MATEMATICAS 1RO. DE SECUNDARIA

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1 CUADERNO DE ACTIVIDADES MATEMATICAS 1RO. DE SECUNDARIA NOMBRE: Índice

2 Los Números.3 Números Naturales.3 Sistema de numeración decimal.4 Descomposición Polinómica de un número.6 Operaciones con Números Naturales 7 Suma o Adición de Números Naturales 7 Resta o Sustracciones.7 Las propiedades de la suma 8 Multiplicación.9 Propiedades de la multiplicación..9 División 12 Números Enteros.16 Operaciones con números enteros..16 Suma o Adición de enteros.16 Propiedades de la suma.17 Resta o sustracción de enteros. 17 Sumas y restas combinadas.18 Multiplicación y división de enteros.19 Multiplicación de un entero positivo por uno negativo.20 Producto de dos enteros negativos 21 Propiedades del producto de números enteros..21 División de números enteros..21 Números primos y Compuestos. 23 Mínimo Común Múltiplo..25 Máximo Común Divisor...27 Los Números Cuando hablamos de números, lo primero que pensamos es, que un número es algo que nos sirve para Contar. Durante miles de años, los seres humanos hemos utilizado los números para contar. Es una cosa muy Natural.

3 Así, tenemos entonces los números para contar 1,2,3, 4,. y la gente estuvo entonces muy satisfecha con estos números para contar durante mucho tiempo. Así nace una nueva serie de números para contar, que podemos llamar Los Números Naturales Números Naturales Los números naturales surgen por la necesidad de contar. Al conjunto de los números naturales se representa por la letra N: N={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4. El conjunto de los números naturales se representa con la letra N. Podemos distinguir entre: Números cardinales: se utilizan para contar los elementos de un grupo: 1, 2, 3, 4 Por ejemplo: 3 manzanas, 17 botellas, 4 niños Ordinales: se utilizan para determinar la posición que ocupa un elemento dentro de un conjunto: primero, segundo, tercero, cuarto Sistema de Numeración Decimal Para representar números naturales se utilizan diferentes sistemas de numeración. El más utilizado es el sistema de numeración decimal. El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos. En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: unidades, decenas, centenas, unidades de mil o de millar, decenas de millar... Diez unidades simples forman una unidad de orden superior llamada Decena. Los números comprendidos entre el diez y el noventa y nueve se escriben con dos dígitos, y están formados por unidades y decenas: 10, 11, 12, 12, 14, 50, 51, 52, 99 Diez decenas forman una unidad de orden superior o centena. Los números entre el cien y el novecientos noventa y nueve se escriben con tres dígitos, y están formados por unidades, decenas y centenas. 100, 101, 102, 103, 104, 200, 201, 202, 300, 301, 302, 999 Este proceso se sigue para formar unidades de orden superior y conseguir números mayores de manera ilimitadas o infinita. Nuestro sistema de numeración tiene dos características esenciales: es decimal y es posicional Es decimal porque:

4 Utilizamos 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 Agrupamos de 10 en 10 en órdenes cada vez mayores: o 10 U = 1 D o 10 D = 1 C o 10 C = 1 UM o 10 UM = 1DM Es el esquema que ya conoces de otros cursos, te suena de algo? En números de nueve cifras, esta es la manera como se ordena: Es posicional porque el valor de cada cifra en un número depende del lugar que ocupa. En el número la cifra 2 ocupa el orden de las centenas, por lo tanto, 2C = 20D = 200U La cifra 7 ocupa el orden de las decenas de millar, por lo tanto, 7DM = 70UM = 700C = 7.000D = U Recuerda: al contar el # de objetos de una colección, se obtiene un número natural. Algunos matemáticos, asumen el cero como un natural otros no. Los naturales con el cero forman el conjunto de los naturales extendidos. Actividades 1. Cuantos números naturales existen en el sistema decimal de numeración que esté formado por: a) Una cifra b) Dos cifras c) Tres cifras d) Cuatro cifras e) Cinco cifras f) Seis cifras 2. Dado el número natural 65, 271,490, escribe el digito que ocupa la: a) Centena de mil b) Unidad de millar

