Título: Matrices y determinantes. Autor: c Juan José Isach Mayo

Transcripción

1 Título: Matrices y determinantes utor: c Juan José Isach Mayo Fecha: Septiembre del 7

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3 ontents I Matrices y determinantes Matrices 7. Suma de matrices del mismo orden Multiplicación de un número real por una matriz Producto de matrices Propiedades del producto de matrices cuadradas Matriz inversa de una matriz cuadrada respecte al producto Propiedades de las matrices regulares álculo de la matriz inversa (Método de Gauss-Jordan). 9 DETERMINNTES 7. Determinante de una matriz cuadrada de orden Determinante de una matriz cuadrada de orden Menor complementario del elemento a i;j de una matriz cuadada. 8. djunto del elemento a i;j de una matriz cuadrada Determinante utilizando adjuntos Matriz adjunta de una matriz cuadrada Propiedades de la matriz adjunta Matriz inversa de una matriz cuadrada Pasos para calcular la inversa de una matriz regular....8 Propiedades de los determinantes RNGO DE UN MTRIZ 7. Propiedades del rango de una matriz álculo del rango de una matriz por el método de Gauss alculo de rangos por menores PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES. Ejercicios Resueltos

4 ONTENTS

5 Part I Matrices y determinantes

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7 hapter Matrices De nition Matriz de orden mxn Es un conjunto de mxn elementos de un cuerpo conmutativo K, dispuestos en m las y n columnas de la siguiente manera: a ; a ; :::::::::: a ;n a ; a ; :::::::::: a ;n :: :: :::::::::: :: a m; a m; a m;n donde el elemento a i;j representa el elemento del cuerpo K, que ocupa la la i-ésima y la columna j-ésima + i + i Example + i i p En esta matriz sus elementos i + i x son números complejos (Recuerda que i p ) Example p En esta matriz sus elementos son números x reales Remark partir de ahora trabajaremos siempre con matrices cuyos elementos serán números reales; salvo que se indique lo contrario De nition Matriz la Es una matriz de orden xn a ; a ; :::::::: a ;n. También se xn llama matriz la del vector! f < n ; cuyas componentes en una base concreta son las dadas De nition Matriz columna Es una matriz de orden mx a ; a ; :: a m; mx mxn. También se llama matriz columna del vector! c < m ; cuyas componentes en una base concreta son las dadas 7

8 8 HPTER. MTRIES Remark asándonos en estas de niciones, podríamos considerar la matriz a ; a ; :::::::::: a ;n a ; a ; :::::::::: a ;n :: :: :::::::::: :: como: a m; a m; a m;n a) Una matriz formada por n vectores columna pertenecientes a < m! c! c ::::::::::! cn donde! cj a ;j a ;j :: a m;j b) Una matriz formada por m vectores la pertenecientes a < n! f! f ::! f m donde! f i a i; a i; :::::::: a i;n De nition 6 Matriz nula Es aquella matriz de orden mxn donde todos sus elementos son nulos. Se rep- resentara siempre por la letra mayúscula O! O :::::::::: :::::::::: :: :: :::::::::: :: De nition 7 Matrizopuesta de la matriz Dada la matriz a ; a ; :::::::::: a ;n a ; a ; :::::::::: a ;n :: :: :::::::::: :: a m; a m; a m;n Llamaremos matriz opuesta de y lo representaremos por a la matriz! a ; a ; :::::::::: a ;n a ; a ; :::::::::: a ;n :: :: :::::::::: :: a m; a m; a m;n De nition 8 Matriz traspuesta de una matriz de orden mxn Es la matriz que se obtiene al intercambiar en la matriz las las por las columnas.se representara por t ;según esto si Example 9 Si a ; a ; :::::::::: a ;n a ; a ; :::::::::: a ;n :: :: :::::::::: :: a m; a m; a m;n! t mxn! t De nition Matriz cuadrada de orden n Son aquellas matrices donde el número de las coincide con el de columnas Example Un ejemplo de matriz cuadrada de orden es la matriz + p i a ; a ; :::::::::: a m; a ; a ; :::::::::: a m; :: :: :::::::::: :: a ;n a ;n a m;n nxm

9 .. SUM DE MTRIES DEL MISMO ORDEN 9 De nition Matriz cuadrada identidad Son aquellas matrices cuadradas donde los elementos de la diagonal principal son unos y el resto son ceros I n ::: ::: ::: ::: Example I De nition Matriz cuadrada simétrica Son aquellas matrices cuadradas; tales que los elementos a i;j a j;i con i y j variando de a n Estas matrices se caracterizan por el hecho de que t Example La matriz t es simétrica ; ya que De nition 6 Matriz cuadrada antisimétrica Son aquellas matrices cuadradas; tales que los elementos a i;j a j;i con i y j variando de a n Observa que los elementos de la diagonal principal son nulos (ya que éstos veri can a i;i a i;i! a i;i! a i;i ) Estas matrices se caracterizan por el hecho de que t Example 7 La matriz t y la matriz son opuestas es antisimétrica ; ya que. Suma de matrices del mismo orden NOTIÓN :l conjunto de las matrices de orden mxn y cuyos elementos son números reales lo representamos utilizando la notación M mxn (<) De nition 8 Suma de matrices pertenecientes a M mxn (<) (a i;j ) Sean i;j::n M (b i;j ) mxn (<)! + (c i;j ) i;j::n i;j::n M mxn (<) Donde los elementos c i;j de la matriz son tales que! c i;j a i;j + b i;j

10 HPTER. MTRIES Example 9 Si y entonces +

11 .. MULTIPLIIÓN DE UN NÚMERO REL POR UN MTRIZ Proposition El conjunto M mxn (<) con la ley suma tiene estructura de grupo conmutativo (abeliano); es decir veri ca las propiedades: : Ley de composicion interna, 8; M mxn (<)! + M mxn (<) : sociativa, 8; ; M mxn (<) + ( + ) ( + ) + + O : Elemento neutro, La matriz nula O! O + + ( ) O : Elemento opuesto de,! ( ) + O : onmutativa, 8; M mxn (<)! + +. Multiplicación de un número real por una matriz De nition Multiplicación de un número real por una matriz de M mxn (<) Sean (a i;j ) i;j::n M mxn (<! (c < i;j ) i;j::n M mxn (<) Donde los elementos c i;j de la matriz son tales que! c i;j a i;j 8 Example Si entonces 6 8 Proposition El producto de un número real por una matriz del conjunto M mxn (<) veri ca las propiedades: 8 Mmxn (<) 6: Ley de composicion externa,! M 8 < mxn (<) 8 Mmxn (<) 7: Distributiva respecto suma reales,! ( + ) + 8; < 8; Mmxn (<) 8: Distributiva respecto suma matrices,! ( + ) + 8 < 8 Mmxn (<) 9: P seudoasociativa numeros reales,! ( ) () 8; < : Elemento unidad, 8 M mxn (<)! Nota: La terna (M mxn (<); +; <) se dice que tiene una estructura de espacio vectorial real; ya que con ambas operaciones veri ca las diez propiedades enumeradas con anterioridad a) Ley simpli cativa suma() (Si + +! ) 8 Mmxn (<) b) siempre se veri ca que 8 < 8 Mmxn (<) c) Si! 8; < fg d) ( + ) t t + t 8; M mxn (<) Demuéstralas como ejercicio

