ Πp = 3 Entonces es 777!/5 193 = 3 (mód 5 y como = 2 1 = 2(mód 5, entonces 2x = 3 (mód 5, x = 4 (mód 5 y x = 4 (mód 10. 4

5 Cálculo de la última cifra no nula de 5000! En primer lugar calculamos que 5000! acaba en E( ( ( ( ( = = 1249 ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 5000!/ , es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 5000!/ Entonces es 5000!/ = 4 (mód 5 y como = 2 1 = 2(mód 5, entonces 2x = 4 (mód 5, x = 2 (mód 5 y x = 2 (mód 10. Cálculo de la última cifra no nula de 7777! En primer lugar calculamos que 7777! acaba en E( ( ( ( ( = = 1942 ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 7777!/ , es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 7777!/ Πp = 1 5

6 Entonces es 7777!/ = 1 (mód 5 y como = 2 2 = 4(mód 5, entonces 4x = 1 (mód 5, x = 4 (mód 5 y x = 4 (mód 10. Cálculo de la última cifra no nula de 10000! En primer lugar calculamos que 10000! acaba en E ( ( ( = = 2499 ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 10000!/ , es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 10000!/ Entonces es 10000!/ = 4 (mód 5 y como = 2 3 = 3(mód 5, entonces 3x = 4 (mód 5, x = 3 (mód 5 y x = 8 (mód 10. Cálculo de la última cifra no nula de 54321! En primer lugar calculamos que 54321! acaba en E( ( ( ( ( ( = = ceros. Queremos hallar la última cifra de x = 54321!/ , es decir x (mód 10. Hallemos y (mód 5 siendo y = 54321!/

7 Entonces es 54321!/ = 4 (mód 5 y como = 2 0 = 1(mód 5, entonces 1x = 4 (mód 5, x = 4 (mód 5 y x = 4 (mód 10. 7