5 c) Decenas de millón d) Unidades simples e) Unidad de millón f) Centenas g) Decenas de millar h) Decenas simples 3. Piensa y describe la utilidad que le damos a los números naturales. Di por qué es necesario conocerlos. 4. Escribe las siguientes cantidades, utilizando números naturales: a) Veintitrés millones de pesos b) Cinco mil metros cuadrados c) Doscientos cinco mil kilómetros cuadrados d) Cuatrocientos seis metros cúbicos de agua e) Los metros cuadrados (m 2 ) contenidos en 103 tareas de tierra ( 1 tarea =628 m 2 aproximadamente) Descomposición Polinómica de un número Quiere decir: descomponer un número en la suma de otros números, tomando en cuenta el valor de posición de cada dígito. Veamos el siguiente ejemplo: El número: 6,242,537 se puede descomponer de esta forma: 6,242,537 = Teniendo en cuenta la multiplicación por la unidad seguida de ceros, también lo podemos escribir: 6,242,537 = 6x x x x1000+5x100+3x10+7 Las potencias de base 10, tienen especial importancia en la escritura de números grandes, en forma polinómica ya que con ellas podemos representar las diferentes unidades del sistema decimal. El número anterior lo podemos entonces escribir: 6,242,537 = 6x x x x x x10+7 Esta es la descomposición polinómica del número, también conocida como forma desarrollada. Actividad 1) Escribe la descomposición polinómica de estos números: a) 58,791 b) 2,174,520 c)3,132,001 d)9,527,206 e)5, 23,198 2) Escribe cantidades y exprésalas en su forma polinómica correspondiente.

6 OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Suma o Adición Es reunir en una sola cantidad varias cantidades homogéneas. Ej 1) 928 libretas 1836 libretas 2764 libretas Ej 2) 2000 camisas 3000 pantalones 5000 En el caso del ejemplo 2 No podemos decir que es igual a 5000 ya que no pertenecen a las mismas especies. Ej 3) 7, = 7,192 (compruébalo) Resta o Sustracción Es hallar la diferencia entre dos cantidades. Ejemplos: 1) 295 pesos 2) 19,200 3) pesos -12, pesos 7,200 No es posible dentro de los naturales Habla con propiedad

7 Las propiedades de la suma Propiedad conmutativa: = = 361 El resultado de una suma no varía, aunque variemos el orden de los sumandos. Propiedad asociativa: ( ) + 30 = = ( ) = = 90 En una suma con más de dos sumandos no importa el orden en el que efectuemos las sumas, el resultado final es el mismo. Propiedad fundamental de la resta Si sumo o resto un mismo número al minuendo y al sustraendo a la vez, el resultado no varía. Comprueba si lo has aprendido El término mayor de la resta se llama y el menor. Si sumamos o restamos la misma cantidad al sustraendo y el minuendo de una resta el resultado varía No importa el orden en el que sumemos dos sumandos el resultado no varía. Es lo que nos dice la propiedad La propiedad significa que no importa el orden en el que sumemos varias sumas porque el resultado no varía. es un sinónimo de suma. Sustracción y son sinónimos de resta. Multiplicación Esta operación, es un proceso abreviado de la suma. Así en vez de sumar 8 siete veces, decimos 8 x 7 = 56. El resultado o respuesta en la multiplicación le llamamos producto y los números o símbolos que multiplican se llaman factores Ejemplos:

8 1) 2 x 144 = 288 Factores producto 2) 7,419 x 995 = 7,381,905 (pruébalo sin calculadora) Propiedades de la multiplicación Propiedad conmutativa: 250 x 4 = 1,000 4 x 250 = 1,000 El resultado de una multiplicación no varía, aunque se cambie el orden de los factores. (El orden de los factores no altera el producto) Propiedad asociativa: (45 x 15) x 30 = 675 x 30 = x (15 x 30) = 45 x 450 = El resultado de un producto con tres factores es el mismo si multiplico los dos primeros y luego el tercero o los últimos y lo multiplico al primero Propiedad distributiva Podemos utilizar esta propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma para realizar multiplicaciones en las que un factor lo separamos en la suma de dos números. Fíjate en el ejemplo, hemos separado el factor 20 en la suma de dos números x 20 = 6 x (15 + 5) = 6 x x 5 = = 120 Completa los huecos. Comprueba lo aprendido 5 x (4 + 10) = 5 x + x 10 = + = 9 x (10-6) = 9 x - 9 x = - =