12 HPTER. MTRIES. Producto de matrices De nition Producto de matrices Dada una matriz de orden mxn y una matriz de orden nxp. La matriz será una matriz de orden mxp cuyos elementos se calculan de la siguiente manera: np c i;j a i;k b k;j con i ::::m y j :::p k El elemento c i;j es el resultado de multiplicar escalarmente la la i de por la columna j de Example Sean y calcula: x x y si tienen sentido ambos productos + + ( ) ( ) ( ) Observa que es de orden x; mientras que es de orden x Example 6 Sean y calcula: x x y si tienen sentido ambos productos Observa que es de orden x; mientras que el producto no tiene sentido ya que el número de columnas de no coincide con las las de Example 7 Sean y calcula: x x y si tienen sentido ambos productos Nota: El producto de dos matrices cuadradas del mismo orden siempre se puede efectuar en los dos sentidos. En el ejercicio anterior has visto que no coincide con

13 .. PROPIEDDES DEL PRODUTO DE MTRIES UDRDS. Propiedades del producto de matrices cuadradas Proposition 8 El producto de matrices cuadradas del mismo orden veri ca las siguientes propiedades: : Ley de composicion interna, 8; M nxn (<)! M nxn (<) : sociativa, 8; ; M nxn (<)! ( ) ( ) : Elemento neutro (Matriz identidad), I n I n 8 M nxn (<) ( + ) + : Distributiva con suma (ambos lados), 8; ; M nxn (<)! ( + ) + : No conmutativa, no siempre coincide con Nota: El conjunto M nxn (<) con las leyes suma y producto de matrices se dice que tiene una estructura de anillo unitario no conmutativo Otras propiedades a) ( ) t t t 8; M nxn (<) b) ( ) ( ) ( ) 8 Mnxn (<) c) siempre se veri ca que ( ) t 8 < d) O O y O O 8; M nxn (<) d) Si O o O ) O (O es la matriz nula) Nota: La recíproca de esta última implicación no es cierta en general; ya que podemos encontrar un par de matrices cuadradas, del mismo orden, no nulas y de manera que su producto dé la matriz nula e) Sean ; ; M nxn (<) Si eso no implicará siempre que Es decir; pueden existir tres matrices ; ; cuadradas del mismo orden tal que 6 y sin embargo que se veri que la igualdad f) Si ; M nxn (<) 6 ( )( + ) g)si ; M nxn (<) ( ) 6 + h) Si ; M nxn (<) ( + ) Example 9 Sean y calcula:,, ; ; + ; ( + ) ; ; + + ; + ; ( ) ; + ; + ; ; ( )( + ); ( ) t ; t t

14 HPTER. MTRIES (+) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) ( + ) Fíjate que ( + ) ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( )

15 .. PROPIEDDES DEL PRODUTO DE MTRIES UDRDS ( )(+) (+)( ) < ( )( + ) Fíjate que 6 y : ( + )( ) ( ) t t t 7 Remark Fíjate que ( ) t t t t Example Dada la matriz determina la/s matriz/ces 6 de orden dos tal que O (matriz nula) x y Sea z t x y Por ser O! 6 z t Operando las matrices tendremos la siguiente igualdad de matrices x + z y + t x 6z y 6t Que da lugar al sistema x + z y + t x 6z y 6t 9 > >; uya solución es x z; y t; t t; z z con z; t < Todas las matrices del conjunto z t z; t < z t veri can la condición pedida Si nos pidiesen cuatro; bastaría con asignar a las incógnitas z y t cuatro parejas de valores distintos. Por ejemplo si:

16 6 HPTER. MTRIES Si z y t! veri ca que O Si z y t! veri ca que O Si z y t! veri ca que O Si z y t! O veri ca que O O Nota: omprueba tú que los productos ; ; no dan la matriz nula. Matriz inversa de una matriz cuadrada respecte al producto De nition Matriz inversa de una matriz cuadrada Dada la matriz M nxn (<), diremos que admite inversa con respecto al producto de matrices siempre que podamos encontrar una única matriz M nxn (<) tal que: I n donde I I n es la matriz identidad n dicha matriz se le representa por las matrices cuadradas que admiten inversa se les denomina matrices regulares.. Propiedades de las matrices regulares Proposition Si y son dos matrices regulares de orden n a) ( ) b) ( ) con < fg c) ( ) d) t ( t ) Remark El cálculo de la matriz inversa de una dada es muy útil para resolver ecuaciones matriciales del tipo X si es una matriz cuadrada regular de orden n. omo es regular, si multiplicamos la ecuación matricial por por la izquierda obtendremos que : ( X) : Por la asociativa del producto X Por de nición de inversa I X Por ser I el elemento unidad del producto X Remark El cálculo de la matriz inversa es muy útil para resolver ecuaciones matriciales del tipo X si y son matrices cuadradas regulares de orden n.( es una matriz cuadrada del mismo orden que las anteriores al igual que la matriz incógnita X)

17 .. MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ UDRD RESPETE L PRODUTO7 omo es regular, si multiplicamos la ecuación matricial por por la izquierda obtendremos que : ( X ) : Por la asociativa del producto X Por de nición de inversa I X Por la asociativa del producto I (X ) Por ser I el elemento unidad del producto X omo es regular, si multiplicamos la ecuación matricial por por la derecha obtendremos que : (X ) Por la asociativa del producto X Por de nición de inversa X I Por ser I el elemento unidad del producto X Exercise.. Demuestra que la matriz admite inversa y x calcúlala. Después resuelve la ecuación matricial X donde X y y x y Por la de nición se trata de buscar una matriz tal que z t I y I x y onsiderando la a I! z t Obtenemos la siguiente igualdad de matrices x z y t x + z y + t Que da lugar al sistema: x z y t x + z y + t 9 > >; uya solución es: x 7 ; y 7 ; z 7 ; t 7 Hemos obtenido pues la matriz 7 7 que veri ca que I omprobemos ahora que el otro producto también nos da la matriz identidad onclusión:

18 8 HPTER. MTRIES Resolvamos ahora la ecuación matricial X. Por ser un matriz regular, admite inversa y por lo tanto si multiplicamos la ecuación por,por la izquierda, tendremos que: ( X) : Por la asociativa del producto X Por de nición de inversa I X Por ser I el elemento unidad del producto X sí pues, la solución será X Remark 6 Resolver la ecuación matricial X donde x x y es equivalente a resolver el sistema y x + y Example Demuestra que la matriz 6 Por la de nición se trata de buscar una matriz I y I x onsiderando la a I! 6 z Obtenemos la siguiente igualdad de matrices x z y t x 6z y 6t no admite inversa x z y t X y tal que t Que da lugar al sistema: x z y t x 6z y 6t 9 > >; Dicho sistema es incompatible onclusión: no admite inversa a b Example Demuestra que toda matriz con la condición c d d b a d b c 6 admite inversa y ésta es ad bc ad bc c ad bc a ad bc omentario Es evidente, que para determinar si una matriz cuadrada de orden tres admite inversa tendríamos que resolver un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas (no es tan complejo; más bien largo) x y x y () x + y

19 .. MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ UDRD RESPETE L PRODUTO9.. álculo de la matriz inversa (Método de Gauss-Jordan) El cálculo de matrices inversas suele realizarse de una forma parecida al método de Gauss. Por ejemplo, para calcular la inversa de realizaremos operaciones análogas a las del método de Gauss con las las de la siguiente matriz j j j con el objetivo de transformar la parte izquierda en la matriz identidad. uando lo consigamos la parte derecha de la matriz obtenida, será la matriz inversa de : Las únicas transformaciones posibles a realizar son: Intercambiar las Multiplicar una la por un número real no nulo cualquier la le puedo sumar una combinación lineal de otra (Ejemplo a a + a ) Pasos: o Intercambiamos las las a y a j j j o Restamos a la a el doble de la a y a la a le restamos el triple de la a a a a j a a a! j 7 j o Intercambiamos las las a y a j 7 j j Las transformaciones a realizar son : Intercambiar las Multiplicar una la por un número real no nulo cualquier la le puedo sumar una combinación lineal de otra (Ejemplo a a + a Nota: Si apareciesen parámetros intentad evitar siempre el siguiente tipo de combinación lineal a (a + ) a a ; es mejor éste a a (a + ) a

20 HPTER. MTRIES o Dividimos la a por - ( a a ) o a a + 7 a a a a! j 7 j j j j j Observa que en las tres primeras columnas hemos obtenido I la matriz identidad de orden tres Una vez conseguido esto, la matriz inversa es la formada por las otras tres columnas: sí pues: omprueba tú que I y I plicación :Utilizando la matriz inversa anterior resuelve el sistema 9 x + z x + z ; x + y + z Resolver el sistema anterior es lo mismo que resolver la ecuación matricial x y z m X Ecuación *

21 .. MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ UDRD RESPETE L PRODUTO Donde se denomina matriz de coe cientes del sistema, X x y matriz columna de las incógnitas y matriz columna z de los términos independientes hora bien; como es regular! 7 Si multiplicamos la ecuación * por tendremos: ( X) Por la propiedad asociativa del producto Por la de nición de matriz inversa X I X Por ser I el elemento neutro para la multiplicación de matrices cuadradas La solución del sistema es: x X y 7 z X Sistema compatible determinado S Example Dada la matriz 7 6, 7 ; 6 determina con el proced- x + y + z x + z y + z imiento anterior su matriz inversa. Después resuelve el siguiente sistema onsideramos la matriz Pasos: j j j 9 ;

22 HPTER. MTRIES o Restamos a la segunda la primera a a a j j j o Intercambiamos las las a y a j j j o Sumamos a la a el doble de la a ( a a + a ) j j j o Dividimos la a por ( a a ) j j j o la segunda le restamos el triple de la tercera y a la primera también le restamos el triple de la a j a a a a a a! j j o Por último; a la primera le resto el doble de la a ( a a a ) j j j Observa que en las tres primeras columnas hemos obtenido I la matriz identidad de orden tres Una vez conseguido esto, la matriz inversa es la formada por las otras tres columnas: sí pues:

23 .. MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ UDRD RESPETE L PRODUTO omprueba tú que I y I plicaciónresolvamos ahora el sistema: x + y + z x + z y + z 9 ; Resolver el sistema anterior es lo mismo que resolver la ecuación matricial x y z m X Ecuación * Donde X x y z se denomina matriz de coe cientes del sistema, matriz columna de las incógnitas y de los términos independientes hora bien; como es regular! Si multiplicamos la Ecuación * por tendremos: ( X) X I X X matriz columna La solución del sistema es: X x y z 9

24 HPTER. MTRIES Sistema compatible determinado S 9, ; Example 6 on las matrices y anteriores calcula: a) b) ( ) con el procedimiento anterior c) omprueba que dicha matriz coincide con omo y entonces: alculemos ahora la inversa de H. Para ello consideramos la matriz: 9 j j 8 6 j Intercambiamos a y a a a a a a a! j 9 j 8 6 j j j j Dividimos la a por j j j j a a + a! j j Divido la a por a a a a a a! j j j 6 j 8 j j 7

25 .. MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ UDRD RESPETE L PRODUTO j Por último a a a! j j ( ) 8 alculemos ahora Example 7 Dada la matriz D 7 8 a) Determina su matriz inversa por el método de Gauss_Jordan b) Utilizando el cálculo de la matriz inversa resuelve el sistema Solución: a) onsideramos la matriz de orden x6 a a a a a a! j j j 8 j 7 j j j a a a! 7 j j 9 x + y + z x + y z x + z 9 ; Dividimos la a por a a + 7 a a a a! j 7 j 9 j 7 j j 9 j 9 7

26 6 HPTER. MTRIES Por último, a la primera le resto la segunda j 7 j 9! D j 9 7 x + y + z b) Resolver el sistema x + y z es equivalente a resolver la ecuación ; x + z matricial D X donde D se denomina matriz de 9 coe cientes del sistema; X x y z matriz columna de las incógnitas y matriz columna de los términos independientes omo la matriz es regular (admite inversa); entonces multiplicando por, por la izquierda, la relación D X tendremos: D (D X) D! D D X D! I X D sí pues: x X D! X y 7 z 9 8 < x y : z

27 hapter DETERMINNTES toda matriz cuadrada, ; le vamos a asociar un número real que denominaremos determinante de y que escribiremos así jj. Determinante de una matriz cuadrada de orden Si a; a ; jj a ; a ; Example 8 a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; jj +. Determinante de una matriz cuadrada de orden Si a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; jj a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ;a ; a ; +a ; a ; a ; +a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; Example 9 jj Example alcula los siguientes determinantes 7

28 8 HPTER. DETERMINNTES Menor complementario del elemento a i;j de una matriz cuadada Dada una matriz cuadrada, ; de orden n; llamaremos Menor complementario de ese elemento a i;j al determinante de la matriz que resulta de suprimir la la i y la columna j: Lo representaremos así: M:(a i;j ) Example Dada la matriz, M: (a ; ) ; M: (a ; ) ; M: (a ; ) M: (a ; ) 8 M: (a ; ) M: (a ; ) M: (a ; ) determina M: (a ; ). djunto del elemento a i;j de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada, ; de orden n; llamaremos adjunto del elemento a i;j al Menor complementario de ese elemento a i;j multiplicado por ( ) i+j : Lo representaremos así: i;j i;j ( ) i+j M: (a i;j ) Example De la matriz anterior calcula a) ;, ; ; ; (adjuntos de los elementos de la a la) b) El determinante de c) alcula a ; ; +a ; ; +a ; ; (Suma de los productos de los elementos de la a la por sus adjuntos correspondientes) d) ;, ; ; ; (adjuntos de los elementos de la a la) e) alcula a ; ; +a ; ; +a ; ; (Suma de los productos de los elementos de la a la por sus adjuntos correspondientes) f) ;, ; ; ; (adjuntos de los elementos de la a la) g) alcula a ; ; +a ; ; +a ; ; (Suma de los productos de los elementos de la a la por sus adjuntos correspondientes) Solucion :

29 .. DETERMINNTE UTILIZNDO DJUNTOS 9 a) ; ( ) + ; ( ) + ; ( ) + b) jj 6 c) a ; ; + a ; ; + a ; ; ( ) + () + ( ) 6 d) ; ( ) + ; ( ) + ; ( ) + 8 e) a ; ; + a ; ; + a ; ; () () ( 8) 6 f) ; ( ) + ; ( ) + 9 ; ( ) + g) a ; ; + a ; ; + a ; ; () + (9) + ( ) 6 Nota: Fíjate que: El determinante de la matriz cuadrada coincide con la suma de los productos de los elementos de una la por sus adjuntos correspondientes jj X k ah;k el elemento de que ocupa la h y columna k a h;k h;k con j o o siendo h;k el adjunto del elemento a h;k omprueba tú que jj coincide con la suma de los productos de los elementos de una columna por sus adjuntos correspondientes jj X k ak;j el elemento de que ocupa la k y columna j a k;j k;j con j o o siendo k;j el adjunto del elemento a k;j. Determinante utilizando adjuntos Según todo lo visto anteriormente, el determinante de una matriz cuadrada, de orden n, se puede determinar así: El jj coincide con la suma de los productos de los elementos de una línea ( la o columna) por sus adjuntos correspondientes jj jj nx a j;k j;k con j o o o...n ( la j-ésima) k nx a k;j k;j con j o o o...n (columna j-ésima) k

30 HPTER. DETERMINNTES Example Dada la matriz calcula su determinante 7 Hemos de elegir de la matriz aquella línea que más ceros tenga. Si observas verás que la a columna tiene dos ceros; por lo tanto: jj X a k; k; a ; ; + a ; ; + a ; ; + a ; ; k omo a ; y a ; entonces: jj a ; ; +a ; ; ( ) + 7 omo 7 y 7 +( )+ 7 8 obtendremos: jj ( ) + ( ) + ( ) + ( 8) Example Dada la matriz calcula su determinante 7 Hemos de elegir de la matriz aquella línea que más ceros tenga. Si observas verás que la a la tiene tres ceros; por lo tanto: jj X a ;k ;k a ; ; + a ; ; + a ; ; + a ; ; k omo a ;, a ; y a ; entonces: 7 jj a ; ; ( ) + ( 9) Matriz adjunta de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada,; de orden n; denominaremos matriz adjunta a aquella matriz cuyos elementos son los adjuntos correspondientes de la matriz : La representaremos por dj() Example Dada la matriz ; ; ; determina ;, ; ;

31 .6. MTRIZ DJUNT DE UN MTRIZ UDRD ; ( ) + M: (a ; ) 8 ; ( ) + M: (a ; ) ; ( ) + M: (a ; ) ; ( ) + M: (a ; ) Example 6 Dada la matriz calcula dj() dj() ; ; ; ; ; ; ; ; ; dj() ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + dj() ( ) Exercise.6. Dada la matriz calcula jj ; (dj()) t ; (dj()) t. l realizar estos productos observas alguna relación entre ellos, el determinante de y la matriz identidad I: jj 6 En el ejercicio anterior hemos calculado la matriz dj() 8 9 (dj()) t jj I

32 HPTER. DETERMINNTES 6 (dj()) t 9 8 jj I La relación es la siguiente: Exercise.6. Dada la matriz (dj()) t jj I (dj()) t jj I calcula jj ; (dj()) t ; (dj()) t.6. Propiedades de la matriz adjunta. (dj()) t dj( t ). (dj()) t jj I y (dj()) t jj I asos: Según si el jj se anule o no se pueden presentar las siguientes opciones:. a) Si jj 6! h (dj()) ti I jj h i (dj()) t jj jj 9 > >;! La matriz inversa de es pues:! jj (dj())t jj (dj())t I jj (dj())t jj. b) Si jj entonces la matriz no tiene inversa ;puesto que en esta situación (dj()) t I O 9 > >;.7 Matriz inversa de una matriz cuadrada Recuerda: Si una matriz admite inversa, entonces ha de veri car siempre que ésta es única y además I donde I es la matriz identidad. esas matrices se les denomina regulares Solamente aquellas matrices cuadradas cuyo determinante sea no nulo admiten inversa con respecto al producto. Y además por propiedades de la matriz adjunta hemos deducido que jj (dj())t también jj dj(t ) ya que (dj()) t dj( t )

33 .7. MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ UDRD.7. Pasos para calcular la inversa de una matriz regular Dada la matriz cuadrada o alculamos su determinante jj 6 o alculamos su matriz adjunta dj() 8 ( ) + 9 o alcularemos la traspuesta dela matriz anterior (dj()) t (dj()) t 9 8 o omo jj (dj())t entonces: Nota: omprobemos si I y que I

34 HPTER. DETERMINNTES.8 Propiedades de los determinantes El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su matriz traspuesta jj t Demostracion a ; a ; a ; jj a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ;a ; a ; +a ; a ; a ; +a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; j t j a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ;a ; a ; +a ; a ; a ; +a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; Nota: En virtud de esta propiedad, todas las propiedades que se veri quen para las también serán válidas para columnas El determinante de una matriz cuadrada es opuesto al determinante de la matriz que se obtiene al intercambiar dos las (o columnas) paralelas a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; Demuéstrala como ejercicio El determinante de una matriz cuadrada es nulo si hay dos las (o columnas) proporcionales (o iguales) kb a ; b kc a ; c kd a ; d kb kc kd a ; a ; a ; b c d Demuéstrala como ejercicio El determinante de una matriz cuadrada es lineal con respecto a cada una

35 .8. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES de sus las (o columnas) a ; + b a ; + c a ; + d a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; + k a ; a ; a ; + j a ; a ; a ; + h a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; + a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; + a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; b c d a ; a ; a ; a ; a ; a ; k a ; a ; j a ; a ; h a ; a ; Demuéstrala como ejercicio Nota: Ten presente que es lineal con respecto a cada la o columna. quí la linealidad sólo se ha aplicado a la a la y a la a columna El determinante de una matriz cuadrada no varía si a una la (o columna) le sumamos una combinación lineal de otras las (u otras columnas): a ; + a ; a ; + a ; a ; + a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; Demostración: a ; + a ; a ; + a ; a ; + a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; + a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; 6 El determinante de una matriz cuadrada es nulo si alguna de sus las (o columnas) es combinación lineal de las otras a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; + a ; a ; + a ; a ; + a ; Demostración: a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; + a ; a ; + a ; a ; + a ; Por ser lineal el determinante con respecto a la a la El segundo determinante es nulo por tener la a y a las proporcionales Por ser lineal el determinante con respecto a la a la a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; +

36 6 HPTER. DETERMINNTES a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; 7 Regla de Laplace! j j jj jj 8 Si es una matriz cuadradada de orden n, entonces jj n jj 8 < 9 Si una matriz cuadrada es triangular superior o triangular inferior (elementos por encima o por debajo de la diagonal principal nulos) su determinante coincide con el producto de los elementos de la diagonal superior: a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; La suma de los productos de los elementos de una la ( o columna) por los adjuntos correspondientes de una la (o columna) paralela son nulos. Demostración por las: Si a ; a ; a ; a ; a ; a ; hemos de comprobar alguna de estas tres a ; a ; a ; relaciones: a ; ; + a ; ; +a ; ; a ; ; + a ; ; +a ; ; a ; ; + a ; ; +a ; ; donde i;j es el adunto del elemento a i;j de la matriz Veamos sólo una de las tres. a ; a ; a ; a ; ; + a ; ; +a ; ; 6 a ; a ; a ; por tener dos las a ; a ; a ; iguales El determinante de una matriz cuadrada es no nulo()sus las( o columnas) son linealmente independientes El primer determinante es nulo por ser la a la proporcional a la a y el segundo también por ser la a la proporcional a la a 6 Recuerda como se calcula un determinante utilizando una la y sus adjuntos correspondientes

37 hapter RNGO DE UN MTRIZ Por las: Dada cualquier matriz ; se de ne el rango de por las como el n o máximo de las linealmente independientes Por columnas: Dada cualquier matriz ; se de ne el rango de por columnas como el n o máximo de columnas linealmente independientes. Propiedades del rango de una matriz El rango de una matriz coincide con el de su matriz traspuesta Nota: El rango de una matriz por las o por columnas coincide siempre El rango de una matriz no varía si intercambiamos las (o columnas) El rango de una matriz no varía si multiplicamos cualquier la (o columna) por un número real no nulo El rango de una matriz coincide con el rango de la matriz obtenida al sustituir una la por ella más una combinación lineal de otras Si una la ( o columna) es nula o es combinación lineal de otras el rango de dicha matriz coincide con el de la matriz obtenida al suprimir dicha la (o columna). álculo del rango de una matriz por el método de Gauss Para calcular el rango de una matriz, utilizaremos un procedimiento aná logo al que utilizabamos en los sistemas. Intentaremos triangularizar la matriz inicial. El rango de la matriz inicial coincidirá con el rango de la matriz obtenida al suprimir aquellas las que sean nulas. 7

38 8 HPTER. RNGO DE UN MTRIZ Example 7 alcular el rango de la siguiente matriz Rang Rang Rang Rang Example 8 alcular el rango de la siguiente matriz Rang Rang Rang Rang Rang. alculo de rangos por menores 7 El rango de una matriz coincide con el orden de la mayor submatriz cuadada, extraída de la matriz inicial, cuyo determinante sea no nulo. o Método : basado en el cálculo de menores por las omenzando por el orden k, se realiza el proceso siguiente : (para una etapa k cualquiera) Se busca un menor de orden k no nulo; entonces el rango será mayor o igual que k Se añade a dicho menor una la i, y cada una de las columnas que en él no guran, obteniéndose así menores de orden k +. a fila a fila + a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila + a fila a fila a fila + a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila a fila + a fila

39 .. LULO DE RNGOS POR MENORES 9 Si todos estos menores son nulos, signi ca que la la i es combinación lineal de las k las del menor anterior, por lo que podemos eliminar esa la. Seguimos probando con las restantes las, si todos los menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene sólo k las linealmente independientes, que son las que aparecen en el menor, y por tanto su rango es k. Si alguno de los menores k + es distinto de cero, el rango es mayor o igual que k + y repetimos el proceso para otro etapa superior ( en concreto la k +). Nota importante: Si al elegir un menor de orden nos da, elegimos otro, y así sucesivamente hasta elegir todos, si todos son, el rango es. De la misma forma, cuando elegimos menores de orden. o Método : basado en el cálculo de menores por columnas omenzando por el orden k, se realiza el proceso siguiente :(para una etapa k cualquiera) Se busca un menor de orden k no nulo; entonces el rango será mayor o igual que k Se añade a dicho menor una columna j, y cada una de las las que en él no guran, obteniéndose así menores de orden k +. Si todos estos menores son nulos, signi ca que la columna j es combinación lineal de las k columnas del menor anterior, por lo que podemos eliminar esa columna Seguimos probando con las restantes columnas, si todos los menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene sólo k columnas linealmente independientes, que son las que aparecen en el menor, y por tanto su rango es k. Si alguno de los menores k + es distinto de cero, el rango es mayor o igual que k + y repetimos el proceso para otro etapa superior ( en concreto la k +). Nota importante: Si al elegir un menor de orden nos da, elegimos otro, y así sucesivamente hasta elegir todos, si todos son, el rango es. De la misma forma, cuando elegimos menores de orden. Example 9 alcula el rango de la matriz 9 7 Por las o omo 6! La a y la a la son L.I (no existe ninguna relación entre ellas) Por lo tanto el rang a La a la es combinación lineal de la a y la a?

40 HPTER. RNGO DE UN MTRIZ Para contestar a esta pregunta; tendré que orlar el menor no nulo anterior con los elementos de la a la y el resto de columnas formando así los siguientes menores de orden tres 9 > omo! La tercera la es combinación lineal >; de la a y la a Recuerda que si una la es combinación lineal de otras; entonces el rango de la matriz inicial coincide con el rango de la matriz obtenida al suprimir dicha la Rang Rang a La a la es combinación lineal de la a y la a? Para contestar a esta pregunta; tendré que orlar el menor no nulo anterior (el de orden dos) con los elementos de la a la y el resto de columnas formando así los siguientes menores de orden tres 9 > omo! La cuarta la también es combinación >; lineal de la a y la a Recuerda que si una la es combinación lineal de otras; entonces el rango de la matriz inicial coincide con el rango de la matriz obtenida al suprimir dicha la Rang Rang Rang o La a la es combinación lineal de la a y la a? Para contestar a esta pregunta; tendré que orlar el menor no nulo anterior (el de orden dos) con los elementos de la a la y el resto de columnas formando así

41 .. LULO DE RNGOS POR MENORES los siguientes menores de orden tres > omo 9!La a la no es combinación lineal de 9 7 >; la a y la a Por lo tanto; lasúnicas las linealmente independientes son la a, a y la a Rang Rang 9 7 Observa que el menor, no nulo, de mayor orden que podemos extraer de la matriz es 9 7 Haz el mismo ejercicio pero razonando por columnas Example alcula el rango de la matriz Por columnas o omo 6! La a y la a columnas son L.I (no existe ninguna relación entre ellas) Por lo tanto el rang a La a columna es combinación lineal de la a y la a? Para contestar a esta pregunta; tendré que orlar el menor no nulo anterior con los elementos de la a columna y el resto de las formando así los siguientes menores de orden tres 9 omo 6! La tercera columna no es combinación ; lineal de la a y la a Las tres primeras columnas son L.I! Rang o La a columna es combinación lineal de la a, la a y la a? Para contestar a esta pregunta; tendré que orlar el menor no nulo anterior(el de orden tres) con los elementos de la a columna y la ultima la formando así el siguiente menor de orden cuatro

42 HPTER. RNGO DE UN MTRIZ alculémoslo por la regla de hio realizamos las siguientes transformaciones a col a col + a col a col a col a col Por ser lineal el determinante respecto a la a col y a col tendremos l tener dos columnas iguales este determinante es nulo Por lo tanto; la a col es combinación lineal de la a, a y a. Recuerda que si una columna es combinación lineal de otras; entonces el rango de la matriz inicial coincide con el rango de la matriz obtenida al suprimir dicha columna El rang rang Observa que el menor, no nulo, de mayor orden que podemos extraer de la matriz es Haz el mismo ejercicio pero razonando por las Example alcular el rango de la siguiente matriz Por Gauss Rango Rango Utilizando menores complementarios Rango Por las

43 .. LULO DE RNGOS POR MENORES omo (no nulo). Las las a y a son L.I! Rango La tercera la es.lineal de las dos primeras? Para saberlo, tendré que orlar el menor con la tercera la y la tercera columna; obteniendo el siguiente menor de orden Si fuese nulo, la a la sería.lineal de las dos primeras; en caso contrario las tres serían L. Independientes omo entonces la a la es.lineal de las dos primeras! Rango De las tres primeras las, sabemos que las dos primeras son L.independientes. hora bien nos falta plantear la siguiente pregunta: La cuarta la es.lineal de las dos primeras? Para saberlo, tendré que orlar el menor con la cuarta la y la tercera columna; obteniendo el siguiente menor de orden. Si fuese nulo, la a la sería.lineal de las dos primeras; en caso contrario las las a, a y a serían L. Independientes omo entonces la a la es.lineal de las dos primeras onclusión: Las únicas las L.Independientes son la a la a! Rango Por columnas omo (no nulo). Las columnas a y a son L.I! Rango La tercera columna es.lineal de las dos primeras? Para saberlo, tendré que orlar el menor con la restantes las y la tercera columna; obteniendo los siguientes menores de orden y Si fuesen nulos, la a columna sería.lineal de las dos primeras (rango); en caso contrario las tres serían L. Independientes (Rango ) omo y entonces la a columna es.lineal de las dos primeras onclusión: Las únicas columnas L.Independientes son la a la a! Rango

44 HPTER. RNGO DE UN MTRIZ

45 hapter PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES. Ejercicios Resueltos Exercise.. Dadas las matrices calcula, y : y Exercise.. on las matrices anteriores, calcula ; ; + y alculemos

46 6 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES Exercise.. Dada la matriz cuadrada calcula las matrices + t y t y comprueba que la primera es simétrica y la segunda antisimétrica. Después demuestra que dicha matriz se puede descomponer como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica y t + t + Esta matriz es simétrica. t matriz es antisimétrica Esta Si denominamos a + t y a t es evidente que +. on lo que acabamos de demostrar que es suma de una matriz simétrica y una antisimétrica ( + t ) + ( t ) Exercise.. Determina la matriz X cuadrada de orden que veri ca la siguiente igualdad X donde, y 9 7 x omo no conocemos la matriz X z x z y t y t 9 7 6x + z + y + t 9x + 6z + 6y + t 9 8x + 6z + y + t x + 9z + 8y + 6t 7 Obtenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

47 .. EJERIIOS RESUELTOS 7 6x + z + y + t 9 9x + 6z + 6y + t 8x + 6z + y + t x + 9z + 8y + 6t > Resolviéndolo por el método de Gauss >; 6 9 8, eliminación Gaussiana Tendremos que el sistema9inicial es equivalente al sistema 6x + z + y + t 9 > z + y + t cuyas soluciones son x ; y ; z 9; t y t 8 >; t La matriz pedida es: 9 Nota uando ya sepas calcular la inversa de una matriz podrás calcular el ejercicio de la siguiente manera: Dada la ecuación matricial X.omo las matrices y admiten inversa por ser matrices regulares (determinante no nulo); entonces Multiplicando los dos miembros de esta igualdad, por la izquierda, por ( X )! X I X! X Si ahora multiplicamos por la derecha esta igualdad por (X )! X X I sí pues: X X 9 7 X 9 x Exercise.. Determina las matrices t que conmutan con a b Recuerda que toda matriz con la condición a d c d d b y ésta es ad bc c a 9 7 y cuadradas de orden z b c 6 admite inversa

