Preguntas propuestas. Aptitud Académica Matemática Cultura General Ciencias Naturales

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1 Preguntas propuestas Aptitud Académica Matemática Cultura General Ciencias Naturales

2 NIVEL BÁSICO Clasificación de los Z + III 1. Si 4 2n tiene 81 divisores, halle el valor de n. A) 20 B) 10 C) 15 D) 25 E) Si 4 k+2 4 k tiene 88 divisores compuestos, halle el valor de k 1. A) 3 B) 10 C) 11 D) 12 E) Si se sabe que =12 30 n tiene doble cantidad de divisores que B=12 n 30, halle el valor de n. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. Si el número P= m tiene 90 divisores múltiplos de 42, halle el valor de m 1. A) 1 B) 3 C) 6 D) 2 E) 4 5. De los divisores de , cuántos terminan en 1; 3; 7 o 9? A) 2 B) 6 C) 10 D) 11 E) Si N 2 tiene 63 divisores y N 3 tiene 130 divisores, cuántos divisores tiene N? Calcule la suma de las cifras de esta cantidad. A) 4 B) 5 C) 2 D) 7 E) 8 7. Sean p y q el menor y el mayor factor primo del número N= Si q p=6, entonces indique cuánto vale q+p. 8. Cuántos ceros hay que agregar a la derecha de 275 para que el número resultante tenga 70 divisores? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9. Halle (a+b) si el número N=3 a 2 b tiene 28 divisores, cuya suma de cifras es m9 y 30 divisores m4. A) 11 B) 12 C) 13 D) 10 E) Si A tiene 30 divisores; B tiene 32 divisores y A B tiene 104 divisores, cuántos tendrá A B 2? (Nota: A y B tienen los dos mismos factores primos) A) 210 B) 220 C) 240 D) 250 E) 280 NIVEL INTERMEDIO 11. La suma de los divisores del numeral 8 n 6 3n+1 es 31 veces la suma de los divisores del numeral 8 n 3 n+1. Halle n 2. A) 25 B) 16 C) 9 D) 1 E) Se sabe que la descomposición canónica de un número entero positivo N es N=(ab) c (ac) b y que tiene 32 divisores. Indique, el menor valor posible de a+b+c. A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) Sean los números N 1 =6 3a+1 8 a y N 2 =8 a 3 3a+1 si la cantidad de los divisores de N 1 es igual a la cantidad de los divisores de N 2 aumentada en 20, halle el valor de 2a 1. A) 16 B) 20 C) 32 A) 1 B) 3 C) 5 D) 40 E) 52 D) 7 E) 9 2

3 14. En cuántos sistemas de numeración 448 acaba en 8? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 A) 11 B) 16 C) 12 D) 14 E) Se sabe que N=2 3n 3 2n+4 5 n+3 7 2n+1 tiene 1920 divisores cuadrados perfectos. Cuántos de los divisores de N son cubos perfectos si n impar? A) 720 B) 360 C) 192 D) 460 E) 660 NIVEL AVANZADO 16. Halle las 3 últimas cifras al expresar (358) 3824 en base 7. Dé como respuesta la suma de estas. 17. Un número de la forma abac posee 21 divisores y 2a+2b+c=14. Calcule la suma de los divisores de ca(b 1) que terminan en cero. A) 1020 B) 1040 C) 1080 D) 840 E) Halle un número par de 4 cifras de la forma mnpq, tal que m+q=15; n+p=4 si se sabe además que tiene 15 divisores. Dé como respuesta el resto de dividir dicho número entre 7. A) 4 B) 1 C) 5 D) 2 E) 3 3