9 8 x 25 = 8 x (20 + ) = x 20 + x 5 = + 40 = Multiplicación por números de tres cifras Ceros en el segundo factor Cuando encuentras ceros en el segundo factor... tranquilidad que no muerden... no hagas caso y sigue multiplicando. Multiplicar por la unidad seguida de ceros Multiplicar por la unidad seguida de ceros quiere decir multiplicar con números que llevan ceros después del 1, como 10, 100, 1,000 etc. El procedimiento es muy sencillo tan solo se ponen detrás el mismo número de ceros que el número con el que hemos multiplicado. Este esquema lo explica gráficamente.

10 Rellena los huecos Comprueba lo aprendido 29,000 x 1,000 = 73,236 x 1,000 = 235,219 x 10 = 232,432 x 10 = 232,432 x = 23,243,20 División Es una operación inversa a la multiplicación. La división separa un todo en partes iguales y la multiplicación agrupa parte de un todo. Sus elementos son: dividendo, divisor, cociente y residuo Ejemplos: 1) = 7 (prueba sin calculadora) 2) 12, (calcula sus elementos sin calculadora) Es muy importante que te aprendas la propiedad fundamental de la división, entre otras cosas porque te sirve para comprobar si la has realizado bien. Recuerda lo que es una división exacta y entera.

11 Comprueba lo aprendido Rellenar huecos Lea el párrafo que aparece abajo y complete las palabras que faltan. Ten en cuenta la propiedad fundamental de la división. Según esta expresión: 1052 = 45 x El dividendo es El divisor es El cociente es El resto es La división cuyo resto es se llama división exacta El resto nunca puede ser mayor que el Divisiones con tres cifras en el divisor

12 División con ceros en el cociente Si al bajar una cifra el resto sigue siendo menor que el divisor ponemos un cero en el cociente y bajamos la cifra siguiente hasta que sea mayor y podamos dividir. Fíjate en estos dos ejemplos: Observa cómo en el siguiente ejemplo hemos seguido el mismo proceso.

13 Cambios en los términos de la división Comprueba lo aprendido Rellena los huecos Dividendo Divisor Cociente Resto x 2 4 x x 2 4 x 2 38 : 2 4 : 2 Reflexiona: 1) Si Manuel gana mensualmente $25,700 y gasta $5,600 en alquiler y $4,000 en comida Qué cantidad queda? 2) Odalis tiene $275,000 en la cuenta corriente. Durante el mes extiende los siguientes cheques: $7,000; $1,250; $3,575; $8,965 y $47,112. Cuánto dinero le queda en la cuenta a fin de mes? 3) María gana $117,000 al año y Juan gana $116,085, Cuánto más gana María que Juan? 4) En una asociación de profesores de una Universidad hay 206 miembros, si cada uno ahorra mensualmente $395, Cuántos ahorraron en un mes de 30 días? 5) Divide sin calculadora: a) 83,000 1,000 b) 123, c) 3,879 10

14 d) 157, ) Multiplica sin calculadora: a) 813,000 x 100 b) 20 x 10,000 c) 56 x 10,000 d) 98 x 1,000 e) 4381 x 596 Números Enteros Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3, ), como los números negativos (-1, -2, -3 ). El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z. El valor absoluto de un número entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un número entero se expresa entre barras 3. Ejemplo: 1 = 1-1 = 1 Vemos que un número (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto. Al ordenar los números enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos: < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 Se puede observar como los valores negativos van aumentando a medida que disminuye su valor absoluto, mientras que los valores positivos van aumentando a medida que éste crece. El valor opuesto de un número entero es el mismo número, pero con el signo cambiado: El opuesto de -3 es 3 El opuesto de 5 es -5 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Suma o adición Se pueden presentar dos casos: 1) Enteros con el mismo signo: En un club de dominó se forman dos equipos de 2 jugadores para determinar el ganador en una competencia. Los resultados obtenidos por los dos primeros jugadores se muestran en la tabla: Equipo 1 1er. Jugador 2do. Jugador