48 8 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES x y Sea z t x z como ha de conmutar con entonces y t x z y t Operando tendremos x + y z + t x + y z + t x + z x + z y + t y + t Obteniendo el siguiente 9 sistema x + y x + z y z > x + y y + t x t! z + t x + z x t >; z + t y + t y z 9 > Eliminando dos ecuaciones ten- >; dremos que resolver el siguiente sistema compatible doblemente indeterminado y z cuyas soluciones son x t y z y x t t y Por lo tanto todas las matrices del siguiente conjunto y t con la matriz Es interesante remarcar que dentro de este conjunto, encontraremos las siguientes matrices O I la matriz nula la matriz identidad la propia matriz su inversa t y y + t omprobación y t 6y + t t y y + t y + t y t 6y + t y + t y + t y + t t; y < conmutan x y Exercise..6 Determina la/s matriz/ces cuadradas de orden z t ; tales que O donde es la matriz del ejercicio anterior y O es la matriz nula (O )

49 .. EJERIIOS RESUELTOS 9 x + z x + z omo O entonces x y z t y + t y + t! 9 x + z > y + t x + z >; y + t uyas soluciones son x y z t La única matriz es la nula O Nota Otra manera de resolver este ejercicio omo la matriz es regular (admite inversa); entonces de la igualdad O si multiplicamos por la inversa de tendremos ( ) O O! O! I O! O x y Exercise..7 Determina la/s matriz/ces cuadradas de orden z t ; tales que O donde y O es la matriz nula (O ) omo O entonces x + z y + t x z y t x z! y t x + z y + t x z y t 9 > podemos eliminar >; dos ecuaciones; obteniendo un sistema de dos ecuaciones lineales con cuatro incógnitas que es compatible doblemente indeterminado. Siendo sus soluciones todas las matrices del conjunto H x y x y x y x y x; y < Nota Es interesante hacer resaltar que no da la matriz nula x y x y x y x y x + 8y x + y Sólo se veri carán ambos igualdades O; O cuando coincida con la matriz nula

50 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES Nota Demuestra que el conjunto de las matrices tales que O es de la forma H x x x; y < y y Exercise..8 Dada la matriz determina la matriz cuadrada ) X de orden tales que X I donde I es la matriz identidad (I a Exercise..9 Demuestra que n n na n a n Por el principio de inducción, he de demostrar que se veri ca para n y n ; luego suponer que la igualdad es cierta para n y después comprobar que tambiénse veri ca para n + utilizando la hipótesis anterior a a a a a a a a a a a a a a a a a a Si se veri ca para n tengo que demostrar que es cierta para n + a n+ n 6 n na n a a n+ a a n n (n + ) a a n+ omo es cierto; entonces puedo a rmar que a n n na n a n 8n N fg Exercise.. Dadas las matrices, y a) Demostrar que O, ; b) plicando los resultados de a) demostrar que O; ( )( + ):( ) + Exercise.. alcular 7 si sabemos que a Hipótesis de inducción n n na n a n a 6 Por la hipótesis de inducción sabemos que n n na n a n

51 .. EJERIIOS RESUELTOS omo ; es evidente que 7 Exercise.. alcular n si sabemos que omo ;entonces Es evidente pues que n 8n N fg 7 7 Exercise.. alcular E 7 si sabemos que E E E E E 7 E E Exercise.. alcular D si sabemos que D D

52 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES D D D D D :D Es fácil demostrar que: D Exercise.. Sean y dos matrices cuadradas del mismo orden. veriguar si son ciertas las siguientes igualdades: a) ( )(+) b)( ) + ( )( + ) ya que las matrices y en general no conmutan ( ) ( ) ( ) por la misma razón de antes onclusión: Estas igualdades sólo se cumplen cuando y sean matrices cuadradas del mismo orden y que además conmuten, es decir que Exercise..6 Demostrar que si es una matriz cuadrada que veri ca la relación + I O (donde I es la matriz identidad y O es la matriz nula) entonces admite inversa. Hallarla Per ser I la matriz identidad I I omo + I O Entonces + +I! + I I + I I Si en sacamos factor común por la izquierda y en sacamos factor común por la derecha tendremos ( + I) I ( + I) I! + I n n + n Exercise..7 Demostrar que E n 7 98 n si sabemos que la matriu E 7 omprobemos que se veri ca para n y n + E Si se veri ca para n 7

53 .. EJERIIOS RESUELTOS E > omo + E 7 98! se veri ca para n >; Supongamos que es cierta para n 7 y con esta hipótesis hemos de demostrar que se veri ca para el siguiente n + E n+ E n E 8 n 7 n + n n n n n Para que sea cierta para n+; bastará con que calcules (n + ) + (n + ) 98 y te jes si coincide con n+ 98 n : Observarás que la respuesta es a rmativa. omo es cierto; entonces puedo a rmar que n n + n E n 7 98 n 8n N fg 7 Exercise..8 Sea 6 comprobar que ( + I) O 8 (O es la matriz nula). Justi ca que admite inversa y obtén su matriz inversa + I ( + I) 6 6 O omo ( + I) O; + I + I + I O; + I + I O Entonces I I I +I! I I Si en sacamos factor común por la izquierda y en sacamos factor común por la derecha tendremos 7 Hipótesis de inducción n n + n E n 7 98 n 7 8 Por la hipótesis de inducción ( I) I ( I) I! I 98 n Per ser I la matriz identidad I I

54 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES I Exercise..9 Sea Demuestra que: a) + I O b) Justi ca que es invertible y obtén c) alcula razonadamente Observa que I. Si sumamos a los miembros de esta igualdad la matriz identidad tendremos: + I I + I O Para calcular la inversa de he de tener presente que I:! I: I:! I: sí pues; Si nos piden ahora tendremos presente que: ( I)( I)( I) Exercise.. alcula los valores x,x ; x ; x ; y ; y ; y ; y que satisfacen las X Y x x ecuaciones siguientes:; donde X y y ; Y, X Y x x y y 8 7, ; 8 En primer lugar calcularé la inversa de la matriz X Y Dado el sistema X Y :

55 .. EJERIIOS RESUELTOS Si multiplicamos la a ecuación por y le sumamos la a obtendremos que: Y :Multiplicando por - tendremos: Y + + () 8 9 Si multiplicamos la a ecuación por y le sumamos la a obtendremos que: X :Multiplicando por - tendremos: X + + () 8 9 Si multiplicamos las expresiones y por tendremos (Y )! Y (X)! X 9 9 6

56 6 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES Exercise.. alcula los valores de tales que el determinante de la matriz sea nulo jj! Si resolvemos la ecuación anterior tendremos que los valores del parámetro que anulan el determinante de son y Exercise.. alcula los valores de a tales que el determinante de la matriz a sea nulo a jj a a! a Si resolvemos la ecuación anterior tendremos que el valor del parámetro a que anula el determinante de es Exercise.. alcula los valores de m tales que el determinante de la matriz m + m m + sea nulo m m m + m jj m + m m! m Si resolvemos la ecuación anterior tendremos que los valores del parámetro que anulan el determinante de son y Exercise.. Encontrar el valor de x (real) para el cual se cumple que el x determinante de la matriz es, donde x + x x 9 x jj x + x x > x x + x! x >; omo jj x + x Transponiendo términos x x + x Si la resolvemos mediante la regla de Ru ni tendremos que las soluciones son: La única que vale es x x x + i p 6 x i p 6