4 Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo I NIVEL BÁSICO 1. Se desea mandar a hacer recipientes de igual capacidad para llenar 120 y 70 litros de aceite utilizando el menor número posible de recipientes. Cuántos recipientes se mandaron a hacer? A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) Si tenemos que llenar cuatro cilindros de capacidad 72 m 3 ; 24 m 3 ; 56 m 3 y 120 m 3 respectivamente, cuál es la máxima capacidad del balde en m 3 que puede usarse para llenarlos exactamente? A) 8 B) 24 C) 10 D) 12 E) Cuántos divisores comunes tienen los números 540 y 360? A) 8 B) 16 C) 9 D) 18 E) Se divide un terreno de forma rectangular de 468 m por 540 m en cuadros cuyas longitudes de sus lados son números enteros en metros. Cuántos cuadrados hay si el área de cada uno está comprendida entre 100 y 300 m 2? A) 1170 B) 780 C) 1755 D) 1440 E) Cuatro barcos de una empresa naviera salen al mismo tiempo del Callao y se sabe que el primero de ellos tarda 25 días en regresar y permanece anclado 3 días; el segundo 45 y 5 días; el tercero 32 y 3 días y el cuarto 60 y 10 días. Cada cuánto tiempo zarpan los cuatro barcos a la vez? 6. Las losetas de un piso de forma cuadrada han sido renovadas 2 veces. Originalmente eran de 12 cm 10 cm, luego se cambiaron por otras de 20 cm 8 cm y finalmente por unas de 16 cm 24 cm. Cuántas losetas tiene el piso como mínimo? A) 6 B) 25 C) 150 D) 75 E) Cuántos múltiplos comunes tienen 8; 12 y 24, comprendidos entre 500 y 2500? A) 48 B) 84 C) 104 D) 94 E) Calcule la cantidad de pares de números, de modo que su MCD es 36, además dichos números están comprendidos entre 750 y 950. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) El MCD de dos números es 9. Cuál es su MCM si el producto de dichos números es 1620? A) 180 B) 188 C) 198 D) 207 E) Halle la diferencia de dos números enteros si se sabe que su producto es 7776, y que MCD 2 =3/4 MCM. A) 100 B) 96 C) 92 D) 90 E) 86 NIVEL INTERMEDIO 11. Si se sabe que MCD(aac:(a 1)(a 1)b)=15 MCD (aac: da(a 1))=66 determine la suma de todos los posibles valores de a+b+c+d. A) 700 B) 770 C) 840 A) 23 B) 24 C) 20 D) 910 E) 860 D) 9 E) 18 4

5 12. Determine el valor de n si se sabe que el mínimo común múltiplo de A=180 n 27 y B=40 n 60. Tiene 5400 divisores. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Al descomponer en sus factores primos, los números A y B se expresan como A= 3 a b 2 ; B=3 b a (con a y b consecutivos) Si su mínimo común múltiplo y su máximo común son 675 y 45, respectivamente, halle el valor más pequeño de A+B. A) 360 B) 368 C) 456 D) 720 E) Dé el valor de a en MCM [ab; (a+1)(b+1)]=132 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) El MCM de A=18 75 n y B=75 18 n tiene 845 divisores que son divisibles entre 12. Cuántos divisores impares no primos tiene? NIVEL AVANZADO 16. Indique los enunciados son verdaderos (V) o falsos (F). I. Si a Z y a 0, MCD (0; a)= a II. MCD (a; b+c)=mcd (a; b)+mcd (a; c) III. MCD (a n ; b n )=[MCD (a; b)] n A) VFV B) VVV C) VFF D) FFV E) FVF 17. Un número se divide entre 15, y el cociente resulta exacto e igual a su complemento aritmético. Luego se multiplica el dividendo por el cociente, de lo cual resulta un número que es el MCM de 72 números diferentes. Cuántos divisores tiene el cociente de la división original? A) 11 B) 12 C) 16 D) 20 E) Si MCD (ab0ab (4) ; mnmn 5 )=13 MCM (ab0ab (4) ; mnmn 5 )= entonces (a+b+m+n). A) 177 B) 178 C) 179 D) 180 E) 181 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 5

6 Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo II NIVEL BÁSICO 1. En qué cifra terminará el MCM de A y B si A= cifras y B= cifras A) 0 B) 7 C) 8 D) 6 E) 5 2. El MCM de dos números es , y en el cálculo del MCD de ellos por el algoritmo de Euclides se obtuvieron los cocientes sucesivos de 3; 2; 2; 1; 2; 3 (los tres primeros por exceso y los últimos por defecto). Indique el mayor de los números. A) 400 B) 900 C) 1000 D) 1200 E) Al calcular el MCD de ab(a 1) y 3b8 por el algoritmo de Euclides se obtuvo 1; 2; 2 y 3 como cocientes, en dicho orden. Halle a b si se sabe que la segunda división se realizó por exceso y a > 3. A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 8 4. Si MCD (10A; 14B)=60 MCD (14A; 10B)=420 halle el MCD de A y B. A) 2 B) 3 C) 11 D) 9 E) Determine MCD [CA ( ); (3) ] 20 cifras 20 cifras en base 3 y dé la suma de cifras. A) 20 B) 23 C) 40 D) 10 E) Calcule la suma de cifras de MCD (A; B) si A es el menor número cuya suma de cifras es 270 y B es también el menor número cuya suma de cifras es 405. A) 270 B) 225 C) 375 D) 675 E) Si A=MCM (75!; 76!; 77!;...) 10 números B=MCD (83!; 84!;...) 16 números calcule en cuántas cifras cero termina A B. A) 36 B) 38 C) 32 D) 40 E) Al dividir el MCM de N! y (N!+1) entre el MCD de N! y 7N! se obtiene 7ab. Halle (a+b). A) 7 B) 9 C) 11 D) 2 E) 3 A) 15 B) 20 C) 60 D) 120 E) Si los menos de 900 alumnos, que tiene un colegio, se forman de 5 en 5, 7 en 7 o de 8 en 8, sobrarían 2; 3 y 1, respectivamente. De cuántas maneras se pueden formar sin que sobre ninguno, de modo que una fila tenga como mínimo 2 alumnos y como máximo 12 alumnos? (Se sabe que esta posibilidad existe). 10. Tres ciclistas parten al mismo tiempo de un mismo punto de una pista circular. En cada vuelta tardan 1 min 12 s, 1 min 30 s y 1 min 45 s. Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por el punto de partida? Dé como respuesta la suma. A) 118 B) 87 C) 56 D) 70 E) 48 6

7 NIVEL INTERMEDIO NIVEL AVANZADO 11. Cuántos enteros positivos de cuatro cifras, que no son múltiplos de 125, son múltiplos de 24; 50 y 60 a la vez? A) 22 B) 18 C) 16 D) 12 E) Sean A, B y C tres números enteros positivos tales que MCD (A; B)=24 y MCD (B; C)=36. El número de ternas ordenados (A; B; C), tales que A+B+C=300 es igual a A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) Las circunferencias de las ruedas delanteras y posteriores de una carreta miden 1,80 m y 2,40 m respectivamente. Cuántos metros deberá recorrer la carreta para que las ruedas delanteras den 50 vueltas más que las posteriores? A) 180 B) 360 C) 540 D) 720 E) Si MCM(63A; 9B)= y MCD(91A; 13B)=104, calcule el menor valor posible de (A+B). A) 82 B) 88 C) 60 D) 72 E) Se sabe que MCD (A; B)=d. Respecto a las proposiciones siguientes: I. d=1, si y solo si existen enteros x, y tales que Ax+By=1. MCD A B ; a b = 1 II. Si A divide a B C y d=1, entonces A divide a C. III. Si A divide a B C, entonces A divide a C. d IV. MCD (AK; BK)=K d, siempre que K > 0. qué se puede afirmar? A) todas son falsas B) todas son verdaderas C) cuatro son verdaderas y una falsa D) tres son verdaderas y dos son falsas E) dos son verdaderas y dos son falsas 17. Sean A, B y C tres números enteros positivos, tales que MCD (A; B)=24 y MCD (B; C)=36. Halle el número de ternas ordenadas (A; B; C), tales que A+B+C=300. A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) Se sabe que MCD 3 n 4 n ; 2 3 =. Calcule cuántos pares de números existen, tales que su MCM es n si se sabe que es el menor número posible. A) 5 B) 7 C) 2 D) 3 E) Si a y b son enteros positivos, y 11a+2b es divisible entre 19, halle el MCD (11a+ 2b; 18a+5b). A) 1 B) 19 C) 11a+2b D) no se puede determinar E) depende de a y b

8 NIVEL BÁSICO Potenciación 1. Calcule el menor número, tal que al sumarle su mitad y luego sus 4/5 se obtiene una potencia perfecta de grado 3. A) 7200 B) 3610 C) 8125 D) 8200 E) Cuántos términos de la sucesión 72(1) 72(2) 72(3) (2000) son potencias perfectas de grado 4? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Halle el menor número, tal que al agregarle su séptima parte es un cuadrado perfecto. A) 12 B) 14 C) 18 D) 24 E) Cuántos numerales de la forma abab 7 son potencias perfectas de grado 3? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Si a(2a)a es un cuadrado perfecto, halle los valores de a. A) 2 y 3 B) 3 y 5 C) 1 y 4 D) 2 y 4 E) 4 y 7 6. Halle el menor número, tal que al agregarle sus tres cuartas partes se obtenga un cubo perfecto. 7. Cuántos cubos perfectos de 5 cifras existen que terminen en 6? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 8. La cantidad de divisores de N es un número impar; además, N=abc+2 abc+3 abc abc cuántos valores asume abc? A) 9 B) 12 C) 13 D) 15 E) Si 49 m4m es una potencia perfecta de grado 3, halle la suma de los valores de m. A) 6 B) 9 C) 10 D) 11 E) Determine el menor entero positivo tal que al multiplicarlo por se obtiene un número que sea un cuadrado y cubo perfecto a la vez. A) 2250 B) 2550 C) 2750 D) 3250 E) 4250 NIVEL INTERMEDIO 11. Respecto a los siguientes enunciados, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Existen únicamente 10 números de cuatro cifras que son cubos perfectos. II. El residuo de la raíz cúbica de un número positivo es siempre menor que el triple del cuadrado de la raíz más el triple de la raíz más uno. III. La suma de los cubos de tres números enteros consecutivos es divisible entre tres veces el número del medio y entre nueve. A) 196 B) 216 C) 220 A) FFF B) FVF C) FVV D) 225 E) 232 D) VFV E) VVV 8

9 12. Respecto a los siguientes enunciados I. Todo número impar >1 es la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos. II. El cuadrado de un número entero positivo par n es igual a la suma de los n primeros números pares positivos. III. La diferencia de los cubos de dos números entero consecutivos disminuidos en una unidad es siempre divisible entre 6. A) FFF B) FFV C) FVF D) VFV E) VVV 13. Sea abab un número de 4 cifras. Determine el menor número m, tal que abab m sea un cuadrado perfecto. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Sea N un número cuadrado perfecto impar. Si N+23 es divisor de 136 R y R es primo, halle el menor número N que cumple lo anterior. A) 9 B) 25 C) 49 D) 81 E) El número AABB es un cuadrado perfecto y la raíz correspondiente es un número de la forma XX. Calcule A+B+X. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 NIVEL AVANZADO 16. Indique verdadero (V) o falso (F) según las siguientes proposiciones. I. Un número cuadrado perfecto puede ser o o o o 7; 7+ 1; 7+ 2; II. Un número cuadrado perfecto en la base nueve puede terminar en las cifras 0; 1; 2 o 4. III. Si un número se eleva a la cuarta y se escribe en la base cinco su cifra de unidades puede ser 0; 1 o 4. A) VVF B) VVV C) VFF D) FVV E) FFV 17. La distancia mínima entre Marte y la Tierra ocurrió en un día y mes que son cubos perfectos y tiene mes que son cubos perfectos y tiene la forma D=(2n+1)(2n+1)(3n+1)(3n)0nn0 km, y la suma de sus cifras es igual a uno de dichos cubos perfectos. Calcule la distancia entera en millones de kilómetros más aproximada. A) 33 B) 34 C) 55 D) 56 E) En cuántos sistemas de numeración es un cubo perfecto y es el cubo perfecto de un número de tres cifras cuya base es un cuadrado perfecto? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9

