Introducción a la Matemática Discreta

Transcripción

1 Primera práctica Objetivos El objetivo de esta práctica es observar la rápida convergencia del algoritmo de Euclides (Alejandría 300 a.c.) para hallar el máximo común divisor de dos números enteros a y b, basado en que si a = bq + r con 0 r < b = mcd (a, b) = mcd (b, r). Una variante de este método es la siguiente: a = bq + r con b /2 r < b /2 = mcd (a, b) = mcd (b, r) El algoritmo resultante recibe el nombre de algoritmo del mínimo resto. Actividades 1.- Los programas escritos para MATLAB (que guardaremos con los nombres de euclides.m y minres.m) calculan el máximo común divisor d de dos números a y b, previamente introducidos, mediante los algoritmos de Euclides y del Mínimo Resto respectivamente. También nos indica el número n de pasos necesarios para obtenerlo. Calcular mcd (2860, 1240) utilizando ambos algoritmos y comparar el número de pasos necesarios con cada uno de ellos. 2.- Se considera la función de Fibonacci definida de forma recursiva por: fib (1) = fib (2) = 1, fib (n) = fib (n 1) + fib (n 2) para n 3. Calcular fib (42) y fib (41). 3.- Aplicar el algoritmo de Euclides a los enteros a = fib (42) y b = fib (41) y comparar el número de pasos necesarios con los que requiere el algoritmo del mínimo resto. 4.- Justifíquese que el algoritmo de Euclides necesita siempre un mayor número de pasos (o en todo caso igual) que el del mínimo resto. 5.- Encontrar dos números enteros, cuyo máximo común divisor sea 84, y para los que ambos algoritmos necesiten exactamente 4 pasos.

2 Algoritmos Euclides 1 r=1; 2 n=0; 3 c=a; 4 d=b; 5 while r>0 6 n=n+1; 7 q=floor(c/d); 8 r=c-q*d; 9 c=d; 10 d=r; 11 end 12 n 13 d=c Mínimo resto 1 r=1; 2 n=0; 3 c=a; 4 d=b; 5 while r>0 6 n=n+1; 7 q=floor(c/d); 8 r=c-q*d; 9 if r>d/2 10 r=d-r; 11 end 12 c=d; 13 d=r; 14 end 15 n 16 d=c Sucesión de Fibonacci (Lenta) 1 a=1; 2 b=1; 3 n=2; 4 n=input( Que termino quiere hallar? ); 5 while n<k 6 n=n+1; 7 c=a+b; 8 a=b; 9 b=c; 10 end 11 termino_buscado=b 12 termino_anterior=a 13 a=termino_buscado; 14 b=termino_anterior; Sucesión de Fibonacci 1 n=input( Que termino quiere hallar? ); 2 termino_pedido=round(((1+sqrt(5))/2)^n/sqrt(5)) 3 termino_anterior=round(((1+sqrt(5))/2)^(n-1)/sqrt(5)) 4 a=termino_pedido; 5 b=termino_anterior;

3 Primera práctica Apellidos Nombre Grupo Subgrupo de Prácticas Rellenar los datos obtenidos al aplicar ambos algoritmos. mcd (2860, 1240) = Escribir los valores obtenidos para Alg. de Euclides:... N o de pasos Alg. del mínimo resto:... fib (41) =... y fib (42) = Rellenar los datos obtenidos al aplicar ambos algoritmos. mcd (fib (42), fib (41)) =... Alg. de Euclides:... N o de pasos Alg. del mínimo resto: Justificar que el algoritmo de Euclides requiere siempre un mayor (en todo caso igual) número de pasos que el algoritmo del mínimo resto. 5.- Dos enteros, cuyo máximo común divisor es 84, y para los que se requieren, exactamente, 4 pasos con ambos algoritmos son: a =... y b =...

4 Segunda práctica Introducción: La presente práctica se realizará con MAPLE ya que la aritmética que utiliza MATLAB no permite trabajar con grandes números. Los comandos que podemos necesitar son los siguientes: Objetivos: a mod b a mod b;. a b mod c a &^b mod c;. Primer número primo posterior a n nextprime(n);. Lista de los 50 primeros números primos Conocer las dificultades que presentan los test de primalidad. 2.- Familiarizar al alumno con los grandes números. Actividades: 1.- Calcular el número de Mersenne M 23 y determinar si es primo o compuesto viendo si tiene algún divisor propio. (Probar si es divisible por alguno de los primos conocidos). 2.- Aplicarle alguno de los test de primalidad estudiados. 3.- Aplicar el test de base 2 al número 341. Si lo supera aplicarle el de base 3 y así sucesivamente para estudiar si es primo. 4.- Repetir el proceso del apartado anterior con 561. Podemos asegurar que es primo? 5.- Repetir el proceso del apartado 3 con al número Puede aplicarse el test de Wilson a ? 7.- Elegir, al azar, tres primos de cinco dígitos, multiplicarlos y aplicarle, al resultado, los test de pseudoprimalidad para detectar si es compuesto. Qué ha ocurrido con los números elegidos por el resto de los compañeros? Qué conclusiones se deducen?

5 Segunda práctica Apellidos Nombre Grupo Subgrupo de Prácticas M 23 =... Si no es primo, escriba uno de sus divisores propios (un divisor distinto de 1 y de M 23 ). 2.- Justifíquese el resultado obtenido. 3.- Es primo 341? SI... NO... En caso negativo, con que base falla el test de pseudoprimalidad? a = Escribir las bases con que se ha probado y ha superado el test. a =... a =... a =... a =... a =... Se puede asegurar que es primo? SI... NO... Justificar la respuesta. 5.- Escribir las bases con que se ha probado y ha superado el test. a =... a =... a =... a =... a =... Se puede asegurar que es primo? SI... NO... Justificar la respuesta. 6.- Especifique los motivos por los que no puede aplicarse ahora el test de Wilson. 7.- Los primos elegidos han sido p 1 =... p 2 =... p 3 =... por lo que n = p 1 p 2 p 3 =... Han detectado los test si el número es compuesto? SI... NO... En caso afirmativo, con qué base? a =... Qué resultado han obtenido el resto de compañeros? Qué conclusiones se deducen?

6 Tercera práctica Con la clave (n, e) = ( , 577) y los 256 códigos ASCII se ha cifrado un texto (código a código) y ha resultado: descifra el texto.

7 Tercera práctica Apellidos Nombre Grupo Subgrupo de Prácticas El texto descifrado es: