Estimación Probit. Microeconomía Cuantitativa. R. Mora. Departmento de Economía Universidad Carlos III de Madrid

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Patricia Clara Blázquez Caballero
hace 5 años
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1 Probit Microeconomía Cuantitativa R. Mora Departmento de Economía Universidad Carlos III de Madrid R. Mora Probit

2 Esquema El Modelo de Utilidad Aleatoria 1 El Modelo de Utilidad Aleatoria 2 3 R. Mora Probit

3 El modelo de utilidad aleatoria U m = β m x m + ε m U h = β h x h + ε h β m x m + ε m > β h x h + ε h work = 1 β x + ε > 0 work = 1 donde ε = ε m ε h (la utilidad neta de participación inobservada) y β x = β m x m β h x h (la función indice) R. Mora Probit

4 El supuesto Probit El Modelo de Utilidad Aleatoria El econometra solo observa work, x m, y x h Supuesto Probit : ε h,ε m N(0,Σ) ( ε ε m ε h x ) N 0,σ 2 Pr (work = 1) = Pr (ε > β x)= Pr (ε β x) ( ) Pr (work = 1) = ε Pr σ β x σ ( ) Pr (work = 1) = Φ β σ x donde Φ es la función de distribución acumulada de la normal estándar R. Mora Probit

5 Observabilidad de σ β y σ son observacionalmente equivalentes a β = kβ y σ = kσ ( ) ( ) ( ) Φ β σ x = Φ kβ kσ x = Φ β σ x, k 0 un número innito de pares (β,σ ) dan la misma verosimilitud las condiciones de identicación asintótica de MV no se cumplen supuesto identicador: σ = 1 (por tanto ε N(0, 1)) Pr (work = 1) = Φ(β x) R. Mora Probit

6 Interpretación de las pendientes y los efectos marginales cuando el control x j aparece en ambas utilidades U m y U h... solo el efecto neto en la función índice, β mj β hj, está identicado el supuesto de normalidad (no-linealidad) la pendiente neta β mj β hj captura el efecto marginal sobre la función índice β x de un aumento unitario de x j el efecto marginal sobre la probabilidad de participación es más complejo si x j es continua, Pr(work=1) x j = φ(β x)β j si x j es discreta, Pr(work = 1) = Φ(β x 1 ) Φ(β x 0 ) donde x 1 es el vector nal de controles y x 0 es el vector inicial de controles R. Mora Probit

7 Un ejemplo simple El Modelo de Utilidad Aleatoria U m = βm 0 + βm e educ + β m k kids + ε ( ) m con ε m N 0,σ 2 m U h = β 0 h + β e h educ + β e k kids + ε ( ) h con ε h N 0,σ 2 h cov (ε m,ε h ) = σ m,h Supuesto Probit: ε m ε h x N(0, 1) Pr (work = 1) = Φ(β 0 + β e educ + β k kids) β 0 = β 0 m β 0 h β e = β e m β e h β k = β k m β k h var (ε m ε h ) = σ 2 m + σ 2 h 2σ m,h = 1 R. Mora Probit

8 Una interpretación gráca La probabilidad de participar es una función no-lineal de la función índice β 0 + β e educ + β k kids R. Mora Probit

9 La densidad El Modelo de Utilidad Aleatoria Supuesto: muestra iid sea β 0 el verdadero valor entonces, en el modelo Probit { Φ(β0 x) si work = 1 Pr (work x ) = 1 Φ(β 0 x) si work = 0 R. Mora Probit

10 La verosimilitud de una observación la verosimilitud reemplaza en la densidad el verdadero vector β 0 por un valor cualquiera β entonces la verosimilitud para el individuo i es { Φ(β xi ) si work L i (β) = i = 1 1 Φ(β x i ) si work i = 0 o, de forma más compacta, L i (β) = [Φ(β x i )] work i [1 Φ(β x i )] 1 work i R. Mora Probit

11 El Modelo de Utilidad Aleatoria primero, tomamos logaritmos l i (β) = work i log(φ(β x i )) + (1 work i ) log(1 Φ(β x i )) luego juntamos la muestra entera por tanto l (β) = n l i (β) i=1 l (β) = {work i log(φ(β x i )) + (1 work i )) log(1 Φ(β x i ))} i R. Mora Probit

12 MV El Modelo de Utilidad Aleatoria denición El estimador MV es el vector ˆβ ML tal que ˆβ ML = arg max l (β) β debido a la naturaleza no-lineal de la maximización de la verosimilitud, no hay fórmulas explícitas para los estimadores MV del modelo Probit en vez de expresiones algebraicas, se utilizan algoritmos númericos de maximización, necesitándose normalmente solo unas pocas iteraciones en gretl, se utiliza un algoritmo cuasi-newton (el BFGS) R. Mora Probit

13 Un Control que Clasica Perfectamente supón que la dummy D i predice perfectamente work i en la muestra en el sentido que work i = 1 D i = 1 { β0 + β si β x = β 0 + β D D, entonces β x = D si work = 1 β 0 si work = 0 y la log-versosimilitud será creciente en β D : l (β) = {work i log(φ(β 0 + β D )) + (1 work i )) log(1 Φ(β 0 ))} i por tanto, no puede haber un estimador MV R. Mora Probit

14 El problema de predición perfecta en general, supón que β predice perfectamente work i en la muestra en el sentido de que para un escalar k, β x i > k si y solo si work i = 1 entonces lo mismo ocurre para cualquier múltiplo de β y la log-verosimilitud no tendrá un máximo ésto se puede deber a varias razones un control puede ser un clasicador perfecto: (hay que quitarlo) el modelo puede estar trivialmente mal especicado (como predecir participación entre trabajadores) la muestra puede simplemente no ser sucientemente grande R. Mora Probit

15 Propiedades asintóticas y contrastes bajo condiciones generales, el estimador MV es consistente, asintóticamente normal, y asintóticamente eciente podemos construir contrastes asintóticos tipo t e intervalos de conanza (como hacemos en MCO, MC2E, y VI) restriciones de exclusión (por ejemplo, H 0 : β j = 0 and β k = 0) el multiplicador de Lagrange solo requiere la estimación del modelo bajo la nula el test de Wald solo requiere la estimación del modelo sin restringir la razón de verosimilitudes (LR) requiere la estimación de ambos modelos R. Mora Probit

16 El contraste de razón de verosimilitudes Hipótesis anidadas se basa en la diferencia de las log-verosimilitudes bajo la hipótesis nula y la alternativa restringir un modelo no puede generar mayores log-verosimilitudes ( ( ) ( )) LR = 2 l ur ˆβ ML ur l r ˆβ ML a r χ q donde q es el número de restricciones R. Mora Probit

17 El Modelo de Utilidad Aleatoria no todos los parámetros del modelo de utilidad aleatoria pueden ser estimados el modelo Probit identica cómo cada control afecta la probabilidad de participación la estimación MV del modelo Probit requiere el uso de algoritmos numéricos de maximización bajo condiciones generales los estimadores MV son consistentes y asintóticamente normales y ecientes constrastes de signicativad y contrastes de restricciones generales son fáciles de implementar en el modelo Probit R. Mora Probit

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