10 NIVEL BÁSICO Radicación 1. Cuántos números de sucesión 54 1; 54 2; 54 3;...; tienen raíz cuadrada exacta. A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) Si 22ab es un cuadrado perfecto, calcule a+b. A) 9 B) 11 C) 13 D) 14 E) Al extraer la raíz cuadrada de 6abc4 se obtuvo un residuo máximo. Halle a+b+c si a 0. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 4. Se extrae la raíz cúbica de un número, y se tiene que el residuo por defecto y exceso se encuentran en la relación de 15 a 16 y suman 217. Halle el número. A) 542 B) 584 C) 617 D) 643 E) Al extraer la raíz cúbica de un número se observó que si al radicando se le disminuye 721, entonces su raíz disminuye en una unidad pero manteniendo el mismo residuo. Halle en cuánto excede el radicando al residuo. A) 3125 B) 3164 C) 4096 D) 4196 E) Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 52 de residuo; pero si se le suma 1000 unidades, su raíz aumentaría en 2 y su residuo sería máximo. Halle la raíz del número. A) 201 B) 192 C) 126 D) 160 E) 174 de asistentes representa a la cantidad de personas que usan jean y la raíz cuadrada de estos usan anteojos. La raíz cúbica del total de personas no usan aretes. Halle la suma de cifras de los asistentes. A) 11 B) 17 C) 19 D) 21 E) Si 23cd es un cuadrado perfecto, calcule c+d. A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtiene un residuo máximo. Si se extrae la raíz cúbica, también se obtiene un residuo máximo. Si la suma de los residuos es 268, calcule la suma de cifras del número. A) 19 B) 17 C) 18 D) 15 E) Si ab0ab (8) es un cuadrado perfecto, calcule a+b. A) 9 B) 12 C) 10 D) 7 E) 8 NIVEL INTERMEDIO 11. Halle a+b+c+d si ab 3 =acadb. A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) Al calcular la raíz cuadrada de un número se obtiene como residuo la raíz cuadrada del residuo máximo. Si a dicho número se le añaden 307 unidades, obtenemos el cuadrado perfecto inmediato. Halle la suma de las cifras de dicho número. 7. A un concierto de rock asistieron entre 4000 y 5000 personas. La raíz cuadrada del número A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 10

11 13. Al extraer la raíz cuadrada de un número se tomó por error al residuo como raíz y a esta como residuo, lo cual resultó un número que es inferior en 372 unidades al original. Si la diferencia de la raíz menos el residuo es 3, calcule el número original. A) 4149 B) 4150 C) 4157 D) 4158 E) Halle el valor de a+b+c+d si al extraer la raíz cuadrada de 14abcd64 se obtiene abcd. A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) En el número 16P61 n, P es 11. Halle la raíz cuadrada en base n. A) 113 B) 123 C) 130 D) 131 E) 132 NIVEL AVANZADO 16. Determine el valor de a+b c si se tiene que (ab) 3 =1c8ab A) 1 B) 2 C) 1 D) 2 E) La 7 se encuentra entre 2 y 3, por lo tanto 5 aproximamos su valor a x 1 =, y al aplicar x 2 n la fórmula xn = hallamos valores 2 2 xn más precisos. El primero de estos valores que aproximan a 7 con cinco cifras decimales. A) D) Reconstruya B) * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 * * 0 * * * C) E) Luego dé como respuesta la suma de las cifras del radicando. A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 11

12 Anual UNI Clasificación de los Z + III 01 - A 04 - D 07 - B 10 - b 13 - A 16 - A 02 - B 05 - C 08 - C 11 - d 14 - A 17 - B 03 - A 06 - C 09 - E 12 - D 15 - B 18 - A Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo I 01 - E 04 - c 07 - B 10 - D 13 - A 16 - d 02 - A 05 - A 08 - B 11 - b 14 - A 17 - B 03 - D 06 - C 09 - A 12 - C 15 - D 18 - A Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo II 01 - E 04 - E 07 - E 10 - B 13 - B 16 - E 02 - E 05 - B 08 - B 11 - D 14 - B 17 - d 03 - D 06 - A 09 - e 12 - D 15 - E 18 - B Potenciación 01 - B 04 - A 07 - a 10 - b 13 - b 16 - C 02 - d 05 - C 08 - C 11 - C 14 - B 17 - D 03 - B 06 - A 09 - E 12 - D 15 - D 18 - A Radicación 01 - B 04 - C 07 - C 10 - E 13 - C 16 - E 02 - A 05 - C 08 - A 11 - D 14 - E 17 - D 03 - D 06 - E 09 - B 12 - C 15 - D 18 - B