57 .. EJERIIOS RESUELTOS 7 Exercise.. alcula la inversa de la matriz o alculamos su determinante jj 6 o alculamos su matriz adjunta dj() 6 6 o alcularemos la traspuesta de la matriz anterior (dj()) t (dj()) t 6 6 o omo jj (dj())t entonces: Nota: omprobemos si I y que I Exercise..6 Dadas las matrices Se pide obtener: ; + ( ) ; ( + ) ; jj ; + + I + ( ) 9 ( + ) I I 9! + I! ( ) +

58 8 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES jj. No hacía falta calcular ; ya que I y jij! jj Exercise..7 alcula las inversas, si existen, de las siguientes matrices D 6 E F 9 a b Remark 7 Recuerda que si es tal que ab cd 6 entonces c d admite inversa y d b ab cd c a Por la nota anterior: que jj Remark 8 Recuerda que si a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; es tal que jj 6 entonces admite inversa y además jj (dj())t a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; donde dj() a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; es la matriz adjunta de D no admet inversa ya! jdj 7 por lo tanto D tiene inversa alculemos su adjunta dj(d) a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ;

59 .. EJERIIOS RESUELTOS 9 omo D jdj (dj(d))t 7 E omprueba tú que E F 9 omprueba tú que F t 7! jej por lo tanto E tiene inversa 7! jf j por lo tanto F tiene inversa 9 Exercise..8 Dada la matriz I se pide a) alcular ( I ) ( I ) b) Obtener t y razonar si existe ( I ) I ( I ) ( I ) t 9 9 omo jj! admite inversa y además: 9 9 Exercise..9 Dada la matriz comprobar que I siendo I la matriz identidad. Usando la fórmula anterior calcula :

60 6 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES I I omo I! + I! ( + I ) I! ( + I ) I + I 9 >! >; sí pues: +I + Remark 9 Perfectamente puedes calcular por otro procedimiento, pero explícitamente te han pedido que lo calcules con la relación que has demostrado Exercise.. Demostrar usando las propiedades de los determinantes a b + c b c + a c a + b a b + c b c + a c a + b a a + b + c b a + b + c (a + b + c) c a + b + c Otra manera de resolver esta cuestión. a b + c b c + a c a + b a b + c b a a b c a a c a b + c a)(c a) a b c a b + c b a (b a) c a (c a) Exercise.. alcular, sin desarrollar, el siguiente determinante: a a a b b b c c c (b Si a una columna le sumamos una combinación lineal de otras columnasel determinante no varía. quí en concreto a col a col + a col Un determinante es lineal respecto de cada columna Si dos columnas son iguales el determinante es nulo Si a una la le sumamos una combinación lineal de otras las el determinante no varía. quí en concreto a fil a fil a col a fil a fil a col Un determinante es lineal respecto de cada la. Lo aplico para las las a y a Un determinante que tenga dos las iguales es nulo.

61 .. EJERIIOS RESUELTOS 6 a a a b b b c c c 6 abc a a a)(c a) b + a c + a 9 abc(b a)(c a) a a b b c c a a b + a c b 7 abc a a b a b a c a c a abc(b a)(c a)(c b) 8 abc(b Exercise.. alcula los siguientes determinantes por triangularización a) b) Un determinante es lineal respecto de cada la. Lo aplico para las las a, a y a 7 Si a una la le sumamos una combinación lineal de otras las el determinante no varía. quí en concreto a fil a fil a col a fil a fil a col 8 Teniendo presente que z t (z t)(z + t) y además que: Un determinante es lineal respecto de cada la. Lo aplico para las las a y a 9 Si a una la le sumamos una combinación lineal de otras las el determinante no varía. quí en concreto. a fil a fil a col a b c d e f adf Modi camos la primera columna sumándole la segunda a l a l + a l ; a l a l + a l ; a l a l - a l Si intercambiamos la a la con la a el determinante cambia de signo a l a l + a l ; a l a l +7 a l a l a l +8 a l 6 Si intercambiamos la a la con la a el determinante cambia de signo 7 Si intercambiamos la a columna con la a el determinante cambia de signo

62 6 HPTER. PROLEMS DE MTRIES Y DETERMINNTES Exercise.. alcula el determinante Sarrus y mediante un desarrollo por adjuntos + 6 por la regla de Si desarrollamos este determinante, por los adjuntos de la primera columna tendremos: ( )+ ( ) + 8 a la a la- a la 9 Si intercambiamos la a columna con la a el determinante cambia de signo a la a la-7 a la; a la a la- a la Si intercambiamos la a columna con la a el determinante cambia de signo Si intercambiamos la a la con la a el determinante cambia de signo a la a la- a la Por ser lineal el determinante con respecto a cada columna Si intercambiamos la a columna con la a el determinante cambia de signo 6 a la a la- a la

63 .. EJERIIOS RESUELTOS 6 x y z Exercise.. alcular y x y z función de x y z x + y z + x + y + z + x y z x y z x y z x y z x y z x + y z + x + y + z + 7 x y z x + y + z + + x y z x y z x y z + x y z x y z + x y z x y z + Exercise.. Probar sin desarrollar que a + b b + c c + a p + q q + r r + p x + y y + z z + x a b + c c p q + r r x y + z z a b c p q r x y z a b c p q r x y z a b + c a p q + r p x y + z x a c c p r r x z z b c a q r p y z x a b + c c + a p q + r r + p x y + z z + x b c c q r r y z z + a b c p q r x y z Exercise..6 Probar sin desarrollar que x y z en x y z x + y + z + a + b b + c c + a p + q q + r r + p x + y y + z z + x b b c + a q q r + p y y z + x b b + c c + a q q + r r + p y y + z z + x + b c a q r p y z x x y z a b c p q r x y z b c c + a q r r + p y z z + x 7 Por ser el determinante lineal con respecto a cada la 8 Por ser el determinante lineal con respecto a cada la 9 Un determinante es nulo si hay las repetidas El segundo y el tercer determinante son nulos por tener columnas repetidas El segundo y el tercer determinante son nulos por tener columnas repetidas Si en el segundo determinante intercambiamos la a columna por la segunda y después la a por la a a b c volvemos a obtener p q r al realizar dos cambios de columnas consecutivas x y z 8