UNIDAD 4. Material tomado de. Matemáticas Interactivas. y ejercicios elaborados por el licenciado. Rene Andrade

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1 UNIDAD 4 Material tomado de Matemáticas Interactivas y ejercicios elaborados por el licenciado Rene Andrade Bajo Contrato Exclusivo para CAPACITACION 2000

2 UNIDAD 4 MATEMÁTICAS CICLO 2 MODULO 2 DIVISORES DE UN NÚMERO Los divisores de un número son todos los que dividen al número en forma exacta. NORMA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Para determinar los divisores de un número existen dos casos: 1. Cuando los factores primos tienen exponente UNO 2. Cuando los factores primos tienen exponentes mayores que la unidad. Cuando los Factores Primos tienen Exponente Uno Regla a. El número se descompone en sus factores primos. b. Se escribe la unidad y el primer factor primo que conforman la primera fila. c. En la segunda fila, se escribe el producto del segundo factor primo por cada uno de los valores ya anotados en la primera fila. d. El tercer factor primo se multiplica por cada uno de las cantidades existentes en las filas anteriores y así sucesivamente hasta multiplicar por el último factor primo. 1

3 Hallar los divisores de 30 según la regla. a. El número se descompone en sus factores primos. Hagámoslo: a. Se escribe la unidad y el primer factor en la primera fila. 1 2 Primera Fila Unidad Primer Factor b. En una segunda fila se escribe el producto del segundo factor primo por cada uno de los factores ya anotados en la primera fila. 1 2 Primera Fila El segundo factor primo es 3 y tenemos: 1 2 Primera Fila 3 6 Segunda Fila 3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 2

4 c. El tercer factor Primo se multiplica por cada una de las cantidades ya anotadas, es decir, por la primera y la segunda fila así: 1 2 Primera Fila 1 6 Segunda Fila 5 x1 = 5 10 = 5 x 2 Tercera Fila Producto del tercer factor por la primera fila 5 x 3 = = 5 x 6 Cuarta Fila Producto del tercer factor por la unidad de la primera fila Producto del tercer factor por la segunda fila Producto del Tercer factor por la segunda fila Hallar los divisores de 30 Uniendo Todos los Datos Los divisores de 30 son: , 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 3

5 Otro ejemplo: Establecer los divisores de 210 Elaborando la operación queda Los divisores de 210 son: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21 30, 35, 42, 70,105, 210 CUANDO LOS FACTORES PRIMOS TIENEN EXPONENTE MAYOR QUE LA UNIDAD Observemos los factores primos de 30 y

6 30 = 2 x 3 x = 2³ x 3² x 5 Observe que en 30 todos los factores primos poseen exponente uno. Observe que 360 es igual a 2 al cubo, por 3 al cuadrado por 5 a la uno. Ojo! Como en 360 dos y tres tienen exponentes mayores que la unidad no se pueden determinar los divisores de 360 por el método anterior. Regla: 1. Se descompone el número en sus factores primos. 2. Se escriben en una fila la unidad y a continuación el primer factor y sus potencias. 3. Cada cantidad de la primera fila se multiplica por el factor siguiente y por cada potencia de dicho factor, formando tantas filas, como unidades tenga el exponente. 4. Cada cantidad de las filas anteriores, se multiplica por el factor siguiente y sus potencias. Así sucesivamente, hasta usar el último factor. Hallar los divisores de 360 Elaborando la operación queda: Según la regla: 1. Se descompone el número en sus factores primos. 5

7 Hagámoslo Se escribe la unidad y a continuación el primer factor (la base) y sus potencias. El primer factor es dos a la tres (2³) por tanto la primera fila queda: 1 2 2² 2³ Escribiendo los valores que le corresponde a cada potencia tenemos: Cada cantidad de la primera fila se multiplica por el factor siguiente y se toma como factor tantas veces como unidades tenga el exponente. En este caso el factor siguiente es: 3 y 3² Multiplicado por la primer afila tenemos: Productos de 3 por cada término de la primera fila Productos de tres por cada término de la segunda fila 6

8 Cada cantidad de las filas anteriores se multiplica por el factor siguiente, tantas veces como unidades indique el exponente. En esta forma se sigue el procedimiento, hasta utilizar el último factor. En el caso del ejemplo que tenemos, el factor siguiente es 5 = 5 Por tanto tenemos: Primera fila Segunda fila Tercera fila Cuarta fila Quinta fila Sexta fila Cada término lo multiplicamos por el factor siguiente en este caso es 5. El resultado de multiplicar 5 por la primera fila. Es el resultado de multiplicar 5 por la segunda fila. Son los resultados de multiplicar 5 por la tercera fila. Elaboremos el mismo ejemplo sin explicación Divisores de 360 7

9 Importante! Note que no debe confundir los divisores de un número con los factores primos de dicho número. Veamos otro ejemplo Divisores de Veamos otro ejemplo Determinar los divisores de