15 1era. Partida 2da. Partida Resultado Gana 25 puntos Pierde 20 puntos Con números enteros Resultados Gana 30 puntos Pierde 10 puntos Con números enteros Los resultados de las dos partidas, lo representaremos en la próxima tabla: Con números enteros En la practica Total 1er. Jugador (+25) + (+30) do. Jugador (-20) + (-10) -(20+10) -30 Concluimos afirmando Para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el signo de los sumandos 2) Enteros con signos distintos: Los jugadores del segundo equipo obtuvieron la puntuación representada en el siguiente cuadro: 1era. Partida 2da. Partida Equipo 2 3er. Jugador 4to. Jugador Resultado Gana 28 puntos Pierde 18 puntos Con números enteros Resultados Pierde 26 puntos Gana 20 puntos Con números enteros Los resultados de los partidos son como se muestran en la tabla: Con números enteros En la práctica Total 3er. Jugador (+28) + (-26) to. Jugador (-18) + (+20) -(18+20) 2 Los resultados permiten afirmar: Para sumar números enteros con distintos signos, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. Propiedades de la suma Estas se usan para comprobar los resultados de las operaciones, y para facilitar el cálculo mental. Para números enteros la resumimos en la siguiente tabla: Propiedad Su expresión matemática Asociativa (a+b) + c = a + (b+c) Conmutativa a+b = b+a Elemento neutro a+0 = a, 0+a = b Elemento opuesto a + (-a) = 0, (-a) + a = 0

16 Restas o sustracción de números enteros Las propiedades del elemento neutro y del opuesto, permiten transformar las restas en sumas; para ello, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Por ejemplo, para realizar la resta: (-15) (-20), se realiza la suma: (-15) + (+20) = 5 Observa que si sumas 5 al sustraendo (-20), resulta el minuendo (-15). En general Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto al sustraendo. Para dos números a y b, se tiene: Suma y resta combinadas a-b=a +(-b) La importancia de la propiedad del opuesto para sustituir las restas por sumas, es que esta operación tiene las propiedades conmutativa y asociativa, por lo que no es necesario cuidar del orden de los sumandos. Esta idea facilita los cálculos, si hay más de una operación indicada. Ejemplo: Resuelve -30 (-12) (-15) Solución: Recuerda la prioridad de las operaciones y la conversión de restas en sumas: (- 15) + (-10) + (-16) = (-15) + (-10) +(-16) = = -47 Reflexiona Comprueba lo aprendido 1) Redacta una situación económica en la que se presenten algunos o todos los casos de suma o resta de números enteros. 2) Calcula: a) = b) (-38) =

17 c) = d) (-300) = 3) Calcula mentalmente, utilizando las propiedades asociativa y conmutativa de la suma: a) (-8) + (9) + (-15) + (-9) + (6) + (-1) = b) (-16) + (-4) + (8) + (33) + (4) + (-8) + (16) = 4) Si en la tienda de disco Karen Record se mide la popularidad de un artista, por la cantidad de disco vendido. Suponga que el disco A se encuentra en el puesto 5, el disco B en el puesto 3 y el disco C en el puesto 6, y los tres suben dos lugares Cuál estará mejor clasificado? Razona tu respuesta y di cuál disco está de moda. 5) Usando la computadora e internet, describa y redacte una lista de situaciones en las cuales se utilicen los números enteros. Multiplicación y división de números enteros Dos alumnos de una clase hacen una apuesta. La apuesta consiste en saber Cuál de los dos ganara más puntos en una competencia de ajedrez? El anotador, a la hora del conteo dice: el alumno A tiene 65 puntos y el alumno B tiene 3 veces lo que tiene A. Los compañeros de la clase, determinan la puntuación del alumno B de la manera siguiente: Alumno A= 65 puntos Alumno B = 3 veces 65 puntos = 3(65) = 195 puntos. Cuál fue el alumno ganador de la competencia? Observa que el producto es el resultado de multiplicar los valores absolutos (3 * 65 = 195) Podemos afirmar que: Para multiplicar dos números enteros positivos, se multiplican sus valores absolutos y se agrega el signo más (+) Multiplicación de un entero positivo por uno negativo Supongamos que el jugador A pierde 15 puntos en la 1ra. Mano por dejar caer una ficha, según la regla del juego. Si esto ocurre en 4 manos durante el juego, Cuántos puntos perdió? Uno de los espectadores hizo el cálculo de la siguiente manera: 4 veces (-15 puntos) = 4 x (-15) = -60 El cálculo es correcto, lo que nos permite afirmar que: Para multiplicar un número entero positivo por otro negativo, se multiplican sus valores absolutos y se agrega el signo negativo (-).