10 NÚMERO TOTAL DE DIVISORES Hemos visto los divisores de un número. Pero si queremos saber cuantos son, tendríamos que contarlos. Para evitar hacerlo, veremos una regla sencilla. Regla: Para establecer el número de divisores de una cantidad se hace lo siguiente: 1) El número se descompone en sus factores primos. 2) A cada exponente se le suma la unidad. 3) Se multiplican los resultados de las sumas entre si, y el valor arrojado es el número total de divisores del número dado. EJEMPLO Hallar el número total de divisores de 30. 1) El número se descompone en sus factores primos ) A cada exponente le sumamos la unidad. Hagámoslo Los factores de 30 con sus exponentes son: 2, 3, y 5 9

11 Sumándole la unidad al exponente queda: Exponente más la unidad 3) Se multiplican los resultados de las sumas entre si. El producto es el número de factores. Hagámoslo: 2 x 2 x 2 = 8 { Número total de divisores de 30 Nota: El número de los divisores de 30 se pueden contar con el ejemplo ya elaborado: Son 8. Hallar el número de los divisores de 360 Aplicando la regla tenemos: Los factores son 2³, 3², 5 Los exponentes son 3, 2, 1 Se suma la unidad a cada exponente y se multiplican entre si 10

12 Hagámoslo (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) 4 x 3 x 2 = 24 Número de divisores Los puede contar en el ejemplo visto pág. 7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Notación El máximo común divisor se nota con las iniciales M.C.D. Definición: Máximo Común Divisor de varios números es el mayor número que los divide a todos en forma exacta. Hallar el MCD de 6 y 8 Indiscutiblemente es 2 por qué? 6 2 = 3 y 8 2 = 4 Desde otro ángulo observe que Dos es el mayor número que puede dividir en forma exacta a 6 y 8 6 = 2 x 3 y 8 = 2 x 2 x 2 El dos es factor común de 6 y 8, es decir, el dos se encuentra conformando estos números. 11

13 FACTOR COMÚN Factor común de varios números es el factor que se encuentra en cada uno de dichos números. Cual es el factor común de 8 y 6? 8 = 2 x 2 x 2 y 6 = 2 x 3 El factor común de 8 y 6 es DOS porque el DOS se encuentra como factor en 8 y 6. Hallar el factor común de 10 y = 2 x 5 y 15 = 3 x 5 5 es el factor de 10 y 15. Porque se encuentran en ambos números. Definición del Máximo Común Divisor (M.C.D.) M.C.D. de varios números es el mayor factor común en dichos números. Dicho en otras palabras, el mayor número que los divide a todos en forma exacta. Hallar el M.C.D. de 15 y = 3 x 5 y 25 = 5 x 5 M.C.D. = 5 Máximo factor común = 5 12

14 M.C.D. POR SIMPLE INSPECCIÓN Cuando las cantidades son pequeñas, puede hallarse el M.C.D. por simple inspección. 1. Hallar el M.C.D. de 14 y 21 Respuesta: M.C.D. = 7 2. Hallar el M.C.D. de 5 y 35 Respuesta: M.C.D. = 5 3. Hallar el M.C.D. de 18 y 27 Respuesta: M.C.D. = 9 Importante! La manera de proceder por simple inspección ocular es iniciar por el número menor para observar su configuración factorial y de este pasar al mayor. Si el mayor contiene al menor, el menor, es el M.C.D. Si no lo contiene, observando la configuración factorial del menor, podríamos ver con facilidad cual es el máximo factor común entre ambos o entre los números cuando son más de dos cantidades. Hallar el M.C.D. de 15 x 30 fácilmente se ve que 30 contiene a 15 por tanto el M.C.D. de 30 y 15 es 15. Hallar el M.C.D. de 20 y = 2 x 2 x 5 y 45 = 3 x 3 x 5 Fácilmente podemos observar que el factor común de los dos números es 5 por tanto el M.C.D. de 20 y 45 es 5. 13

15 REGLAS MATEMÁTICAS PARA HALLAR EL M.C.D. DE VARIOS NÚMEROS Se utilizan dos sistemas 1. Por descomposición en factores primos. 2. Sistema Euclidiano por divisiones sucesivas. Regla M.C.D. POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS 1. Se descomponen los números en sus factores primos. 2. Se toman todos los factores primos comunes, afectados en su menor exponente. 3. Si hay un factor común, este es el M.C.D. de los números. 4. Si hay varios factores comunes, el producto de ellos es el M.C.D. de los números. Hallar el M.C.D. de 18 y 45 Aplicando la regla 1. Se descomponen los números en sus factores primos. Hagámoslo Factores primos comunes

16 Importante! Los factores comunes son 3² y 3 tomamos el factor común con menor exponente que es: 3 = 3 M.C.D. de 18 y 15 = 3 Respuesta Nota Los factores 2 y 5 no los tomamos porque no son comunes. Hallar el M.C.D. de 12, 30 y 42 Procedimiento Factores comunes 2 y 3 Elaboremos el producto de los factores comunes con su menor exponente y tenemos: M.C.D. = 2 x 3 = 6 M.C.D. de 12, 30 y 42 = 6 15

17 TEOREMAS IMPORTANTES ANTES DE VER EL SISTEMA EUCLIDIANO M.C.D. DEL DIVIDENDO Y DEL DIVISOR 1. El M.C.D. del dividendo y del divisor en una división no exacta, es el mismo que le corresponde al residuo ) M.C.D. de 54 y 12 es 2 Dividendo Divisor 2) M.C.D. de 12 y 6 es 2 Divisor Residuo 3) M.C.D. de 54, 12 y 6 = 2 Dividendo Divisor Residuo De lo visto podemos concluir El M.C.D. del dividendo y del divisor en una división inexacta es el mismo que le corresponde al residuo. 2. Todo divisor común de varios números dados, divide al M.C.D. de dichos números. Hallar el M.C.D. de 60, 120 y

18 Procedimiento M.C.D. = 2² x 3 x 5 = 60 Observe: Los divisores comunes de 60, 120 y 240 son: 2, 3, 5, todos los divisores comunes dividen a 60 que es el M.C.D. 3. Si varias cantidades se multiplican por un número, su M.C.D. queda multiplicado por dicho número. Hallar el M.C.D. de 30 y M.C.D. de 30 y 45 = 5 x 3 = 15 M.C.D. de 30 y 45 = 15 Multiplicamos los números dados por 2 y tenemos: 30 x 2 = x 2 = 90 17

19 Hallemos el M.C.D. de 60 y 90 y hagamos la comparación con el M.C.D. de 30 y 45. Procedimiento M.C.D. = 2 x 3 x 5 = 30 Comparando M.C.D. de 30 y 45 = 15 M.C.D. de 60 y 90 = y 45 lo multiplicamos por 2 y su M.C.d. también quedó multiplicado por 2. Recuerde! Si varias cantidades se multiplican por un número, el M.C.D. queda multiplicado por dicho número. 4. Si varias cantidades se dividen por un número, el M.C.D. de dichas cantidades queda dividido por dicho número. Hallar el M.C.D. de 30 y 45 Procedimiento M.C.D. = 3 x 5 = 15 18

20 Hallamos el M.C.D. de 10 y 15 Procedimiento 30 y 45 dividámoslo por = = Comparando M.C.D. de 10 y 15 = 5 M.C.D. de 30 y 45 = 15 M.C.D. de 30 y 15 = 5 Observe que el M.C.D. de 10 y 15 es tres veces menor que el M.C.D. de 30 y 45. Recuerde! Si varias cantidades se dividen por un número, el M.C.D. queda dividido por dicho número. M.C.D. SISTEMA EUCLIDIANO (Por divisiones sucesivas) Se utilizan dos métodos. 1) Cuando el M.C.D. corresponde a dos cantidades. 2) Cuando se busca el M.C.D. de más de dos cantidades. 19

21 CUANDO SE BUSCA EL M.C.D. DE DOS CANTIDADES Regla El número mayor se divide por el menor. Si la división es exacta, el divisor es el M.C.D. de los dos números. Si no es exacta, el divisor se divide por el residuo y este residuo por el segundo residuo y el segundo residuo por el tercer residuo y así sucesivamente, hasta que la división sea exacta. El último divisor es el M.C.D. de los números. Pero si el último divisor es la unidad, los números son primos entre si. Hallar el M.C.D. de 150 y 40 Procedimiento Divisor 1) Residuo ) Divisor 10 1 Residuo Divisor en división exacta 3) = M.C.D. de los números 0 3 Observe que los residuos pasan a ser los nuevos divisores. g 20

22 En la práctica se procede en la forma siguiente Hallar el M.C.D. de 930 y Último divisor de división exacta y por tanto M.C.D. de 150 y 40 Hallar el M.C.D. de 932 y 31 Último divisor de división exacta y por tanto M.C.D. de 930 y Último divisor de división exacta y por tanto M.C.D. de 932 y 31 21

23 Recuerde que cuando el M.C.D. de dos números es la unidad, los números son primos entre si, por tanto; 932 y 31 son primos entre si porque el M.C.D. = 1 CUANDO SE BUSCA EL M.C.D. DE MÁS DE DOS CANTIDADES Regla 1) Se halla el M.C.D. correspondiente de los dos primeros números menores. 2) Posteriormente se halla el M.C.D. del número siguiente y el M.c.D. hallado y así sucesivamente, hasta hallar división exacta. El último divisor es el M.C.D. de los números dados. Hallar el M.C.D. de 30, 60 y 190 1) Se halla el M.C.D. de los números menores, en este caso 30 y 60 Hagámoslo M.C.D. de 60 y 30 = 30 22

24 2) Buscamos el M.C.D. de 190 y Último divisor y M.C.D. de 30, 6 y 190 Conclusión M.C.D. de 30, 60 y 190 = 10 23