18 Producto de un entero negativo por uno positivo: Un niño deja caer una pelota desde lo alto de una azotea. Su hermanito, se la devuelve y el niño vuelve y la deja caer por 4 ocasiones consecutivas. Cómo describimos en matemática tal situación? Veamos: La caída de la pelota refleja una acción negativa, que podemos representar como -1 por cada caída: La pelota cae 4 veces; es decir: -1 x 4 = -(1x4) = -4 Generalizando, podemos afirmar: Para multiplicar un entero negativo por otro positivo, se multiplican sus valores absolutos y agregas el signo (-). Producto de dos enteros negativos Uno de los niños del curso, enciende el televisor, al sintonizar el canal de su preferencia observa a un profesor escribir -2x-3. Pregunta el profesor: Cuál es el resultado? Otro de los niños dice: La respuesta se obtiene multiplicando (2 x 3 = 6) y agregar el signo más (+). Están ustedes de acuerdo con su compañero? Analiza la respuesta con tu profesor o profesora De sus resultados, podemos generalizar la regla siguiente: Para multiplicar dos enteros negativos, se multiplican sus valores absolutos y se agrega el signo más (+) Propiedades del producto de números enteros Estos se aplican para comprobar resultados en las operaciones y para facilitar el cálculo mental. Obsérvala y analízala del siguiente cuadro: Propiedad Asociativa Conmutativa Elemento neutro Su expresión matemática (ab) c = a (bc) ab = ba a x 1 = a, 1x a = a Elemento inverso a (1/a) = 1, (1/a) a = 1 Distributiva relacionada con la suma a (b+ c) = ab + ac

19 División de números enteros Tiene el mismo significado que la división de números naturales. Observa los ejemplos, analízalos y luego compara sus resultados con los enunciados de la regla: (+ 30) + (+5) = +6 (+ 30) + (-5) = -6 (- 30) + (+5) = -6 (- 30) + (-5) = +6 Regla: Para dividir dos números enteros, se dividen sus valores absolutos y el cociente tendrá signo mas (+) o menos (-), según que el dividendo o divisor tengan igual o distinto signo. Comprueba lo aprendido Reflexiona 1) Completa el cuadro y obtendrás las reglas de los signos de la multiplicación de números enteros: Primer factor Multiplicación + - Segundo factor + - 2) Calcula: a) (-21) x (-30) = b) + 6 x (-7) x (-15) x (-8) = c) (-23) x (+15) x (-2) = d) (+110 x (+20) = e) (-1) x (-1) x (+2) x (-2) = 3) Completa el cuadro y obtendrás las reglas de los signos de la división de los números enteros: Dividendo División + - Divisor + - 4) Calcula mentalmente: a) (-3) (-9) = b) (+18) (+2) = c) (-5) (+21) =

20 d) (+36) (-7) = e) (+50) (-5) = f) (-75) (-15) = g) (-72) (+8) = h) (+28) (+7) = 5) Calcula, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación las siguientes operaciones: a) (-6) (-30) (+20) (-7) (+3) = b) (-4) (-5) (-38) (-6) (+20) = 6) Calcule los cocientes: a) (-112) (+28) b) (-195) (-39) c) (-392) (-39) Número Compuesto y Número Primo Qué son los números primos? Los números primos son aquellos que sólo son divisibles entre ellos mismos y el 1. Qué son los números compuestos? Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad, también son divisibles por otros números. Vamos a ver un ejemplo de número primo y compuesto: El 11 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 11, pero no se puede escribir como ninguna otra multiplicación. Sólo tiene como divisores el 1 y el 11, por lo tanto es un número primo. El 12 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 12, y también se puede escribir como la multiplicación de 3 x 4, y de 2 x 6. Como 12 es divisible por más números de 1 y el mismo, 12 es un número compuesto. Tabla de números primos: Vamos a construir la tabla de números primos hasta el 100.

21 Vamos a empezar con el 2. El 2 es un número primo pero todos lo múltiplos de 2 serán números compuestos, ya que serán divisibles entre 2. Tachamos de nuestra tabla todos los múltiplos de 2. El siguiente número primo es el 3, por lo tanto podemos tachar todos los múltiplos de 3, ya que serán números compuestos. El siguiente número primo es el 5, por lo que tachamos todos los múltiplos de 5. El siguiente número primo es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7. El siguiente número primo es el 11, por lo que tachamos todos los múltiplos de 11, que son el 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, y el 99. Todos estos ya habían sido tachados con anterioridad, por lo que ya hemos terminado de tachar todos los números compuestos de nuestra tabla. Esta es nuestra lista de números primos del 1 al 100. No es necesario que te los aprendas de memoria, pero sí que te acuerdes de los más pequeños, como el 2, 3, 5, 7, 11, 13. Divisores de un número: El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea 0. Por ejemplo, vamos a calcular los divisores de 24. Empezamos dividiendo entre los números:

22 24 / 1 = 24. Tanto 1 como 24 son sus divisores. 24 / 2 = y 12 son sus divisores. 24 / 3 = 8. 3 y 8 son sus divisores. 24 / 4 = 6. 4 y 6 son sus divisores. 24 / 5 = 4. No es una división exacta ya que el resto es 4, por lo tanto 5 no es un divisor. El siguiente número es el 6, pero como ya tenemos el 6 como divisor de 24, ya hemos terminado de calcular los divisores de 24. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo (mcm) es el número más pequeño, que no sea 0, que es múltiplo de 2 o más números. Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos: Múltiplo: Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números. Vamos a ver un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 o el 3 por 1, por 2, por 3, etc. 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 y así sucesivamente hasta infinitos números. 3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 y así sucesivamente hasta infinitos números. Múltiplo Común: Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números. Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3. Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen figuran en verde, es decir, el 6, el 12 y el 18. Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada número. Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes. Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes. A continuación, vamos a ver cómo calcular el mínimo común múltiplo. Se pueden utilizar dos métodos.

23 El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño. Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos. Vamos a ver un ejemplo de esto, calculando el mcm de 12 y de 8. Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos: 12 = 22 x 3 8 = 23 Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto elegimos 23 y el 3. Y por último los multiplicamos, por lo tanto 23 x 3 = 8 x 3 = 24 Así que el mcm ( 12, 8 ) = 24 Máximo Común Divisor (m.c.d.) Es el mayor número que divide exactamente a dos o más números. Términos: Divisor: El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea cero. Vamos a ver un ejemplo de esto: Vamos a calcular los divisores de 15: 15 / 1 = 15, por lo que 1 y 15 son divisores de / 2 = 7, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor de / 3 = 5, por lo que 3 y 5 son divisores de / 4 = 3, el resto es 3, por lo que 4 no es divisor de 15.

24 Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 15. Ahora vamos a calcular los divisores de / 1 = 20, por lo que 1 y 20 son divisores de / 2 = 10, por lo que 2 y 10 son divisores de / 3 = 6, el resto es 2, por lo que 3 no es un divisor de / 4 = 5, por lo que 4 y 5 son divisores de 20. Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 20. Divisor Común: Es un número que es divisor a la vez de dos o más números, es decir, es un divisor común a esos números. Si seguimos con el ejemplo anterior, en el que hemos calculado los divisores de 15 y de 20, ahora vamos a ver cuáles son los divisores comunes. Y en este caso, los divisores comunes de 15 y 20 son el 1 y el 5. Máximo Común Divisor: Es el número más grande de los divisores comunes. Por lo que si seguimos con el ejemplo anterior, el Máximo Común Divisor de 15 y 20 es 5. Cómo encontrar el Máximo Común Divisor? Vamos a ver diferentes métodos para encontrar el MCD. Método 1: Escribimos todos los divisores de cada número, y de éstos señalamos los divisores comunes. El divisor mayor será el MCD de esos números. Este método es el que ya hemos explicado antes. Método 2: Descomponemos cada número en factores primos. Después, señalamos los factores comunes. A continuación, escogemos el factor con menor exponente. Y por último, multiplicamos los factores elegidos. Vamos a ver un ejemplo: Calculamos el M.C.D de 8 y 12.

25 Actividades I. Halla el mcm de los siguientes pares de números y y y y y 420 II. Halla el mcd de los siguientes pares de números y y y y y 300